Skriptum zur Vorlesung Mathematik: Diskrete Strukturen [lecture notes]

98 Pages·2016·0.607 MB·German

by  Sven Kosub

Skriptum
zur Vorlesung
Mathematik: Diskrete Strukturen
gehalten im Sommersemester 2016
von
Sven Kosub
14. Juli 2016
Version v5.18

Inhaltsverzeichnis
1 Kombinatorik 1
1.1 Grundregeln des Abz¨ahlens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Einfache Urnenmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Mengenpartitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Zahlpartitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Mehrfache Urnenmodelle∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Weitere Abz¨ahlprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Rekursionen 23
2.1 Analyse von Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Lineare Rekursionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Erzeugende Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 H¨ohere Rekursionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Graphentheorie 39
3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 B¨aume und W¨alder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Vollst¨andige Kreise∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 Planare Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Graphf¨arbungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6 Matchings in Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Version v5.18 Fassung vom 14. Juli 2016
vi Inhaltsverzeichnis
4 Algebraische Strukturen 61
4.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Algebratypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 Endliche K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Zahlentheorie∗ 81
5.1 Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 Diskrete Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Literaturverzeichnis 92
Skriptum zu Diskrete Strukturen
1
Kombinatorik
DerSchwerpunktindiesemeinfu¨hrendenKapitelu¨berKombinatorikliegtaufdemAbz¨ah-
len endlicher Mengen.
1.1 Grundregeln des Abz¨ahlens
Lemma 1.1 Es seien A und B endliche Mengen. Es gibt genau dann eine Bijektion
f : A → B, wenn (cid:107)A(cid:107) = (cid:107)B(cid:107) gilt.
Beweis: SieheSatz3.19(ausdemKapitelu¨berFunktionenundAbbildungenimSkriptum
Mathematische Grundlagen der Informatik).
Lemma 1.2 (Summenregel) Es seien A ,...,A endliche, paarweise disjunkte Men-
1 n
gen. Dann gilt:
n
(cid:88)
(cid:107)A ∪···∪A (cid:107) = (cid:107)A (cid:107)
1 n j
j=1
Beweis: Wegen der paarweisen Disjunktheit der Mengen kommt jedes Element aus
A ∪···∪A in genau einer Menge A vor.
1 n j
Lemma 1.3 (Produktregel) Es seien A ,...,A endliche Mengen. Dann gilt:
1 n
n
(cid:89)
(cid:107)A ×···×A (cid:107) = (cid:107)A (cid:107)
1 n j
j=1
Beweis: Wir beweisen die Aussage mittels Induktion u¨ber die Anzahl n der Mengen.
• Induktionsanfang: Fu¨r n = 1 ist die Aussage offensichtlich.
• Induktionsschritt: Es sei n > 1. Weiterhin seien A ,...,A endliche Mengen. Wir
1 n
setzen
A∗ = A ×···×A
def 1 n−1
B = { (x ,...,x ,y) | (x ,...,x ) ∈ A∗ } fu¨r y ∈ A
y def 1 n−1 1 n−1 n
Version v5.18 Fassung vom 14. Juli 2016
2 Kapitel 1. Kombinatorik
Fu¨r die so definierten Mengen gelten folgende Eigenschaften:
(i) Die Mengenfamilie { B | y ∈ A } ist eine Partition von A ×···×A .
y n 1 n
(ii) Fu¨r jedes y ∈ A ist die Funktion
n
f : B → A∗ : (x ,...,x ,y) (cid:55)→ (x ,...,x )
y y 1 n−1 1 n−1
eine Bijektion, d.h. (cid:107)B (cid:107) = (cid:107)A∗(cid:107) fu¨r alle y ∈ A (nach Lemma 1.1).
y n
Damit erhalten wir:
(cid:13) (cid:13)
(cid:13) (cid:13)
(cid:13) (cid:91) (cid:13)
(cid:107)A1×···×An(cid:107) = (cid:13) By(cid:13) (nach Eigenschaft (i))
(cid:13) (cid:13)
(cid:13)y∈An (cid:13)
(cid:88)
= (cid:107)B (cid:107) (nach Lemma 1.2 und Eigenschaft (i))
y
y∈An
(cid:88)
= (cid:107)A∗(cid:107) (nach Lemma 1.1 und Eigenschaft (ii))
y∈An
= (cid:107)A∗(cid:107)·(cid:107)A (cid:107)
n
 
n−1
(cid:89)
=  (cid:107)Aj(cid:107)·(cid:107)An(cid:107) (nach Induktionsvoraussetzung)
j=1
n
(cid:89)
= (cid:107)A (cid:107)
j
j=1
Damit ist das Lemma bewiesen.
Lemma 1.4 (Potenzregel) Es seien A und B endliche Mengen mit (cid:107)A(cid:107) = m und
(cid:107)B(cid:107) = n. Dann existieren genau nm Funktionen f : A → B.
Beweis: Nach Lemma 1.1 du¨rfen wir A = {1,...,m} ohne Beeintr¨achtigung der Allge-
meinheit annehmen. Jeder Funktion f : A → B kann nun eineindeutig (injektiv) ein Tupel
(f(1),...,f(m)) ∈ Bm zugeordnet werden. Außerdem entspricht jedes Tupel (die Werte-
tabelle) (y ,...,y ) ∈ Bm einer Funktion f : A → B : j (cid:55)→ y . Damit ist die Zuordnung
1 m j
sowohl injektiv als auch surjektiv, also eine Bijektion. Aus Lemma 1.1 und Produktregel
(Lemma 1.3) folgt somit
(cid:107){ f | f : A → B }(cid:107) = (cid:107)Bm(cid:107) = (cid:107)B(cid:107)m = nm.
Damit ist das Lemma bewiesen.
Beispiel:WievieleboolescheFunktionenmitnVariablengibtes?DieAntwort
lautet (cid:107){ f | f : {0,1}n → {0,1} }(cid:107) = 22n.
Skriptum zu Diskrete Strukturen
1.2. Einfache Urnenmodelle 3
Korollar 1.5 Fu¨r endliche Mengen A mit (cid:107)A(cid:107) = n gilt (cid:107)P(A)(cid:107) = 2n.
Beweis: Wir konstruieren eine Bijektion zwischen P(A) und der Menge der Funktionen
f : A → {0,1}. Dazu definieren wir fu¨r eine Menge B ∈ P(A) die Funktion:
(cid:26)
1 falls x ∈ B
c : A → {0,1} : x (cid:55)→
B 0 falls x ∈/ B
Diese Zuordnung ist offensichtlich eine Bijektion zwischen P(A) und der Menge der Funk-
tionen f : A → {0,1}. Nach der Potenzregel (Lemma 1.4) und Lemma 1.1 gilt folglich
(cid:107)P(A)(cid:107) = (cid:107){ f | f : A → {0,1} }(cid:107) = 2n.
Damit ist das Korollar bewiesen.
Die im Beweis von Korollar 1.5 angegebenen Funktionen haben einen Namen: Fu¨r eine
Menge B ⊆ A heißt c die charakteristische Funktion von B.
B
1.2 Einfache Urnenmodelle
Urnenmodelle stellen ein typisches Szenario fu¨r kombinatorische Problemstellungen dar.
Die einfachste Situation ist die folgende: In einer Urne liegen n unterscheidbare Kugeln,
von den k Kugel gezogen werden du¨rfen. Die zu beantwortende Frage ist dann: Wie viele
M¨oglichkeiten gibt es diese k Kugeln zu ziehen? Zur Pr¨azisierung des Szenarios werden
Unterschiede danach gemacht, ob
• die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, eine Rolle spielt,
• gezogene Kugeln wieder zuru¨ckgelegt werden oder nicht.
Damit ergeben sich vier verschiedene Szenarios.
Theorem 1.6 Die Anzahl der M¨oglichkeiten, aus einer Urne mit n Kugeln k Kugeln
auszuw¨ahlen, ist durch folgende Tabelle gegeben:
mit Zuru¨cklegen ohne Zuru¨cklegen
n!
mit Reihenfolge nk nk =
def
(n−k)!
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
n+k−1 n n!
ohne Reihenfolge =
def
k k k!(n−k)!
Version v5.18 Fassung vom 14. Juli 2016
4 Kapitel 1. Kombinatorik
Die im Theorem mitdefinierten Gr¨oßen nk und (cid:0)n(cid:1) heißen fallende Faktorielle von n der
k
L¨ange k sowie Binomialkoeffizient ( n u¨ber k“).
”
Beispiel: Wir geben fu¨r jedes der vier Szenarien Beispiele an:
mit Zuru¨cklegen ohne Zuru¨cklegen
PIN-Codes: Wettk¨ampfe:
mit Reihenfolge • n = 10 Ziffern • n = 10 Starter
(geordnet) • k = 4 Stellen • k = 3 Medaillen
• 10.000 Codes • 720 Siegerehrungen
Wahlen: Lotto:
ohne Reihenfolge • n = 3 Kandidaten • n = 49 Kugeln
(ungeordnet) • k = 100 W¨ahler • k = 6 Kugeln
• 5.151 Wahlausg¨ange • 13.983.816 Ziehungen
Beweis: Wir beweisen alle F¨alle einzeln, aber aufeinander aufbauend:
• Ziehen mit Zuru¨cklegen, mit Reihenfolge: Jede Auswahlm¨oglichkeit entspricht einer
Funktion f : {1,...,k} → {1,...,n}, wobei f(i) genau der Kugel entspricht, die
als i-te Kugel gezogen wurde. Nach der Potenzregel (Lemma 1.4) gibt es somit nk
M¨oglichkeiten.
• Ziehen ohne Zuru¨cklegen, mit Reihenfolge: Fu¨r die erste gezogene Kugel gibt es n
M¨oglichkeiten, fu¨r die zweite gezogene Kugel gibt es n−1 M¨oglichkeiten. Fu¨r die
k-te gezogene Kugel (k ≤ n) gibt es mithin noch n−k+1 M¨oglichkeiten. Insgesamt
gibt es damit
n!
n·(n−1)·····(n−k+1) = = nk
(n−k)!
M¨oglichkeiten.
• Ziehen ohne Zuru¨cklegen, ohne Reihenfolge: Mit Beru¨cksichtigung der Reihenfolge
gibt es n! Auswahlm¨oglichkeiten. Wenn die Reihenfolge keine Rolle mehr spielt,
(n−k)!
z¨ahlen alle Auswahlfolgen, bei denen die gleichen k Kugeln gezogen wurden, nur
noch als eine Auswahlm¨oglichkeit. Dies sind gerade k! viele. Damit gibt es insgesamt
(cid:18) (cid:19)
n! 1 n! n
· = =
(n−k)! k! k!(n−k)! k
M¨oglichkeiten.
• Ziehen mit Zuru¨cklegen, ohne Reihenfolge: Da jede Kugel mehrmals gezogen werden
kann, die Reihenfolge jedoch keine Rolle spielt, ist nur wichtig, wie oft eine Kugel
gezogen wird. Es sei also (a ,...,a ) ein Tupel mit den entsprechenden Anzahlen,
1 n
wobei a gerade angibt, wie oft die Kugel j gezogen wird. Fu¨r ein Anzahltupel
j
(a ,...,a ) muss nun gelten:
1 n
(i) a ∈ {0,...,k} fu¨r alle j ∈ {1,...,n}
j
Skriptum zu Diskrete Strukturen
1.3. Binomialkoeffizienten 5
(ii) a +···+a = k
1 n
Wir mu¨ssen nun z¨ahlen, wie viele derartige Tupel es geben kann. Dazu rep¨asentieren
wirdieTupelineineranderenWeise,dieesunserm¨oglicht,dasSzenariozuwechseln.
Wir verwenden k-mal das Symbol ∗ und (n−1)-mal das Symbol |. Ein Anzahltupel
(a ,...,a ) wird nun (injektiv) durch die Symbolfolge
1 n
∗∗...∗|∗∗...∗|...|∗∗...∗
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
a1 a2 an
repr¨asentiert. Umgekehrt entspricht auch jede Symbolfolge, die k-mal das Symbol ∗
und (n−1)-mal das Symbol | enth¨alt, einem Anzahltupel mit obigen Eigenschaften.
DemzufolgeistdieRepr¨asentierungeineBijektionzwischenderMengederAnzahltu-
pelundderMengederSymbolfolgen.DieAnzahlm¨oglicherSymbolfolgenzubestim-
men, entspricht aber gerade dem Ziehen von k Positionen fu¨r das Symbol ∗ aus
n+k−1 m¨oglichen Positionen ohne Zuru¨cklegen und ohne Reihenfolge. Mithin gibt
es insgesamt
(cid:18) (cid:19)
n+k−1
k
M¨oglichkeiten.
Damit ist das Theorem bewiesen.
1.3 Binomialkoeffizienten
Aus dem letzten Abschnitt (Theorem 1.6) wissen wir, dass die Anzahl der M¨oglichkeiten
aus n Kugeln k Kugeln ungeordnet ohne Zuru¨cklegen zu ziehen gerade dem Binomialkoef-
fizienten(cid:0)n(cid:1)entspricht.DaBinomialkoeffizientenauchu¨berdiereineKombinatorikhinaus
k
wichtig sind, wollen in diesem Abschnitt die wichtigsten Eigenschaften von Binomialko-
effizienten festhalten. Dazu definieren wir den Binomialkoeffzienten noch einmal explizit:
Fu¨r n,k ∈ N definieren wir
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
n n! n
= , mit = 0 fu¨r k > n .
def
k k!(n−k)! k
Ein einfache, sofort einsichtige Beobachtung ist:
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
n n
=
k n−k
Damitl¨asstsichderBinomialkoeffizientkonsistentauchfu¨rnegativeWertefu¨rkdefinieren:
(cid:18) (cid:19)
n
= 0 fu¨r k ∈ Z\N .
def
k
Version v5.18 Fassung vom 14. Juli 2016
6 Kapitel 1. Kombinatorik
Theorem 1.7 (Pascalsches Dreieck) Fu¨r n ∈ N und k ∈ N gilt
+
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
n n−1 n−1
= + .
k k−1 k
Wir geben zwei Beweise fu¨r das Theorem an.
Beweis: (rechnerisch) Wir fu¨hren eine Fallunterscheidung bezu¨glich der Werte von k
durch:
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
n n−1 n−1
• Fu¨r k = 0 und n > 1 gilt = 1 = + .
0 −1 0
• Fu¨r 0 < k < n rechnen wir aus:
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
n−1 n−1 (n−1)! (n−1)!
+ = +
k−1 k (k−1)!(n−k)! k!(n−1−k)!
(n−1)! k (n−1)! n−k
= · + ·
(k−1)!(n−k)! k k!(n−1−k)! n−k
(n−1)!·k (n−1)!(n−k)
= +
k!(n−k)! k!(n−k)!
(n−1)!(k+n−k)
=
k!(n−k)!
(n−1)!·n
=
k!(n−k)!
(cid:18) (cid:19)
n
=
k
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
n n−1 n−1
• Fu¨r k = n und n > 1 gilt = 1 = + .
n n−1 n
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
n n−1 n−1
• Fu¨r k > n > 1 gilt = 0 = + .
k k−1 k
Damit ist das Theorem durch Nachrechnen bewiesen.
Beweis: (kombinatorisch) Wir interpretieren die Gleichung als Bestimmung der Kardina-
lit¨atvonMengenaufzweiverschiedeneWeisen.Esseienn ∈ N undk ∈ N.Wirdefinieren
+
folgende Mengenfamilien:
F = { {a ,...,a } | a ∈ {1,...,n} und a (cid:54)= a fu¨r i (cid:54)= j }
def 1 k i i j
F = { A | A ∈ F und 1 ∈ A }
+ def
F = { A | A ∈ F und 1 ∈/ A }
− def
Skriptum zu Diskrete Strukturen