SOCI1241-1 Eléments du calcul des probabilités appliquées aux sciences sociales et exercices ...

53 Pages·2016·1.1 MB·French

SOCI1241-1 El´ements du calcul des probabilit´es appliqu´ees
aux sciences sociales et exercices pratiques
(en ce compris les bases de statistiques inf´erentielles)
Transparents
Philippe Lambert
http : //www.statsoc.ulg.ac.be/proba.html
Facult´e des Sciences Sociales
Universit´e de Li`ege
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P. Lambert (cid:13)c - Facult´e des sciences sociales
R´eferences
Pratiquement n’importe quel livre introductif `a la statistique peut convenir.
Quelques r´eferences que vous pourriez trouver utiles:
• Agresti, A. and Finlay, B. (2013, 4th edition) Statistical Methods for the Social
Sciences. Prentice Hall. ISBN 978-1292021669. Prix: ± 75 euros.
• Howell, D.C (2008) M´ethodes Statistiques en Sciences Humaines. De Boeck.
ISBN 978-2804156855. Prix: ± 55 euros.
P. Lambert (cid:13)c - Facult´e des sciences sociales Probabilit´es - 1
Objectifs du cours
• Proposer une introduction `a la th´eorie des probabilit´es (chap. 1) en se concentrant
sur les ´el´ements strictement utiles `a une bonne compr´ehension des outils de base en
statistique appliqu´ee.
• Proposer une introduction `a l’inf´erence statistique:
-1- El´ements de base de la th´eorie de l’estimation:
(cid:46) estimation et comparaison de proportions (chap. 2 et 4);
(cid:46) estimation et comparaison de moyennes (chap. 3);
-2- Association entre variables cat´egorielles (chap. 4):
(cid:46) visualisation;
(cid:46) quantification;
(cid:46) test d’ind´ependance.
• Assurer, via les travaux pratiques, que ces concepts sont bien int´egr´es et peuvent
ˆetre mis en oeuvre pratiquement.
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Ch 1: Introduction `a la th´eorie des probabilit´es
Population et ´echantillon: l’inf´erence statistique
• Jusqu’ici, nous nous sommes content´es de r´esumer graphiquement et num´eriquement
l’information disponible dans un ´echantillon de donn´ees.
• En sciences humaines, il est fr´equent que ces donn´ees soient relatives `a des variables
mesur´ees sur les individus d’un sous-groupe de la population.
• Diff´erentes techniques permettent d’assurer, au travers de la proc´edure de s´election,
une certaine repr´esentativit´e des individus retenus (cfr. th´eorie des sondages).
• L’inf´erence statistique a pour objectif l’estimation de caract´eristiques de la
population ´etudi´ee au travers de mesures r´ealis´ees sur l’´echantillon.
Ex Dans un pays sans registre national: estimation du nombre moyen d’enfants par
femme au d´epart d’une enquˆete r´ealis´ee aupr`es d’un ´echantillon al´eatoire de femmes
de cette population.
P. Lambert (cid:13)c - Facult´e des sciences sociales Probabilit´es - 3
• Cette inf´erence permet ´egalement d’´evaluer la pertinence d’hypoth`eses:
Ex En Belgique, le nombre moyen d’enfants par femme est-il le mˆeme quel que soit
le niveau de formation de la m`ere? De nouveau, une enquˆete aupr`es d’un nombre
restreint (mais repr´esentatif) de femmes devrait permettre de r´epondre `a la question.
Ex Suivre des cours pr´eparatoires augmente les chances de r´eussite en 1`ere ann´ee de
bac?
• Les probabilit´es permettent de quantifier l’information pr´esente dans un ´echantillon
`a propos de certains aspects de la population ´etudi´ee.
Cet outil est donc fondamental pour faire de l’inf´erence statistique.
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Probabilit´es
D´efinition fr´equentiste
• On peut voir la probabilit´e d’un ´ev´enement comme ´etant la proportion de fois que
cet ´ev´enement se produit apr`es r´ep´etition un grand nombre de fois de l’”exp´erience”.
Ex Probabilit´e qu’une femme r´esidant en Belgique choisie au hasard (via le Registre
national) soit m`ere de 2 enfants: c’est, parmi les N r´esidentes ´eligibles (=population),
la proportion x/N ou` x est le nombre de telles femmes ´egalement m`eres de 2 enfants.
Ex Probabilit´e de faire ’pile’ lors du 0
1.
lanc´e d’une pi`ece de monnaie ´equilibr´ee.
• Le nombre de lanc´es N n’´etant pas pile' 0.8
e '
d
fix´e `a une valeur finie, il s’agit alors de e 6
v 0.
ati
la valeur limite prise par la proportion de el
e r 4
’piles’ (c`ad la fr´equence relative de ’pile’) enc 0.
u
q
é
lorsque N → ∞. Fr 0.2
• La fr´equence relative de ’pile’ tend `a
0
0.
se stabiliser autour de 0.50.
0 500 1000 1500 2000
Nombre de lancés
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Limites de la d´efinition fr´equentiste
Ex Probabilit´e de r´eussite cette ann´ee en 1er bac `a l’ULg:
La population est clairement d´efinie: c’est l’ensemble des N ´etudiants de 1er bac
inscrits `a l’ULg cette ann´ee acad´emique. La probabilit´e recherch´ee est x/N ou` x est
le nombre d’´etudiants qui r´eussiront. Cependant, x n’est pas encore connu...
Ex Probabilit´e de r´eussite de John inscrit cette ann´ee acad´emique en 1er bac `a l’ULg:
(cid:46) La population se r´eduit ici `a John qui r´eussira ou ne r´eussira pas son ann´ee.
(cid:46) On pourrait ´eventuellement le voir comme faisant partie d’un sous-groupe de N
´etudiants pr´esentant les mˆemes chances de r´eussites: x/N serait alors la probabilit´e
recherch´ee...ou` x est le nombre (encore inconnu) d’´etudiants, parmi ceux-l`a, qui
r´eussiront.
Ex Probabilit´e que ”l’Homme marche sur Mars d’ici 2030”:
la d´efinition fr´equentiste est clairement inapplicable ici.
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D´efinition ”subjective”
• Alternativement, on peut d´efinir la probabilit´e comme ´etant une mesure de convic-
tion, `a partir de l’information `a sa disposition (information a priori), d’un individu donn´e
par rapport `a une affirmation. C’est, `a ses yeux, la plausibilit´e de cette affirmation.
Cette mesure est donc potentiellement sp´ecifique `a la personne concern´ee.
• Plusieurs qualificatifs sont associ´es `a cette ”d´efinition”: certains parlent de prob-
abilit´es logiques, d’autres de probabilit´es subjectives (H. Jeffreys, R.T. Cox, E.T.
Jaynes).
• Il est cependant remarquable qu’il y ait un consensus quant aux lois r´egissant la
manipulation de ces plausibilit´es (´egalement appel´ees probabilit´es ci-dessous).
• Dans la pr´esentation faite traditionnellement par les fr´equentistes, elles sont d’origine
axiomatique (axiomatique de Kolmogorov).
• Dans l’approche subjective, on peut voir ces lois comme ´etant la cons´equence de
quelques r`egles du bon sens commun (E.T. Jaynes, Probability Theory: The Logic of
Science, Cambridge University Press, 2006).
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Notations
• Soit C, la proposition reprenant l’ensemble de l’information disponible (a priori).
Ex Lors du lanc´e d’un d´e, il pourrait s’agir des propri´et´es du d´e, de la mani`ere dont
le d´e est lanc´e, du traitement sp´ecifique qui est fait d’un d´e cass´e, etc.
Ex Lanc´e d’une pi`ece de monnaie: les propri´et´es de la pi`ece (ex: ´equilibr´ee) et du
lanc´e.
• P(A|C): la probabilit´e que A soit vraie si C est vraie.
¯
• P(A|C): la probabilit´e que A soit fausse si C est vraie.
• P(A + B|C): la probabilit´e que A ou B soient vraies si C est vraie.
• P(AB|C): la probabilit´e que A et B soient vraies si C est vraie.
• P(A|BC): la probabilit´e que A soit vraie si B et C le sont.
Autrement dit, pour une information contextuelle donn´ee C, c’est la probabilit´e que
la proposition A soit vraie sachant que B est vraie.
Ex C = “Je lance (sans tricher) un d´e standard `a 6 faces” ; B = “J’obtiens un r´esultat
pair” ; A = “Le r´esultat est 3”.
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