Table Of Content2008
Skripta za usmeni
MATEMATIKA I
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE
TUZLA
Autor: Suad Spahić
Skripta za usmeni
(cid:2165)(cid:2201)(cid:2193)(cid:2183)(cid:2208)(cid:2196)(cid:2183) (cid:2188)(cid:2197)(cid:2200)(cid:2195)(cid:2203)(cid:2194)(cid:2183) je konačan niz iskaza sastavljen pomoću logičkih konstanti
0 i 1 i glavnih promjenljivih iskaza (cid:1868),(cid:1869),(cid:1870)...
Iskazni račun
(cid:2172)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2195)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2200): (cid:4666)(cid:1868)(cid:1512)(cid:1869)(cid:4667)(cid:1513) (cid:1869), (cid:4666)(cid:1868)(cid:1436)(cid:1869)(cid:4667)(cid:1438)(cid:4666)(cid:1869)(cid:1436)(cid:1868)(cid:4667)
Iskazna formula koja je tačna bez obzira na istinitosnu vrijednost iskaza u njoj,
(cid:2165)(cid:2201)(cid:2193)(cid:2183)(cid:2208) (cid:2191)(cid:2194)(cid:2191) (cid:2198)(cid:2200)(cid:2197)(cid:2198)(cid:2197)(cid:2208)(cid:2191)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183) je osnovni pojam algebre iskaza. Pod iskazom se, naziva se (cid:2202)(cid:2183)(cid:2203)(cid:2202)(cid:2197)(cid:2194)(cid:2191)(cid:2189)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183).
dakle po definiciji, podrazumijeva smišljeno tvrđenje koje ima
svojstvo da može biti samo istinito (cid:4666)tačno(cid:4667) ili samo neistinito (cid:2172)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2195)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2200)(cid:2191) (cid:2780):
(cid:4666)netačno(cid:4667).
Zakon identiteta: (cid:1868)(cid:1436)(cid:1868), (cid:4666)1(cid:4667)
(cid:2172)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2195)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2200) (cid:2778). „sedam je prost broj“ „(cid:1876)(cid:2870)(cid:3398)(cid:1876)(cid:3404)0" nije iskaz
Zakon isključenja trećeg: (cid:1868) (cid:1513)(cid:3411)(cid:1868), (cid:4666)2(cid:4667)
Istinitosnu vrijednost iskaza p označavamo sa τ (cid:4666)(cid:1868)(cid:4667) i ona je po definiciji:
Zakon kontradikcije: (cid:3411)(cid:4666)(cid:1868)(cid:1512)(cid:3411)(cid:1868)(cid:4667) (cid:4666)3(cid:4667)
Zakon dvostruke negacije: (cid:3411)(cid:3411)(cid:1868)(cid:1868), (cid:4666)4(cid:4667)
1 ,ako je iskaz p tačan
τ(cid:4666)p(cid:4667) (cid:3404)(cid:3420) (cid:3424)
0 ,ako je iskaz p netačan Zakon tranzitivnosti implikacije: (cid:4666)(cid:1868)(cid:1436)(cid:1869)(cid:4667)(cid:1512)(cid:4666)(cid:1869)(cid:1436)(cid:1868)(cid:4667)(cid:1436)(cid:4666)(cid:1868)(cid:1438)(cid:1869)(cid:4667) (cid:4666)5(cid:4667)
Pravilo izdvajanja (cid:4666)Modus ponens(cid:4667): (cid:2028)(cid:4666)(cid:1868)(cid:1436)(cid:1869)(cid:4667) (cid:3404) 1 (cid:1512) (cid:2028)(cid:4666)(cid:1868)(cid:4667) (cid:3404) 1
tada je (cid:2028)(cid:4666)(cid:1869)(cid:4667) (cid:3404) 1 (cid:4666)6(cid:4667)
(cid:2171)(cid:2201)(cid:2196)(cid:2197)(cid:2204)(cid:2196)(cid:2187) (cid:2197)(cid:2198)(cid:2187)(cid:2200)(cid:2183)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2187) (cid:2201)(cid:2183) (cid:2191)(cid:2201)(cid:2193)(cid:2183)(cid:2208)(cid:2191)(cid:2195)(cid:2183)
Zakon kontrapozicije: (cid:4666)(cid:1868)(cid:1436)(cid:1869)(cid:4667) (cid:1438) (cid:4666)(cid:3411)(cid:1869)(cid:1436)(cid:3411)(cid:1868)(cid:4667). (cid:4666)7(cid:4667)
(cid:2170)(cid:2187)(cid:2189)(cid:2183)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183) iskaza (cid:1868) je iskaz (cid:3411)(cid:1868) (cid:4666)č(cid:1861)(cid:1872)(cid:1853) (cid:1871)(cid:1857) „(cid:1866)(cid:1857) (cid:1868)“(cid:4667). Iskaz (cid:3411)(cid:1868) je istinit ako i samo ako je
po definiciji iskaz (cid:1868) neistinit
(cid:1868) (cid:3411)(cid:1868)
1 0
0 1
(cid:2167)(cid:2197)(cid:2196)(cid:2192)(cid:2203)(cid:2193)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183) iskaza (cid:1868) i iskaza (cid:1869) je složeni iskaz (cid:1868)(cid:1512)(cid:1869) (cid:4666)(cid:1861)(cid:1864)(cid:1861) (cid:1868)&(cid:1869)(cid:4667), (cid:4666)č(cid:1861)(cid:1872)(cid:1853) (cid:1871)(cid:1857) „(cid:1868) (cid:1861) (cid:1869)“(cid:4667) za koji
je
(cid:2028)(cid:4666)(cid:1868)(cid:1512)(cid:1869)(cid:4667)(cid:3404)1(cid:1438)(cid:2028)(cid:4666)(cid:1868)(cid:4667) (cid:3404)(cid:2028)(cid:4666)(cid:1869)(cid:4667)(cid:3404)1
(cid:2160)(cid:2191)(cid:2201)(cid:2192)(cid:2203)(cid:2196)(cid:2193)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183) (cid:4666)inkluzivna(cid:4667) iskaza (cid:1868) i iskaza (cid:1869) je iskaz (cid:1868)(cid:1513)(cid:1869) (cid:4666)čita se „(cid:1868) (cid:1861)(cid:1864)(cid:1861) (cid:1869)“(cid:4667) za
koji je I
(cid:2028)(cid:4666)(cid:1868)(cid:1513)(cid:1869)(cid:4667)(cid:3404)1(cid:1438)il(cid:1861) (cid:2028) (cid:4666)(cid:1868)(cid:4667)(cid:3404)1 ili (cid:2028) (cid:4666)(cid:1869)(cid:4667)(cid:3404)1 A
K
(cid:2165)(cid:2195)(cid:2198)(cid:2194)(cid:2191)(cid:2193)(cid:2183)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183) (cid:2191)(cid:2201)(cid:2193)(cid:2183)(cid:2208)(cid:2183) (cid:1868) i iskaza (cid:1869) je složeni iskaz (cid:1868)(cid:1436)(cid:1869) (cid:4666)čita se „(cid:1868) slijedi (cid:1869)“,“(cid:1868) I
T
implicira (cid:1869)“ ili „(cid:1868) povlači (cid:1869)“(cid:4667) za koji je A
M
(cid:2028) (cid:4666)(cid:1868)(cid:1436)(cid:1869)(cid:4667)(cid:3404)0 (cid:1438)(cid:2028)(cid:4666)(cid:1868)(cid:4667)(cid:3404)1 (cid:1861) (cid:2028)(cid:4666)(cid:1869)(cid:4667)(cid:3404)0
E
(cid:2161)(cid:2193)(cid:2204)(cid:2191)(cid:2204)(cid:2183)(cid:2194)(cid:2187)(cid:2196)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183) iskaza (cid:1868) i iskaza (cid:1869) je složeni iskaz (cid:1868)(cid:1438)(cid:1869), (cid:4666)čita se „(cid:1868) ako i samo T
A
ako (cid:1869)“ ili „(cid:1868) je ekvivalentno (cid:1869)“(cid:4667), za koji je
M
(cid:2028)(cid:4666)(cid:1868)(cid:1438)(cid:1869)(cid:4667)(cid:3404)1 (cid:1438) (cid:2028) (cid:4666)(cid:1868)(cid:4667)(cid:3404) (cid:2028) (cid:4666)(cid:1869)(cid:4667)
Fakultet Elektrotehnike | SUDO 1
Skripta za usmeni
Skupovi, relacije i preslikavanja (cid:1827)(cid:1514)(cid:1828)(cid:3404)(cid:4668)(cid:1876)|(cid:1876)(cid:1490)(cid:1827)(cid:1512)(cid:1876)(cid:1490)(cid:1828)(cid:4669).
(cid:2174)(cid:2183)(cid:2208)(cid:2194)(cid:2191)(cid:2193)(cid:2183) (cid:2201)(cid:2193)(cid:2203)(cid:2198)(cid:2197)(cid:2204)(cid:2183) A i B je skup (cid:1827)\(cid:1828) koji sadrži elemente skupa (cid:1827), koji ne
pripadaju skupu (cid:1828), tj.
(cid:2175)(cid:2193)(cid:2203)(cid:2198) je osnovni matematički pojam koji se ne definiše. Međutim to nije defini-cija
za skup. Da bi element (cid:1876) pripadao nekom skupu (cid:1827), mora posjedovati osobinu
(cid:4666)(cid:1867)(cid:1878)(cid:1866)(cid:1853)č(cid:1861)(cid:1865)(cid:1867) (cid:1862)(cid:1857) (cid:1871)(cid:1853) (cid:1842)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) (cid:4667) koju imaju svi elementi skupa (cid:1827). Dakle, definisa-no svojstvo
(cid:1827)\(cid:1828)(cid:3404)(cid:4668)(cid:1876)|(cid:1876)(cid:1490)(cid:1827)(cid:1512)(cid:1876)(cid:1489)(cid:1828)(cid:4669).
(cid:4666)atribut (cid:4667) (cid:1842)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) određuje pripadnost elemenata skupu. Zato pišemo da je
(cid:1827)(cid:3404)(cid:4668)(cid:1876)|(cid:1876) – (cid:1878)(cid:1853)(cid:1856)(cid:1867)(cid:1874)(cid:1867)(cid:1864)(cid:1862)(cid:1853)(cid:1874)(cid:1853) (cid:1842)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)(cid:4669) (cid:1861)(cid:1864)(cid:1861) (cid:1863)(cid:1870)(cid:1853)ć(cid:1857)(cid:1827)(cid:3404)(cid:4668)(cid:1876)|(cid:1842)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)(cid:4669)
Specijalno, ako je (cid:1827)(cid:1599)(cid:1845), tada skup (cid:1827)\(cid:1845) nazivamo (cid:2193)(cid:2197)(cid:2195)(cid:2198)(cid:2194)(cid:2187)(cid:2195)(cid:2187)(cid:2196)(cid:2202) (cid:2201)(cid:2193)(cid:2203)(cid:2198)(cid:2183) (cid:1827) u
Ako element (cid:1876) pripada skupu (cid:1845), pišemo da je (cid:1876)(cid:1488)(cid:1845).
odnosu na skup (cid:1845) i označavamo sa
Skupove označavamo velikim slovima (cid:1827),(cid:1828),(cid:1829)...dok elemente amorfnog skupa
označavamo najčešće malim slovima. Skup može biti (cid:2198)(cid:2200)(cid:2183)(cid:2208)(cid:2183)(cid:2196) (cid:4666)(cid:1486)(cid:4667), zatim
(cid:2192)(cid:2187)(cid:2186)(cid:2196)(cid:2197)(cid:2187)(cid:2194)(cid:2187)(cid:2195)(cid:2187)(cid:2196)(cid:2202)(cid:2196)(cid:2191) (cid:4666)(cid:4668)(cid:1876)(cid:4669)(cid:4667), sa konačnim brojem elemenata (cid:4666)(cid:1866)(cid:1868)(cid:1870).,(cid:4668)(cid:1876) ,(cid:1876) ,…(cid:1876) (cid:4669)(cid:4667) , sa
(cid:2869) (cid:2870) (cid:3038)
beskonačno mnogo elemenata (cid:4666)(cid:1866)(cid:1868)(cid:1870).,(cid:4668)(cid:1876) ,(cid:1876) ,…(cid:1876) …(cid:4669)(cid:4667) , sa elementima koji su i
(cid:2869) (cid:2870) (cid:3038) (cid:1828)(cid:1603)(cid:1827) (cid:1827)C=(cid:1829)S(cid:4666)(cid:1827)(cid:4667)(cid:3404)(cid:4668)(cid:1876)(cid:1488)(cid:1845)|(cid:1876)(cid:1489)(cid:1827)(cid:4669).
sami skupovi.
Definicija 1. (cid:2177)(cid:2200)(cid:2187)đ(cid:2187)(cid:2196)(cid:2191) (cid:2198)(cid:2183)(cid:2200) elemenata (cid:1853) i (cid:1854) je skup (cid:4668)(cid:4668)(cid:1853)(cid:4669),(cid:4668)(cid:1853),(cid:1854)(cid:4669)(cid:4669) koji se kratko
Ako je svaki element skupa (cid:1827) jednakovremeno i element skupa (cid:1828), tada za skup (cid:1827)
obilježava sa (cid:4666)(cid:1853),(cid:1854)(cid:4667).
kažemo da je (cid:2198)(cid:2197)(cid:2186)(cid:2201)(cid:2193)(cid:2203)(cid:2198) (cid:2201)(cid:2193)(cid:2203)(cid:2198)(cid:2183) B. Pišemo (cid:1827)(cid:1599)(cid:1828), a znak „(cid:1599)“ predstavlja
jednu relaciju među skupovima i naziva se (cid:2191)(cid:2196)(cid:2193)(cid:2194)(cid:2203)(cid:2208)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183).
Definicija 2. Skup (cid:4666)(cid:1853),(cid:1854),(cid:1855)(cid:4667) naziva se (cid:2203)(cid:2200)(cid:2187)đ(cid:2187)(cid:2196)(cid:2183) (cid:2202)(cid:2200)(cid:2197)(cid:2192)(cid:2193)(cid:2183) u kojoj je (cid:1853)(cid:3398)prva,
(cid:3031)(cid:3032)(cid:3033)
(cid:1827)(cid:1599)(cid:1828)(cid:4655)(cid:4656)(cid:4666)(cid:1482)(cid:1876)(cid:4667)(cid:4666)(cid:1876)(cid:1488)(cid:1827)(cid:1436)(cid:1876)(cid:1488)(cid:1828)(cid:4667) (cid:1854)(cid:3398)druga a (cid:1855)(cid:3398)treća komponenta; definiše se pomoću (cid:4666)(cid:1853),(cid:1854),(cid:1855)(cid:4667)(cid:3404)(cid:4666)(cid:4666)(cid:1853),(cid:1854)(cid:4667),(cid:1855)(cid:4667).
Definicija 2. Za skupove (cid:1827) i (cid:1828) kažemo da su jednaki ako je (cid:1827)(cid:1599)(cid:1828) (cid:1861) (cid:1828)(cid:1599)(cid:1827). (cid:1778)(cid:1805)(cid:1806)(cid:1809)(cid:1814)(cid:1809)(cid:1803)(cid:1809)(cid:1810)(cid:1801) (cid:2780). (cid:2159)(cid:2183)(cid:2200)(cid:2202)(cid:2187)(cid:2201)(cid:2191)(cid:2187)(cid:2204)* (cid:4666)(cid:2160)(cid:2187)(cid:2193)(cid:2183)(cid:2200)(cid:2202)(cid:2197)(cid:2204) (cid:2191)(cid:2194)(cid:2191) (cid:2186)(cid:2191)(cid:2200)(cid:2187)(cid:2193)(cid:2202)(cid:2196)(cid:2191)(cid:4667) (cid:2198)(cid:2200)(cid:2197)(cid:2191)(cid:2208)(cid:2204)(cid:2197)(cid:2186) dva neprazna skupa (cid:1827) i
Pišemo (cid:1827)(cid:3404)(cid:1828). (cid:1828) je skup svih uređenih parova (cid:4666)(cid:1853),(cid:1854)(cid:4667), čija je prva komponenta (cid:1853)(cid:1490)(cid:1827) , a druga
komponenta (cid:1854)(cid:1490)(cid:1828). Taj skup se označava:
(cid:2172)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2195)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2200). Skup (cid:1827)(cid:3404)(cid:4668)(cid:1853),(cid:1854),(cid:1855)(cid:4669) jednak je skupu (cid:1828)(cid:3404)(cid:4668)(cid:1854),(cid:1853),(cid:1853),(cid:1855)(cid:4669). Dakle
(cid:1827)(cid:3400)(cid:1828)(cid:3404)(cid:4668)(cid:4666)(cid:1853),(cid:1854)(cid:4667)|(cid:1853)(cid:1490)(cid:1827)(cid:1512)(cid:1854)(cid:1490)(cid:1828)(cid:4669).
(cid:1827)(cid:3404)(cid:1828)(cid:1438) (cid:1827)(cid:1599)(cid:1828)(cid:1512)(cid:1828)(cid:1599)(cid:1827),(cid:1872)(cid:1862) (cid:1827)(cid:3404)(cid:1828)(cid:1438)
(cid:3643)(cid:4666)(cid:1482)(cid:1876)(cid:4667)(cid:4666)(cid:1876)(cid:1490)(cid:1827)(cid:1436)(cid:1876)(cid:1490)(cid:1828)(cid:4667)(cid:1512)(cid:4666)(cid:1482)(cid:1876)(cid:4667) (cid:4666)(cid:1876)(cid:1490)(cid:1828)(cid:1436)(cid:1876)(cid:1490)(cid:1827)(cid:4667). (cid:2172)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2195)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2200). Neka je (cid:1827)(cid:3404)(cid:4668)(cid:1853)1,(cid:1853)2,(cid:1853)3(cid:4669),(cid:1853) (cid:1828)(cid:3404)(cid:4668)(cid:1854)1,(cid:1854)2(cid:4669), gdje su (cid:1853)i i (cid:1854)i realni pozitivni bro-
jevi. Tada možemo skupove (cid:1827)(cid:3400)(cid:1828) i (cid:1828)(cid:3400)(cid:1827) predstaviti
I
Dakle imamo skupove:
(cid:2177)(cid:2196)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183) (cid:2201)(cid:2193)(cid:2203)(cid:2198)(cid:2183) (cid:1827) i skupa (cid:1828) je skup (cid:1827)(cid:1515)(cid:1828), koji sadrži sve lemente skupa (cid:1827) i sve A
elmente skupa (cid:1828) i samo njih. Dakle, (cid:1827)(cid:3400)(cid:1828)(cid:3404)(cid:4668)(cid:4666)(cid:1853)1,(cid:1854)1(cid:4667),(cid:4666)(cid:1853)1,(cid:1854)2(cid:4667),(cid:4666)(cid:1853)2,(cid:1854)1(cid:4667),(cid:4666)(cid:1853)2,(cid:1854)2(cid:4667),(cid:4666)(cid:1853)3,(cid:1854)1(cid:4667)(cid:4666)(cid:1853)3,(cid:1854)2(cid:4667)(cid:4669) K
I
T
(cid:1828)(cid:3400)(cid:1827)(cid:3404)(cid:4668)(cid:4666)(cid:1854)1,(cid:1853)1(cid:4667),(cid:4666)(cid:1854)1,(cid:1853)2(cid:4667),(cid:4666)(cid:1854)1,(cid:1853)3(cid:4667),(cid:4666)(cid:1854)2,(cid:1853)1(cid:4667),(cid:4666)(cid:1854)2,(cid:1853)2(cid:4667),(cid:4666)(cid:1854)2,(cid:1853)3(cid:4667)(cid:4669) A
M
(cid:1827)(cid:1515)(cid:1828)(cid:3404)(cid:4668)(cid:1876)|(cid:1876)(cid:1490)(cid:1827)(cid:1513)(cid:1876)(cid:1490)(cid:1828)(cid:4669).
E
I očigledno je (cid:1827)(cid:3400)(cid:1828)(cid:3405)(cid:1828)(cid:3400)(cid:1827). Primjetimo da je (cid:1863)(cid:4666)(cid:1827)(cid:4667)=3 i (cid:1863)(cid:4666)(cid:1828)(cid:4667)=2 dok je T
A
(cid:2172)(cid:2200)(cid:2187)(cid:2201)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2193) skupa (cid:1827) i skupa (cid:1828) je skup (cid:1827)(cid:1514)(cid:1828) koji sadrži elemente skupa (cid:1827) koji (cid:1863)(cid:4666)(cid:1827)(cid:3400)(cid:1828)(cid:4667)(cid:3404)(cid:1863)(cid:4666)(cid:1828)(cid:3400)(cid:1827)(cid:4667)(cid:3404)2(cid:1668)3
M
istovremeno pripadaju i skupu (cid:1828). Dakle,
Fakultet Elektrotehnike | SUDO 2
Skripta za usmeni
Definicija 1. Neka su (cid:1827),(cid:1828)(cid:3405)Ø. Svaki podskup (cid:2025) Dekartovog proizvoda (cid:1827)(cid:3400)(cid:1828) Definicija 6. Neka je skup A uređen. (cid:2175)(cid:2203)(cid:2198)(cid:2200)(cid:2187)(cid:2195)(cid:2203)(cid:2195) (cid:4666)ili gornja međa(cid:4667) skupa
naziva se (cid:2184)(cid:2191)(cid:2196)(cid:2183)(cid:2200)(cid:2196)(cid:2183) (cid:2191)(cid:2194)(cid:2191) (cid:2186)(cid:2204)(cid:2197)č(cid:2194)(cid:2183)(cid:2196)(cid:2183) relacija na skupu (cid:1827)(cid:3400)(cid:1828). Za dva elementa (cid:1853) (cid:1827)1(cid:1599)(cid:1827) je minimum skupa majoranta skupa (cid:1827)1. Označava se (cid:1871)(cid:1873)(cid:1868)(cid:1827)1.
i (cid:1854) sa svojstvom (cid:4666)(cid:1853),(cid:1854)(cid:4667)(cid:1490)(cid:2025) kažemo da su u relaciji (cid:2025) i pišemo (cid:1853)(cid:2025)(cid:1854)
Definicija 4. Element (cid:1854)(cid:1490)(cid:1827) naziva se (cid:2195)(cid:2191)(cid:2196)(cid:2197)(cid:2200)(cid:2183)(cid:2196)(cid:2202)(cid:2183) (cid:4666)donje ograničenje(cid:4667) skupa
Definicija 1. Binarna relacija definisana u skupu (cid:1827) naziva se (cid:2200)(cid:2187)(cid:2194)(cid:2183)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183) (cid:1827)1(cid:1599)(cid:1827), ako je:
(cid:2187)(cid:2193)(cid:2204)(cid:2191)(cid:2204)(cid:2183)(cid:2194)(cid:2187)(cid:2196)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2187) i označava sa „~“ (čita se „tlda“), ako je refleksivna, simetrična i (cid:4666)(cid:1482)(cid:1876)(cid:1490)(cid:1827)1(cid:4667): b(cid:1591)x.
tranzitivna.
(cid:2165)(cid:2196)(cid:2188)(cid:2191)(cid:2195)(cid:2203)(cid:2195) (cid:4666)(cid:2191)(cid:2194)(cid:2191) (cid:2186)(cid:2197)(cid:2196)(cid:2192)(cid:2183) (cid:2195)(cid:2187)đ(cid:2183)(cid:4667) skupa (cid:1827)1(cid:1599)(cid:1827) je maksimum skupa minoranata
(cid:2172)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2195)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2200)(cid:2779). U skupu cijelih brojeva (cid:1852), neka je (cid:1865)(cid:3405)0 fiksan broj, stavimo:
skupa (cid:1827)1 i označava se (cid:1861)(cid:1866)(cid:1858) (cid:1827)1. Skup može imati najviše jedan supremum
(cid:3031)(cid:3032)(cid:3033) (cid:4666)infimum(cid:4667).
(cid:4666)**(cid:4667) (cid:1876)(cid:1534)(cid:1877)(cid:4655)(cid:4656)(cid:1484) (cid:1863)(cid:1490) (cid:1852) (cid:1872)(cid:1853)(cid:1863)(cid:1867) (cid:1856)(cid:1853) (cid:1862)(cid:1857) (cid:1876)(cid:3398)(cid:1877)(cid:3404)(cid:1863) (cid:3401) (cid:1865).
(cid:4666)Kažemo da su (cid:1876) i (cid:1877) identični po modulu (cid:1865) i pišemo (cid:1876)(cid:1568)(cid:1877)(cid:4666)(cid:1865)(cid:1867)(cid:1856) (cid:1865)(cid:4667).(cid:4667)
Definicija 1.Neka su (cid:1850) i (cid:1851) neprazni skupovi. Pod (cid:2198)(cid:2200)(cid:2187)(cid:2201)(cid:2194)(cid:2191)(cid:2193)(cid:2183)(cid:2204)(cid:2183)(cid:2196)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2195) (ili funkcijom) (cid:1858),
Pokažimo da je pomoću (cid:4666)**(cid:4667) definisana jedna relacija ekvivalencije u (cid:1852). skupa (cid:1850) u skup (cid:1851) podrazumijeva se svaki poskup (cid:4666)(cid:1878)(cid:1853)(cid:1863)(cid:1867)(cid:1866)(cid:4667) kojim se (cid:2201)(cid:2204)(cid:2183)(cid:2193)(cid:2197)(cid:2195)
elementu (cid:1876) iz (cid:1850) pridružuje jedan i samo jedan element (cid:1877) iz skupa (cid:1851).
(cid:2172)(cid:2200)(cid:2204)(cid:2197), (cid:1876)(cid:1534)(cid:1876) (cid:4666)(cid:1862)(cid:1857)(cid:1870) (cid:1484) 0(cid:1490)(cid:1852),(cid:1872)(cid:1853)(cid:1863)(cid:1867) (cid:1856)(cid:1853) (cid:1862)(cid:1857) (cid:1876)(cid:3398)(cid:1876)(cid:3404)0 (cid:3401) (cid:1865)(cid:4667);
(cid:3031)(cid:3032)(cid:3033) (cid:3031)(cid:3032)(cid:3033)
(cid:2160)(cid:2200)(cid:2203)(cid:2189)(cid:2197), (cid:1876)~(cid:1877)(cid:4655)(cid:4656)(cid:4666)(cid:1484) (cid:1863)(cid:1490) (cid:1852)|(cid:1876)(cid:3398)(cid:1877)(cid:3404)(cid:1863) (cid:1865)(cid:1438)(cid:1877)(cid:3398)(cid:1876)(cid:3404)(cid:4666)(cid:3398)(cid:1863)(cid:4667)(cid:1865),(cid:3398)(cid:1863)(cid:1490) (cid:1852)(cid:4655)(cid:4656) (cid:1877)~(cid:1876). Elementi skupa (cid:1850) nazivaju se originali, a elementi skupa (cid:1851) slike preslikavanja (cid:1858).
Skup (cid:1850) zovemo (cid:2186)(cid:2197)(cid:2195)(cid:2187)(cid:2196) (cid:2198)(cid:2200)(cid:2187)(cid:2201)(cid:2194)(cid:2191)(cid:2193)(cid:2183)(cid:2204)(cid:2183)(cid:2196)(cid:2192)(cid:2183) (cid:1858) i označavamo D((cid:1858)), a skup slika (cid:1858)(X)
(cid:1484) (cid:1863) (cid:1490) (cid:1852)(cid:1512) (cid:1863) (cid:1490) (cid:1852)| (cid:1876)(cid:3398)(cid:1877)(cid:3404) (cid:1863) (cid:1865)(cid:1512) (cid:1877)(cid:3398)(cid:1878)(cid:3404)(cid:1863) (cid:1865)(cid:1438) (cid:2193)(cid:2197)(cid:2186)(cid:2197)(cid:2195)(cid:2187)(cid:2196) (cid:2198)(cid:2200)(cid:2187)(cid:2201)(cid:2194)(cid:2191)(cid:2193)(cid:2183)(cid:2204)(cid:2183)(cid:2196)(cid:2192)(cid:2183) (cid:1858) i označavamo sa R((cid:1858)).
(cid:3031)(cid:3032)(cid:3033) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870)
(cid:2167)(cid:2197)(cid:2196)(cid:2183)č(cid:2196)(cid:2197) (cid:4666)(cid:1876)(cid:1534)(cid:1877)(cid:1512) (cid:1877)(cid:1534)(cid:1878)(cid:4667)(cid:4655)(cid:4656)(cid:4678) (cid:3031)(cid:3032)(cid:3033) (cid:4679)
(cid:3643)(cid:1876)(cid:3398)(cid:1878)(cid:3404)(cid:4666)(cid:1863) (cid:3397)(cid:1863) (cid:4667)(cid:1865) (cid:1512) (cid:1863) (cid:3397)(cid:1863) (cid:1490) (cid:1852)(cid:4655)(cid:4656)(cid:1876)(cid:1534)(cid:1878)
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870)
Definicija 2.Neka je (cid:1858):(cid:1850)(cid:1372)(cid:1851). Ako je (cid:1858)(cid:4666)(cid:1850)(cid:4667)(cid:3404)(cid:1851), tj. ako je svaki (cid:1877) iz (cid:1851) slika bar
jednog (cid:1876)(cid:1490)(cid:1850), kažemo da je preslikavanje (cid:1858) (cid:2201)(cid:2203)(cid:2200)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2193)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183) ili preslikavanje “na”.
Definicija 2. (cid:2158)(cid:2191)(cid:2196)(cid:2183)(cid:2200)(cid:2196)(cid:2183) (cid:2200)(cid:2187)(cid:2194)(cid:2183)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183) definisana u skupu (cid:1827) naziva se (cid:2200)(cid:2187)(cid:2194)(cid:2183)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183) (cid:2198)(cid:2197)(cid:2200)(cid:2187)(cid:2202)(cid:2193)(cid:2183) i
označava sa „(cid:3409)“, ako je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna. Za dva (cid:4666)(cid:1877)(cid:3404)(cid:3399) √(cid:1876)(cid:4667)
elementa (cid:1876),(cid:1877)(cid:1490)(cid:1827) koji su u relaciji „(cid:3409)“ kažemo da su uporedivi, a za skup u kome
je definisana relacija poretka „(cid:3409)“ kažemo da je uređen. Za uređeni skup (cid:1827),
(cid:2172)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2195)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2200) (cid:2778): Neka je (cid:3404)(cid:4668)0,1,2(cid:4669) ; tada preslikavanje (cid:2312):(cid:1850)(cid:1372)(cid:4668)0,1,2(cid:4669) definisano
kažemo da je (cid:2198)(cid:2197)(cid:2202)(cid:2198)(cid:2203)(cid:2196)(cid:2197) (cid:2203)(cid:2200)(cid:2187)đ(cid:2187)(cid:2196) ili da je lanac, ako vrijedi:
pomoću (cid:4666)1(cid:4667) nije surjekcija, jer element 2 iz (cid:1851) nije slika nijednog (cid:1876)(cid:1490)(cid:1850).
(cid:4666)(cid:1482)(cid:1876),(cid:1877)(cid:1490) (cid:1827)(cid:4667): (cid:1876)(cid:3409)(cid:1877) (cid:1513) (cid:1877)(cid:3409)(cid:1876).
1,(cid:1853)(cid:1863)(cid:1867) (cid:1876)(cid:1488)(cid:1827)
(cid:2312)(cid:3002)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)(cid:3404)(cid:3420)0,(cid:1853)(cid:1863)(cid:1867) (cid:1876)(cid:1488)(cid:1337)\(cid:1827) (cid:4666)1(cid:4667)
(cid:2172)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2195)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2200) (cid:2781) (cid:4666)(cid:1871)(cid:1872)(cid:1870) 23(cid:4667). Neka je (cid:2272) proizvoljna familija skupova u kojoj je definisana
relacija:
(cid:2172)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2195)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2200) (cid:2779): Neka je (cid:1850)(cid:3404)(cid:1337) i (cid:1851)(cid:3404)(cid:1337)(cid:2878)(cid:1515)(cid:4668)0(cid:4669). Tada je preslikavanje definisano na (cid:1850)
(cid:1827)(cid:3407)(cid:1828)(cid:3031)(cid:4655)(cid:3032)(cid:4656)(cid:3033)(cid:1827)(cid:1599)(cid:1828). pomoću (cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)(cid:3404)(cid:1876)(cid:2870) surjekcija skupa (cid:1850) na skup (cid:1851)(cid:3404)(cid:1337)(cid:2878)(cid:1515)(cid:4668)0(cid:4669). Sa (cid:1337) označavamo I
skup realnih brojeva, a sa (cid:1337)(cid:2878) skup pozitivnih realnih brojeva. A
Ovako definisana relacija u (cid:2272) je jedna (cid:2200)(cid:2187)(cid:2194)(cid:2183)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183) (cid:2198)(cid:2197)(cid:2200)(cid:2187)(cid:2202)(cid:2193)(cid:2183) K
I
T
Definicija 3. Preslikavanje (cid:1858):(cid:1850)(cid:1372)(cid:1851) naziva se (cid:2191)(cid:2196)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2193)(cid:2202)(cid:2191)(cid:2204)(cid:2196)(cid:2191)(cid:2195) ili (cid:2191)(cid:2196)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2193)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183) skupa (cid:1850) u A
Definicija 3. Neka je u skupu (cid:1827) definisana relacija poretka (cid:1591). Element (cid:1853)(cid:1490)(cid:1827)
skupu (cid:1851), ako i samo ako se različiti elementi skupa (cid:1850) preslikavaju u različite M
naziva se (cid:2195)(cid:2183)(cid:2192)(cid:2197)(cid:2200)(cid:2183)(cid:2196)(cid:2202)(cid:2183) (cid:4666)gornje ograničenje(cid:4667) skupa (cid:1827)1(cid:1599)(cid:1827), ako je: elemente skupa (cid:1851). Ovo preslikavanje naziva se i “1(cid:3398)1”(cid:3398)preslikavanje E
(cid:4666)(cid:1482)(cid:1876)(cid:1490)(cid:1827) (cid:4667): (cid:1876)(cid:1591)(cid:1853). Dakle, po definiciji (cid:1858):(cid:1850)(cid:1372)(cid:1851) je injekcija ako važi T
(cid:2869) A
Ako pri tome element a pripada skupu (cid:1827)1 tada je a maksimalni element skupa (cid:4666)(cid:1482)(cid:2312) 1, (cid:2312) 2 (cid:1488) (cid:1850)(cid:4667): (cid:2312)1(cid:3405)(cid:2312)2(cid:1436) (cid:1858)(cid:4666)(cid:2312)1)(cid:3405) (cid:1858)(cid:4666)(cid:2312)2(cid:4667) (cid:4666) (cid:1858)(cid:4666)(cid:2312)1(cid:4667),(cid:1858)(cid:4666)(cid:2312)1(cid:4667) (cid:1488) (cid:1851) (cid:4667). M
(cid:1827)1.
Fakultet Elektrotehnike | SUDO 3
Skripta za usmeni
(cid:2172)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2195)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2200): Preslikavanje (cid:1858):(cid:1331)(cid:1372)(cid:1331) definisano pomoću (cid:1858)(cid:4666)(cid:1866)(cid:4667)(cid:3404)2(cid:1866)(cid:3398)1 je jedna
injekcija skupa prirodnih brojeva u samog sebe
(cid:1858)(cid:4666)(cid:1866)1(cid:4667)(cid:3404) (cid:1858)(cid:4666)(cid:1866)2(cid:4667)(cid:1438)2(cid:1866)1(cid:3398)1(cid:3404)2(cid:1866)2(cid:3398)1(cid:1438)(cid:1866)1(cid:3404)(cid:1866)2 .
Definicija 4. Za preslikavanje (cid:1858):(cid:1850)(cid:1372)(cid:1851) kažemo da je (cid:2184)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2193)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183) skupa X i skupa Y ili
(cid:2197)(cid:2184)(cid:2197)(cid:2201)(cid:2202)(cid:2200)(cid:2183)(cid:2196)(cid:2197)-(cid:2192)(cid:2187)(cid:2186)(cid:2196)(cid:2197)(cid:2208)(cid:2196)(cid:2183)č(cid:2196)(cid:2197) (cid:2198)(cid:2200)(cid:2187)(cid:2201)(cid:2194)(cid:2191)(cid:2193)(cid:2183)(cid:2204)(cid:2183)(cid:2196)(cid:2192)(cid:2187) skupova ako je (cid:1858)jednovremeno injekcija i
surjekcija.
Definicija 1. (cid:2167)(cid:2197)(cid:2195)(cid:2198)(cid:2197)(cid:2208)(cid:2191)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183) (cid:4666) (cid:2191)(cid:2194)(cid:2191) (cid:2201)(cid:2203)(cid:2198)(cid:2187)(cid:2200)(cid:2198)(cid:2197)(cid:2208)(cid:2191)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183)(cid:4667) preslikavanja (cid:1858):(cid:1850)(cid:1372)(cid:1851) i
preslikavanja (cid:1859):(cid:1851)(cid:1372)(cid:1852) je preslikavanje (cid:1860)(cid:3404) (cid:1858) (cid:1500) (cid:1859)(cid:1527) (cid:1850)(cid:1372)(cid:1852), definisano pomoću
(cid:4666)(cid:1482) (cid:2312)(cid:1490) (cid:1850)(cid:4667)(cid:1527) (cid:1860)(cid:4666)(cid:2312)(cid:4667)(cid:3404)(cid:1859)(cid:4666)(cid:1858)(cid:4666)(cid:2312)(cid:4667) (cid:4667),(cid:1872)(cid:1862).
(cid:4666)(cid:1858) (cid:1500) (cid:1859) (cid:4667) (cid:4666)(cid:2312)(cid:4667) (cid:3404) (cid:1859)(cid:4666)(cid:1858)(cid:4666)(cid:2312)(cid:4667) (cid:4667).
Preslikavanje h zove se (cid:2201)(cid:2194)(cid:2197)ž(cid:2187)(cid:2196)(cid:2197) (cid:2198)(cid:2200)(cid:2187)(cid:2201)(cid:2194)(cid:2191)(cid:2193)(cid:2183)(cid:2204)(cid:2183)(cid:2196)(cid:2192)(cid:2187) ili (cid:2201)(cid:2194)(cid:2197)ž(cid:2187)(cid:2196)(cid:2183) (cid:2188)(cid:2203)(cid:2196)(cid:2193)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183).
(cid:2175)(cid:2202)(cid:2183)(cid:2204) (cid:2778)(cid:4666)(cid:1871)(cid:1872)(cid:1870) 33(cid:4667). Ako su (cid:1858):(cid:1850)(cid:1372)Y (cid:1861) (cid:1859):(cid:1851)(cid:1372)Z bijektivna preslikavanja, tada je i njihova
kompozicija bijektivno preslikavanje.
(cid:2160)(cid:2197)(cid:2193)(cid:2183)(cid:2208).Neka je z proizvoljan element skupa Z. Pošto je g surjekcija (cid:1484)!(cid:1877) (cid:1488) (cid:1851)
(znak (cid:1484)!(cid:3398)čita se „postoji jedinstven“), takav da je (cid:1859)(cid:4666)(cid:1877)(cid:4667)(cid:3404)(cid:1878) . Sa druge strane, (cid:1858) je
surjekcija (cid:1484)!(cid:1876) (cid:1488)(cid:1850), takav da je (cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)(cid:3404)(cid:1877), odakle je (cid:1859)(cid:3435)(cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)(cid:3439)(cid:3404)(cid:1859)(cid:4666)(cid:1877)(cid:4667)(cid:3404)(cid:1878). Dakle,
postoji (cid:1876)(cid:1488) X tako da je (cid:1860)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)(cid:3404)(cid:1878), čime smo pokazali da je (cid:1860) surjekcija.
Pretpostavimo sada da je (cid:1860)(cid:4666)(cid:1876) (cid:4667)(cid:3404)(cid:1860)(cid:4666)(cid:1876) (cid:4667). Dokaz će biti završen, ako pokažemo da
(cid:2869) (cid:2870)
je (cid:1876)(cid:2869)(cid:3404)(cid:1876)(cid:2870). Međutim, to je gotovo očigledno, budući da su (cid:1859) (cid:1861) (cid:1858) (cid:1861)(cid:1866)(cid:1862)(cid:1857)(cid:1863)(cid:1855)(cid:1861)(cid:1862)(cid:1857),(cid:1872)(cid:1862).(cid:1859)(cid:4666)(cid:1877)(cid:4667)(cid:3404)
3(cid:1877)(cid:3398)2.
(cid:1859)(cid:3435)(cid:1858)(cid:4666)(cid:1876) (cid:4667)(cid:3439)(cid:3404)(cid:1859)(cid:3435)(cid:1858)(cid:4666)(cid:1876) (cid:4667)(cid:3439)(cid:1436)(cid:1858)(cid:4666)(cid:1876) (cid:4667)(cid:3404)(cid:1858)(cid:4666)(cid:1876) (cid:4667)(cid:1436)(cid:1876) (cid:3404)(cid:1876)
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870)
I
A
K
TI
A
M
E
T
A
M
Fakultet Elektrotehnike | SUDO 4
Skripta za usmeni
1° Tačka (cid:1865) je minoranta skupa (cid:1827), tj. (cid:4666)(cid:1482)(cid:1876)(cid:1488)(cid:1827)(cid:4667): (cid:1865)(cid:3409)(cid:1876) ,
2° (cid:1482)(cid:1876)(cid:3556)(cid:3408)(cid:1865), (cid:1484)(cid:1876)(cid:1488)(cid:1827) , tako da je: (cid:1876)(cid:3407)(cid:1876)(cid:3556).
Realni brojevi
Definicija. (cid:2157)(cid:2198)(cid:2201)(cid:2197)(cid:2194)(cid:2203)(cid:2202)(cid:2196)(cid:2183) (cid:2204)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2186)(cid:2196)(cid:2197)(cid:2201)(cid:2202) (cid:4666)(cid:2195)(cid:2197)(cid:2186)(cid:2203)(cid:2194) (cid:2191)(cid:2194)(cid:2191) (cid:2196)(cid:2197)(cid:2200)(cid:2195)(cid:2183)(cid:4667) realnog broja (cid:1876) (cid:4666)u oznaci |(cid:1876)|(cid:4667)
je preslikavanje (cid:1876):(cid:1337)(cid:1372)(cid:1337)(cid:2878)(cid:1515)(cid:4668)0(cid:4669), je definisano pomoću:
(cid:1876), (cid:1853)(cid:1863)(cid:1867) (cid:1862)(cid:1857) (cid:1876)(cid:3408)0
Definicija 1.(cid:4666)(cid:1871)(cid:1872)(cid:1870) 45(cid:4667). Skup realnih brojeva, u oznaci (cid:1337), je skup u kome važe
|(cid:1876)|(cid:1565)(cid:3421) 0, (cid:1853)(cid:1863)(cid:1867) (cid:1862)(cid:1857) (cid:1876)(cid:3404)0 (cid:4666)1(cid:4667)
slijedeće aksiome:
(cid:3398)(cid:1876), (cid:1853)(cid:1863)(cid:1867) (cid:1862)(cid:1857) (cid:1876)(cid:3407)0
ili
(cid:4666)(cid:1845)(cid:1841)(cid:4667) U skupu (cid:1337) definisana je i zatvorena operacija sabiranja, tj. bilo kom paru
elemenata (cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)(cid:1488) (cid:1337) odgovara jedinstven element (cid:1876)(cid:3397)(cid:1877)(cid:1488)(cid:1337); |(cid:1876)|(cid:1565)max(cid:4668)(cid:1876),(cid:3398)(cid:1876)(cid:4669), (cid:4666)2(cid:4667)
(cid:4666)(cid:1845)1(cid:4667) (cid:4666)(cid:1482)(cid:1876),(cid:1877)(cid:1488)(cid:1337)(cid:4667): (cid:1876)(cid:3397)(cid:1877)(cid:3404)(cid:1877)(cid:3397)(cid:1876); ili
(cid:4666)(cid:1845)2(cid:4667) (cid:4666)(cid:1482)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:1488)(cid:1337)(cid:4667): (cid:4666)(cid:1876)(cid:3397)(cid:1877)(cid:4667)(cid:3397)(cid:1878)(cid:3404)(cid:1876)(cid:3397)(cid:4666)(cid:1877)(cid:3397)(cid:1878)(cid:4667);
|(cid:1876)|(cid:1565)√(cid:1876)·(cid:1876)(cid:3435)(cid:3404)√(cid:1876)(cid:2870)(cid:3439) (cid:4666)3(cid:4667)
(cid:4666)(cid:1845)3(cid:4667) (cid:4666)(cid:1484)0(cid:1488)(cid:1337)(cid:4667)(cid:4666) (cid:1482)(cid:1876)(cid:1488)(cid:1337)(cid:4667): (cid:1876)(cid:3397)0(cid:3404)(cid:1876);
(cid:4666)(cid:1845)4(cid:4667) (cid:4666)(cid:1482)(cid:1876)(cid:1488)(cid:1337)(cid:4667)(cid:4666) (cid:1484)(cid:1876)*(cid:3404)(cid:3398)(cid:1876)(cid:1488)(cid:1337)(cid:4667): (cid:1876)(cid:3397)(cid:4666)(cid:3398)(cid:1876)(cid:4667)(cid:3404)0; Ovom definicijom smo dali tri definicije modula realnog broja. Pokazuje se da su
ove definicije ekvivalentne. Npr. (cid:4666)1(cid:4667)(cid:1438)(cid:4666)2(cid:4667):
(cid:4666)(cid:1839)(cid:1841)(cid:4667) U skupu (cid:1337) definisana je i zatvorena operacija množenja, tj. bilo kom (cid:2175)(cid:2202)(cid:2183)(cid:2204) (cid:2778).(cid:4666)(cid:1871)(cid:1872)(cid:1870) 52(cid:4667). Neka su (cid:1853),(cid:1876)(cid:1488)(cid:1337)(cid:1512)(cid:1853)(cid:3408)0, tada je
paru (cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667) (cid:1488)(cid:1337) odgovara jedinstven element (cid:1876)·(cid:1877)(cid:1488)(cid:1337);
|(cid:1876)|(cid:3407)(cid:1853)(cid:1438)(cid:3398)(cid:1853)(cid:3407)(cid:1876)(cid:3407)(cid:1853). (cid:4666)4(cid:4667)
(cid:4666)(cid:1839)1(cid:4667) (cid:4666)(cid:1482)(cid:1876),(cid:1877)(cid:1488)(cid:1337)(cid:4667): (cid:1876)(cid:1877)(cid:3404)(cid:1877)(cid:1876);
(cid:4666)(cid:1839)2(cid:4667) (cid:4666)(cid:1482)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:1488)(cid:1337)(cid:4667): (cid:4666)(cid:1876)(cid:1877)(cid:4667)(cid:1878)(cid:3404)(cid:1876)(cid:4666)(cid:1877)(cid:1878)(cid:4667);
(cid:2160)(cid:2197)(cid:2193)(cid:2183)(cid:2208). Ako je (cid:1876)(cid:3410)0,(cid:1872)(cid:1853)(cid:1856)(cid:1853) (cid:1862)(cid:1857) |(cid:1876)|(cid:1565)(cid:1876),(cid:1868)(cid:1853) (cid:1862)(cid:1857) |(cid:1876)|(cid:3407)(cid:1853)(cid:1438)(cid:1876)(cid:3407)(cid:1853). Sa druge strane
(cid:4666)(cid:1839)3(cid:4667) (cid:4666)(cid:1484)1(cid:1488)(cid:1337)\(cid:4668)0(cid:4669)(cid:4667)(cid:4666)(cid:1482)(cid:1876)(cid:1488)(cid:1337)(cid:4667): (cid:1876)·1(cid:3404)(cid:1876);
iz: (cid:3398)(cid:1853)(cid:3407)0(cid:1512)0(cid:3409)(cid:1876), na osnovu tranzitivnosti relacije "(cid:3409)", slijedi (cid:3398)(cid:1853)(cid:3407)(cid:1876). Prema
(cid:4666)(cid:1839)4(cid:4667) (cid:4666)(cid:1482)(cid:1876)(cid:1488)(cid:1337)\(cid:4668)0(cid:4669)(cid:4667)(cid:4666)(cid:1484)(cid:1876)(cid:2879)(cid:2869)(cid:1488)(cid:1337)(cid:4667): (cid:1876)·(cid:1876)(cid:2879)(cid:2869)(cid:3404)1;
tome je: (cid:3398)(cid:1853)(cid:3407)(cid:1876)(cid:3407)(cid:1853).
Slično se dokazuje i slučaj kada je (cid:1876)(cid:3407)0. Dokažimo sada obrnutu implikaciju, tj.
(cid:4666)(cid:1839)(cid:1845)(cid:4667) Množenje je distributivno prema sabiranju: (cid:4666)(cid:1482)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:1488)(cid:1337)(cid:4667): (cid:1876)(cid:4666)(cid:1877)(cid:3397) da vrijedi relacija
(cid:1878)(cid:4667)(cid:3404)(cid:1876)(cid:1877)(cid:3397)(cid:1876)(cid:1878). (cid:3398)(cid:1853)(cid:3407)(cid:1876)(cid:3407)(cid:1853)(cid:1436)|(cid:1876)|(cid:3407)(cid:1853).
(cid:4666)(cid:1842)1(cid:4667) (cid:4666)(cid:1482)(cid:1876)(cid:1488)(cid:1850)(cid:4667): (cid:1876)(cid:3409)(cid:1876); I ovdje ćemo razdvojiti (cid:1876)(cid:3410)0 i (cid:1876)(cid:3407)0. Ako je (cid:1876)(cid:3410)0,tada je |(cid:1876)|(cid:3404)(cid:1876), pa (cid:1876)(cid:3407)(cid:1853)(cid:1438)|(cid:1876)|(cid:3407)(cid:1853).
(cid:4666)(cid:1842)2(cid:4667) (cid:4666)(cid:1482)(cid:1876),(cid:1877)(cid:1488)(cid:1850)(cid:4667): (cid:4666)(cid:1876)(cid:3409)(cid:1877)(cid:1512)(cid:1877)(cid:3409)(cid:1876)(cid:4667) (cid:1436)(cid:1876)(cid:3404)(cid:1877); Ako je pak (cid:1876)(cid:3407)0, tada je |(cid:1876)|(cid:1565)(cid:3398)(cid:1876), te iz –(cid:1853)(cid:3407)(cid:1876) slijedi (cid:4666)(cid:2201)(cid:2202)(cid:2183)(cid:2204) 5 (cid:1871)(cid:1872)(cid:1870)49(cid:4667) –(cid:1876)(cid:3407)(cid:1853), tj.
(cid:4666)(cid:1842)3(cid:4667) (cid:4666)(cid:1482)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:1488)(cid:1850)(cid:4667): (cid:4666)(cid:1876)(cid:3409)(cid:1877)(cid:1512)(cid:1877)(cid:3409)(cid:1878)(cid:4667) (cid:1436)(cid:1876)(cid:3409)(cid:1878); |(cid:1876)|(cid:3407)(cid:1853).
(cid:4666)(cid:1842)4(cid:4667) (cid:4666)(cid:1482)(cid:1853)(cid:1488)(cid:1337)(cid:4667): (cid:1876)(cid:3409)(cid:1877)(cid:1436)(cid:1876)(cid:3397)(cid:1853)(cid:3409)(cid:1877)(cid:3397)(cid:1853);
Stav 3.(cid:4666)(cid:1871)(cid:1872)(cid:1870) 53(cid:4667). Neka su (cid:1853),(cid:1854)(cid:1488)(cid:1337). Tada važi: I
(cid:4666)(cid:1842)5(cid:4667) (cid:4666)(cid:1482)(cid:1876),(cid:1877)(cid:1488)(cid:1337)(cid:4667): (cid:4666)0(cid:3409)(cid:1876)(cid:1512)0(cid:3409)(cid:1877)(cid:4667) (cid:1436)0(cid:3409)(cid:1876)(cid:1877).
|(cid:1853)(cid:3397)(cid:1854)|(cid:3409)|(cid:1853)|(cid:3397)|(cid:1854)|. (cid:4666)6(cid:4667) A
K
Definicija 2. Tačka (cid:1839)(cid:1488)(cid:1337) naziva se (cid:2189)(cid:2197)(cid:2200)(cid:2196)(cid:2192)(cid:2183) (cid:2195)(cid:2187)đ(cid:2183) (cid:2191)(cid:2194)(cid:2191) (cid:2201)(cid:2203)(cid:2198)(cid:2200)(cid:2187)(cid:2195)(cid:2203)(cid:2195) (cid:2201)(cid:2193)(cid:2203)(cid:2198)(cid:2183) (cid:1827)(cid:1599)(cid:1337) I
T
(cid:4666)označava se (cid:1871)(cid:1873)(cid:1868)(cid:1827)(cid:3404)(cid:1839)(cid:4667) ako imamo slijedeća svojstva: (cid:2160)(cid:2197)(cid:2193)(cid:2183)(cid:2208). Ekvivalencija (cid:4666)4(cid:4667) primjenjena na |(cid:1853)|(cid:3409)|(cid:1853)|, A
1° Tačka (cid:1839) je majoranta skupa (cid:1827), tj. (cid:4666)(cid:1482)(cid:1876)(cid:1488)(cid:1827)(cid:4667): (cid:1876)(cid:3409)(cid:1839) , (cid:4666)*(cid:4667) (cid:3398)|(cid:1853)|(cid:3409)(cid:1853)(cid:3409)|(cid:1853)|. M
E
2° (cid:1482)(cid:1876) *(cid:3407)(cid:1839), (cid:1484)(cid:1876)(cid:1488)(cid:1827) , tako da je: (cid:1876)(cid:3408)(cid:1876)*
Simetrično , primjenom na |(cid:1854)|(cid:3409)|(cid:1854)| imamo T
A
(cid:4666)**(cid:4667) (cid:3398)|(cid:1854)|(cid:3409)(cid:1854)(cid:3409)|(cid:1854)|.
M
Definicija 3. Tačka (cid:1865)(cid:1488)(cid:1337) naziva se (cid:2186)(cid:2197)(cid:2196)(cid:2192)(cid:2183) (cid:2195)(cid:2187)đ(cid:2183) (cid:2191)(cid:2194)(cid:2191) (cid:2191)(cid:2196)(cid:2188)(cid:2191)(cid:2195)(cid:2203)(cid:2195) (cid:2201)(cid:2193)(cid:2203)(cid:2198)(cid:2183) (cid:1827)(cid:1599)(cid:1337) (cid:4666)u
oznaci (cid:1861)(cid:1866)(cid:1858)(cid:1827)(cid:3404)(cid:1865)(cid:4667) ako ima slijedeća svojstva: Ako saberemo (cid:4666)*(cid:4667) i (cid:4666)**(cid:4667), dobijamo:
Fakultet Elektrotehnike | SUDO 5
Skripta za usmeni
(cid:3398)(cid:4666)|(cid:1853)|(cid:3397)|(cid:1854)|(cid:4667)(cid:3409)(cid:1853)(cid:3397)(cid:1854)(cid:3409)|(cid:1853)|(cid:3397)|(cid:1854)|, (cid:4666)7(cid:4667)
a (cid:4666)7(cid:4667) je prema (cid:4666)4(cid:4667) ekvivalentno sa (cid:4666)6(cid:4667).
Definicija 1. Skup prirodnih brojeva (cid:1331), je podskup skupa (cid:1337), sa svojstvima:
1* 1 je prirodni broj, tj. 1(cid:1488)(cid:1331)
2* Svaki prirodni broj (cid:1866) ima svog sljedbenika (cid:1866)’(cid:3404)(cid:1866)(cid:3397)1, koji je takođe
prirodan broj, tj. vrijedi: (cid:1866)(cid:1488)(cid:1331)(cid:1436)(cid:1866)(cid:3397)1(cid:1488)(cid:1331)
3* 1 nije sljedbenik nijednog prirodnog broja.
4* Ako je (cid:1865)’(cid:3404)(cid:1866)’, tada je (cid:1865)(cid:3404)(cid:1866), tj. svaki prirodni broj je sljedbenik najviše
jednog prirodnog broja.
5* Ako je (cid:1839)(cid:1599)(cid:1331) i ako u M važe svojstva 1* i 2*, tada je (cid:1839)(cid:3404)(cid:1331)
Svojstva 1*-5* definišu aksiome prirodnih brojeva. Aksiom 5* je poznat kao
“princip indukcije“.
(cid:2172)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2196)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2198) (cid:2198)(cid:2197)(cid:2202)(cid:2198)(cid:2203)(cid:2196)(cid:2187) (cid:2195)(cid:2183)(cid:2202)(cid:2187)(cid:2195)(cid:2183)(cid:2202)(cid:2191)č(cid:2193)(cid:2187) (cid:2191)(cid:2196)(cid:2186)(cid:2203)(cid:2193)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2187)
Iskaz (cid:1842)(cid:4666)(cid:1866)(cid:4667), (cid:1866)(cid:1488)(cid:1331), istinit je za svaki prirodan broj (cid:1866), ako je:
(a) P(cid:4666)1(cid:4667) istinito;
(b) Iz pretpostavke da je (cid:1842)(cid:4666)(cid:1866)(cid:4667) istinit slijedi da je (cid:1842)(cid:4666)(cid:1866)(cid:3397)1(cid:4667) istinito.
Dakle primjećujemo da je ovaj princip ustvari 5* aksiom.
Ako se pokaže da je, npr. (cid:1842)(cid:4666)1(cid:4667),(cid:1842)(cid:4666)2(cid:4667),…,(cid:1842)(cid:4666)(cid:1863)(cid:4667) tačno, pa se na osnovu toga
zaključi da je (cid:1842)(cid:4666)(cid:1866)(cid:4667) tačno za svako (cid:1866)(cid:1488)(cid:1331), takav zaključak ne mora biti tačan za
(cid:2198)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2196)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2198) (cid:2196)(cid:2187)(cid:2198)(cid:2197)(cid:2202)(cid:2198)(cid:2203)(cid:2196)(cid:2187) (cid:2195)(cid:2183)(cid:2202)(cid:2187)(cid:2195)(cid:2183)(cid:2202)(cid:2191)č(cid:2193)(cid:2187) (cid:2191)(cid:2196)(cid:2186)(cid:2203)(cid:2193)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2187) .
Definicija 1. Skup (cid:4668)(cid:1876)(cid:1488)(cid:2174)|(cid:1853)(cid:3407)(cid:1876)(cid:3407)(cid:1854),(cid:1853),(cid:1854)(cid:1488)(cid:2174)(cid:1512)(cid:1853)(cid:3407)(cid:1854)(cid:4669) nazivamo (cid:2197)(cid:2202)(cid:2204)(cid:2197)(cid:2200)(cid:2187)(cid:2196)(cid:2191) (cid:2191)(cid:2196)(cid:2202)(cid:2187)(cid:2200)(cid:2204)(cid:2183)(cid:2194) i
označavamo ga (cid:4666)(cid:1853),(cid:1854)(cid:4667). Skup (cid:4668)(cid:1876)(cid:1488)(cid:1337)|(cid:1853)(cid:3409)(cid:1876)(cid:3409)(cid:1854)(cid:1512)(cid:1853),(cid:1854)(cid:1488)(cid:1337)(cid:4669) nazivamo
(cid:2208)(cid:2183)(cid:2202)(cid:2204)(cid:2197)(cid:2200)(cid:2187)(cid:2196)(cid:2191) (cid:2191)(cid:2196)(cid:2202)(cid:2187)(cid:2200)(cid:2204)(cid:2183)(cid:2194) ili segment i označavamo sa (cid:4670)(cid:1853),(cid:1854)(cid:4671), a skup (cid:4668)(cid:1876)(cid:1488)(cid:1337)||(cid:1876)|(cid:3409)(cid:1853)(cid:4669)
simetrični segment.
I
Skupovi oblika (cid:4670)(cid:1853),(cid:1854)(cid:4667) ili (cid:4666)(cid:1853),(cid:1854)(cid:4671) nazivaju se (cid:2198)(cid:2197)(cid:2194)(cid:2203)(cid:2191)(cid:2196)(cid:2202)(cid:2187)(cid:2200)(cid:2204)(cid:2183)(cid:2194)(cid:2191) (cid:2191)(cid:2194)(cid:2191) (cid:2198)(cid:2197)(cid:2194)(cid:2203)(cid:2201)(cid:2187)(cid:2189)(cid:2195)(cid:2187)(cid:2196)(cid:2202)(cid:2191). A
K
I
Teorema (cid:4666)(cid:2159)(cid:2183)(cid:2196)(cid:2202)(cid:2197)(cid:2200)(cid:2197)(cid:2204)* (cid:2183)(cid:2193)(cid:2201)(cid:2191)(cid:2197)(cid:2195)(cid:4667). Neka su (cid:4670)(cid:1853)n,(cid:1854)n(cid:4671)(cid:1603)(cid:1337) segmenti u (cid:1337), gdje je T
A
(cid:1866) (cid:1488)(cid:1331). Neka (cid:1865)(cid:3410)(cid:1866) povlači (cid:4670)(cid:1853)m,(cid:1854)m(cid:4671)(cid:1603)(cid:4670)(cid:1853)n,(cid:1854)n(cid:4671), tj. (cid:1853)m(cid:3409)(cid:1853)n i (cid:1854)m(cid:3409)(cid:1854)n. Tada je M
(cid:4649)(cid:4670)(cid:1853) ,(cid:1854) (cid:4671)(cid:3405)(cid:1486) E
(cid:3041) (cid:3041) T
(cid:3041)(cid:1488)(cid:2170) A
M
Fakultet Elektrotehnike | SUDO 6
Skripta za usmeni
Definicija 4. Kompleksan broj (cid:4666)0,1(cid:4667) naziva se (cid:2191)(cid:2195)(cid:2183)(cid:2189)(cid:2191)(cid:2196)(cid:2183)(cid:2200)(cid:2196)(cid:2183) (cid:2192)(cid:2187)(cid:2186)(cid:2191)(cid:2196)(cid:2191)(cid:2185)(cid:2183) i označava sa
(cid:1861). Imaginarna jedinica ima svojstvo da je (cid:1861)(cid:2870)(cid:3404)(cid:3398)1,(cid:1862)(cid:1857)(cid:1870) (cid:1862)(cid:1857) (cid:1861)(cid:2870)(cid:3404)(cid:4666)0,1(cid:4667)·(cid:4666)0,1(cid:4667)(cid:3404)
Kompleksni brojevi (cid:4666)(cid:3398)1,0(cid:4667)(cid:3033)(cid:3127)(cid:3117) (cid:3404)(cid:3398)1, gdje je (cid:1858) gore navedeni (cid:1861)(cid:1878)(cid:1867)(cid:1865)(cid:1867)(cid:1870)(cid:1858)(cid:1861)(cid:1878)(cid:1853)(cid:1865).
Svaki kompleksan broj (cid:1878) možemo napisati u obliku:
(cid:1878)(cid:3404)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)(cid:3404)(cid:4666)(cid:1876),0(cid:4667)(cid:3397)(cid:4666)0,(cid:1877)(cid:4667)(cid:3404)(cid:4666)(cid:1876),0(cid:4667)(cid:3397)(cid:4666)0,1(cid:4667) ·(cid:4666)(cid:1877),0(cid:4667),
Što predstavlja poznati (cid:2183)(cid:2194)(cid:2189)(cid:2187)(cid:2184)(cid:2183)(cid:2200)(cid:2201)(cid:2193)(cid:2191) (cid:4666)(cid:2191)(cid:2194)(cid:2191) (cid:2163)(cid:2183)(cid:2203)(cid:2201)(cid:2197)(cid:2204)*(cid:4667) (cid:2197)(cid:2184)(cid:2194)(cid:2191)(cid:2193) (cid:2193)(cid:2197)(cid:2195)(cid:2198)(cid:2194)(cid:2187)(cid:2193)(cid:2201)(cid:2196)(cid:2197)(cid:2189) broja
(cid:1878)(cid:3404)(cid:1876)(cid:3397)(cid:1861)(cid:1877) (cid:4666)6(cid:4667)
Definicija 1. (cid:2175)(cid:2193)(cid:2203)(cid:2198) (cid:2193)(cid:2197)(cid:2195)(cid:2198)(cid:2194)(cid:2187)(cid:2193)(cid:2201)(cid:2196)(cid:2191)(cid:2190) (cid:2184)(cid:2200)(cid:2197)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2204)(cid:2183) (cid:1829) je skup svih uređenih parova (cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)
Broj (cid:2206) zove se (cid:2200)(cid:2187)(cid:2183)(cid:2194)(cid:2196)(cid:2191) (cid:2186)(cid:2191)(cid:2197), a (cid:2207) (cid:2191)(cid:2195)(cid:2183)(cid:2189)(cid:2191)(cid:2196)(cid:2183)(cid:2200)(cid:2196)(cid:2191) (cid:2186)(cid:2191)(cid:2197) kompleksnog broja (cid:4666)6(cid:4667). Često se
realnih brojeva u kome su definisane operacije sabiranja i množenja na slijedeći
piše:
način: (cid:1876)(cid:3404)(cid:1844)(cid:1857)(cid:4668)(cid:1878)(cid:4669) (cid:1861) (cid:1877)(cid:3404)(cid:1835)(cid:1865)(cid:4668)(cid:1878)(cid:4669).
(cid:4666)(cid:1876) ,(cid:1877) (cid:4667)(cid:3397)(cid:4666) (cid:1876) ,(cid:1877) (cid:4667)(cid:3404) (cid:4666)(cid:1876) (cid:3397)(cid:1876) ,(cid:1877) (cid:3397)(cid:1877) (cid:4667), (cid:4666)1(cid:4667)
(cid:2869) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870)
(cid:2172)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2195)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2200) (cid:2778). Jednačina (cid:1876)(cid:2870)(cid:3397)1(cid:3404)0 ima dva rješenja u skupu (cid:1829). Neka (cid:1862)(cid:1857) (cid:4666)(cid:1878)(cid:3404)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667),
(cid:4666)(cid:1876) ,(cid:1877) (cid:4667)·(cid:4666) (cid:1876) ,(cid:1877) (cid:4667)(cid:3404) (cid:4666)(cid:1876) (cid:1876) (cid:3398)(cid:1877) (cid:1877) ,(cid:1876) (cid:1877) (cid:3397)(cid:1876) (cid:1877) (cid:4667). (cid:4666)2(cid:4667)
(cid:2869) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2870) (cid:2869) (cid:1873),(cid:1874)(cid:1488)(cid:1337).(cid:1872)(cid:1853)(cid:1856)(cid:1853) (cid:1862)(cid:1857)
(cid:1878)2(cid:3397)1(cid:3404)0(cid:1438)(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667)·(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874)(cid:4667)(cid:3397)(cid:4666)1,0(cid:4667)(cid:3404)(cid:4666)0,0(cid:4667) (cid:1438)(cid:4666)(cid:1873)(cid:2870)(cid:3398)(cid:1874)(cid:2870),2(cid:1873)(cid:1874)(cid:4667)(cid:3404)(cid:4666)(cid:3398)1,0(cid:4667),
(cid:2166)(cid:2187)(cid:2186)(cid:2196)(cid:2183)(cid:2193)(cid:2197)(cid:2201)(cid:2202) (cid:2193)(cid:2197)(cid:2195)(cid:2198)(cid:2194)(cid:2187)(cid:2193)(cid:2201)(cid:2196)(cid:2191)(cid:2190) brojeva (cid:1878) i (cid:1878) se uvodi na osnovu jednakosti uređenih
(cid:2869) (cid:2870)
parova, tj. odakle na osnovu (cid:4666)3(cid:4667) dobijamo jedan sistem jednačina u (cid:1337): (cid:1873)(cid:2870)(cid:3398)(cid:1874)(cid:2870)(cid:3404)(cid:3398)1;
2(cid:1873)(cid:1874)(cid:3404)0, koji ima dva para rješenja (cid:4666)(cid:1873)(cid:3404)0,(cid:1874)(cid:3404)1(cid:4667) (cid:1861) (cid:4666)(cid:1873)(cid:3404)0,(cid:1874)(cid:3404)(cid:3398)1(cid:4667). Dakle rješenja
(cid:3435)(cid:1878) (cid:3404)(cid:4666)(cid:1876) ,(cid:1877) (cid:4667), (cid:1878) (cid:3404)(cid:4666)(cid:1876) ,(cid:1877) (cid:1488)(cid:1829)(cid:4667)(cid:3439): (cid:1878) (cid:3404)(cid:1878) (cid:3643)(cid:1876) (cid:3404)(cid:1876) (cid:1512)(cid:1877) (cid:3404)(cid:1877) . (cid:4666)3(cid:4667)
(cid:2869) (cid:2869) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2870) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) jednačine (cid:1878)(cid:2870)(cid:3397)1(cid:3404)0 (cid:1871)(cid:1873):
(cid:2175)(cid:2202)(cid:2183)(cid:2204) (cid:2778). Operacija sabiranja kompleksnih brojeva je komutativna i asocijativna (cid:1878)(cid:2869)(cid:3404)(cid:4666)0,1(cid:4667)(cid:3404)(cid:1861) i (cid:1878)(cid:2870)(cid:3404)(cid:4666)0,(cid:3398)1(cid:4667)(cid:3404)(cid:3398)(cid:1861)
operacija, tj. vrijedi:
(cid:4666)(cid:1482)(cid:1878)(cid:2869),(cid:1878)(cid:2870)(cid:1488)(cid:1829)(cid:4667):(cid:1878)(cid:2869)(cid:3397)(cid:1878)(cid:2870)(cid:3404)(cid:1878)(cid:2870)(cid:3397)(cid:1878)(cid:2869) Definicija 5. (cid:2169)(cid:2197)(cid:2186)(cid:2203)(cid:2194) (cid:2193)(cid:2197)(cid:2195)(cid:2198)(cid:2194)(cid:2187)(cid:2193)(cid:2201)(cid:2196)(cid:2197)(cid:2189) (cid:2184)(cid:2200)(cid:2197)(cid:2192)(cid:2183) (cid:1878) u ounaci |(cid:1878)|, je nenegativan broj
(cid:4666)(cid:1482)(cid:1878) ,(cid:1878) ,(cid:1878) (cid:1488)(cid:1829)(cid:4667):(cid:4666)(cid:1878) (cid:3397)(cid:1878) (cid:4667)(cid:3397)(cid:1878) (cid:3404)(cid:1878) (cid:3397)(cid:4666)(cid:1878) (cid:3397)(cid:1878) (cid:4667).
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) |(cid:1878)|(cid:3404)(cid:3493)(cid:4666)(cid:1844)(cid:1857)(cid:4668)(cid:1878)(cid:4669)(cid:4667)(cid:2870)(cid:3397)(cid:4666)(cid:1835)(cid:1865)(cid:4668)(cid:1878)(cid:4669)(cid:4667)(cid:2870) ako ga zapišemo u obliku
|(cid:1878)|(cid:3404)(cid:3493)(cid:4666)(cid:1876)(cid:3398)0(cid:4667)(cid:2870)(cid:3397)(cid:4666)(cid:1877)(cid:3398)0(cid:4667)(cid:2870) zaključujemo da je modul k.b rastojanje k.b
(cid:2175)(cid:2202)(cid:2183)(cid:2204) (cid:2779). Operacija množenja kompleksnih brojeva je komutativna i asocijativna
operacija, tj (cid:1878)(cid:3404)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667) od k.b 0(cid:3404)(cid:4666)0,0(cid:4667), koji jedini ima svojstvo da je |0|(cid:3404)0.
(cid:4666)(cid:1482)(cid:1878) ,(cid:1878) (cid:1488)(cid:1829)(cid:4667):(cid:1878) ·(cid:1878) (cid:3404)(cid:1878) ·(cid:1878)
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2870) (cid:2869)
(cid:4666)(cid:1482)(cid:1878)1,(cid:1878)2,(cid:1878)3(cid:1488)(cid:1829)(cid:4667):(cid:4666)(cid:1878)1·(cid:1878)2(cid:4667)·(cid:1878)3(cid:3404)(cid:1878)1· (cid:4666)(cid:1878)2·(cid:1878)3(cid:4667). Za broj (cid:1878)(cid:1191)(cid:3404)(cid:1876)(cid:3398)(cid:1861)(cid:1877) kažemo da je (cid:2193)(cid:2197)(cid:2196)(cid:2192)(cid:2203)(cid:2189)(cid:2197)(cid:2204)(cid:2183)(cid:2196)(cid:2197)(cid:3398)(cid:2193)(cid:2197)(cid:2195)(cid:2198)(cid:2194)(cid:2187)(cid:2193)(cid:2201)(cid:2183)(cid:2196) broju (cid:1878)(cid:3404)(cid:1876)(cid:3397)(cid:1861)(cid:1877).
Sabiranjem (cid:4666)odnosno oduzimanjem(cid:4667) (cid:1878)(cid:3397)(cid:1878)(cid:1191) (cid:4666)(cid:1878)(cid:3398)(cid:1878)(cid:1191)(cid:4667) dobijamo slijedeće jednakosti:
1 1
(cid:2175)(cid:2202)(cid:2183)(cid:2204) (cid:2780). Operacija množenja distributivna je prema operaciji sabiranja, tj. (cid:1844)(cid:1857)(cid:4668)(cid:1878)(cid:4669)(cid:3404) (cid:4666)(cid:1878)(cid:3397)(cid:1878)(cid:1191)(cid:4667) (cid:1861) (cid:1835)(cid:1865)(cid:4668)(cid:1878)(cid:4669)(cid:3404) (cid:4666)(cid:1878)(cid:3398)(cid:1878)(cid:1191)(cid:4667)
2 2(cid:1861)
(cid:4666)(cid:1482)(cid:1878)(cid:2869),(cid:1878)(cid:2870),(cid:1878)(cid:2871)(cid:1488)(cid:1829)(cid:4667): (cid:1878)(cid:2869)·(cid:4666)(cid:1878)(cid:2870)(cid:3397)(cid:1878)(cid:2871)(cid:4667)(cid:3404)(cid:1878)(cid:2869)·(cid:1878)(cid:2870)(cid:3397)(cid:1878)(cid:2869)·(cid:1878)(cid:2871)
I
(cid:2175)(cid:2202)(cid:2183)(cid:2204) (cid:2781). Za svaki kompleksan broj (cid:1878)(cid:3404)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667) važi:
A
(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)(cid:3397)(cid:4666)0,0(cid:4667)(cid:3404)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667) , (cid:4666)4(cid:4667) (cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667) ·(cid:4666)1,0(cid:4667)(cid:3404)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667), (cid:4666)5(cid:4667) K
I
(cid:4666)(cid:2201)(cid:2202)(cid:2183)(cid:2204)(cid:2197)(cid:2204)(cid:2191) (cid:2197)(cid:2186) (cid:2778)(cid:3398)(cid:2781) (cid:2201)(cid:2202)(cid:2200) (cid:2785)(cid:2783)(cid:4667) T
A
Definicija 2. (cid:2175)(cid:2203)(cid:2198)(cid:2200)(cid:2197)(cid:2202)(cid:2183)(cid:2196) (cid:2184)(cid:2200)(cid:2197)(cid:2192) kompleksnog broja (cid:1878), u oznaci –(cid:1878), je kompleksni broj M
koji zadovoljava uslov: (cid:1878)(cid:3397)(cid:4666)(cid:3398)(cid:1878)(cid:4667)(cid:3404)0 E
T
A
Definicija 3. (cid:2174)(cid:2187)(cid:2185)(cid:2191)(cid:2198)(cid:2200)(cid:2197)č(cid:2196)(cid:2191) (cid:2184)(cid:2200)(cid:2197)(cid:2192) kompleksnog broja (cid:1878)(cid:3404)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)(cid:3405)(cid:4666)0,0(cid:4667) u oznaci (cid:2869) je M
(cid:3053)
(cid:2869)
kompleksni broj koji zadovoljava uslov: (cid:1878)· (cid:3404)1
(cid:3053)
Fakultet Elektrotehnike | SUDO 7
Skripta za usmeni
Iz trougla Oxz sa slike nalazimo (cid:1876)(cid:3404)|(cid:1878)|(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2016), (cid:1877)(cid:3404)(cid:1871)(cid:1861)(cid:1866)(cid:2016), gdje je (cid:1505)(cid:4666)(cid:1841)(cid:1876),(cid:1841)(cid:1878)(cid:4667)(cid:3404)(cid:2016). Ovaj
ugao naziva se (cid:2183)(cid:2200)(cid:2189)(cid:2203)(cid:2195)(cid:2200)(cid:2196)(cid:2202) (cid:2193)(cid:2197)(cid:2195)(cid:2198)(cid:2194)(cid:2187)(cid:2193)(cid:2201)(cid:2196)(cid:2197)(cid:2189) (cid:2184)(cid:2200)(cid:2197)(cid:2192)(cid:2183) (cid:1878)(cid:3404)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667) I označavamo ga sa
(cid:3052)
(cid:1853)(cid:1870)(cid:1859)(cid:1878). (cid:1872)(cid:1859)(cid:2016)(cid:3404) .
(cid:3051)
(cid:1878)(cid:3404)(cid:2025)(cid:4666)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2016)(cid:3397)(cid:1861)(cid:1871)(cid:1861)(cid:1866)(cid:2016)(cid:4667)
Veza između argument k.b i njemu konjugovano k.b je
1 1
(cid:1878)(cid:2879)(cid:2869)(cid:3404) (cid:3404) (cid:4666)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2016)(cid:3398)(cid:1861)(cid:1871)(cid:1861)(cid:1866)(cid:2016)(cid:4667).
(cid:1878) (cid:2025)
Formula za (cid:2201)(cid:2202)(cid:2187)(cid:2198)(cid:2187)(cid:2196) (cid:2193)(cid:2197)(cid:2195)(cid:2198)(cid:2194)(cid:2187)(cid:2193)(cid:2201)(cid:2196)(cid:2197)(cid:2189) broja (cid:4666)(cid:1839)(cid:1867)(cid:1861)(cid:1874)(cid:1870)(cid:1857)*(cid:3398)(cid:1867)(cid:1874)(cid:1853) (cid:1858)(cid:1867)(cid:1870)(cid:1865)(cid:1873)(cid:1864)(cid:1853)(cid:4667)
(cid:4666)cos(cid:2016)(cid:3397)(cid:1861)sin(cid:2016)(cid:4667)(cid:3041)(cid:3404)cos(cid:1866)(cid:2016)(cid:3397)(cid:1861)sin(cid:1866)(cid:2016), (cid:1866)(cid:1488)(cid:1852), (cid:4666)3(cid:4667)
(cid:2162)(cid:2197)(cid:2200)(cid:2195)(cid:2203)(cid:2194)(cid:2183) (cid:2208)(cid:2183) (cid:2196)(cid:2183)(cid:2194)(cid:2183)ž(cid:2187)(cid:2196)(cid:2192)(cid:2187) (cid:2196)(cid:3398)(cid:2202)(cid:2197)(cid:2189) (cid:2193)(cid:2197)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2196)(cid:2183) kompleksnog broja (cid:1878)
(cid:3031)(cid:3032)(cid:3033)
(cid:3289)√(cid:1878)(cid:3404)(cid:1875)(cid:4655)(cid:4656)(cid:1875)(cid:3041)(cid:3404)(cid:1878) (cid:4666)*1(cid:4667)
Ako prijeđemo u trigonometrijske oblike
(cid:1878)(cid:3404)(cid:1870)(cid:4666)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2016)(cid:3397)(cid:1861)(cid:1871)(cid:1861)(cid:1866)(cid:2016)(cid:4667) i (cid:1875)(cid:3404)(cid:2025)(cid:4666)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2030)(cid:3397)(cid:1861)(cid:1871)(cid:1861)(cid:1866)(cid:2030)(cid:4667)
i iskoristimo Moivre-ovu formula za stepen, iz (cid:4666)*1(cid:4667) dobijamo
(cid:2025)(cid:3041)(cid:4666)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1866)(cid:2030)(cid:3397)(cid:1861)(cid:1871)(cid:1861)(cid:1866)(cid:1866)(cid:2030)(cid:4667)(cid:3404)(cid:1870)(cid:4666)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2016)(cid:3397)(cid:1861)(cid:1871)(cid:1861)(cid:1866)(cid:2016)(cid:4667),
odakle je (cid:4666)na osnovu jednakosti k.b(cid:4667)
(cid:2016)(cid:3397)2(cid:1863)(cid:2024)
(cid:2025)(cid:3404) (cid:3289)√(cid:1870) (cid:1512) (cid:2030)(cid:3404) , (cid:4666)(cid:1863)(cid:3404)0,(cid:3399)1,(cid:3399)2,…(cid:4667),
(cid:1866)
Prema tome, ako je (cid:1878)(cid:3404)(cid:1870)(cid:4666)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2016)(cid:3397)(cid:1861)(cid:1871)(cid:1861)(cid:1866)(cid:2016)(cid:4667), tada je
(cid:2016)(cid:3397)2(cid:1863)(cid:2024) (cid:2016)(cid:3397)2(cid:1863)(cid:2024)
(cid:1875) (cid:3404) (cid:3289)√(cid:1878)(cid:3404) (cid:3289)√(cid:1870)(cid:3436)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871) (cid:3397)(cid:1861)(cid:1871)(cid:1861)(cid:1866) (cid:3440) , (cid:4666)(cid:1863)(cid:3404)0,(cid:3399)1,(cid:3399)2,...(cid:4667);
(cid:3038) (cid:1866) (cid:1866)
Definicija. (cid:2172)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2200)(cid:2197)(cid:2186)(cid:2196)(cid:2191) (cid:2194)(cid:2197)(cid:2189)(cid:2183)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2202)(cid:2183)(cid:2195) (cid:2193)(cid:2197)(cid:2195)(cid:2198)(cid:2194)(cid:2187)(cid:2193)(cid:2201)(cid:2196)(cid:2197)(cid:2189) broja z, u oznaci (cid:1838)(cid:1866) (cid:1878), definiše se
kao i u skupu (cid:1337), tj.
(cid:1875)(cid:3404)(cid:1838)(cid:1866) (cid:1878)(cid:1438)z(cid:3404)(cid:1857)(cid:3050) (cid:4666)(cid:1875)(cid:1488)(cid:1829)(cid:4667)
I
A
K
I
T
A
M
E
T
A
M
Fakultet Elektrotehnike | SUDO 8
Skripta za usmeni
(cid:3041) (cid:3041)
(cid:1856)(cid:1857)(cid:1872)(cid:1827)(cid:3404)(cid:3533)(cid:4666)(cid:3398)1(cid:4667)(cid:3036)(cid:2878)(cid:3038)(cid:1853) (cid:1827) (cid:4666)3(cid:4667) (cid:1856)(cid:1857)(cid:1872)(cid:1827)(cid:3404)(cid:3533)(cid:4666)(cid:3398)1(cid:4667)(cid:3038)(cid:2878)(cid:3037)(cid:1853) (cid:1827) (cid:4666)4(cid:4667)
(cid:3036)(cid:3038) (cid:3036)(cid:3038) (cid:3038)(cid:3037) (cid:3038)(cid:3037)
Matrice i determinante (cid:3038)(cid:2880)(cid:2869) (cid:3038)(cid:2880)(cid:2869)
Neka je A=[ (cid:1853) ] kvadratna matrica reda (cid:1866), tada proizvod (cid:4666)(cid:3398)1(cid:4667)(cid:3036)(cid:2878)(cid:3037)(cid:1827) , gdje je (cid:1827)
(cid:3036)(cid:3037) (cid:3036)(cid:3037) (cid:3036)(cid:3037)
minor elemenata (cid:1853) zovemo (cid:2183)(cid:2194)(cid:2189)(cid:2187)(cid:2184)(cid:2183)(cid:2200)(cid:2201)(cid:2193)(cid:2191) (cid:2193)(cid:2197)(cid:2195)(cid:2198)(cid:2194)(cid:2187)(cid:2195)(cid:2187)(cid:2196)(cid:2202) (cid:2191)(cid:2194)(cid:2191) (cid:2193)(cid:2197)(cid:2188)(cid:2183)(cid:2193)(cid:2202)(cid:2197)(cid:2200) elemenata
(cid:3036)(cid:3037)
(cid:1853) .
(cid:3036)(cid:3037)
Neka su (cid:1865) (cid:1861) (cid:1866) prirodni brojevi. Skup A (cid:1853)(cid:3036)(cid:3037) (cid:4666)(cid:1861)(cid:3404)1,2,…,(cid:1865); (cid:1862)(cid:3404)1,2,…,(cid:1866)(cid:4667) realnih ili (cid:2172)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2195)(cid:2192)(cid:2187)(cid:2200): (cid:1827)(cid:3404)(cid:4674) 1 1(cid:4675) , (cid:1856)(cid:1857)(cid:1872)(cid:1827)(cid:3404)4
kompleksnih brojeva koje zapisujemo u obliku pravougaone šeme (cid:3398)1 3
(cid:1853) (cid:1853) … (cid:1853) (cid:2171)(cid:2201)(cid:2197)(cid:2184)(cid:2191)(cid:2196)(cid:2187) (cid:2186)(cid:2187)(cid:2202)(cid:2187)(cid:2200)(cid:2195)(cid:2191)(cid:2196)(cid:2183)(cid:2196)(cid:2202)(cid:2191):
(cid:2869)(cid:2869) (cid:2869)(cid:2870) (cid:2869)(cid:3041)
(cid:1827)(cid:3404)(cid:3430)(cid:1853)(cid:2870)(cid:2869) (cid:1853)(cid:2870)(cid:2870) … (cid:1853)(cid:2870)(cid:3041)(cid:3434) (cid:4666)1*(cid:4667) (cid:2208)(cid:2204)(cid:2183)ć(cid:2187)(cid:2195)(cid:2197) (cid:2195)(cid:2183)(cid:2202)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2185)(cid:2183). Neka je A=[ (cid:1853)(cid:3036)(cid:3037)] kvadratna matrica reda (cid:1866) tada (cid:1856)(cid:1857)(cid:1872)(cid:1827) ima slijedeće osobine:
(cid:1709) (cid:1709) (cid:1709) (cid:1709) 1. (cid:1856)(cid:1857)(cid:1872)(cid:1827)(cid:3404)(cid:1856)(cid:1857)(cid:1872)(cid:1827)(cid:3021), za ma koju kvadratnu matricu (cid:1827) .
(cid:1853)(cid:3040)(cid:2869) (cid:1853)(cid:3040)(cid:2870) (cid:1710) (cid:1853)(cid:3040)(cid:3041)
2. (cid:1827)(cid:1863)(cid:1867) (cid:1862)(cid:1857) (cid:1861)(cid:3398)(cid:1872)(cid:1853) (cid:1863)(cid:1867)(cid:1864)(cid:1867)(cid:1866)(cid:1853) (cid:4666)(cid:1874)(cid:1870)(cid:1871)(cid:1872)(cid:1853)(cid:4667)matrice (cid:1827) linearna kombinacija
Za maticu (cid:4666)1*(cid:4667) kažemo da ima (cid:1865) vrsta i (cid:1866) kolona, odnosno da je tipa (cid:4666)formata(cid:4667) (cid:1863)(cid:1867)(cid:1864)(cid:1867)(cid:1866)(cid:1853) (cid:4666)(cid:1874)(cid:1870)(cid:1871)(cid:1872)(cid:1853)(cid:4667) (cid:1842) (cid:1861) (cid:1843) tj.oblika je (cid:2009)(cid:2869)(cid:1842)(cid:3397)(cid:2009)(cid:2870)(cid:1843) , tada je (cid:1856)(cid:1857)(cid:1872)(cid:1827)(cid:3404)(cid:2009)(cid:2869)(cid:1856)(cid:1857)(cid:1872)(cid:1827)(cid:3017)(cid:3397)
(cid:1865)(cid:3400) (cid:1866). Napomenimo da prvi indeks označava redni broj vrste a drugi broj kolone. (cid:2009)(cid:2870)(cid:1856)(cid:1857)(cid:1872)(cid:1827)(cid:3018)gdje su (cid:1827)(cid:3017) (cid:1861) (cid:1827)(cid:3018) matrice dobijene iz matrice (cid:1827) zamjenom
Dakle brojevi (cid:1861)(cid:3398)(cid:1872)(cid:1857) kolone (cid:4666)(cid:1874)(cid:1870)(cid:1871)(cid:1872)(cid:1857)(cid:4667) kolonom (cid:4666)(cid:1874)(cid:1870)(cid:1871)(cid:1872)(cid:1867)(cid:1865)(cid:4667) (cid:1842) odnosno (cid:1843) .
(cid:1853) (cid:4666)(cid:1863)(cid:3404)1,2,…,(cid:1866)(cid:4667) č(cid:1861)(cid:1866)(cid:1857) (cid:1861)(cid:3398)(cid:1872)(cid:1873) (cid:1874)(cid:1870)(cid:1871)(cid:1872)(cid:1873) (cid:1865)(cid:1853)(cid:1872)(cid:1870)(cid:1861)(cid:1855)(cid:1857) (1*), a brojevi
(cid:3036)(cid:3038) 3. Ako u matrici promijene mjesta ma koje dvije kolone (cid:4666)vrste(cid:4667), tad njena
(cid:1853) (cid:4666)(cid:1863)(cid:3404)1,2,…,(cid:1865)(cid:4667) č(cid:1861)(cid:1866)(cid:1857) (cid:1862)-(cid:1872)(cid:1873) (cid:1863)(cid:1867)(cid:1864)(cid:1867)(cid:1866)(cid:1873) (cid:1865)(cid:1853)(cid:1872)(cid:1870)(cid:1861)(cid:1874)(cid:1857) (cid:4666)1*(cid:4667) determinanta mijenja znak .
(cid:3038)(cid:3037)
Za elemente (cid:1853) ,(cid:1853) ,…,(cid:1853) kvadratne matrice kažemo da čine
(cid:2869)(cid:2869) (cid:2870)(cid:2870) (cid:3041)(cid:3041) 4. Ako matrica (cid:1827) ima ima dvije jednake kolone (cid:4666)vrste(cid:4667) tada je (cid:1856)(cid:1857)(cid:1872)(cid:1827)(cid:3404)0 .
(cid:2186)(cid:2191)(cid:2192)(cid:2183)(cid:2189)(cid:2197)(cid:2196)(cid:2183)(cid:2194)(cid:2203) (cid:2195)(cid:2183)(cid:2202)(cid:2200)(cid:2191)(cid:2185)(cid:2187).
5. Ako je jedna kolona (cid:4666)vrsta(cid:4667) matrice (cid:1827) linearna kombinacija ostalih
(cid:2160)(cid:2187)(cid:2202)(cid:2187)(cid:2200)(cid:2195)(cid:2191)(cid:2196)(cid:2183)(cid:2196)(cid:2202)(cid:2183) kvadratne matrice (cid:1827)(cid:3404)(cid:4670) (cid:1853) (cid:4671) reda (cid:1866) je broj koji se korespondira
(cid:3036)(cid:3037) kolona (cid:4666)vrsta(cid:4667) , tada je (cid:1856)(cid:1857)(cid:1872)(cid:1827)(cid:3404)0 .
matrici (cid:1827) preko elemenata matrice (cid:1827). Determinantu matrice obilježavaćemo
(cid:1853)(cid:2869)(cid:2869) (cid:1853)(cid:2869)(cid:2870) … (cid:1853)(cid:2869)(cid:3041) 6. Determinanta matrice (cid:1827) se ne mijenja ako ma kojoj koloni (cid:4666)vrsti(cid:4667) dodamo
(cid:1856)(cid:1857)(cid:1872)(cid:1827)(cid:3404)(cid:3430)(cid:1853)(cid:2870)(cid:2869) (cid:1853)(cid:2870)(cid:2870) … (cid:1853)(cid:2870)(cid:3041)(cid:3434) (cid:4666)1(cid:4667) linearnu kombinaciju ostalih kolona (cid:4666)vrsta(cid:4667) matrice (cid:1827) .
(cid:1709) (cid:1709) (cid:1709) (cid:1709)
(cid:1853)(cid:3041)(cid:2869) (cid:1853)(cid:3041)(cid:2870) (cid:1710) (cid:1853)(cid:3041)(cid:3041) 7. Det. množimo brojem tako što joj proizvoljnu kolonu (cid:4666)vrstu(cid:4667) pomnožimo
tim brojem.
Preciznije pod determinantom matrice (cid:1827)(cid:3404)(cid:4670) (cid:1853) (cid:4671) reda n (cid:4666)(cid:1866) (cid:3408)1(cid:4667)
(cid:3036)(cid:3037)
podrazumijevamo broj,
(cid:3041) 8. Ako determinant sadrži čitavu kolonu (cid:4666)vrstu(cid:4667) nula tada je njena (cid:1856)(cid:1857)(cid:1872)(cid:1827)(cid:3404)0 .
I
(cid:1856)(cid:1857)(cid:1872)(cid:1827)(cid:3404)(cid:3533)(cid:4666)(cid:3398)1(cid:4667)(cid:3038)(cid:2878)(cid:2869)(cid:1853)(cid:2869)(cid:3038)(cid:1827)(cid:2869)(cid:3038) , (cid:4666)2(cid:4667) A
(cid:3038)(cid:2880)(cid:2869) Osobina 2. Za dokaz ove osobine podsjetimo se da za (cid:1482)(cid:1863) (1(cid:3409)(cid:1863)(cid:3409)(cid:1866)) važi K
Gdje je (cid:1827) determinanta kvadratne matrice reda (cid:1866)(cid:3398)1 koja je dobijena iz
matrice (cid:1827)(cid:2869) (cid:3038)brisanjem prve vrste i (cid:1863)(cid:3398)(cid:1872)(cid:1857) kolone. (cid:1853)(cid:3038)(cid:3036) (cid:3404)α(cid:2869)p(cid:2921)(cid:3397)α(cid:2870)q(cid:2921) (1) TI
A
U relaciji (cid:4666)2(cid:4667) broj (cid:4666)determinanata(cid:4667) (cid:1827)(cid:2869)(cid:3038) zove se (cid:2195)(cid:2191)(cid:2196)(cid:2197)(cid:2200) elemenata (cid:1853)(cid:2869)(cid:3038). gdje smo sa (cid:1868)(cid:3038) i q(cid:2921) označili elemente kolona (vrsta) (cid:1842) (cid:1861) (cid:1843). Ako (1) uvrstimo u razvoj M
Dakle, minor proizvoljnog elementa (cid:1853)(cid:3036)(cid:3037) determinante matrice (cid:1827) je determinanta detA po i-toj koloni, dobijamo E
(cid:1827)(cid:3036)(cid:3037) matrice, koja je dobijena iz matrice (cid:1827) brisanjem (cid:1861)(cid:3398)(cid:1872)(cid:1857) vrste i (cid:1862)(cid:3398)(cid:1872)(cid:1857) kolone. (cid:3041) (cid:3041) (cid:3041) T
(cid:1856)(cid:1857)(cid:1872)(cid:1827)(cid:3404)(cid:3533)(cid:4666)(cid:3398)1(cid:4667)(cid:3038)(cid:2878)(cid:3036)(cid:1853)(cid:3038)(cid:3036)(cid:1827)(cid:3038)(cid:3036) (cid:3404)(cid:2009)(cid:2869)(cid:3533)(cid:4666)(cid:3398)1(cid:4667)(cid:3038)(cid:2878)(cid:3036)(cid:1868)(cid:3038)(cid:1827)(cid:3038)(cid:3036)(cid:3397)(cid:2009)(cid:2870)(cid:3533)(cid:4666)(cid:3398)1(cid:4667)(cid:3038)(cid:2878)(cid:3036)(cid:1869)(cid:3038)(cid:1827)(cid:3038)(cid:3036) (cid:3404) A
M
(cid:2175)(cid:2202)(cid:2183)(cid:2204) (cid:2778). (cid:2168)(cid:2183)(cid:2198)(cid:2194)(cid:2183)(cid:2185)(cid:2187)(cid:2197)(cid:2204) (cid:2200)(cid:2183)(cid:2208)(cid:2204)(cid:2197)(cid:2192) Za svaku kvadratnu matricu (cid:1827) reda (cid:1866) i svako (cid:1861),(cid:1862) (cid:4666)1(cid:3409) (cid:3038)(cid:2880)(cid:2869) (cid:3038)(cid:2880)(cid:2869) (cid:3038)(cid:2880)(cid:2869)
(cid:1861),(cid:1862)(cid:3409)(cid:1866)važi. (cid:3404)(cid:2009) (cid:1856)(cid:1857)(cid:1872)(cid:1827) (cid:3397)(cid:2009) (cid:1856)(cid:1857)(cid:1872)(cid:1827) .
(cid:2869) (cid:3043) (cid:2870) (cid:3044)
Fakultet Elektrotehnike | SUDO 9
