Table Of ContentМалые подграфы и их расширения в
7
случайном дистанционном графе
1
0
2
А.В. Буркин, М.Е. Жуковский
n
a
J
Аннотация
4
2 Внастоящейработедоказываются утверждения,касающиесярас-
пределения малых подграфов в последовательности случайных ди-
] станционных графов. Ранее было доказано утверждение о пороговой
O
вероятности для свойства содержать фиксированный строго сбалан-
C
сированныйграф,вэтойжестатьемыполучаемболеесильныеобоб-
. щения этого результата.
h
t
a
m
1 Введение и история задачи
[
1 П. Эрдешем и А. Реньи в 1959–1960гг. была предложена модель случайно-
v го графа G(n,p), в которой каждое ребро присутствует с вероятностью p
7 независимо от остальных ребер (см. [1], [2]). Иными словами, G(n,p) есть
1
случайный элемент со значениями в множестве Ω всех неориентирован-
9 n
ных графов G = (V ,E) с множеством вершин V = 1,...,n без пе-
6 n n
{ }
0 тель и кратных ребер и распределением на n =2Ωn, заданным формулой
. P(G)=p|E|(1 p)Cn2−|E|. F
1 −
В основополагающих работах П. Эрдешем и А. Реньи был поставлен
0
7 вопрос о распределении малых подграфовв случайном графе G(n,p). Поз-
1 же этой задачей занимались Б. Боллобаш [3], А. Ручински, Э. Винс [4],
v: Дж. Спенсер [5] и др. Монографии [6]–[10] посвящены более полному об-
i зору результатов о распределении малых подграфов в случайном графе
X
Эрдеша–Реньи и описанию других его асимптотических свойств. В насто-
r
ящей работе мы получили ряд результатов об асимптотическом распреде-
a
лении малых подграфов в другой модели случайного графа, называемой
случайнымдистанционнымграфом,определение которойбудетдановсле-
дующемразделе.ЗадачамитакоготипазанималисьА.Р.Ярмухаметов(см.,
например, [11]), М.Е. Жуковский (см., например, [12], [13]), С.Н. Попова
(см. [14]).
Далее в этом разделе мы сформулируем некоторые результаты,относя-
щиеся к асимптотическим свойствам случайного графа Эрдеша–Реньи.
НастоящаяработавыполненаприфинансовойподдержкеМинистерстваобразования
и науки РФ по Программе повышения конкурентоспособности РУДН среди ведущих
мировыхнаучно-образовательныхцентровна2016–2020гг.,атакжегрантовРФФИ№15-
01-03530,РФФИ№16-31-60052.
1
Пусть = (n) — произвольное свойствографов.Пороговойвероятно-
A A
стью свойства для случайного графа G(n,p) называется такая функция
p∗ =p∗(n), чтоAlim P( )=0 при p=o(p∗), n , и lim P( ) =1
n→∞ n→∞
A →∞ A
приp=w(p∗),n (илинаоборот).Здесьf(n)=o(g(n))(f(n)=w(g(n)))
→∞
означает, что для любого C > 0 существует n > 0, такое, что для любого
0
n > n выполнено f(n) < C g(n) (C g(n) < f(n)). Для этих отноше-
0
| | | | | | | |
ний мы также будем использовать обозначения f(n) g(n) и f(n) g(n)
≪ ≫
соответственно. Функция p∗ = p∗(n) называется точной пороговой веро-
ятностью, если lim P( ) = 0 при p cp∗ для некоторого c < 1, и
n→∞
lim P( )=1 при p cpA∗ для некоторог≤о c>1 (или наоборот).
n→∞
A ≥
Для произвольного графа F будем обозначать v(F) и e(F) количество
вершин и количество ребер соответственно. Напомним, что граф F назы-
вается строго сбалансированным,если
ρ(H)<ρ(F)
длялюбогособственногонепустогоподграфаH F,гдеρ(H)=e(H)/v(H)
⊂
—плотность графаH.Графназываетсясбалансированным,еслинеравен-
ство нестрогое.
Максимальной плотностью графа F называется величина
e(H)
ρmax(F)= max .
H⊆F v(H)
v(H)6=0
П. Эрдеш и А. Реньи доказали в [2] теорему о пороговой вероятности
длясвойствасодержатьсвязныйсбалансированныйграф.Этоутверждение
былов 1981годуобобщеноБ.Боллобашемна случайпроизвольногографа
(см. [3], в 1985 году А. Ручински и Э. Винс опубликовали более простое
доказательство[4]).
Теорема 1 (Б. Боллобаш; А. Ручински, Э. Винс) ПустьF —произ-
вольныйфиксированныйграф.Тогдафункцияp∗ =n−1/ρmax(F) являетсяпо-
роговойвероятностьюсвойствасодержатькопиюF дляслучайногографа
G(n,p). Выполнен также закон больших чисел для числа копий X графа
F
F в G(n,p): при p p∗ для любого ε>0
≫
X
P F 1 <ε 1.
EX − →
(cid:18)(cid:12) F (cid:12) (cid:19)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
Б.Боллобашемв[3]былон(cid:12)айденоа(cid:12)симптотическоераспределениечисла
копий X строгосбалансированногографаF в G(n,p), еслиp — пороговая
F
вероятностьсвойства содержать граф F.
Теорема 2 (Б. Боллобаш) Пусть F — строго сбалансированный граф с
k вершинами и l ребрами и a — количество его автоморфизмов. Пусть
p cn−k/l, c > 0. Тогда распределение величины X слабо сходится к
F
∼
пуассоновскому с параметром λ=cl/a.
2
Перейдем, наконец, к описанию результата, полученного Дж. Спенсе-
ром. Речь пойдет о так называемых свойствах расширений.
Пусть H — граф с вершинами z ,...,z ,y ,...,y , где R = z ,...,z
1 d 1 k 1 d
{ }
— множество корней. Сетью называется пара (R,H). Говорят, что граф G
удовлетворяетсвойствурасширенияExt(R,H),еслидлялюбыхv ,...,v
1 d
∈
V(G) найдутся такие w ,...,w V(G), что z ,y E(H) v ,w
1 k i j i j
∈ { } ∈ ⇒ { } ∈
E(G) для любыхi 1,...,d ,j 1,...,k и y ,y E(H) w ,w
i j i j
∈{ } ∈{ } { }∈ ⇒{ }∈
E(G) для любых i,j 1,...,k .
∈{ }
Пусть l = e(H) e(H ), где H — подграф H, индуцированный на
R R
− | |
множестве R. В общем случае величины k и l будем обозначать v(R,H) и
e(R,H) соответственно. Величина ρ(R,H) = l/k называется плотностью
сети (R,H). Подсетью называется сеть (R,S) = (R,H ), где R S
S
| ⊂ ⊆
V(H). В собственной подсети S = V(H). Сеть (R,H) называется стро-
6
го сбалансированной,еслиρ(R,S)<ρ(R,H)для всехсобственныхподсетей
(R,S).Онаназываетсясбалансированной,еслинеравенстванестрогие.Сеть
(R,H) называют нетривиальной, если каждая корневая вершина z соеди-
нена ребром в H с хотя бы одной вершиной y V(H) R.
∈ \
Дж. Спенсером в [5] была доказана следующая теорема.
Теорема 3 (Дж. Спенсер) Пусть (R,H) — нетривиальная строго сба-
лансированная сеть. Тогда существуют такие числа 0<ε<K, что
если p εn−k/l(lnn)1/l, то lim P(Ext(R,H))=0;
≤ n→∞
если p Kn−k/l(lnn)1/l, то lim P(Ext(R,H))=1.
≥ n→∞
Пусть c есть число автоморфизмов графа H, оставляющих корни на
1
своих местах. Пусть, кроме того, c обозначает количество биективных
2
отображений R на себя, которые можно продолжить до некоторого ав-
томорфизма H. Если λ=const>0 и для p=p(n) выполнено
nkpl/c =ln nd/(c λ) ,
1 2
то (cid:0) (cid:1)
lim P(Ext(R,H))=e−λ.
n→∞
В [5] доказано также обобщение первой части данной теоремы (суще-
ствование пороговойвероятности) на случай произвольной сети (R,H).
В следующем разделе мы определим случайный дистанционный граф и
приведем формулировки доказанных нами теорем для этой модели, анало-
гичных теоремам 1–3.
2 Описание модели и новые результаты
В настоящей работе рассматривается (симметричный) полный дистанци-
онный граф
G=G(n,n/2,n/4)=(V,E), (n 0 mod 4),
≡
3
в котором
V = x=(x ,...,x ): x 0,1 , x +...+x =n/2 ,
1 n i 1 n
{ ∈{ } }
E = x,y : x,y =n/4 ,
{{ } h i }
где x,y обозначает евклидово скалярное произведение.
h i
Этотграфназываетсядистанционным,посколькуегоребрасоответству-
ютпарамвершин,находящихсянаопределенномрасстояниидруготдруга.
Рассмотрение дистанционных графов мотивировано классической задачей
комбинаторной геометрии о хроматическом числе пространства (см. [15]
и [16]). Впервые дистанционный граф G(n,r,s) (в нашем случае r = n/2,
s = n/4) рассмотрели в 1981 году П. Франкл и Р.М. Уилсон. С помощью
этого графа они показали, что хроматическое число пространства Rn рас-
тетэкспоненциально(см. [17]).В 1991годуДж.КаниГ.Калаиприменили
результаты Франкла и Уилсона для опровержения классической гипоте-
зы Борсука (см. [15] и [18]). Таким образом, изучение внутренней структу-
ры дистанционного графа и его подграфов играет исключительно важную
роль. Сейчас с исследованием дистанционных графов связаны одни из са-
мых широко изучаемых разделов комбинаторной геометрии (см. [15], [16],
[19]).
Количество вершин этого графа будем обозначатьN =N(n), а его сте-
пень (граф, очевидно, является регулярным) — N = N (n). Заметим, что
1 1
в силу формулы Стирлинга
2 2n 2 4 2n
N =Cn/2 , N = Cn/4 .
n ∼ π · √n 1 n/2 ∼ π · n
r
(cid:16) (cid:17)
Нас интересует случайный дистанционный граф G = G (n,n/2,n/4)
p p
— случайный подграфG, в которомкаждоеребро полногодистанционного
графасодержитсясвероятностьюp=p(n)независимоотдругихребер т.е.
G — случайный элемент со значениями в множестве Ωdist всех остовных
p n (cid:0)
нпыодмгрфафоромвуGло′й=P((VG,′E)′=) гpр|аEф′|(а1G иp)р|Eа|с−п|рEе′|де.лСенлиуечмайннаыFеndпisоtд=гра2фΩdnыist,шзиардоакно-
−
применяются в вероятностном методе (см., например, [10]). Асимптотиче-
(cid:1)
ские свойства случайного дистанционного графа изучались, например, в
работах [11]–[14], [20]. В [12] была доказана следующая теорема, являю-
щаяся аналогом теоремы П. Эрдеша и А. Реньи о пороговой вероятности
для свойства содержать копию строго сбалансированного графа (которая,
в свою очередь, является частным случаем теоремы 1).
Теорема 4 (М.Е. Жуковский) Пусть F — строго сбалансированный
граф с k вершинами и l ребрами. Тогда функция
p∗ =N−k/l√lnN
является пороговой вероятностью свойства содержать копию графа F
для случайного графа G .
p
4
2.1 Новые результаты
Внастоящейстатьемыобобщаемтеорему4наслучайпроизвольногографа.
ЗдесьмыиспользуемобозначениеX длячислакопийграфаF вслучайном
F
графе G . Заметим, что пороговые вероятности в случае произвольного
p
случайного подграфа определяются так же, как и в случае G(n,p).
Теорема 5 ПустьF —произвольныйфиксированныйграф.Тогдафункция
p∗ =N−1/ρmax(F)√lnN
являетсяпороговой вероятностью свойства содержать копию F для слу-
чайного графа G . При p p∗ для любого ε>0
p
≫
X
P F 1 <ε 1.
EX − →
(cid:18)(cid:12) F (cid:12) (cid:19)
(cid:12) (cid:12)
Теорема будет доказана в(cid:12)разделе 4(cid:12).
(cid:12) (cid:12)
Заметим, что в силу теоремы 5 пороговая вероятность p∗ имеет асимп-
тотику
N
p∗ N−1/ρmax(F)
≍ N
1
(для двух стремящихся к бесконечности последовательностей f(n) и g(n)
мы пишем f(n) g(n), если существуют такие числа 0 < c < C, что для
любогоn Nвы≍полненоcg(n) f(n) C g(n))и,темсамым,совпадает
∈ | |≤| |≤ | |
спороговойвероятностьюизтеоремы1(вполномграфеK степеньлюбой
n
вершины равна n 1).
−
Мы также доказали теорему, аналогичную теореме 2.
Теорема 6 Пусть F — строго сбалансированный граф с k вершинами и l
ребрами и a есть число автоморфизмов F. Пусть
N
p cN−k/l ,
∼ N
1
гдеc=const>0.Тогда распределениеX слабосходитсякпуассоновскому
F
с параметром λ=cl/a.
Она будет доказана в разделе 5.
Обратимся,наконец,ксвойствамрасширений.Такиесвойстваявляются
монотонными(см.,например,[7])ипоэтомудлянихсуществуютпороговые
вероятности(см.[7]).Темне менее,для многих сетей(R,H)идля любыхp
свойстваExt(R,H)с вероятностями,стремящимися к 1,не выполнены для
некоторыхподпоследовательностейслучайныхдистанционныхграфоввси-
лу разреженности дистанционного графа G(n,n/2,n/4). В частности, если
n не делится на 8, то (см., например, [21]) в графе G(n,n/2,n/4) найдутся
три вершины, не обладающие общим соседом (в данном случае рассмат-
ривается следующее свойство расширения: любые три вершины обладают
5
общим соседом). В то же время при 8n в этом графе у любых трех вер-
|
шиннайдетсядостаточнобольшоеколичествососедей.Поэтомудля подоб-
ных свойств расширений пороговую вероятность не удается представить в
удобном виде, как это сделано в теореме 3 для случайного графа G(n,p).
Такая проблема возникает, очевидно, из-за того, что в качестве множества
корней можно взять любой набор d вершин из V, а среди таких наборов
встречаются комбинации, приводящие к “исключениям”. Естественным ре-
шениемявляетсясузитьсистемумножествкорней.Оказывается,этоможно
сделатьтак,чтобымощностьполучившейсясистемы былаасимптотически
равна мощности семейства всех наборов вершин. Таким образом, при этих
ограничениях мы не теряем много информации, и полученные новые свой-
ства расширений достаточноаккуратно отражают структуру графа. Итак,
определим эти свойства.
Пусть f(n) — произвольная последовательностьположительных чисел.
Пусть, кроме того, (R,H) — нетривиальная строго сбалансированная сеть
с V(H)= z ,...,z ,y ,...,y , R= z ,...,z и e(R,H)=l. Рассмотрим
1 d 1 k 1 d
{ } { }
произвольные вершины v1 = (v1,...,v1),...,vd = (vd,...,vd) V. Напом-
1 n 1 n ∈
ним,что вершинынашегографанаходятсявпространстве 0,1 n.Обозна-
{ }
чимδ ,...,δ 0,1 dразличныеd-последовательностиизнулейиединиц,
1 2d ∈{ }
упорядоченные лексикографически: δ = (1,...,1) > ... > (0,...,0) = δ .
1 2d
Разобьеммножество 1,...,n наподмножестваB ,...,B следующимоб-
{ } 1 2d
разом: i B тогда и только тогда, когда (v1,...,vd)=δ . Положим
∈ j i i j
x =x v1,...,vd = B n/2d при j 1,...,2d 1 ,
j j j
| |− ∈ −
x (cid:0)=x v1,.(cid:1)..,vd = (cid:2)B (cid:3) n+ 2d (cid:8)1 n/2d , (cid:9) (2.1)
2d 2d | 2d|− −
где[]—целаячастьч(cid:0)исла.Обоз(cid:1)начимV˜d множ(cid:0)ествов(cid:1)се(cid:2)хd-п(cid:3)оследователь-
· f
ностей вершин из V, для которых x f(n), j 1,...,2d . Будем гово-
j
| | ≤ ∈ { }
рить, что остовный подграф G′ дистанционного графа G обладает свой-
ством Extdist(R,H), если для любых (v1,...,vd) V˜d найдутся такие w1,
f ∈ f
...,wk V, что z ,y E(H) vi,wj E(G′) для любых i
i j
∈ { } ∈ ⇒ { } ∈ ∈
1,...,d , j 1,...,k и y ,y E(H) wi,wj E(G′) для лю-
i j
{ } ∈ { } { } ∈ ⇒ { } ∈
бых i,j 1,...,k . Иными словами, свойство Extdist(R,H) получается
∈ { } f
из Ext(R,H) рассмотрением лишь тех d-последовательностей вершин из
V, которые принадлежат V˜d. Таким образом, нас интересуют только по-
f
следовательностивершин, разбивающие 1,...,n на приблизительно рав-
ные подмножества.Несколькопозже мы{увидим,}что V˜d V d. Теорема,
| f |∼| |
сформулированная ниже, выполнена при условии f n2/3 (на самом деле
≪
условие на f можно ослабить,но для наших целей это не принципиально).
Теорема 7 Пусть c есть число автоморфизмов H, которые оставляют
1
наместекаждыйкореньz R.Пустьp=p(n)удовлетворяетравенству
i
∈
l
N
Nk 1 pl/c =dlnN.
1
N
(cid:18) (cid:19)
6
Тогда p является для свойства Extdist(R,H) точной пороговой вероятно-
f
стью.
Теорема 7 будет доказанав разделе 6. Перед доказательствомэтих тео-
рем мы в разделе 3 докажем вспомогательные леммы, сформулированные
в разделе 2.2, которые представляют и самостоятельныйинтерес.
2.2 Вспомогательные утверждения
Вэтомразделемысформулируемнесколькоутверждений,касающиесяпол-
ного дистанционного графа G.
Пусть f = f(n) — произвольная последовательность положительных
чисел, причем f n2/3. Пусть, кроме того, (R,H) — произвольная сеть с
≪
V(H) = z ,...,z ,y ,...,y , R = z ,...,z и e(R,H) = l. Для v1,...,
1 d 1 k 1 d
{ } { }
vd V обозначим M (v1,...,vd) количество инъективных отображе-
(R,H)
∈
ний из V(H) в V, переводящих z в vi, i 1,...,d , и сохраняющих
i
∈ { }
ребра между вершинами, среди которых хотя бы одна не является кор-
нем.ПосколькувеличинаM (v1,...,vd)не зависитотвыбораконкрет-
(R,H)
ных вершин, а лишь от значений B (см. раздел 2.1), j 1,...,2d ,
j
| | ∈ { }
которые, в свою очередь, задаются числами x ,...,x , будем обозначать
1 2d
M~x =M (v1,...,vd), где вектор ~x=(x ,...,x ) определен в (2.1).
(R,H) (R,H) 1 2d
Лемма 2.1 Найдется такая функция M′ = M′ (n), не зависящая
(R,H) (R,H)
от ~x, что M~x = M′ 1+O f(n)n−0.8 при n равномерно по
(R,H) (R,H) → ∞
всем ~x с условием x f(n), j 1,...,2d .
| j|≤ (cid:0) ∈{(cid:0) } (cid:1)(cid:1)
Лемма 2.1 будет доказана в разделе 3.1.
Вследующемутверждениимыполучилиасимптотикуколичествавхож-
дений произвольного графа F в дистанционный граф G.
Лемма 2.2 Пусть M — количество мономорфизмов графа F с k верши-
F
нами и l ребрами в G. Тогда
l
N
M M(k,l):=Nk 1 .
F
∼ N
(cid:18) (cid:19)
В то время как коротким доказательство леммы 2.1 не назовешь, мы
нашлиэлегантноеилаконичноедоказательстволеммы2.2,котороеисполь-
зует индукцию по числу ребер графа F. Это доказательство изложено в
разделе 3.2.
Наконец, мы нашли явное представление M′ из леммы 2.1. Так как
(R,H)
вывод этого представления опирается на лемму 2.2, то мы формулируем
соответствующееутверждение отдельно от леммы 2.1.
Лемма 2.3 Вобозначенияхлеммы2.1вкачествеM′ можновыбрать
(R,H)
M(k,l).
Лемма 2.3 будет доказана в разделе 3.3.
7
3 Доказательства лемм
Прежде чем перейти к доказательствам, введем вспомогательные обозна-
чения. Пусть (R,H) — произвольная сеть с V(H) = z ,...,z ,y ,...,y ,
1 d 1 k
{ }
R = z ,...,z и e(R,H) = l, а v1,...,vd V — произвольные вершины.
1 d
{ } ∈
В обозначениях из раздела 2.1 положим
w~x(1)= n/2d +x ,...,w~x (1)= n/2d +x ,
1 1 2d−1 2d−1
(cid:2) (cid:3) (cid:2)w2~xd(1(cid:3))=n− 2d−1 n/2d +x2d.
Рассмотрим произвольное s 1,...,k и такие в(cid:0)ершин(cid:1)ы(cid:2) w1,(cid:3)...,ws
∈ { } ∈
V, что z ,y E(H) vi,wj E(G) для любых i 1,...,d ,
i j
{ } ∈ ⇒ { } ∈ ∈ { }
j 1,...,s и y ,y E(H) wi,wj E(G) для любых i,j
i j
∈ { } { } ∈ ⇒ { } ∈ ∈
1,...,s . Для вершин v1,...,vd,w1,...,ws−1 рассмотрим разбиение мно-
{ }
жества{1,...,n} на подмножестваB1,...,B2d+s−1 (см. раздел 2.1), мощно-
стикоторых,какнесложновидеть,зависятотчисел x ,...,x ,иположим
1 2d
w =w~x(s)= B , B = rj,...,rj , j 1,...,2d+s−1 .
j j | j| j 1 wj ∈
n o (cid:8) (cid:9)
Вспомним, что вершина ws есть вектор из 0,1 n. Посмотрим на ее ко-
{ }
ординаты. Для каждого j 1,...,2d+s−1 обозначим u~x(s) количество
∈ { } j
единиц среди чисел ws ,...,ws (мы обозначили ws,...,ws координаты
r1j rwjj 1 n
вектора ws). Поскольку ws V, ее скалярный квадрат равен n/2. Ле-
∈
вую часть этого равенства можно записать, очевидно, в виде суммы всех
u~x(s), j 1,...,2d+s−1 . В силу определения нашего графа G вершина
j ∈ { }
ws соединена с какой-то вершиной v из v1,...,vd,w1,...,ws−1 тогда и
только тогда, когда их скалярное произведение равно n/4. Левая часть
этого равенства записывается в виде суммы 2d+s−2 величин u~x(s) (здесь
j
индексы входящих в выражение величин суть индексы тех множеств B ,
j
для которых координаты вершины v с номерами из B равны 1: нулевые
j
координаты в скалярном произведении не участвуют). Предположим, что
в графе H среди вершин x ,...,x ,y ,...,y только вершины x ,...,
1 d 1 s−1 l1(s)
1
x ,y ,...,y соединены ребрами с вершиной y (здесь a(s) —
l1 (s) l2(s) l2 (s) s
a(s) 1 b(s)
количество вершин среди x ,...,x , соединенных с y , b(s) — среди y ,...,
1 d s 1
y ). Обозначим c(1,i), i l1(s),...,l1 (s) , и c(2,i), i l2(s),...,
s−1 ∈ { 1 a(s) } ∈ { 1
l2 (s) ,последовательностииндексовпеременных u~x(s), входящихвурав-
b(s) } j
нения, соответствующие наличию ребер между вершинами y и x , i
s i
∈
l1(s),...,l1 (s) ,имежду вершинамиy иy ,i l2(s),...,l2 (s) ,соот-
{ 1 a(s) } s i ∈{ 1 b(s) }
ветственно.Заметим,чтодлинывсехтакихпоследовательностейсовпадают
иравныm(s)=2d+s−2.Тогдадлятого,чтобывершинаwsбыласоединенас
вершинами v ,...,v , w ,...,w , необходимо и достаточно,
l1(s) l1 (s) l2(s) l2 (s)
1 a(s) 1 b(s)
8
чтобы были справедливы равенства и неравенства системы
u~x (s)+...+u~x (s)=n/4,
c1(1,l11(s)) cm(s)(1,l11(s))
...
u~xc1u(cid:16)~xc11,(l1a2(,sl)21((ss))(cid:17))((ss))++......++.uu.~~xxcc.mm((ss))((cid:16)21,,ll211a((ss)))(s()s(cid:17))(s=)n=/4n,/4, (3.1)
u~x (s)+...+u~x (s)=n/4,
Очевидно, c∀1j(cid:16)2∈u,l2b1(cid:8)((s1s)(,)s2)+(cid:17),3u,2.(.s.),2+d+..s.−+1c(cid:9)mu(2s0)d(cid:16)+≤2s,−l2bu1((s~xj)s(()ss))=(cid:17)≤nw/2j~x,(s).
M~x = Cu~x1(1)...Cu~x2d(1) ... Cu~x1(k)...Cu~x2d+k−1(k), (3.2)
(R,H) w1~x(1) w2~xd(1)· · w1~x(k) w2~xd+k−1(k)
X
где суммирование ведется по всем решениям (u~x(1),...,u~x (1)), ..., (u~x(k),
1 2d 1
..., u~x (k)) систем (3.1) с s = 1, ..., s = k соответственно, w~x (s+
2d+k−1 2j−1
1) = u~x(s), w~x (s+1) = w~x(s) u~x(s) при любых s 1,...,k 1 , j
j 2j j − j ∈ { − } ∈
1,...,2d+s−1 .
{ }
3.1 Доказательство леммы 2.1
Безограниченияобщностибудемсчитать,чтоf n0.6.Будемтакжепред-
≫
полагать,что f(n) n0.6 при всех n.
≥
Мы начнем с идеи доказательства леммы, после чего приведем полное
строгое доказательство.
Идея доказательства В разделе 3 мы свели задачу нахождения числа
расширений M~x к поиску асимптотики суммы (3.2) по всем решениям
(R,H)
k системуравненийвида(3.1).Требуетсядоказать,чтоэтаасимптотикане
зависит от x ,...,x и равномерна по ним при x f(n), i 1,...,2d .
1 2d | i|≤ ∈{ }
Нетрудно видеть, что максимум суммы (3.2) достигается,когда u~x(s)=
j
[w~x(s)/2] + O(1), n . Более того, далее будет показано, что если в
j → ∞
сумме (3.2) проводить суммирование не по всем u~x(s), удовлетворяющим
j
соответствующимсистемам уравнений (3.1), а лишь по таким, что u~x(s)
| j −
[w~x(s)/2] n0.6, то асимптотикасуммы не поменяется,причем сохранится
j |≤
и равномерность по x ,...,x (при вышеупомянутых ограничениях). Для
1 2d
такой “укороченной” суммы уже гораздо легче, вводя для удобства новые
переменные и обозначения, доказать равномерность ее асимптотики.
Доказательство Всилуопределениячиселx ,...,x существуюттакая
1 2d
константа c > 0 и такие целые числа a ,...,a , что a c для всех j
1 d j
| | ≤ ∈
1,...,d ивектор(x ,...,x )являетсярешениемсистемы(3.1),вкоторой
{ } 1 2d
9
s=1,a(1)=dиправаячастьзамененанастолбец(a ,...,a ,0)T.Докажем,
1 d
что существует такая константа C > 0, не зависящая от (x ,...,x ), что
1 2d
для всех j 1,...,2d найдутся числа y =y (n) Z и r Z,
j j j
∈{ } ∈ ∈
r C, (3.3)
j
| |≤
для которых
x =2ky +r , (3.4)
j j j
а вектор (y ,...,y ) является решением системы (3.1), в которой s = 1,
1 2d
a(1) = d и правая часть заменена на столбец (0,...,0)T. Обозначим по-
следнюю систему следующим образом: Ay=0. Подставиввместо y вектор
([x /2k],...,[x /2k]), получим в правой части некоторый вектор (b ,...,
1 2d 1
b )T, абсолютное значение каждого элемента которого не превосходит
d+1
некоторой константы c˜ > 0. Заметим, что для любого i 1,...,d + 1
∈ { }
в i-ой строке матрицы A = (a )2d содержится ненулевой коэффициент:
i,j d+1
ai,2d−2d−i = 1 (если i ∈ {1,...,d}) и ad+1,2d = 1, при этом соответствую-
щие коэффициенты в остальных строках равны нулю: aj,2d−2d−i = 0 (если
i 1,...,d , j 1,...,i 1,i+1,...,d ) и a = 0 (если j 1,...,d ).
∈ { } ∈ { − } j,2d ∈{ }
Следовательно,положив
y2d−2d−i = x2d2−k2d−i −bi при i∈{1,...,d},
h i
d
x
y = 2d + b b ,
2d 2k i− d+1
h i Xi=1
x
y = j при j 1,...,2d 2d 2d−1,2d 2d−2,...,2d 1,2d ,
j 2k ∈ \ − − −
мы получhимiискомый в(cid:8)ектор y.(cid:9) (cid:8) (cid:9)
Введем для удобства новые обозначения:
n n
w′(1)= при j 1,...,2d 1 , w′ (1)=n 2d 1 ,
j 2d ∈ − 2d − − 2d
h i (cid:8) (cid:9) (cid:0) (cid:1)h i
w~x(s) ε (s)
t (s)=u~x(s) j − j , (3.5)
j j −" 2 #
где ε (1)=r при j 1,...,2d , а при s 2,...,k
j j
∈{ } ∈{ }
r , если j =2s−1q, q 1,...,2d ;
q
ε (s)= ∈{ }
j
(0, иначе.
Далееu′(s)приs 1,...,k ,j 1,...,2d+s−1 иw′(s) приs 2,...,k ,
j ∈{ } ∈{ } j ∈{ }
j 1,...,2d+s−1 определяютсяизследующихрекуррентныхсоотношений
∈{ }
u′(s)= w′(s)/2 +t (s), (3.6)
j j j
w′ (s)=u′(s 1), (cid:2)w′ (s)=(cid:3) w′(s 1) u′(s 1). (3.7)
2j−1 j − 2j j − − j −
10
