So einfach ist Mathematik - Zwölf Herausforderungen im ersten Semester

237 Pages·2017·4.47 MB·German

by  Dirk Langemann

So einfach ist Mathematik – Zwölf
Herausforderungen im ersten Semester
Dirk Langemann Vanessa Sommer
•
So einfach ist Mathematik –
Zwölf Herausforderungen
im ersten Semester
DirkLangemann VanessaSommer
InstitutComputationalMathematics InstitutComputationalMathematics
TUBraunschweig TUBraunschweig
Braunschweig Braunschweig
Deutschland Deutschland
ISBN978-3-662-54719-9 ISBN978-3-662-54720-5(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-54720-5
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Vorwort
Schön,dassSiedasind.Willkommen.
SiehalteneinBuchfürdenStudienstartindenHänden.EsrichtetsichanStudie-
rende aller Fachrichtungen, die in den ersten Semestern Mathematikvorlesungen
hören. Manchmal wird die Mathematik als eine theoretische und weltabgewandte
Disziplinbetrachtet,diegeradeamStudienbeginneineHürdeoderzumindesteine
Herausforderung ist. Aber Mathematik ist die Sprache, in der naturwissenschaft-
liche und immer stärker auch lebenswissenschaftliche Zusammenhänge formuliert
werden.SieisteinnatürlichesWerkzeuginderErkenntnisgewinnungund–einmal
entschlüsselt–einfach.
DasBuchwirdIhnenmathematischeZusammenhänge,dieinIhrenVorlesungen
behandelt werden, näherbringen, indem es die Gedankengänge ausführlich entwi-
ckeltundhäufigeFragenanspricht. Wirwerdendiskutieren, wiesichdieteilweise
spröden mathematischen Schreibweisen in anschauliche Vorstellungen übersetzen
lassen, warum die Definitionen der Begriffe gerade auf die Weise formuliert sind,
wie sie Ihnen präsentiert werden, und wie man sich selbst einen Zugang zu den
unterschiedlichenmathematischenThemenerarbeitenkann.
DazuhabenwirThemenundBegriffeausderAnalysisundderlinearenAlge-
braausgewählt,dienachunserenErfahrungenvonStudierendendererstenSemester
als schwierig empfunden werden, beispielsweise die Grenzwertdefinition und den
Begriff der linearen Abbildung. Zu den schwierigen Begriffen gehören der Kern
linearerAbbildungen,dieStetigkeitineinemPunktundschließlichEigenwerteund
Eigenvektoren.DieseundeinigeweitereBegriffemitdenzugehörigenÜberlegun-
gen sind für Studienanfängerinnen und Studienanfänger1 Herausforderungen, die
leicht zu Stolperfallen werden können. Das Buch soll Sie vor diesen Stolperfallen
bewahren,indemesdieausgewähltenBegriffevonmehrerenSeitenbeleuchtet,sie
veranschaulichtundsieIhnensozugänglichmacht.
DasBuchistausunserenindenLehrveranstaltungenzurIngenieurmathematik
an der Technischen Universität Braunschweig gesammelten Erfahrungen und aus
1OftnennenwirdiebeidengrammatikalischenGeschlechter.WodiesdenLeseflusszusehrstört,
meinenwirmitderweiblichengrammatikalischenFormimmerauchJungs,mitdermännlichen
Formebensoimmerdieweiblicheundbeziehengedanklichauchallesozialenundbiologischen
sowiealleandereneigenenundfremdenEinordnungenein.
V
VI Vorwort
vielen Gesprächen mit Studierenden entstanden. Oft sind die ersten Schritte auf
dem Weg zum Verstehen eines Begriffs steinig. Viele Studierende quälen sich
mit den Fragen: Was soll das? Wozu ist das gut? Und warum gerade so? Wir
wollen versuchen, Antworten auf diese Fragen zu geben, und das werden wir
tun, indem wir mit Anschauungen, Interpretationen und Bildern Stück für Stück
ein belastbares Grundverständnis der mathematischen Themen und Überlegungen
aufbauen.
Wir haben die Erfahrung gemacht, dass das Grundverständnis die Basis ist,
vonderausSiedenweiterführendenInhaltenderVorlesungenzurMathematikund
zu anderen Fächern folgen können und von der aus die Lösungswege zu Übungs-
undKlausuraufgabenverständlichwerden.NacheinigerBeschäftigungerscheinen
IhnendieLösungswegeundBeweisealsganznatürlich.
Dieses Buch erzählt Ihnen von Mathematik und logischen Argumentationen.
DazubrauchtesSprache.ArgumentationeninderMathematikundimAlltagbedie-
nensichderSprache, undsiefunktioniereninderMathematikwieimAlltagnach
denselben Regeln. Wir nennen diese Regeln oft Logik. Manche sagen, Logik sei
abstrakt, aberLogikistdieGrundlageallunseresDenkens. WennSiedasnichtso
sehen, dann versuchen Sie einmal, unlogisch zu denken und eine Freundin oder
einen Freund von einer unlogischen Gedankenaneinanderreihung zu überzeugen.
Siewerdensehen,esklapptnicht.
Andererseits haben Sie Sachverhalte verstanden, wenn Sie sie jemandem als
etwas völlig Einleuchtendes erklären können. Das Buch, das Sie in den Händen
halten, wird Ihnen die Herausforderungen der Mathematikvorlesung des ersten
Semesters als etwas Einleuchtendes erklären. Deshalb hat es viel geschriebenen
Text und nicht ganz so viele Formelzeichen. Lassen Sie sich auf sprachliche und
damit logische Argumentationen ein, reproduzieren Sie den Gang der Überlegun-
geninIhremKopf,undentwickelnSiefürsichkurzeErklärgeschichten.Siewerden
erleben,wieeinfachMathematikist.
ZumerfolgreichenLesendiesesBuchesbrauchenSiedas,wasSieinderSchule
über Mathematik gelernt haben, wobei Sie die meisten Abschnitte auch ohne die
Inhalte aus der gymnasialen Oberstufe verstehen werden. Zur studienorientier-
ten Auffrischung dieser Inhalte empfehlen wir das Vorgängerbuch So einfach ist
Mathematik – Basiswissen für Studienanfänger aller Disziplinen aus demselben
Verlag.Dorterklärenwir,mitderKlammersetzungundderBruchrechnungbegin-
nend, den mathematischen Formalismus, die Potenzgesetze, Termumformungen
undTextaufgaben.HiernutzenwirUmformungenvonTermen,ohnedieseselbstzu
erläutern–wohlaberihrenZweck. Außerdembenutzenwireinigemathematische
Symbolewiez.B.Binomialkoeffizienten,dieSieimAnhangkurzzusammengefasst
finden.
WirempfehlenIhnen, dieBedeutungjedernochsokleinenformellenSchreib-
oder Ausdrucksweise zu hinterfragen und diese, falls sie Ihnen nicht völlig klar
ist,zuergründen.DabeihelfendieAnhängeindiesemBandunddasStichwortver-
zeichnis.GrundsätzlicheBezeichnungenundmathematischeNotationenwerdenim
Vorgängerband besprochen. Oft hilft auch ein kurzer Blick in Nachschlagewerke
oder ins Internet. Insgesamt führt das Suchen nach der Bedeutung der Begriffe
Vorwort VII
undNotationendazu,dassdasLesenlangsamvorangeht.Wirbemühenuns,Ihnen
dieArgumentationenausführlichdarzulegenundzuerklären.AberdieArbeitliegt
weiterhinaufIhrerSeite.
Durch die angestrebte Ausführlichkeit ist es unmöglich, die vollständigen
Inhalte der Analysis und der linearen Algebra aus dem ersten Semester in diesem
Buch zu versammeln. Wir erklären dafür wichtige mathematische Ansätze, Ziele
undArbeitsweisenundgebenunsalleMühe,dieBegriffeundZusammenhängeso
anschaulichdarzustellen,dassSiesiealsganznatürlicheGedankengängeverstehen
werden.
AlseineKonsequenzausderThemenauswahlundderbeabsichtigtenAusführ-
lichkeit verzichtet dieses Buch auf eine systematische Vollständigkeit, wie sie in
einigen Vorlesungen angestrebt wird. Wir verwenden die reellen Zahlen, als wür-
den wir sie kennen, und nutzen Ableitungen und Integrale an einigen Stellen als
AbkürzungunsererArgumentationen. ImAnhangfindenSieeineKurzzusammen-
fassungzumUmgangmitDifferenziationundIntegration.Wesentlichwichtigerals
dieSystematikistunshierdieAnschaulichkeitunddasVerständnis.
DeshalbistdasersteKapitelzurgefürchtetenmathematischenDefinitioneines
Grenzwerts das längste. Schon bei diesem Thema, das meist in zwei bis drei
Vorlesungen behandelt wird, tauchen viele Fragen und Nebenaspekte auf. Wir
brauchen einige kleine technische Tricks, kommen aber auch zu sehr grundsätz-
lichen mathematischen Fragestellungen. Der mathematische Formalismus und die
mathematische Sprache, die natürlich sehr exakt sind und sein müssen, werden
durch eine erzählerische Darstellung und durch ihre Übersetzung in Anschauung
viel einleuchtender. Wir zeigen im ersten Kapitel, wie Mathematik funktioniert –
unddazugehörenkleineBeweise–undwiemansichmathematischenFragenund
Begriffennähert.BereitsdiefolgendenKapitelwerdenIhnenvielleichterfallen.
ZurArbeitmitdiesemBuchempfehlenwirIhneneinenStiftundeinenZettel,
auf dem Sie die Umformungen nachvollziehen können. Wir geben uns alle Mühe,
die Umformungen so ausführlich wie möglich zu beschreiben, doch die Erfah-
rung lehrt, dass Sie sie erst verstanden haben, wenn Sie selbst die Umformungen
ausführen.DannwerdenSieihreNatürlichkeiterkennen.
Wirhabenschonangesprochen,dassdiesesBuchfürSienurlangsamlesbarist.
Obwohlwiranstreben,wirklichjedenSchrittderGedankengängezuerklären,müs-
senSiewahrscheinlichzwischendenZeilenundAbsätzenvor-undzurückschauen,
um nachzuvollziehen, woher die Argumente und Voraussetzungen stammen. Dies
ist bei mathematischen und naturwissenschaftlichen Texten völlig normal. Unter-
suchungen ergaben, dass die Augen von geübten Leserinnen und Lesern solcher
TextestärkerzwischendenZeilenhinundherspringenalsbeigeisteswissenschaft-
lichen oder belletristischen Texten. Probieren Sie eine solche Lesetechnik, und
vergessenSienichtdieBedeutungdervielenkleinenZeichen.
Das Buch hält kleine Aufgaben und Aufforderungen für Sie bereit, aber
keine Aufgaben samt Lösung und keine alten Klausuraufgaben. Das weitver-
breitete Auswendiglernen von alten Klausuraufgaben hat zwar – das muss man
zugeben–deneinoderanderenStudierendeneineimmergleicheKlausurvonStan-
dardaufgaben bestehen lassen. Aber die zeit- und nervenaufwendige Lernmethode
VIII Vorwort
desAuswendiglernenshatnochniemandendazugebracht,Mathematikzuverstehen
und für spätere Lehrveranstaltungen anwendungsbereit zu beherrschen. Niemand
lernt eine Fremdsprache, indem er die Buchstabenfolge der Nationalhymne aus-
wendiglernt.NiemandwirdvonIhnenimBerufverlangen,eineKlausuraufgabezu
lösen. Aber von Ihnen wird erwartet werden, dass Sie ein Verständnis von Ihrem
Fachgebiethaben.
DasBuchenthältauchkeineKästenmitdem,wasvermeintlichwirklichwichtig
ist.Denngäbeesetwas,daswirklichwichtigist,dannwürdenwirIhnendiesesnicht
verschweigen, sondern in einer sprachlich konzentrierten Fassung darbieten. Das
war–nurnebenbeibemerkt–dieArgumentationeinesindirektenBeweises.Wich-
tig ist nicht irgendein Formalismus oder ein Verfahren, das man in einen Kasten
schreiben kann. Entscheidend sind Argumentationen und anschauliche Vorstel-
lungen. Wir bringen Ihnen diese Argumentationen und Vorstellungen entlang von
typischenFragennahe, undwirzeigenIhnen, wieSieselbstanIhremVerständnis
weiterarbeitenkönnen.
Mathematikisteinfachundschön,dennsiebestehtauspuremDenken,undwir
allekönnengarnichtanders,alslogischzudenken.
UndjetztvielSpaßmitMathematik.
VanessaSommerundDirkLangemann
Inhaltsverzeichnis
1 FolgenundGrenzwerte:Wasverrätmirdieverzwickte
Grenzwertdefinition?.................................................................. 1
1.1 Folgen.............................................................................. 2
1.1.1 BeispielefürFolgen ................................................ 5
1.1.2 EigenschaftenvonFolgen ......................................... 10
1.2 DiegefürchteteGrenzwertdefinition........................................ 14
1.3 KleineBeweise................................................................... 24
1.4 TypischeGrenzwerte ........................................................... 29
1.5 NochmehrBegriffe............................................................. 41
1.5.1 Landau’schesOrdnungssymbol .................................. 41
1.5.2 Häufungspunkte ..................................................... 42
2 Reihen:WiekannmanunendlichvieleZahlenaddieren?................. 45
2.1 DerBegriffderReihe........................................................... 46
2.2 ProminenteReihen.............................................................. 54
2.3 Konvergenzkriterien ............................................................ 61
2.3.1 Quotientenkriterium ................................................ 63
2.3.2 Wurzelkriterium ..................................................... 66
2.3.3 Leibniz-Kriterium ................................................... 67
3 KomplexeZahlen:Wierechnetmanmitetwas,dasesnichtgibt?...... 71
3.1 Tunwirmalso,alsob.......................................................... 72
3.2 KomplexeZahlen................................................................ 73
3.2.1 KartesischeDarstellung ............................................ 76
3.2.2 Polardarstellung ...................................................... 79
3.3 WurzelnundderHauptsatzderAlgebra................................... 81
4 Funktionen:SindeineEheschließungundeinEhepaardasselbe?...... 85
4.1 FunktionoderAbbildung...................................................... 86
4.1.1 DefinitioneinerFunktion .......................................... 88
4.1.2 NochabstraktereDefinitioneinerFunktion ................... 91
4.2 EigenschaftenvonFunktionen............................................... 93
4.3 Umkehrabbildung ............................................................... 96
IX
X Inhaltsverzeichnis
5 Stetigkeit:KannmaneinenStrichnureinenPunktlangzeichnen? ... 99
5.1 WasserhahnundDuschtemperatur .......................................... 100
5.1.1 Folgenkriterium ...................................................... 102
5.1.2 ε-δ-Kriterium ......................................................... 103
5.1.3 DefinitionoderSatz ................................................. 105
5.2 PunktbegriffundstetigeFunktion........................................... 106
5.3 EigenschaftenstetigerFunktionen .......................................... 108
5.3.1 Zwischenwertsatz ................................................... 108
5.3.2 MaximumaufabgeschlossenenIntervallen ................... 111
6 VektorenundVektorräume:WissenMathematikernicht,wasein
Vektorist?................................................................................. 115
6.1 AlgebraischeStrukturen....................................................... 116
6.1.1 SkalareundKörper ................................................. 117
6.1.2 VektorräumeundVektoren ........................................ 119
6.1.3 BeispielefürVektorräume......................................... 122
6.2 LinearkombinationundlineareHülle....................................... 124
7 LineareUnabhängigkeit:KannmanmitVektorenallesmachen?...... 127
7.1 ÜbergeneralisierungalstypischerFehler.................................. 128
7.2 LineareUnabhängigkeitvonVektoren..................................... 131
7.3 AndereOperationenmitVektoren........................................... 137
8 LineareAbbildungen:IstdieReihenfolgevonHandlungen
vertauschbar?............................................................................ 141
8.1 Vertauschbareundnichtvertauschbare
mathematischeHandlungen................................................... 142
8.2 LineareAbbildungen........................................................... 145
8.2.1 LineareAbbildungeninEuklidischenRäumen .............. 147
8.2.2 WeiterelineareOperationen ...................................... 151
8.3 Undwozujetztgenau?......................................................... 152
9 KernundBild:SindSonneundSchattenmathematischeGebilde?.... 155
9.1 KernundBildeinerlinearenAbbildung................................... 155
9.2 AussagenüberlineareAbbildungen........................................ 161
9.2.1 WirkungundDarstellungeinerlinearenAbbildung ........ 161
9.2.2 InjektiveundsurjektivelineareAbbildungen ................. 163
9.3 UnterbestimmteGleichungssysteme........................................ 164
10 EigenwerteundEigenvektoren:WasisteigenamEigenwert?........... 169
10.1 EinführendeBetrachtungen................................................... 169
10.2 EigenvektorenalskonservierteRichtungen............................... 171
10.2.1 MathematischeDefinition ......................................... 172
10.2.2 EinverdrehtesBeispiel ............................................. 173
10.2.3 Projektion ............................................................. 176
10.2.4 Drehung ................................................................ 177
10.3 AusblickaufSchwingungen.................................................. 181