soros manipul´atorok inverz kinematikai probl´em´aj´anak´uj megold´asi m´odszerei new methods

15 Pages·2014·0.17 MB·Hungarian

Budapest University of Technology and Economics
Department of Control Engineering and Information Technology
Budapest, Hungary
´
SOROS MANIPULATOROK INVERZ
´ ´ ´ ´
KINEMATIKAI PROBLEMAJANAK UJ
´ ´
MEGOLDASI MODSZEREI
NEW METHODS FOR SOLVING THE INVERSE
KINEMATICS PROBLEM OF SERIAL ROBOT
MANIPULATORS
cı´mu˝ PhD e´rtekeze´s te´zisei
ke´szı´tette:
Drexler Da´niel Andra´s
Te´mavezeto˝:
Dr. habil. Harmati Istva´n, PhD
Ira´ny´ıta´stechnika e´s Informatika Tansze´k
Budapesti Mu˝szaki e´s Gazdasa´gtudoma´nyi Egyetem
Budapest, Magyarorsza´g
2014
1
Kutata´si teru¨let e´s motiva´cio´
Az inverz geometriai algoritmus ce´lja olyan csuklo´pa´lya´k genera´la´sa,
amelyek a robot elo˝´ırt end effektor pa´lya´ja´t eredme´nyezik. A proble´ma
legke´zenfekvo˝bbmegolda´saazinverzgeometriaifeladatanalitikusmeg-
olda´sa, azonban ez csak specia´lis architektu´ra´ju´ robotok esete´n le´tezik.
A´ltala´nos, komplexebb architektu´ra´ju´ robotok esete´n az analitikus in-
verz nem le´tezik,´ıgy numerikus ko¨zel´ıte´st kell haszna´lni.
Az inverz geometriai proble´ma leggyakoribb numerikus ko¨zel´ıte´se
a robot csuklo´k a´ltal genera´lt infinitezima´lis mozga´sokon alapul, ame-
lyeket a robot Jacobi ma´trixa´ır le. A mo´dszer neve inverz kinematikai,
vagy differencia´lis inverz geometriai algoritmus, amely a robot mozga´-
sa´t loka´lis mozga´sokkal ko¨zel´ıti. Az elo˝´ırt end effektor sebesse´gekhez
szu¨kse´ges csuklo´sebesse´geket a differencia´lis le´ıra´s seg´ıtse´ge´vel kisza´-
molhatjuk bizonyos csuklo´konfigura´cio´kban, majd ebbo˝l a csuklo´va´lto-
zo´kat integra´la´ssal a´ll´ıthatjuk elo˝.
A differencia´lis inverz geometriai algoritmus tetszo˝leges soros ma-
nipula´tor esete´n alkalmazhato´, de van ke´t fontos ha´tra´nya [1], [2], [3].
Az elso˝, hogy szingularita´sokkal rendelkezik, aminek a ko¨vetkezte´ben
bizonyosendeffektormozga´sira´nyokelvesznekaszingula´riskonfigura´-
cio´kban,amito˝ladifferencia´lisinverzgeometriaialgoritmushaszna´lha-
tatlanna´ va´lhat. A ma´sodik ha´tra´nya, hogy a csuklo´va´ltozo´kat integ-
ra´la´ssal sza´m´ıtja, ´ıgy a csuklo´korla´tokat nem ke´pes figyelembe venni.
Ez a ke´t proble´ma jelento˝sen ha´tra´ltatja a mo´dszer sze´les ko¨rben valo´
elterjede´se´t.
Adisszerta´cio´ adifferencia´lisinverzgeometriaialgoritmustta´rgyal-
ja, e´s megolda´st ad a fent eml´ıtett ke´t proble´ma´ra. A ta´rgyala´s a robot
mozga´sa´t le´ıro´ Lie csoportokra e´s Lie algebra´kra alapul. Az elso˝ te´zis-
csoport a robotok kinematika´ja´t le´ıro´ Lie algebra u´j tulajdonsa´gait ta´r-
gyalja. Ama´sodike´sharmadikte´ziscsoportokadifferencia´lisinverzge-
ometriai algoritmus regulariza´la´sa´t ta´rgyalja´k, ku¨lo¨n kezelve a differ-
encia´lis inverz poz´ıciona´lo´ e´s a differencia´lis inverz orienta´cio´s proble´-
ma´t. Anegyedikte´ziscsoportegymo´dszertmutatbe,amellyelacsuklo´-
korla´tok bee´p´ıtheto˝k a differencia´lis inverz geometriai algoritmusba,
ami leheto˝ve´ teszi a csuklo´korla´tok kezele´se´t.
Matematikai ha´tte´r (2. Fejezet)
A disszerta´cio´ban haszna´lt terminolo´gia e´s modelleze´si technika a ha´-
romdimenzio´sSpecia´liseuklidesziLiecsoportone´saLiealgebra´ja´nala-
pul. A Lie csoport elemei homoge´n transzforma´cio´s ma´trixok a
R p
g =
(cid:18) 0 1 (cid:19)
2
forma´ban, ahol R a ha´romdimenzio´s Specia´lis Ortogona´lis csoport (+1
determina´nsu´ ortogona´lis ma´trixok) egy eleme, e´s forgata´st vagy ori-
enta´cio´treprezenta´l,m´ıgp ∈ R3e´seltola´stvagypoz´ıcio´treprezenta´l. Az
ilyenforma´ju´ ma´trixokmerevtesttranszforma´cio´katvagykonfigura´cio´-
kat ´ırnak le. A merev test transzforma´cio´k genera´torai a ha´romdimen-
zio´s specia´lis euklideszi Lie algebra elemei, azaz a ko¨vetkezo˝ forma´ban
´ırhato´k:
ωˆ v
ξˆ=
(cid:18) 0 0 (cid:19)
ahol ωˆ egy 3 × 3-as ferde´n szimmetrikus ma´trix, a forga´s genera´tora,
illetve v ∈ R3 a transzla´cio´ genera´tora. Az ωˆ ma´trix azonos´ıthato´ az
ω ∈ R3 vektorral a
0 −ω ω ω
z x x
ωˆ =  ωz 0 −ωy  ↔ ω =  ωy 
−ω ω 0 ω
x y z
   
megfeleltete´ssel. A megfeleltete´s felhaszna´la´sa´val a ξˆgenera´tor azono-
⊤ ⊤ ⊤
s´ıthato´ egy ξ = v ,ω vektorral.
ALieza´ro´jelam(cid:0)a´trixr(cid:1)eprezenta´cio´banastandardma´trixkommuta´tor,
teha´t [ξˆ,ξˆ] = ξˆξˆ −ξˆξˆ, m´ıg a vektor reprezenta´cio´ban a
1 2 1 2 2 1
v v ω ×v −ω ×v
1 , 2 = 1 2 2 1
(cid:20)(cid:18) ω1 (cid:19) (cid:18) ω2 (cid:19)(cid:21) (cid:18) ω1×ω2 (cid:19)
o¨sszefu¨gge´sseldefinia´lhato´,amitjelo¨lhetu¨nkξ × ξ kifejeze´sselis,hang-
1 6 2
su´lyozva a te´nyt, hogy ez a Lie za´ro´jel a ha´romdimenzio´s vektoria´lis
szorzat a´ltala´nos´ıta´sa´nak tekintheto˝ hatdimenzio´s vektorokra.
AξˆLiealgebraelemmerevtestmozga´sokatgenera´labbanaze´rtelem-
ben, hogy minden merev test transzforma´cio´ fel´ırhato´ a
g = exp(ξˆθ)
alakban valamilyen θ ∈ R esete´n. Ennek a seg´ıtse´ge´vel a robot kine-
matika´ja´t a ko¨vetkezo˝ mo´dszerrel adhatjuk meg.
Va´lasszunk egy referencia koordina´tarendszert, nevezzu¨k ezt ba´zis
vagy vila´g keretnek. Va´lasszunk egy csuklo´konfigura´cio´t, ahol a robot
csuklo´va´ltozo´itnulla´naktekintju¨k. Nevezzu¨keztreferenciakonfigura´ci-
o´nak. A robot minden csuklo´ja´hoz hozza´rendelhetu¨nk egy genera´tort a
ko¨vetkezo˝ mo´don:
• Haazi-edikcsuklo´ rota´cio´s,akkorlegyenω egyegyse´gvektorami
i
pa´rhuzamosacsuklo´tengellyel,aba´ziskeretbenfel´ırva,e´slegyen
q a poz´ıcio´vektora a csuklo´tengelyen le´vo˝ tetszo˝leges pontnak, a
i
⊤ ⊤ ⊤
ba´ziskeretben fel´ırva. Ekkor v = −ω ×q , e´s ξ = (v ,ω ) .
i i i i i i
3
• Ha az i-edik csuklo´ transzla´cio´s, akkor ω = 0, e´s legyen v egy
i i
egyse´gvektor, amely pa´rhuzamos az elmozdula´s ira´nya´val. Ekkor
⊤ ⊤ ⊤
ξ = (v ,ω ) .
i i i
Ve´gu¨l legyen g(0) a transzforma´cio´s ma´trix, amely megadja az end ef-
fektor keret poz´ıcio´ja´t e´s orienta´cio´ja´t a referencia konfigura´cio´ban a
⊤
ba´zis keretben. Legyen θ = (θ ,θ ,...,θ ) a csuklo´va´ltozo´k vektora
1 2 n
egy n csuklo´bo´l a´llo´ robot esete´n, ekkor az end effektor poz´ıcio´ja e´s ori-
enta´cio´ja egy a´ltala´nos csuklo´konfigura´cio´ban a
g(θ) = exp(ξˆθ )exp(ξˆθ )...exp(ξˆ θ )g(0)
1 1 2 2 n n
o¨sszefu¨gge´sselsza´m´ıthato´. Akinematikajellemze´se´remegadottgenera´-
torok a sebesse´g genera´torok a referencia konfigura´cio´ban, vagyis a
ko¨vetkezo˝ Jacobi ma´trix oszlopai:
J(0) = ξ ξ ... ξ .
1 2 n
(cid:0) (cid:1)
Ha a robot csuklo´i kimozdulnak a referencia konfigura´cio´bo´l, akkor a
genera´torokpoz´ıcio´jae´sorienta´cio´jamegva´ltozik. Agenera´toroktransz-
forma´cio´ja´t az Adjunga´lt (Ad) transzforma´cio´val sza´molhatjuk. Legyen
g a merev test transzforma´cio´, amellyel a ξ genera´tort elmozd´ıtjuk,
ekkor a transzforma´cio´ uta´n a sebesse´g genera´tor:
′
ξ = Ad ξ.
g
A Lie csoporton alapulo´ irodalom ke´t Jacobi ma´trixot definia´l: a te´rbeli
e´satestmanipula´torJacobima´trixot. Atestmanipula´torJacobima´trix
a
Js(θ) = ξs(θ) ξs(θ) ... ξs(θ)
1 2 n
o¨sszefu¨gge´ssel adott, oszlo(cid:0)pai pedig a (cid:1)
ξs(θ) = Ad ξ .
i exp(ξˆ1θ1)exp(ξˆ2θ2)...exp(ξˆi−1θi−1) i
o¨sszefu¨gge´sselsza´m´ıthato´k. Ate´rbeliJacobima´trixoszlopaiamegfelelo˝
csuklo´hoztartozo´ mozga´sgenera´torok,amelyekaba´ziskeretorigo´ja´nak
infinitezima´lis mozga´sa´t´ırja´k le a ba´zis keretben.
A test manipula´tor Jacobi ma´trix a
Jb(θ) = ξb(θ) ξb(θ) ... ξb(θ)
1 2 n
(cid:0) (cid:1)
o¨ssefu¨gge´ssel, oszlopai pedig a
ξb(θ) = Ad ξ .
i exp(ξˆiθi)exp(ξˆi+1θi+1)...exp(ξˆnθn)g(0) i
formula´kkaladottak. Atestmanipula´torJacobima´trixoszlopaiamegfe-
lelo˝ csuklo´hoz tartozo´ genera´torok, amelyek az end effektor keret in-
finitezima´lis mozga´sa´t´ırja´k le az end effektor keretben.
Az ad opera´tor a Lie za´ro´jel alkalmaza´sa´t jelo¨li, azaz ad y = [x,y].
x
AzAdopera´torfel´ırhato´ azadopera´torforma´lisexponencia´lisfu¨ggve´ny-
sorake´nt, azaz Ad = exp(ad ) = ∞ adkx.
exp(x) x k=0 k!
P
4
Az u´j tudoma´nyos eredme´nyek o¨sszefoglala´sa
1. Te´ziscsoport (3. Fejezet)
Az ad e´s Ad opera´torok u´j tulajdonsa´gait bizony´ıtottam, amelyek a Lie
za´ro´jel egyma´sba skatulya´zott alkalmaza´sa´t e´s ennek az exponencia´lis
leke´peze´srevetthata´sa´t,illetveszomsze´dosrobotcsuklo´kgenera´torainak
tulajdonsa´gaite´rintik. Kidolgoztamahata´sponttranszforma´cio´t,amely
segı´tse´ge´velamerevtesttetszo˝legespontja´nakasebesse´ggenera´torameg-
adhato´, illetve bevezettem az end effektor Jacobi ma´trixot, amely az end
effektor keret sebesse´g genera´torait tartalmazza a ba´zis keretben fel´ırva.
A te´zisekhez kapcsolo´do´ publika´cio´k: [2], [3], [1], [4], [5], [6].
1.1. Te´zis
Bebizony´ıtottam, hogy az ad opera´tor to¨bbszo¨ro¨s alkalmaza´sa az se(3)
algebra´n
i, adi y = 0, ha i > 1 e´s x = 0.
x Ω
ii,
ad y ha i mod 4 = 1
x
 ad2y ha i mod 4 = 2
adi y = x
x  −ad y ha i mod 4 = 3
 x
−ad2y ha i mod 4 = 0
x


e´s ad0y = y, ha x 6= 0. 
x Ω
Bebizony´ıtottam,hogyazAdopera´torako¨vetkezo˝ tulajdonsa´gokkal
rendelkezik:
i, ∀ξ ∈ se(3) e´s ∀t ∈ R, Ad ξ = ξ .
1 eξˆ1t 1 1
ii, Haξ ,ξ ∈ se(3)linea´risanfu¨ggetlenek,akkor∀t ∈ R,ξ e´sAd ξ
1 2 1 eξˆ1t 2
szinte´n linea´risan fu¨ggetlenek.
iii, ∀ξ ,ξ ∈ se(3) e´s ∀t ∈ R, ξ ,Ad ξ = Ad [ξ ,ξ ].
1 2 1 eξˆ1t 2 eξˆ1t 1 2
h i
iv, Ha eξˆt egy tiszta transzla´cio´, vagyis ξ = 0, akkor Ad ξ = ξ +
Ω eξˆt 0 0
tad ξ .
ξ 0
Bebizony´ıtottam, hogy ha a g ∈ SE(3) transzforma´cio´ tartalmaz
nemtrivia´lis forgata´st, akkor az Ad opera´tor fel´ırhato´ egy a Rodrigues
formula´hoz hasonlo´ za´rt formula´val: ha ξ 6= 0, akkor
1,Ω
Ad ξ = ξ +sin(θ )[ξ ,ξ ]+(1−cos(θ ))[ξ ,[ξ ,ξ ]].
eξˆ1θ1 2 2 1 1 2 1 1 1 2
5
Az se(3) Lie algebra´n ke´t linea´risan fu¨ggetlen (koordina´ta transz-
forma´cio´ra)invaria´nsbilinea´risformavan: aKillingformae´sareciprok
szorzat. Ke´t mozga´sgenera´tor Killing forma´ja a
1
κ(ξ ,ξ ) = − hω ,ω i,
1 2 1 2
2
o¨sszefu¨gge´ssel, m´ıg a reciprok szorzata a
ξ ⊙ξ = hω ,v i+hω ,v i.
1 2 1 2 2 1
kifejeze´sseladott. Bebizony´ıtottam,hogyszomsze´doscsuklo´kgenera´to-
rainak Killing forma´ja e´s reciprok szorzata fu¨ggetlen a csuklo´va´ltozo´k
e´rte´ke´to˝l.
1.2. Te´zis
Kidolgoztam a hata´spont transzforma´cio´t, amivel egy tetszo˝leges pont
sebesse´g genera´tora kisza´m´ıthato´. Bebizony´ıtottam, hogy a hata´spont
transzforma´cio´ alkalmaza´sa egy ξ = (ω ,v ) genera´torra a p pontra a
i i i
ko¨vetkezo˝ alakban´ırhato´:
′
v v v +ω ×p
(cid:18) ωii′ (cid:19) = Ad(I,−p)(cid:18) ωii (cid:19) = (cid:18) i ωii (cid:19).
1.3. Te´zis
Definia´ltam az end effektor Jacobi ma´trixot, amely oszlopai az end ef-
fektorinfinitezima´lismozga´sa´tle´ıro´ genera´torokaba´ziskeretbenfel´ır-
va. Bebizony´ıtottam, hogy az end effektor Jacobi ma´trix kisza´m´ıthato´
a
Je(θ) = Ad(I,−p(θ))Js(θ) (1)
e´s a
Je(θ) = Ad Jb(θ) (2)
(R(θ),0)
o¨sszefu¨gge´sekseg´ıtse´ge´vel,aholp(θ)azendeffektorpoz´ıcio´ja,m´ıgR(θ)
azendeffektororienta´cio´jaaba´ziskeretben,aθcsuklo´konfigura´cio´ban.
Bebizony´ıtottam, hogy a Je,Js e´s Jb Jacobi ma´trixok rangja minden
csuklo´konfigura´cio´ban megegyezik.
2. Te´ziscsoport (4. Fejezet)
Kifejlesztettem egy mo´dszert a differencia´lis inverz poz´ıciona´la´si proble´-
maregulariza´la´sa´ra. Aregulariza´cio´selja´ra´sta´ltala´nosı´tottamate´rbeli
inverzpoz´ıcio´sproble´ma´ratetszo˝legesszabadsa´gifoku´ robotkarra. Szu¨k-
se´gese´sele´gse´gesfelte´teltadtamaregulariza´lhato´sa´graaza´ltala´noses-
etre, e´s ha´rom szabadsa´gfoku´ robotok esete´re becsle´seket adtam a regu-
lariza´ltJacobima´trixszingula´rise´rte´keire,e´segyza´rtformula´tadtama
6
regulariza´ltJacobima´trixdetermina´nsa´naksza´m´ıta´sa´raagenera´torok
Lie za´ro´jele´nek felhaszna´la´sa´val.
A te´zisekhez kapcsolo´do´ publika´cio´k: [4], [3], [1].
2.1. Te´zis
Bebizony´ıtottam, hogy az inverz poz´ıciona´la´si proble´ma mindig regu-
lariza´lhato´ s´ıkbelirobotesete´n. Bebizony´ıtottam,hogyazutolso´ csuklo´-
hoz tartozo´ linea´ris sebesse´g genera´tor mindig haszna´lhato´ regulariza´-
cio´s vektorke´nt. Bebizony´ıtottam, hogy a regulariza´lt feladat Jacobi
ma´trix szingula´ris e´rte´keire teljesu¨lnek a ko¨vetkezo˝ becsle´sek:
σ(Jreg) ≤ 2 (l +l )2+γ2
1 2
p|detJreg |
σ(Jreg) ≥ SV
2 (l +l )2+γ2
1 2
p
ahol l e´s l a robot szegmenseinek hossza, e´s detJreg a regulariza´lt Ja-
1 2
cobi ma´trix determina´nsa. Megero˝s´ıtettem, hogy a szingula´ris ira´nyba
valo´ mozga´s leska´la´zo´dik, m´ıg a regula´ris ira´nyba valo´ mozga´s nem
va´ltozik. A regulariza´cio´ hata´sa´t analiza´ltam a csuklo´k konfigura´cio´s
tere´ben.
2.2. Te´zis
Bebizony´ıtottam, hogy az inverz poz´ıciona´la´si proble´ma feladat Jacobi
ma´trixamindigregulariza´lhato´ felu¨letenmozgo´ robotkarokesete´n. Be-
bizony´ıtottam,hogyaregulariza´cio´svektorva´laszthato´ azutolso´ csuklo´-
hoz tartozo´ linea´ris sebesse´g genera´torke´nt. Bebizony´ıtottam, hogy a
regulariza´lt feladat Jacobi ma´trix szingula´ris e´rte´keire ugyanazok a
becsle´sek e´rve´nyesek, mint a s´ıkbeli esetben.
2.3. Te´zis
Bebizony´ıtottam,hogyamennyibenarobotcsuklo´inempa´rhuzamosak,
nemmetszikegyma´stegypontban,e´sazendeffektorko¨ze´ppontjanincs
rajta az utolso´ csuklo´tengelyen, akkor a feladat Jacobi ma´trix regu-
lariza´lhato´sa´ga´nak szu¨kse´ges e´s ele´gse´ges felte´tele az a´ltala´nos ha´rom
dimenzio´s esetben az, hogy az end effektor Jacobi ma´trix teljes rangu´
legyen. Bebizony´ıtottam, hogy a regulariza´cio´s vektor a feladat Jacobi
ma´trix ke´ptere´ben van, ami hasznos a regulariza´cio´ konstrukcio´ja´na´l.
Levezettem za´rt formula´t a regulariza´lt feladat Jacobi ma´trix deter-
mina´nsa´ra a genera´torok Lie za´ro´jele´nek a felhaszna´la´sa´val, e´s bebi-
zony´ıtottam, hogy a regulariza´lt feladat Jacobi ma´trix szingula´ris e´rte´-
7
keire igazak a ko¨vetkezo˝ becsle´sek:
σ(Jreg) ≤ 3 L2+γ2
|pdetJreg|
σ(Jreg) ≥ ,
9(L2+γ2)
ahol L a robotkar hossza teljesen kinyu´jtott a´llapotban.
3. Te´ziscsoport (5. Fejezet)
Kifejlesztettem egy mo´dszert az inverz orienta´cio´s feladat regulariza´cio´-
ja´ra. Definia´ltam a go¨mbi reprezenta´cio´t, ami az infinitezima´lis forga´-
sokategydimenzio´sinfinitezima´lisforga´ske´nte´ske´tdimenzio´sinfinitezi-
ma´lis transzla´cio´ke´nt ´ırja le. Levezettem a go¨mbi Jacobi ma´trixot, ami
a feladat Jacobi ma´trix a´ttranszforma´lva a go¨mbi reprezenta´cio´ba, e´s
a hata´spont transzforma´cio´ segı´tse´ge´vel regulariza´ltam. A regulariza´lt
Jacobi ma´trix szingula´ris e´rte´keire becsle´seket vezettem le.
A te´zisekhez kapcsolo´do´ publika´cio´k: [5], [3], [1], [4].
3.1. Te´zis
Bevezettemago¨mbireprezenta´cio´t,amelybenazorienta´cio´ megva´ltoza´-
sa´tegygo¨mbe´rinto˝s´ıkjamente´nvalo´ elmozdula´ske´nt,e´sago¨mbnorma´-
lisa ko¨ru¨li egydimenzio´s forgata´ske´nt ´ırjuk le. Levezettem a go¨mbi Ja-
cobi ma´trixot, ami a feladat Jacobi ma´trix a go¨mbi reprezenta´cio´ban
fel´ırva. Bebizony´ıtottam,hogyaJ feladatJacobima´trixe´saJ go¨mbi
Ω S
Jacobima´trixrangjamindenkonfigura´cio´banmegegyezik. Bebizony´ıtot-
tam, hogy ezen ma´trixok rangja´nak a cso¨kkene´se legfeljebb egy lehet.
Bebizony´ıtottam, hogy ha a go¨mbi Jacobi ma´trix szingula´ris, akkor a
szingula´ris ira´ny egy transzla´cio´s genera´tor.
3.2. Te´zis
Mivel szingula´ris konfigura´cio´ esete´n a go¨mbi reprezenta´cio´ban a szin-
gula´risira´nyegytranszla´cio´sgenera´tor,eze´rtalkalmazhato´kama´sodik
te´ziscsoporteredme´nyei. Bevezettemaregulariza´ltgo¨mbiJacobima´trix-
ot, felte´telt adtam a regulariza´lhato´sa´gra, e´s bebizony´ıtottam, hogy a
szingula´ris e´rte´ke´re a ko¨vetkezo˝ becsle´sek e´rve´nyesek:
σ(J reg) ≤ 3 2+γ2
S
|pdetJ reg|
σ(J reg) ≥ S .
S
9(2+γ2)
ahol detJ reg a regulariza´lt go¨mbi Jacobi ma´trix determina´nsa.
S
8
4. Te´ziscsoport (6. Fejezet)
Kifejlesztettemegymo´dszertacsuklo´korla´tokbee´pı´te´se´readifferencia´lis
inverzgeometriaialgoritmusba. Bebizonyı´tottam,hogyamo´dszeregyu¨tt
alkalmazhato´ ma´s algoritmusokkal, amelyek a differencia´lis inverz ge-
ometriai proble´ma´hoz lettek kidolgozva. Azonosı´tottam a szingula´ris
konfigura´cio´kat,amelyekakkorfordulnakelo˝,amikoregycsuklo´ ahata´-
ron van, e´s kidolgoztam egy mo´dszert a szingularita´sok kezele´se´re.
A te´zisekhez kapcsolo´do´ publika´cio´k: [7], [3], [1].
4.1. Te´zis
Nemlinea´ris transzforma´cio´kat definia´ltam a csuklo´va´ltozo´k tere´ben,
amelyekavalo´ssza´megyenestamegengedettcsuklo´va´ltozo´khalmaza´ra
ke´pezik (azaz az intervallumba, amelyet a csuklo´va´ltozo´k also´ e´s felso˝
korla´tai definia´lnak). Ezt a transzforma´cio´t ke´nyszer fu¨ggve´nynek, az
inverze´t pedig inverz ke´nyszer fu¨ggve´nynek neveztem el. Az inverz
ke´nyszerfu¨ggve´nyseg´ıtse´ge´velacsuklo´va´ltozo´kavalo´ssza´megyenesre
ke´pezheto˝k, ahol alkalmazhato´ a differencia´lis inverz geometriai algo-
ritmus. Levezettem a ke´nyszer Jacobi ma´trixot, amely a feladat Jacobi
ma´trixa a nemlinea´ris transzforma´cio´ uta´n. Bebizony´ıtottam, hogy a
ke´nyszerJacobima´trixhaszna´latanemszu¨kse´gszeru˝,acsuklo´sebesse´g-
ekahagyoma´nyosmo´donsza´m´ıthato´k,e´selegendo˝ ezeketazintegra´la´s
elo˝tt transzforma´lni.
4.2. Te´zis
Anemlinea´ristranszforma´cio´ szingularita´sokatokozamikoregycsuklo´
ele´ri a korla´tja´t. Ezt a szitua´cio´t ke´nyszer szingularita´snak neveztem
el. Megvizsga´ltam a ke´nyszer szingularita´sokat, e´s kidolgoztam egy
mo´dszert,amellyelezekaszingularita´sokkezelheto˝k. Amo´dszerazin-
verzke´nyszerfu¨ggve´nyekderiva´ltjaibo´la´llo´ ma´trixszingula´rise´rte´kek
szerinti felbonta´sa´n alapul, amelyre za´rt formula´t vezettem le, e´s a
csuklo´telmozd´ıtjaakorla´tja´to´l,amennyibenezelo˝nyo¨sak´ıva´ntve´gbe-
rendeze´s mozga´s szempontja´bo´l, ku¨lo¨nben helyben hagyja.
Alkalmaza´sok (7. Fejezet)
Az elso˝ te´ziscsoport eredme´nyei hasznos´ıthato´k soros e´s pa´rhuzamos
manipula´torok anal´ızisekor. A hata´spont transzforma´cio´ seg´ıtse´ge´vel
egymerevtesttetszo˝legespontja´nakasebesse´ggenera´toramegadhato´.
Az end effektor Jacobi ma´trix a direkt geometriai leke´peze´s analitikus
Jacobi ma´trixa, ami szu¨kse´ges az inverz kinematikai feladat megolda´-
sa´hoz.
9
A ma´sodik e´s harmadik te´ziscsoport eredme´nyei felhaszna´lhato´k a
Jacobi ma´trix regulariza´la´sa´ra, e´s a seg´ıtse´gu¨kkel also´ korla´t adhato´ a
regulariza´lt Jacobi ma´trix legkisebb szingula´ris e´rte´ke´re. A legkisebb
szingula´ris e´rte´k ismerete´ben stabil differencia´lis inverz geometriai al-
goritmustlehettervezniazirodalomlegu´jabberedme´nyeinekfelhaszna´-
la´sa´val. Azeredme´nyekke´te´sha´romcsuklo´bo´la´llo´ robotokesete´nvan-
nak kimondva, de a´ltala´nos´ıthato´k tetszo˝leges szabadsa´gi fokkal ren-
delkezo˝ robotokra is. Redunda´ns robotok esete´n az inverz poz´ıciona´la´si
proble´ma feladat Jacobi ma´trixa´nak regulariza´lhato´sa´ga´nak a szu¨kse´-
ges e´s ele´gse´ges felte´tele, hogy az end effektor Jacobi ma´trix rangja
legala´bb ha´rom legyen. Az inverz poz´ıciona´la´si e´s inverz orienta´cio´s
proble´ma regulariza´cio´ja egyszerre alkalmazhato´ a regulariza´lt end ef-
fektorJacobima´trixbevezete´se´vel,amelyelso˝ ha´romsoraaregulariza´lt
feladatma´trixaazinverzpoz´ıciona´lo´ proble´ma´nak,m´ıgazutolso´ ha´rom
sora a regulariza´lt go¨mbi Jacobi ma´trix. Ebben az esetben a feladat
sebesse´gvektor utolso´ ha´rom komponense´t is a´t kell transzforma´lni a
go¨mbi reprezenta´cio´ba.
Anegyedikte´ziscsoporteredme´nyeinekaseg´ıtse´ge´veladifferencia´lis
inverzgeometriaialgoritmusbabee´p´ıtheto˝ekacsuklo´korla´tok. Amo´dos´ı-
tottalgoritmusolyancsuklo´pa´lya´katgenera´l,amelyekakorla´tokonbe-
lu¨l maradnak, e´s fizikailag megvalo´s´ıthato´k, vagyis a csuklo´korla´tok
ko¨rnye´ke´n a csuklo´gyorsula´sok jo´l kezelheto˝ e´rte´ken belu¨l maradnak.
A csuklo´korla´tok bee´p´ıte´se alkalmazhato´ a regulariza´la´s mellett, mivel
a csuklo´va´ltozo´k sza´m´ıthato´k a norma´l csuklo´va´ltozo´k tere´ben, ahol
a regulariza´cio´t haszna´ljuk, e´s a csuklo´ ke´nyszer transzforma´cio´t ele-
gendo˝ ezuta´n alkalmazni, az integra´la´si le´pe´s elo˝tt.
Azeredme´nyektova´bbialkalmaza´saite´skiterjeszte´seitadisszerta´cio´
7. fejezete tartalmazza.