Sismología Aplicada y de Exploración

217 Pages·2017·8.8 MB·Spanish

Sismología Aplicada y de Exploración
513430 - Sismología Aplicada y de Exploración
Apuntes adicionales
Matt Miller
http://mttmllr.com/sismologia.htm
UniversidaddeConcepcio´n,Geof´ısica,513430Sismolog´ıaAplicadaydeExploracio´n,Clase1–p.1/17
1 Ondas de cuerpo
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1.1 Deformación
En una dimensión:
x es una posición en el medio.
u es el desplazamiento de esta posición x desde su punto de equilibrio.
La deformación en esta situación, denominada ǫ , es:
11
− −
l l u(x + δx) u(x) δu 1 ∂u(x) ∂u(x)
2 1 ≃ ≃
ǫ = = + (1.1)
11
l δx δx 2 ∂x ∂x
1
(cid:18) (cid:19)
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1.1 Deformación
En tres dimensiones:
∂u ∂u ∂u
x x x
dx
∂x ∂y ∂z
u(x + δx) ≃ u(x) + ∂uy ∂uy ∂uy  dy
∂x ∂y ∂z  
∂uz ∂uz ∂uz dz
 
∂x ∂y ∂z  
 
 
 
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1.1 Deformación
En otras palabras ...
u x δx ≃ u x Jd
( + ) ( ) +
Podemos escribir J en componentes simétricos y asimétricos, J = ǫ + Ω:
∂ux 1 ∂ux + ∂uy 1 ∂ux + ∂uz
∂x 2 ∂y ∂x 2 ∂z ∂x
ǫ = 1 ∂uy + ∂ux (cid:16) ∂uy (cid:17) 1 (cid:16)∂uy + ∂uz (cid:17)
2 ∂x ∂y ∂y 2 ∂z ∂y
1 (cid:16)∂uz + ∂ux (cid:17) 1 ∂uz + ∂uy (cid:16) ∂uz (cid:17)
 
2 ∂x ∂z 2 ∂y ∂z ∂z
 
 (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) 
0 1 ∂ux − ∂uy 1 ∂ux − ∂uz
2 ∂y ∂x 2 ∂z ∂x
Ω = 1 ∂uy − ∂ux (cid:16) 0 (cid:17) 1 (cid:16)∂uy − ∂uz (cid:17)
2 ∂x ∂y 2 ∂z ∂y
1 (cid:16)∂uz − ∂ux (cid:17) 1 ∂uz − ∂uy (cid:16) 0 (cid:17)
 
2 ∂x ∂z 2 ∂y ∂z
 
 (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) 
ǫ Ω
Aquí, es el tensor de deformación y es el tensor de rotación.
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1.1 Deformación
Un ejemplo en 2 dimensiones:
∂u ∂u
x x 0 θ 0 θ
JA = ∂x ∂z ≃ ; JB ≃
∂uz ∂uz θ 0 −θ 0
! ! !
∂x ∂z
Una deformación del elemento de área tiene un tensor simétrico, y una
rotación tiene un tensor asimétrico. En sismología trabajamos en un marco de
referencia en que el medio no se esta girando, entonces podemos representar
la deformación del medio por el tensor de deformación:
1 ∂u(x ) ∂u(x ) 1 ∂u ∂u
i j ≡ i j
ǫ = + + (1.2)
ij
2 ∂x ∂x 2 ∂x ∂x
j i j i
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
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1.2 Esfuerzo
Consideremos un elemento de volumen en el medio:
T T T
Los tres vectores de tracción , y representan las fuerzas por unidad
1 2 3
de área sobre las tres caras del cubo infinitesimal.
Para describir las fuerzas que actúan en un punto de un medio tres
dimensional, requerimos nueve elementos del tensor de esfuerzo σ . La
ij
relación entre las tracciones y el esfuerzo es:
≡
T = σ n σ n (1.3)
i ij j ji j
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1.2 Esfuerzo
En el marco de referencia en que el medio no se esta girando, lo que aplica en
sismología:
Los esfuerzos no dan rotación.
Entonces, el tensor de esfuerzo es simétrico.
−
Por ejemplo, en el plano x z, la balanza de los torques significa que
σ = σ
13 31
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1.3 La ecuación de movimiento
La relación general entre el esfuerzo y la deformación es
σ = c ǫ (1.4)
ij ijkl kl
y para un medio homogéneo, isotrópico, continuo y elástico
c = λδ δ + µ(δ δ + δ δ ) (1.5)
ijkl ij kl ik jl il jk
λ y µ son los parámetros del Lamé, asociados con el medio:
µ es su rigidez (la resistencia contra las fuerzas de cizalle).
2
κ = λ + µ es su módulo de incompresibilidad (la resistencia contra
3
las fuerzas de compresión).
La combinación de (1.4) y (1.5) da
σ = λδ ǫ + 2µǫ (1.6)
ij ij kk ij
Note que ǫ ≡ ∆ que representa la dilatación cubica.
kk
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1.3 La ecuación de movimiento
La ecuación de movimiento para un cierto volumen V es
∂2u
i
ρ dV = T dS + f dV = σ n dS + f dV (1.7)
i i ij j i
∂t2
V S V S V
Z I Z I Z
Usamos el teorema de divergencia de Gauss, H a n dS = R ∂ai dV , y
i i
S V ∂x
i
ignoramos las fuerzas de cuerpo (valida para sismología de frecuencias
& 0.003 Hz), y entonces
∂2u ∂σ
i ij
ρ dV = dV (1.8)
∂t2 ∂x
V V j
Z Z
Podemos usar la relación entre el esfuerzo y la deformación de antes, y la
simetría del tensor de deformación, para llegar al
∂2u ∂ ∂u
i k
ρ = c (1.9)
ijkl
∂t2 ∂x ∂x
j l
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