SOCOM203 Théorie des communications numériques

95 Pages·2017·1.25 MB·French

SOCOM203
ThØorie des
communications numØriques
Philippe Ciblat
AnnØe scolaire 2017-2018

Table des matiŁres
Introduction gØnØrale 1
1 ReprØsentation des signaux (cid:224) bande Øtroite 3
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Modulateur I/Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 DØmodulateur I/Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Bilan ØnergØtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Application aux processus alØatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.1 Liens statistiques entre les signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.2 Application au cas du bruit blanc (cid:224) bande Øtroite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 ModØlisation du canal de transmission 13
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 CaractØrisation du bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 ModŁle dØterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Signal sur porteuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Signal en bande de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 ModŁle alØatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Classi(cid:28)cation des canaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.1 ParamŁtres caractØristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.2 Classes typiques de canaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.1 La 2G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.2 La 4G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 ModØlisation des signaux Ømis et re(cid:231)us 29
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Espace des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Application aux modulations linØaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Cas particulier : absence d’interfØrence entre symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5 Cas gØnØral : prØsence d’interfØrence entre symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6 ModŁle gØnØral (cid:224) temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 DØtecteur optimal et performances 43
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 ThØorie de la dØtection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 RØsultats gØnØraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.2 Application au modŁle du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Performances thØoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
i
5 Application aux di(cid:27)Ørents types de canaux 53
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 RØsultats gØnØraux sur les canaux linØaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.1 DØtecteur optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.2 Performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Canal gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3.1 DØtecteur optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3.2 Performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 Canal sØlectif en frØquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.1 DØtecteur optimal : algorithme de Viterbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4.2 Egalisation linØaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4.3 OFDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.5 Canal de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5.1 DØtecteur optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5.2 Performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5.3 DiversitØ : vers le MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Conclusion gØnØrale 81
A Annexe relative aux vecteurs gaussiens (cid:224) valeurs complexes 83
A.1 Vecteur gaussien (cid:224) valeurs rØelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A.2 Vecteur gaussien (cid:224) valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A.2.1 Cas gØnØral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A.2.2 Cas circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A.3 Loi de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
A.4 Loi du χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2
B Annexe relative au chapitre 1 87
B.1 Approche thØorique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B.2 Preuve du rØsultat 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
B.3 Preuve du rØsultat 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B.4 Preuve du rØsultat 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B.5 Preuve du rØsultat 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Introduction gØnØrale
Sur la (cid:28)gure 1, nous avons reprØsentØ sur un mŒme schØma un ensemble de rØseaux de communication
ayant des supports trŁs di(cid:27)Ørents (DVD, c(cid:226)ble de cuivre, (cid:28)bre optique, sans (cid:28)l) et o(cid:27)rant des fonctionna-
litØs trŁs di(cid:27)Ørentes : tØlØphone, transfert de donnØes, (cid:29)ux vidØo (en anglais, video streaming), tØlØvision,
stockage dans des centres de donnØes (en anglais, data centers). D’autres supports de communication, non
dessinØs sur la (cid:28)gure 1, existent tels que la clef USB, les molØcules (via les communications molØculaires), le
systŁme cØrØbral (que certains chercheurs tentent d’expliquer via les principes et outils de communications
numØriques), etc.
.
Satellite
Téléphone2G/3G/4G
Wifi
Fibreoptique
DVD
Pairedecuivre/Câble
.
Figure 1 (cid:21) Un ensemble de rØseaux de communication
NØanmoinstouscesØlØmentsontunpointcommun:lesdonnØessontnumØrisØesetdoiventŒtretransmises
(cid:224) travers un canal de propagation. Ces donnØes qui partent de di(cid:27)Ørents points pour arriver (cid:224) di(cid:27)Ørents
autrespointsdoiventŒtretransmisesde maniŁre (cid:28)able avec un coßt faible(parcoßt,onpeutentendre,
consommation ØnergØtique, occupation spectrale, complexitØ raisonnable, etc).
Dans ce polycopiØ, a(cid:28)n de simpli(cid:28)er, nous allons nous intØresser uniquement (cid:224) des communications
dites point-(cid:224)-point, c’est-(cid:224)-dire, entre un seul Ømetteur et un seul rØcepteur. Nous passerons donc sous
silenceladimensionmultipoints-(cid:224)-multipointsdetoutrØseaudecommunication,c’est-(cid:224)-dire,quandplusieurs
utilisateurs sont prØsents dans le systŁme ou bien quand le rØseau a plusieurs (cid:29)ux de donnØes (cid:224) gØrer de
maniŁre simultanØe. Cette dimension (cid:19) rØseau (cid:20) des communications numØriques est Øvidemment abordØe
durant la troisiŁme annØe et la recherche acadØmique ainsi qu’industrielle est actuellement trŁs active sur
cette dimension. En e(cid:27)et, les outils et techniques dØveloppØs en communications numØriques point-(cid:224)-point
o(cid:27)rent des perspectives trŁs prometteuses pour optimiser les rØseaux dans leur entier. Historiquement, la
strati(cid:28)cation OSI a dØcouplØe les deux domaines : la science des communications numØriques dØveloppe les
technologiespourbientransmettreUNpaquet;lasciencedesrØseauxapprend(cid:224)manipulere(cid:30)cacementLES
paquets.CedØcouplageestenfaitclairementsous-optimalettend(cid:224)s’estomperdanslessystŁmesenvoiede
standardisation. La consØquence en est l’insertion de plus en plus forte des techniques de communications
numØriques dans le c(cid:247)ur des rØseaux.
Typiquement une communication point-(cid:224)-point se dØcompose selon la (cid:28)gure 2.
2 Introduction gØnØrale
.
Codage Codage Signalémisxc(t)
Source de de Modulation
Source Canal
Bits
Canal
de
propagation
Bitsdétectés
Décodage Décodage
Destinataire de de Démodulation
Source Canal Signalreçuyc(t)
.
Figure 2 (cid:21) Structure globale d’un systŁme
Ce polycopiØ o(cid:27)re un horizon assez complet des techniques de modulation et dØmodulation
de communications point-(cid:224)-point, c’est-(cid:224)-dire, les bo(cid:238)tiers rouges de la (cid:28)gure 2.
Ce polycopiØ est subdivisØ en cinq chapitres :
Danslechapitre1,vousapprendrezcommenttranslaterlessignauxdelabandedebaseauxfrØquences
•
rØellement utilisØes et les consØquences induites.
Danslechapitre2,vousdØcouvrezlesdi(cid:27)Ørentstypesdecanaldepropagationquel’onpeutrencontrer
•
notamment dans un environnement Ølectro-magnØtique sans (cid:28)l.
Dans le chapitre 3, vous apprendrez (cid:224) modØliser les signaux Ømis et re(cid:231)us pour parvenir (cid:224) un modŁle
•
matriciel (cid:224) temps discret extrŒmement simple.
Dans le chapitre 4, la thØorie de la dØtection sera introduite.
•
Danslechapitre5,lesrØcepteursadaptØs(cid:224)chacundescanauxrencontrØsserontdØveloppØsetjusti(cid:28)Øs
•
(cid:224) l’aide de la thØorie de la dØtection.
La conclusion gØnØrale du polycopiØ donne quelques perspectives ouvrant sur les cours de troisiŁme annØe.
Deux annexes techniques A et B sont jointes au polycopiØ.
Tout chapitre se termine par une section, dite (cid:19) Bilan (cid:20), dans laquelle nous synthØtisons dans deux
bo(cid:238)tes les concepts de base (cid:224) retenir et les savoir-faire (cid:224) acquØrir (qui sont en lien avec les TDs). Une
listed’exercices(dontlacorrectionestuntirØ-(cid:224)-part)complŁtelecourschapitreparchapitreetvouspermet
de vous exercer rØguliŁrement.
Dans ce cours, on suppose que le cours de premiŁre annØe de l’Øcole (dont le polycopiØ est disponible
sur le site pØdagogique de SoCom203) est acquis. D’un point de vue mathØmatique, on suppose que vous
maitrisez les outils suivants :
AlgŁbre linØaire et quadratique (matrice, produit scalaire, dØcomposition en ØlØments propres, notion
•
d’orthogonalitØ, projecteur, espace prØ-hilbertien, etc),
Analyse de Fourier (sØrie de Fourier, transformØe de Fourier, FFT, etc)
•
TraitementnumØriquedusignal((cid:28)ltrage,produitdeconvolution,impulsiondeDirac,Øchantillonnage,
•
densitØ spectrale de puissance, etc),
ProbabilitØ (densitØ de probabilitØ -pdf-, fonction de rØpartition -cdf-, loi, conditionnement, rŁgle de
•
Bayes , etc)
Processus stochastique (variable indØpendante, matrice de corrØlation, vecteur gaussien, processus
•
i.i.d., etc).
Chapitre 1
ReprØsentation des signaux (cid:224) bande
Øtroite
1.1 Introduction
On considŁre le signal x (t) mono-dimensionnel transportant l’information numØrique comme mentionnØ
c
sur la (cid:28)gure 2. Typiquement ce signal correspond (cid:224) l’onde Ølectro-magnØtique sortant de l’antenne d’un
tØlØphone, d’un satellite ou bien d’un modem ADSL ou bien encore d’un Ømetteur optique. Comme tout
signal physique, x (t) est (cid:224) valeurs rØelles. De plus, on peut remarquer que la trŁs grande majoritØ des
c
signaux de communication x (t) possŁde une structure spectrale bien particuliŁre comme dessinØe sur la
c
(cid:28)gure 1.1 avec
B correspondant (cid:224) la longueur du support positif du spectre,
•
f la frØquence centrale ou frØquence porteuse (en anglais, carrier frequency). Elle correspond au
0
•
milieu du support positif si ce support est (cid:28)ni. On justi(cid:28)e ainsi l’indice (cid:19) c (cid:20) pour carrier de x (t).
c
.
f
f 0 f
0 0
−
B
.
Figure 1.1 (cid:21) Structure de la bande d’un signal Ømis x (t)
c
Sur la (cid:28)gure 1.1, on remarque deux caractØristiques qui vont s’avØrer fondamentales.
le support est bornØ et donc B est (cid:28)nie. Ceci veut dire que le spectre est (cid:224) bande limitØe.
•
la frØquence nulle ne fait pas partie du support positif. Ceci implique que f >B/2.
0
•
UnsignalpossØdantcesdeuxpropriØtØsspectraless’appelleunsignal (cid:224) bande Øtroite(en anglais, narrow
bandsignal)etceciquelquesoitlavaleurabsoluedef etB.AinsiunsignaldeplusieursTera-Hertzdebande
0
comme dans un systŁme optique est un signal (cid:224) bande Øtroite car il vØri(cid:28)e les deux propriØtØs prØcØdentes.
A titre d’exemple, nous notons dans le tableau 1.1 quelques valeurs de f et B pour des systŁmes de
0
communication standard. On remarque que, hormis dans le cas de l’ADSL, nous avons de plus f B.
0
(cid:29)
Le choix des valeurs de f et B dØpend des conditions de propagation (cid:224) ces frØquences et donc des dis-
0
tances atteignables, des tailles d’antennes, de la qualitØ de service requise et notamment du dØbit visØ. A
titred’exemple,lesconditionsdepropagationsontmeilleures(cid:224)bassesfrØquencescequiestsouhaitablepour
obtenir de grandes cellules et donc un coßt d’installation faible pour les opØrateurs. Mais ceci implique que
les antennes seront grandes et donc parfois incompatibles avec de la mobilitØ et que les dØbits seront assez
faibles car B devra baisser en consØquence. Un compromis raisonnable a ØtØ trouvØ par les valeurs donnØes
pourla2Getla4G(LTE).LesliaisonsintercontinentalesutilisentlefaitquelesfrØquencesHFrebondissent
sur la couche ionosphØrique et donc peuvent dØpasser l’horizon mais ceci conduit (cid:224) des bandes trŁs faibles et
donc des applications (cid:224) faible dØbit. De plus, les antennes sont gigantesques comme celles des Alluets prŁs
4 ReprØsentation des signaux (cid:224) bande Øtroite
SystŁme f B
0
ADSL 600kHz 1MHz
Liaison intercontinentale 10MHz (HF) 100kHz
∼
TNT/DVBT 600MHz (UHF) 8MHz
2G 900MHz 35MHz
LTE 0.7-2.6GHz 20MHz
Wi(cid:28) 5.4GHz 20MHz
Satellite (DVB-S2) 12-18GHz (bande Ku) 38MHz
Personal Area Network (Wireless USB 3.0) 60GHz 2GHz
Table 1.1 (cid:21) Quelques valeurs pratiques de f et B
0
de Paris. Et ainsi de suite pour les autres systŁmes.
Nous verrons dans le chapitre 3 que le dØbit de l’information numØrique, notØ D et exprimØ en bits/s,
b
est trŁs gØnØralement (quelques contre-exemples existent comme les systŁmes (cid:224) base de CDMA ou plus
encore les systŁmes UWB qui dØrogent (cid:224) la rŁgle pour des raisons bien prØcises que nous ne dØtaillerons
pas ici) fortement liØ (cid:224) B. Avant d’aller plus loin, faisons deux remarques : premiŁrement, on remarquera
que mathØmatiquement le signal x (t) a un support (en prenant la partie nØgative aussi du spectre) de
c
longueur (2f +B); deuxiŁmement, on remarquera que manipulant de l’information numØrique, il apparait
0
raisonnable de vouloir manipuler des versions numØrisØes et donc ØchantillonnØes du signal x (t). En e(cid:27)et,
c
gr(cid:226)ce(cid:224)l’ØlectroniquenumØrique(FPGAouASIC),destraitementspuissantsserontbeaucoupplusfacilement
rØalisables et en plus bien adaptØs (cid:224) la nature numØrique de l’information. Par consØquent a(cid:28)n de vØri(cid:28)er le
thØorŁme d’Øchantillonnage de Shannon-Nyquist, et donc de ne perdre aucune information entre le passage
de l’analogique au numØrique et vice-versa, il serait bien plus adaptØ d’avoir un signal, notØ x(t), de support
B et non (2f +B) comme x (t) sur lequel travailler.
0 c
C’est pourquoi,
C(cid:244)tØ Ømetteur (TX), un signal, dit en bande de base (car autour de la frØquence ’0’) et notØ x(t), est
•
translatØ (cid:224) une frØquence porteuse/carrier frequency f pour obtenir le signal rØellement Ømis x (t).
0 c
C(cid:244)tØ rØcepteur (RX), le signal re(cid:231)u sur porteuse x (t) est ramenØ en bande de base a(cid:28)n d’Œtre Øchan-
c
•
tillonnØ. On obtient ainsi de nouveau x(t).
L’objectif de ce chapitre est de dØcrire les techniques de passage de la bande de base (cid:224) la
porteuse et vice-versa ainsi que les consØquences de ces opØrations sur les signaux tant dØter-
ministes qu’alØatoires.
A(cid:28)n d’atteindre cet objectif, les deux dØ(cid:28)nitions suivantes sont fondamentales et seront utilisØes tout au
long de ce cours.
DØ(cid:28)nition 1.1 (Signal (cid:224) bande Øtroite) Un signal (cid:224) valeurs rØelles dØterministe (resp. alØatoire) est dit
(cid:224) bande Øtroite si et seulement si sa transformØe de Fourier (resp. sa densitØ spectrale de puissance) a pour
support [ f , f ] [f ,f ] avec f >f >0. On notera que
2 1 1 2 2 1
− − ∪
f =(f +f )/2 est dite frØquence centrale ou frØquence porteuse.
0 1 2
•
B =f f avec f >B/2 (qui est Øquivalent (cid:224) la contrainte f >f >0).
2 1 0 2 1
• −
le spectre du signal admet une symetrie hermitienne et donc la partie nØgative du spectre n’apporte
•
aucune information.
DØ(cid:28)nition 1.2 (Largeur de bande) Soit x(t) un signal dØterministe (resp. alØatoire) (cid:224) valeurs rØelles
ou complexes. La largeur de bande correspond au support de son spectre, c’est-(cid:224)-dire, au support de sa
transformØe de Fourier (resp. sa densitØ spectrale de puissance).
Pour prØsenter ces techniques de passage entre x(t) et x (t), il y a deux approches Øquivalentes : l’ap-
c
proche intuitive ou l’approche thØorique. Le cours prØsentera l’approche intuitive. L’approche thØorique est
reportØe en Annexe B et est utile pour les preuves de la section 1.5 qui sont elles-mŒmes repoussØes en
Annexe B.
Le plan du chapitre est le suivant
Modulateur I/Q 5
en Section 1.2, nous dØcrivons la maniŁre de construire x (t) (cid:224) partir de x(t).
c
•
en Section 1.3, nous dØcrivons la maniŁre de retrouver x(t) (cid:224) partir de x (t).
c
•
en Section 1.4, nous procØdons (cid:224) un bilan ØnergØtique entre les di(cid:27)Ørents signaux x(t) et x (t).
c
•
enSection1.5,nousexaminonslespropriØtØsdex(t)etdex (t)lorsqueceux-cisontconsidØrØscomme
c
•
des processus alØatoires.
Ce chapitre se termine par une conclusion en Section 1.6 et quelques exercices en Section 1.7.
1.2 Modulateur I/Q
Soitx (t)unsignal(cid:224)valeursrØellesdelargeurdebandeB autourdelafrØquence0.OnnoteraparX (f)
p p
sa transformØe de Fourier. La (cid:28)gure 1.2 donne un exemple.
.
f
0
B
.
Figure 1.2 (cid:21) Exemple de spectre pour x (t)
p
Pour amener ce signal autour de la frØquence f (avec f > B/2), il su(cid:30)t de le multiplier par un signal
0 0
sinuso(cid:239)dal de frØquence f . C’est pourquoi, nous avons alors
0
x (t)=x (t)cos(2πf t).
c p 0
Le spectre de x (t) est alors dessinØ sur la (cid:28)gure 1.3.
c
.
f
f 0 f
0 0
−
B
.
Figure 1.3 (cid:21) Spectre pour x (t) associØ (cid:224) celui de la (cid:28)gure 1.2
c
D’autres moyens existent pour amener un signal (cid:224) la frØquence f , notamment le multiplier par un sinus
0
et non un cosinus. Par consØquent, un autre signal (cid:224) valeurs rØelles de largeur de bande B autour de la
frØquence 0 notØ x (t), pourra Œtre conduit (cid:224) la frØqunece f simultanØment avec x (t). C’est pourquoi,
q 0 p
(cid:28)nalement le signal sur la frØquence porteuse x (t) peut s’Øcrire
c
x (t)=x (t)cos(2πf t) x (t)sin(2πf t). (1.1)
c p 0 q 0
−
Le signe sera justi(cid:28)Ø ultØrieurement. Par contre,
−
l’indice dØsignelacomposanteenPhasedusignalx (t).Enanglais,ondirathe In-phase component
p c
•
et donc x (t) sera souvent notØ dans les livres anglophones par x (t).
p I
l’indice dØsignelacomposanteenQuadraturedusignalx (t).LetermeQuadratureprovientdufait
q c
•
que le sinus est dØphasØ d’un angle π/2 par rapport au cosinus.
Ainsi, le signal sur porteuse x (t) peut Œtre associØ (cid:224) deux signaux (cid:224) valeurs rØelles en bande
c
de base. Le schØma rØsumant cette situation est donnØ sur la (cid:28)gure 1.4.
6 ReprØsentation des signaux (cid:224) bande Øtroite
.
x (t)
p x
x (t)
f + c
0
π/2
x
x (t)
q .
Figure 1.4 (cid:21) Modulateur I/Q
Evidemment, la structure du signal x (t) dØcrite par l’Øquation (1.1) n’a de sens que si nous sommes
c
capables de retrouver chaque composante (par ex. x (t)) (cid:224) la donnØe de x (t) sans Œtre perturbØ par l’autre
p c
composante (par ex. x (t)).
q
1.3 DØmodulateur I/Q
Nous allons maintenant construire le bo(cid:238)tier qui permet de retrouver x (t) et x (t) (cid:224) la donnØe de x (t).
p q c
Travaillons d’abord pour retrouver x (t). Pour cela, occupons-nous du signal
p
x (t)cos(2πf t)=x (t)cos2(2πf t) x (t)sin(2πf t)cos(2πf t).
c 0 p 0 q 0 0
−
Gr(cid:226)ce aux formules trigonomØtriques, nous avons
x (t)=x(1)(t)+x(2)(t)+x(3)(t)
c
avec
1
x(1)(t) = x (t)
p
2
1
x(2)(t) = x (t)cos(2π(2f )t) (1.2)
p 0
2
1
x(3)(t) = x (t)sin(2π(2f )t). (1.3)
q 0
−2
Lesignalx(1)(t)apoursupportfrØquentiel[ B/2,B/2]alorsquelessignauxx(2)(t)etx(3)(t)ontpoursup-
−
port frØquentiel [ 2f B/2, 2f +B/2] [2f B/2,2f +B/2]. Ainsi x(1)(t) est de support frØquentiel
0 0 0 0
− − − ∪ −
disjoint de x(2)(t) et x(3)(t) si B/2<2f B/2, c’est-(cid:224)-dire, si f >B/2.
0 0
−
L’hypothŁsef >B/2propreauxsignaux(cid:224)bandeØtroiteetquin’avaitpasencoreØtØutilisØe
0
est bien fondamentale pour Œtre en mesure de retrouver sans perturbation chaque composante
du signal x (t). En e(cid:27)et comme x(1)(t) est de support frØquentiel disjoint de x(2)(t) et x(3)(t), il su(cid:30)t de
c
mettre un (cid:28)ltre passe-bas qui sØlectionne la bande de x(1)(t) pour exhiber x (t). Il en est de mŒme pour
p
x (t) si on travaille sur x (t)sin(2πf t) (cid:224) la place de x (t)cos(2πf t).
q c 0 c 0
Le schØma rØsumant cette situation est donnØ sur la (cid:28)gure 1.5.
Nous pouvons remarquer que le signal x (t) est complŁtement dØcrit par les signaux x (t), x (t) et f .
c p q 0
En clair conna(cid:238)tre x (t), x (t) et f est Øquivalent (cid:224) conna(cid:238)tre x (t) et vice versa.
p q 0 c
Gr(cid:226)ce (cid:224) l’Øquation (1.1), nous avons
x (t)= x(t)e2iπf0t (1.4)
c
(cid:60){ }
avec
x(t) = x (t)+ix (t), (1.5)
p q
x (t) = x(t) ,
p
(cid:60){ }
x (t) = x(t) ,
q
(cid:61){ }