Skript Ana I bis III vervollständigt (nicht korrektur gelesen)

271 Pages·2008·2.38 MB·German

Skript Ana I bis III
(cid:22) vervollst(cid:228)ndigt (cid:22)
(nicht korrektur gelesen)
Wintersemester 2005
(cid:21) Wintersemester 2006
LATEX von Maximilian Michel
1. September 2008

Inhaltsverzeichnis
I. Analysis I 5
0. Grundlagen der Logik und der Mengenlehre 6
0.1. Grundbegri(cid:27)e der Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.2. Grundbegri(cid:27)e der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.3. Relationen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
0.4. Die nat(cid:252)rlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1. Zahlenr(cid:228)ume 22
1.1. Der Ring der ganzen und der K(cid:246)rper der rationalen Zahlen . . . . . . . . . 22
1.2. Der K(cid:246)rper der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3. K(cid:246)rper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4. Die arithmetischen Vektorr(cid:228)ume Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2. Topologie des Rn 35
2.1. Normierte Vektorr(cid:228)ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2. Punktfolgen im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3. Unendliche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4. Stetige Abbildungen von Rn nach Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5. Funktionenfolgen und -reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.6. Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3. Spezielle Funktionen 88
3.1. Die Exponential- und die Logarithmus-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2. Die hyperbolischen und Area-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3. Die Kreis- und die Argument-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4. Die trigonometrischen und Arcus-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5. Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.6. Stammfunktion einzelner Summanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.7. Grenzwerte von Reihen und Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
II. Analysis II 92
4. Di(cid:27)erential und Integralrechung in einer Ver(cid:228)nderlichen 93
4.1. Di(cid:27)erentierbarkeit und Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2. Der Mittelwertsatz der Di(cid:27)erentialrechnung und seine Anwendung . . . . . 99
4.3. Stammfunktion (unbestimmte Integrale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3
Inhaltsverzeichnis
4.4. Taylorapproximation und Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.5. Das Riemannsche Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5. Di(cid:27)erentialrechnung in mehreren Variablen 147
5.1. Partielle und totale Di(cid:27)barkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2. Die Taylorschen S(cid:228)tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.3. Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.4. Lokale Umkehrs(cid:228)tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.5. Parameterabh(cid:228)ngiges R-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
III. Analysis III 186
6. Gew(cid:246)hnliche Di(cid:27)erentialgleichungen 187
6.1. Problemstellung und geometrische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . 187
6.2. Elementare L(cid:246)sungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.3. Allgemeine S(cid:228)tze (cid:252)ber Di(cid:27)erentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . 192
6.4. Lineare Di(cid:27)erentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7. Integralrechnung in mehreren Ver(cid:228)nderlichen 207
7.1. Das Riemannsche Integral (cid:252)ber Quaderbereichen . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.2. Das Riemannsche Integral (cid:252)ber Jordan-messbaren Bereichen . . . . . . . . 214
7.3. Der Satz von Fubini und der Transformationssatz f(cid:252)r Riemann-Integrale . 222
7.4. Der Fl(cid:228)cheninhalt p-dimensionaler Fl(cid:228)chen im Rn . . . . . . . . . . . . . . 228
7.5. Das Lebesguesche Ma(cid:255) und Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8. Di(cid:27)erentialformen 249
8.1. ˜u(cid:255)ere Potenzen von Vektorr(cid:228)umen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
8.2. Di(cid:27)erentialformen und (cid:228)u(cid:255)ere Di(cid:27)erentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
8.3. Kurven- und Fl(cid:228)chenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
8.4. Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4
Teil I.
Analysis I
5
0. Grundlagen der Logik und der
Mengenlehre
Gegen(cid:252)ber der Logik und der Mengenlehre nehmen wir einen naiv-intuitiven Standpunkt
ein und behandeln dieses Gebiet nicht axiomatisch als mathematische Disziplin.
0.1. Grundbegri(cid:27)e der Logik
Wir f(cid:252)hren im wesentlichen nur Abk(cid:252)rzungen ein um eine k(cid:252)rzere und pr(cid:228)zisere Formu-
lierung mathematischer Aussagen zu erm(cid:246)glichen.
Wir gehen davon aus, dass eine mathematische Aussage entweder wahr oder falsch ist.
Beispielsweise: (cid:18)397 ist eine Primzahl(cid:16) ist eine mathematische Aussage. Diese ist wahr.
Bemerkung. Dies ist eine starke Vereinfachung. In der Mathematik ist es an sich uner-
heblich, ob eine Aussage im absoluten Sinn wahr oder falsch ist. Die absolute Antwort
geh(cid:246)rt eher in den Bereich der Philosophie.
Einzig wichtig ist:
• ist eine Aussage aus den gegebenen Grundannahmen (Axiomen) beweisbar?
• ist eine Aussage wiederlegbar?
• ist sie (cid:252)berhaupt entscheidbar?
nicht jede Aussage ist beweisbar, als Beispiel sei hier die Kontinuumstheorie
genannt.
Aus Aussagen α, β lassen sich mit Hilfe logischer Verkn(cid:252)pfungen neue Aussagen gewin-
aussagelogischerJunktionen
nen.
Hier eine Zusammenstellung der wichtigsten Axiome:
| {z }
Negation ¬α
(cid:18)nicht α(cid:16)
Konjunktion α∧β
(cid:18)α und β
Adjunktion α∨β
(cid:18)α oder β oder in beidem(cid:16)
6
0.1. Grundbegri(cid:27)e der Logik
Logisches ausschlie(cid:255)endes (cid:18)oder(cid:16) α∨˙β
(cid:18)entwede α oder β(cid:16)
Implikation α ⇒ β
(cid:18)wenn α dann auch β(cid:16)
(cid:18)α hat β zur Folge(cid:16)
(cid:18)aus α folgt β(cid:16)
Koimplikation α ⇔ β
(cid:18)α ist genau dann richtig, wenn β richtig ist
Beispiel. Ihre Wahrheitswerte sind:
α β ¬α α∧β α∨β α ⇒ β α ⇔ β
w w f w w w w
w f f f w f f
f w w f w w f
f f w f f w w
not and or impl equiv
Bemerkung. zu den letzten beiden Eintr(cid:228)gen der α ⇒ β-Spalte: das l(cid:228)sst sich so lesen: (cid:18)
wenn α falsch ist, kann β machen, was es will, die Aussage ist wahr!(cid:16). Oder auch: (cid:18)Wenn
α richtig w(cid:228)re (was es aber nicht ist), k(cid:246)nnte auch β richtig sein, braucht es aber nicht(cid:16)
Eine zusammengesetzte Aussage hei(cid:255)t allgemeing(cid:252)ltig (Tautopologie), wenn sie bei
jeder Belegung der Einzelaussagen mit (cid:18)w/f(cid:16) den Wert wahr annimt. So ist Beispielsweise
α∨¬α immer wahr
Bemerkung. Das Gegenteil dieser Aussage bezeichnet man als Kontradiktion, zum
Beipsiel ist α∧¬α immer falsch
Zwei Aussagen sind (cid:228)quivalent, wenn die Koimplikation α ⇔ allgemeing(cid:252)ltig ist, das
hei(cid:255)t, wenn α und β gleiche Wahrheitswerte besitzen. Als Beispiel sei hier
¬(α∧β)(cid:228)quivalent zu ¬α∧¬β
genannt.
Ist α(x) eine Aussage, die eine freie (nicht spezi(cid:28)zierte) Variable x enth(cid:228)lt (zum Beispiel
(cid:18)x ist eine Primzahl(cid:16)), so k(cid:246)nnen durch pr(cid:228)dikadenz logischer Quantoren neue Aus-
sagen gebildet werden.
Allquantor:
∀ α(x)
x
was soviel bedeutet wie: (cid:18)F(cid:252)r alle x gilt die Aussage α(x), bzw. (cid:18)jedes x erf(cid:252)llt α(x)(cid:16)
Schreibweise auch: statt ∀, da der Allquantor (bei endlich vielen Variablen) eine allge-
meine (cid:18)und(cid:16)-Verbindung ist. Es gilt dann:
α(x )∧α(x )∧α(x )∧...∧α(x )
1 2 3 n
V
7
0. Grundlagen der Logik und der Mengenlehre
Existenzquantor:
∃ α(x)
x
oder anders ausgedr(cid:252)ckt: (cid:18)Es existiert (mindestens) ein x mit α(x)
Schreibweiseauch: ,daerauchalsverallgemeinerte(cid:18)und(cid:16)-Verbindungaufgefasstwerden
kann. Es gilt dann
α(x )∨α(x )∨α(x )...∨α(x )
1 2 3 n
Wichtige Aussagen/Eigenschften von ∀ und ∃:
W
1.
¬∀ α(x) ⇔ ∃¬α(x)
x
¬∃ α(x) ⇔ ∀¬α(x)
x
2. ∃ ∀ α(x,y) ⇒ ∀ ∃ α(x,y)
x y y x
Gelesen: Es gibt ein (globales) x, sodass f(cid:252)r alle y die Aussage α(x,y) richtig ist.
rechts: Zu jedem y gibt es ein (individuelles, eventuell von y abh(cid:228)ngiges) x mit der
Eigenschaft α(x,y)
Vorsicht: Die Umkehrung ((cid:18)⇐(cid:16)) ist im allgemeinen nicht richtig!
De(cid:28)niert man (etwa zur Abk(cid:252)rzung) eine Aussage α durch eine Aussage (die wir bereits
kennen) β, so schreibt man:
α :⇔ β
und sagen dazu: (cid:18)α sei gleichbedeutend mit β(cid:16) oder auch: (cid:18)α wird de(cid:28)niert durch β(cid:16)
Beispiel. Quantor der Eindeutigen Existenz:
∃! α(x) = ∃ α(x)∧∀ ∀ (α(x)∧α(y) ⇒ x = y),
x x x y
Existenz Eindeutigkeit
sprich: (cid:18)Es gibt genau ein x mit α(x)
| {z } | {z }
Eingeschr(cid:228)nkte Quantisierung mit der Elementarbeziehung (cid:18)∈(cid:16) der Mengenlehre
∀ α(x) :⇔ ∀ (x ∈ A ⇒ α(x)),
x∈A x
das hei(cid:255)t soviel wie: (cid:16)wenn x ∈ A, dann haben sie die Eigenschaft α(x) (cid:18)
Weiter gibt es auch:
∃ α(x) :⇔ ∃ (x ∈ A∧α(x))
x∈A x
Wichtige Beweismethoden
Zu den wichtigsten Beweismethoden geh(cid:246)ren:
I der direkte Beweis (Abtrennungsregel)
wenn die Aussage α und auch die Implikation α ⇒ β richtig ist, dann muss (als
Schlussfolgerung) auch die Aussage β richtig sein.
Beispiel. Bekannt ist:
8
0.1. Grundbegri(cid:27)e der Logik
1. Es ist Freitag morgen [α]
2. Jeden Freitag gehe ich in die Analysis Vorlesung [α → β]
3. daraus folgt: ich sitze grade in der Vorlesung Analysis [β]
Praktische Anwendung: (Beweis von β):
α Ausgangspunkt: Bekannter Sachverhalt
⇒ β
1
⇒ β logische Schlussfolgerungen
2
.
.
.
⇒ β liefern die G(cid:252)ltigkeit von β
Bemerkung. Wichtig ist hier die Verwendung von Folgepfeilen (cid:18)⇒(cid:16)! Man kann nicht
einfach die Aussagen untereinander schreiben!
Weitere Anwendungen dieser Beweismethode: Beweis der ˜quivalenz α ⇔ β
1. Methode: ˜quivalente Umformungen
α
⇔ β
1
⇔ β
2
.
.
.
⇔ β
2. Methode: Getrennte Beweise von α ⇒ β und β ⇒ α:
α β
⇒ β ⇒ α
1 1
⇒ β ⇒ α
2 2
. .
. .
. .
⇒ β ⇒ α
n n
⇒ β ⇒ α
diese Methode ist viel Flexibler, da andere Zwischenschritte gew(cid:228)hlt werden
k(cid:246)nnen.
II der indirekte Beweis (Widerspruchsbeweis)
wenn die Implikation ¬α ⇒ β richtig ist, aber β nicht, so muss die Aussage
αrichtig sein.
Annahme:
¬α ¬α ⇒ β
⇒ β w w w
1
⇒ β w f f
2
.
.
. f w w
⇒ β Aber¬β!! f w f
9
0. Grundlagen der Logik und der Mengenlehre
Annahme: der Sachverhalt ¬α liefert mir das β aus rein logischen Schl(cid:252)ssen. Dann folgt
also: α ⇒ ··· ⇒ ¬β. Der Widerspruch ¬β ziegt, dass α richtig sein muss.
Bemerkung. Mathematische Aussagen (S(cid:228)tze) und ihre Beweise durch logische Schl(cid:252)sse
k(cid:246)nnen Umgangssprachlich sein. Eine strenge Formalisierung mit Hilfe logischer Symbole
ist nicht n(cid:246)tig. Die Formulierung muss aber so pr(cid:228)zise sein, dass man die logsiche Struktur
erkennen kann. Sonst wird es (cid:18)gefasel(cid:16).
0.2. Grundbegri(cid:27)e der Mengenlehre
Eine g(cid:228)ngige De(cid:28)nition einer Menge geht auf Cantor zur(cid:252)ck:
De(cid:28)nition. Menge
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterscheidbaren Objekten
zu einem ganzen
Bemerkung. Dieser (cid:18)naive(cid:16) Mengenbegri(cid:27) ist logisch nicht haltbar und f(cid:252)hrt zu Wider-
spr(cid:252)chen (Antinomien). Heute gibt es verschiedene ((cid:228)quivalente) axiomonetische Men-
genlehren, die (ho(cid:27)entlich) konsistent sind.
Grundsymbol ist das Zeichen (cid:18)∈(cid:16) f(cid:252)r die Elementenbeziehung x ∈ A , was soviel hei(cid:255)t
wie: (cid:18)x ist Element von A(cid:16) oder (cid:18)x liegt in A(cid:16). Die Negation lautet: x ∈/ A :⇔ ¬(x ∈ A).
Man kann auch sagen. ∈ ist ein zweistelliges Pr(cid:228)dikat, das aus den Objekten (cid:18)x(cid:16) und (cid:18)A(cid:16)
eine Aussage macht (cid:18)x ∈ A(cid:16).
Zwischen der Elementenbeziehung und der Gleichheit von Mengen besteht der fundamen-
tale Zusammenhang
A = B ⇔ ∀ (x ∈ A ⇔ x ∈ B)
x
Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie die selben Elemente haben.
De(cid:28)niert man das Pr(cid:228)dikat(cid:16)⊂(cid:16) der Teilmengenbeziehung (Inklusion) durch
A ⊂ B :⇔ ∀ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
x
so gilt:
A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A
Dies ist wichtig f(cid:252)r den Beweis der Gleichheit.
Weitere Abk(cid:252)rzungen:
A (cid:40) B :⇔ A ⊂ B ∧A (cid:54)= B A ist echte Teilmenge von B
A ⊃ B :⇔ B ⊂ A
A (cid:41) B :⇔ B ⊂ A∧B (cid:54)= A
usw.
Bemerkung. Oft wird auch (cid:18)⊆(cid:16) statt (cid:18)⊂(cid:16) (f(cid:252)r Teilmengen) bzw. (cid:18)⊂(cid:16) statt (cid:18)(cid:40)(cid:16)(f(cid:252)r echte
Teilmengen) verwendet.
10