So einfach ist Mathematik – Partielle Differenzialgleichungen für Anwender

257 Pages·2018·4.99 MB·German

by  Dirk Langemann, Cordula Reisch

Dirk Langemann
Cordula Reisch
So einfach ist
Mathematik – Partielle
Differenzialgleichungen
für Anwender
So einfach ist Mathematik – Partielle
Differenzialgleichungen für Anwender
Dirk Langemann · Cordula Reisch
So einfach ist
Mathematik – Partielle
Differenzialgleichungen
für Anwender
Dirk Langemann Cordula Reisch
Institut Computational Mathematics Institut Computational Mathematics
TU Braunschweig TU Braunschweig
Braunschweig, Deutschland Braunschweig, Deutschland
ISBN 978-3-662-57501-7 ISBN 978-3-662-57502-4 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-57502-4
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Vorwort
Schön, dass Sie da sind. Willkommen.
Sie halten ein Buch für all diejenigen in den Händen, die sich im Studium mit
partiellen Differentialgleichungen beschäftigen wollen oder beschäftigen sollen.
Das Buch richtet sich an Studierende aller Fachrichtungen, in denen die quanti-
tative Beschreibung von zeit- und ortsabhängigen Phänomenen wie der Wärme-
leitung, der Diffusion, der elastischen Verformung, der Wellenausbreitung oder
der Strömung in Gasen und Flüssigkeiten eine Rolle spielt. Auch Verkehrsströme
und die Ausbreitung von Populationen, chemische Reaktionen beispielsweise
in Bioreaktoren, Brände oder allgemeiner Verbrennungsvorgänge und eigent-
lich alle Erscheinungen der uns umgebenden Realität lassen sich durch partielle
Differentialgleichungen beschreiben.
Studierende des Maschinenbaus beschäftigen sich mit der Verformung von
Materialien und der Wärmeleitung beim Walzen von Schienen und Stangen.
Um den Luftwiderstand von Automobilen und das Verhalten von Flugzeugen zu
untersuchen, brauchen sie Methoden der Strömungsmechanik, und diese fußt
auf partiellen Differentialgleichungen. In anderen Studienfächern tauchen eben-
falls partielle Differentialgleichungen auf. Im Bauingenieurwesen geht es um
die Festigkeit und Stabilität von Bauwerken und oft auch um Strömungen, z. B.
bei der Be- und Entlüftung, bei Sicherheitskonzepten für Tunnel oder bei Off-
shore Anlagen. Die Ökologie verwendet partielle Differentialgleichungen zur
Untersuchung der Populationsdynamik in Biotopen und zur Beschreibung
der Ausbreitung von Tier- und Pflanzenarten. Die Meteorologie benötigt par-
tielle Differentialgleichungen zur Modellierung der ausgesprochen vielfältigen
Mechanismen in der Atmosphäre.
Auch Studierende der Mathematik sollten die partiellen Differential-
gleichungen nicht nur als Gedankengebäude verstehen, das viele interessante und
spannende mathematische Fragen enthält. Vielmehr ermöglicht die Verbindung zu
den Anwendungen eine interdisziplinäre Zusammenarbeit in den Wissenschaften
und eine Nutzbarmachung mathematischen Wissens in der Industrie.
Sicher hat fast jeder von Ihnen schon einmal jemanden gesehen, auf dessen
T-Shirt der Spruch stand: Gott sprach: „Es werde Licht, und es ward …“. Unter
diesem Halbzitat aus der biblischen Schöpfungsgeschichte folgen die nach James
Clerk Maxwell (1831 in Edinburgh bis 1879 in Cambridge) benannten Maxwell'-
schen Gleichungen
V
VI Vorwort
∇·D=ρ, ∇·B=0,
∂ ∂
∇×E= − B, ∇×H=j+ D,
∂t ∂t
die zusammen mit weiteren Gleichungen alle elektromagnetischen Phänomene
und damit auch Licht beschreiben. Die Maxwell’schen Gleichungen erinnern mit
ihren Zeichen und mit ihrer Symmetrie an Ornamente. Hinter den Gleichungen
verstecken sich noch weitere Symmetrien. So sind die elektrische Flussdichte D
und die elektrische Feldstärke E durch D = εE und die magnetische Flussdichte
B und die magnetische Feldstärke H durch B = µH verknüpft. Zu allem Über-
fluss gibt es noch die Verbindung c2εµ=1 zur Lichtgeschwindigkeit c.
Tatsächlich waren die Maxwell’schen Gleichungen oder vielmehr ihr unver-
ändertes Aussehen in allen Inertialsystemen ein wesentlicher Schritt zur deut-
lich später von Albert Einstein (1879 in Ulm bis 1955 in Princeton) entwickelten
Speziellen Relativitätstheorie. Sofern wir überhaupt daran glauben, dass Glei-
chungen ein Stück der Wirklichkeit wiedergeben, weisen uns die Symmetrien
in den Gleichungen und ihre Universalität in unterschiedlichsten Theorien und
Beschreibungen auf Symmetrien und Strukturen in den Erscheinungen der Wirk-
lichkeit hin. Und man darf sich – wenigstens im Scherz – fragen, was bei der
Schöpfung des Lichts erschaffen wurde, wenn nicht die Grundlagen, nach denen
es funktioniert.
Das Buch, das Sie zu lesen beginnen, zeigt Ihnen, wie Sie die mathematischen
Zeichen und Zusammenhänge deuten und anschaulich machen, wie Sie partielle
Differentialgleichungen verwenden, um über realistische Phänomene und Vorgänge
nachzudenken, und vor allem, wie Sie einen anwendungsorientierten Zugang zur –
und lassen Sie sich bitte nicht von dem spröden Namen abschrecken – Theorie der
partiellen Differentialgleichungen finden.
Für die ersten Schritte konzentriert sich dieses Buch auf die grundlegenden
Begriffe und die wichtigsten Gleichungen. Es zeigt, aus welchen Anwendungen
die Gleichungen stammen und was wir aus ihnen über die Anwendungen ler-
nen. Das Buch vermittelt zentrale Arbeitstechniken und Konzepte. Dabei wollen
wir den mathematischen Formalismus so einfach wie möglich halten. Deshalb
beschäftigen wir uns nur dort mit innermathematischen Fragen wie Funktionen-
räumen und Glattheitsanforderungen, wo dies zwingend erforderlich ist, um
Eigenschaften der beschriebenen Anwendung oder in den Gleichungen auftretende
Schwierigkeiten zu verstehen.
Zu den innermathematischen Fragen der Theorie der partiellen Differential-
gleichungen, zu numerischen Verfahren für die Bestimmung von Lösungen, zu
weiteren Abstraktionen oder auch zu einzelnen Gleichungen und bestimmten
Anwendungsgebieten gibt es unvorstellbar viele Bücher, die Sie in den Biblio-
theken Ihrer Hochschule finden. Einige dieser Bücher setzen voraus, dass die
Leserschaft die zugehörigen Gleichungen akzeptiert hat, sie lesen und deuten kann
und vor allem, dass sie die zugehörigen Fragen kennt und für sinnvoll erachtet.
Vorwort VII
Nach unseren Erfahrungen eröffnet jedoch gerade der Einstieg in die partiel-
len Differentialgleichungen neue und ungewohnte Betrachtungsweisen und wirft
an einigen Stellen neuartige Fragen auf. Das Buch, das sie in den Händen halten,
soll Ihnen diese Betrachtungsweisen näherbringen und Sie dabei unterstützen, die
gewiss auftretenden Schwierigkeiten kraft Ihrer anschaulichen Vorstellung und
Ihres mathematischen Handwerkzeugs zu meistern.
Dabei bleiben wir dem Prinzip der beiden schon erschienenen So einfach ist
Mathematik-Bände bei dem anspruchsvollen Thema der partiellen Differential-
gleichungen treu. Wir stellen Verbindungen zu alltäglichen Beobachtungen
her und schlagen Veranschaulichungen vor, selbst dann, wenn die Veranschau-
lichungen nicht alle Aspekte einer mathematisch exakten Darstellung wieder-
geben. Wir werden dem Verständnis der Begriffe und der auftauchenden Größen
sowie den Anfängen der besprochenen Themen viel Raum geben, denn nur eine
belastbare anschauliche Vorstellung ermöglicht es Ihnen, die weiterführenden
Sachverhalte mit ihren manchmal etwas technisch aussehenden Herleitungen zu
verstehen.
Sie brauchen einige Vorkenntnisse, die typischerweise im ersten und zweiten
Semester vermittelt werden. Dazu gehören die Grundbegriffe der Differentiation
und Integration in mehreren Dimensionen sowie das Verständnis von gewöhn-
lichen Differentialgleichungen. Da Sie kurz davor stehen, sich mit partiellen
Differentialgleichungen zu beschäftigen, gehen wir davon aus, dass Sie die wich-
tigsten gewöhnlichen Differentialgleichungen lösen können und dass Sie dazu nur
einige kurze Erinnerungen brauchen. Im Anhang A werden Werkzeuge aus der
mehrdimensionalen Analysis und allen voran der Gauß'sche Integralsatz, den wir
an vielen Stellen verwenden, kurz erklärt. Dort steht auch eine kleine Auffrischung
zum Nabla-Operator. Anhang B enthält eine kurze Liste der verwendeten
Bezeichnungen. Durchgehend verwenden wir fett gedruckte Variablen wie den Ort
x und den Fluss I für vektorielle Größen. Dagegen bezeichnen dünne Zeichen wie
die Zeit t oder die unbekannte Größe u skalare Variablen.
Wir nehmen uns drei Kapitel Zeit, die Begriffe und Bezeichnungen zu erläutern
und die wichtigsten partiellen Differentialgleichungen vorzustellen. Dazu
betrachten wir die Orts- und Zeitabhängigkeit der Temperatur in einem Studenten-
zimmer mit Kachelofen und undichtem Fenster, erklären die Rolle der Randbe-
dingungen und motivieren die Wärmeleitungsgleichung. Wir diskutieren die
Energiebilanz und kommen in Kap. 3 zu Schwingungen und deren Beschreibung
durch partielle Differentialgleichungen. Bei der Untersuchung von elastischen Ver-
formungen und von Schwingungen wird uns ein gedachtes Trampolin durch das
Buch begleiten.
Die darauf folgenden Kap. 4 und 5 sammeln weitere Gleichungen und brin-
gen Ordnung in den Zoo der partiellen Differentialgleichungen. Insbesondere
erläutern wir, warum nur eine recht spezielle Auswahl aller theoretisch denkbaren
partiellen Differentialgleichungen eine umfassendere praktische Anwendung hat.
In Abschn. 5.2 reißen wir einige sehr große Fragen an. Seien Sie vorgewarnt. In
diesem Abschnitt kann die Erklärung leider nicht so einfach sein, wie wir sonst
anstreben. Wir werden uns den großen Fragen der Existenz und Eindeutigkeit von
VIII Vorwort
Lösungen partieller Differentialgleichungen nicht in aller technischer Strenge wid-
men, aber wir wollen Ihnen dennoch einen Eindruck vermitteln, warum diese Fra-
gen so kompliziert sind, wie sie sind. Haben Sie Mut.
Von Kap. 6 an beschäftigen wir uns mit Verfahren, um in einigen besonders
einfachen Fällen – und nur in solchen ist es überhaupt möglich – Lösungen von
partiellen Differentialgleichungen tatschlich auszurechnen. Dabei erfahren Sie die
besondere Rolle der Eigenschwingungen und erleben die überraschende Wirkung
von geschickten Koordinatentransformationen, die die partiellen Differential-
gleichungen in einer Form zeigen, aus der wir mehr herauslesen können als zuvor.
In Kap. 9 begegnen wir mit der Transportgleichung, die beispielsweise bei der
Beschreibung von Verkehrsströmen auftritt, einem Gleichungstyp, der einfach aus-
sieht, aber einige unerwartete Eigenschaften hat.
Schließlich beschäftigen sich die letzten vier Kapitel mit wichtigen Konzepten,
die helfen, Aussagen über das Verhalten von partiellen Differentialgleichungen
zu gewinnen, selbst wenn die Angabe einer geschlossenen Lösung oft nicht mög-
lich ist. Diese Konzepte wirken auf den ersten Blick theoretischer oder abstrak-
ter als die Rechenverfahren. Aber wir werden die mathematischen Ansätze vor
dem Hintergrund realistischer Anwendungen diskutieren und dadurch anschau-
lich und verständlich machen. So begegnen wir dem Trampolin beim Begriff der
Green-Funktion wieder, und wir versuchen, auf einem Bein und mit einem sehr,
sehr spitzen Absatz unseres Schuhs auf dem Trampolin zu stehen. Sie werden
erleben, welch spannende Zusammenhänge sich offenbaren.
An vielen Stellen werden wir Sie auffordern, kleine Überlegungen und Her-
leitungen selbst zu suchen, Skizzen zu erstellen oder Problemlösungen auf ver-
wandte Fragestellungen zu übertragen. Nehmen Sie diese Angebote an, denn
Mathematik erlernt man, indem man Mathematik selbst betreibt. Zu guter Letzt
möchten wir Sie anregen, über Mathematik zu sprechen, s. a. Tab. 1, mathemati-
sche Zusammenhänge zu formulieren und sich mit anderen darüber auszutauschen.
Sie werden erleben, wie sich Ihr Verständnis entwickelt.
Und jetzt viel Spaß mit partiellen Differentialgleichungen.
Cordula Reisch und Dirk Langemann
Tab. 1 Wenn’s denn nötig sein sollte: Namenstabelle ausgewählter griechischen Buchstaben.
Sie brauchen die Namen, um über mathematische Zusammenhänge zu sprechen
alpha α zeta ζ mü µ tau τ
beta β eta η nü ν phi ϕ, Φ
gamma γ, Γ theta ϑ, Θ xi ξ, Ξ chi χ
delta δ, ∆ kappa κ rho ϱ, ρ psi ψ, Ψ
epsilon ε lambda λ, Λ sigma σ, Σ o-mega ω, Ω
Inhaltsverzeichnis
1 Studentenbude, Badezusatz und Trampolin .................... 1
1.1 Ein Studentenzimmer .................................. 1
1.1.1 Temperaturverteilung und Gebiet ................. 2
1.1.2 Am Rand: Ofen, Fenster und Wände .............. 5
1.2 Badezusatz .......................................... 8
1.3 Das Trampolin ....................................... 11
2 Diffusion und Wärmeleitung ................................ 15
2.1 Physikalische Größen und konstitutive Gleichungen ......... 15
2.2 Kontinuitätsgleichung ................................. 21
2.3 Diffusions- und Wärmeleitungsgleichung .................. 23
2.4 Eigenschaften von Diffusion und Wärmeleitung ............. 25
2.4.1 Masseerhaltung und Energieerhaltung .............. 25
2.4.2 Stationäre Gleichung ........................... 26
3 Schwingungen ............................................ 29
3.1 Schwingende Saite .................................... 30
3.1.1 Energiebilanz der schwingenden Saite. . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.2 Externe Kraftdichte auf der Saite .................. 35
3.2 Schwingende Membran ................................ 37
3.3 Longitudinalwellen ................................... 38
3.3.1 Grundbegriffe zu elastischen Verformungen ......... 39
3.3.2 Verallgemeinerte Schwingung einer Membran ....... 43
3.3.3 Energiebilanz der mehrdimensionalen
Schwingungsgleichung ......................... 45
3.4 Harmonische Schwingungen ............................ 47
4 Weitere Gleichungen und ihre Gemeinsamkeiten ............... 53
4.1 Transportgleichung ................................... 53
4.2 Plattenbiegung ....................................... 54
4.3 Stationäre elektrische Felder ............................ 56
4.4 Navier-Stokes-Gleichungen ............................. 57
IX
X Inhaltsverzeichnis
4.5 Elastische Verformungen ............................... 59
4.5.1 Verzerrungstensor .............................. 60
4.5.2 Hooke’sches Gesetz ............................ 65
4.5.3 Randwertproblem zur linearen Elastizitätstheorie ..... 69
5 Ordnung in den partiellen Differentialgleichungen .............. 73
5.1 Klassifikation von partiellen Differentialgleichungen ......... 73
5.1.1 Grundbegriffe ................................. 73
5.1.2 Lineare partielle Differentialgleichungen
zweiter Ordnung ............................... 77
5.2 Große Fragen ........................................ 82
5.2.1 Eindeutigkeit ................................. 83
5.2.2 Existenz ..................................... 87
5.2.3 Fourier-Reihe und Fourier-Koeffizienten ............ 95
5.2.4 Zerlegung in Eigenformen und Satz von
Fischer-Riesz ................................. 100
5.2.5 Generalamnestie: Genügend glatt ................. 101
6 Produktansatz ............................................ 103
6.1 Produktansatz für die homogene Wärmeleitungsgleichung ..... 104
6.1.1 Idee des Produktansatzes ........................ 105
6.1.2 Reihenentwicklung ............................. 109
6.1.3 Inhomogene Randbedingungen ................... 113
6.2 Produktansatz für die Wellengleichung .................... 115
6.3 Produktansatz für die Laplace-Gleichung .................. 120
6.3.1 In kartesischen Koordinaten ...................... 120
6.3.2 In Polarkoordinaten ............................ 124
7 Spektralzerlegung ......................................... 137
7.1 Spektralzerlegung für die inhomogene
Wärmeleitungsgleichung ............................... 138
7.2 Spektralzerlegung für die Poisson-Gleichung ............... 141
8 Schallgeschwindigkeit in der Wellengleichung .................. 147
9 Transportgleichung und Charakteristiken ..................... 159
9.1 Verkehrsdynamik einer einspurigen Straße ................. 159
9.2 Charakteristiken der Erhaltungsgleichung .................. 164
9.3 Burgers-Gleichung .................................... 168
9.4 Verallgemeinerte Lösungen ............................. 170
9.5 Glättung und viskose Burgers-Gleichung .................. 175
9.6 Charakteristiken allgemeinerer Gleichungen ................ 175
10 Fundamentallösung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.1 Fundamentallösung elliptischer Gleichungen ............... 181
10.2 Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung ............ 189
10.3 Fundamentallösung der Wellengleichung .................. 192