Table Of ContentSingularités des courbes planes, module des dérivations
et schéma des arcs
Kodjo Egadédé Kpognon
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Kodjo Egadédé Kpognon. Singularités des courbes planes, module des dérivations et schéma des
arcs. Géométrie algébrique [math.AG]. Université Rennes 1, 2014. Français. NNT: 2014REN1S111.
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ANNÉE 2014
THÈSE / UNIVERSITÉ DE RENNES 1
sous le sceau de l’Université Européenne de Bretagne
pour le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE RENNES 1
Mention : Mathématiques et applications
Ecole doctorale Matisse
présentée par
KPOGNON Kodjo Egadédé
préparée à l’UMR 6625 CNRS-IRMAR
Institut de recherche Mathématique de Rennes
U.F.R. de Mathématiques
Thèse soutenue à Rennes
Singularités des courbes le 12 Décembre 2014
devant le jury composé de :
planes, module des
Alain HÉNAUT
Professeur Émérite, Université de Bordeaux 1/
dérivations et Rapporteur
Ana J. REGUERA
schéma des arcs Professeur, Université de Valladolid (Espagne)/
Rapporteur
Sylvain DUQUESNE
Professeur, Université de Rennes 1 / Examina-
teur
Tony EZOME
Maître-assistant, USTM (Gabon)/Examinateur
Julien SEBAG
Professeur, Université de Rennes 1 / Directeur
de thèse
À mon Père
Chaque matin
Un gamin s’envole
Pour l’école
Par le même chemin.
Journée après journée
D’année en année
Le chemin fleurit
Le gamin grandit.
La fleur oubliée
À chaque détour
Est une peine liée.
À chaque jour.
Pour son devenir
Sans relâche
L’espoir marche
Vers l’avenir.
Pascal NDOUNA-DEPENAUD
REMERCIEMENTS
Au terme de ces années de thèse, je tiens à exprimer ma reconnaissance à tous ceux qui
m’ont entouré, accompagné, tous ceux qui, de près ou de loin, ont contribué à l’aboutisse-
ment de ce travail.
Mes remerciements vont spécialement à mon directeur de thèse, Julien SEBAG, pour les
nombreusesdiscussionsquenousavonseuesetquiontaboutiàcetravail.Mercipourvotre
soutien et pour vos encouragements dans les jours faciles comme dans les jours difficiles.
Vous avez compris mes erreurs et sans relâche vous m’avez aidé à les corriger. Vous m’avez
initié à l’algèbre différentielle, à l’étude du schéma des arcs tracés sur une variété et à
l’intégration motivique. J’ai bénéficié auprès de vous d’une oreille attentive et d’un regard
pointilleux. J’ai beaucoup appris à vos côtés et cette formation me sera utile.
Je remercie Ana J. Reguera et Alain Hénaut d’avoir accepté d’être les rapporteurs de
cette thèse. Le travail que vous avez accompli a permis d’améliorer la qualité du travail
proposé. Je remercie Tony Ezome et Sylvain Duquesne pour l’honneur qu’ils m’ont fait
d’accepter de participer à mon jury de thèse.
Mes remerciements vont aussi à l’ensemble du personnel de l’UFR de mathématiques
et de l’IRMAR, pour sa disponibilité, sa gentillesse et son efficacité. Marie-Aude, Patrick,
Olivier, Chantal, Hélène et Nelly, merci pour votre accueil et pour tous les services que
vous m’avez rendus.
Je tiens à remercier tous ceux qui m’ont accueilli au bureau 434, Nirmal, Richoux,
Nicolas, Anjara, Damien. Vous m’avez tout de suite intégré à l’équipe du bureau 434 et
je m’y suis tellement bien senti que je n’ai plus jamais rejoins mon bureau officiel au
sixième. La nouvelle équipe du bureau 434 est, à sa manière, toujours aussi chaleureuse.
Je remercie Elise, Romain, Julie, Christophe, Nirina et Alexandre avec qui j’ai essayé de
garder l’héritage de la pause café «pas vraiment reposante» comme l’écrivait Nicolas dans
ses remerciements.
Jeremerciel’églisequim’aaccueillietsoutenudanscepayslointain.Avecvous,lesamis,
je me suis toujours senti en famille et entouré. J’ai toujours su que je pouvais compter sur
vous. Merci pour vos encouragements et pour vos prières quotidiennes. Je fais le choix ici
denepasciterdenomparcequevousm’avez,chacunàvotrefaçon,apportéquelquechose,
ici à Rennes comme à Bordeaux.
Je tiens à remercier ma famille qui a toujours été présente malgré la distance. Je me
souviens du dernier coup de fil de mon père, de ses encouragements et de la confiance qu’il
avait dans l’aboutissement de cette thèse. Ma mère et ma sœur m’ont appris la persévé-
rance et le sérieux dans le travail. Mon grand frère, Koffi fut mon premier répétiteur de
mathématiques. Merci pour tout ce que vous avez fait et continuez à faire pour moi.
Enfin, à toi... à toi que je n’ai pas besoin de nommer. Toi dont la présence cette dernière
année m’a fait tellement du bien. Merci pour tout ce que tu es pour moi.
II
TABLE DES MATIÈRES
Remerciements .................................................................. I
Introduction ...................................................................... 1
1. Théorème d’irréductibilité de Kolchin différentiel et une généralisation
du théorème de Ritt-Raudenbush .......................................... 7
1.1. Notations et conventions .................................................... 7
1.2. Classement .................................................................. 8
1.3. Ordre ........................................................................ 8
1.4. Terme dominant, initial et séparant .......................................... 9
1.5. Comparaison des polynômes différentiels : rang .............................. 10
1.6. Ensemble auto-réduit ........................................................ 10
1.7. Algorithme de réduction de Ritt .............................................. 12
1.8. Comparaison d’ensembles auto-réduits ...................................... 14
1.9. Ensemble caractéristique .................................................... 14
1.10. Théorème d’irréductibilité de Kolchin ...................................... 19
1.11. Quelques compléments ...................................................... 27
1.12. Une généralisation du théorème de Ritt-Raudenbush ........................ 28
2. Module des dérivations sur une courbe .................................... 31
2.1. Bases de Gröbner ............................................................ 31
2.2. Théorème de Buchsbaum-Eisenbud .......................................... 35
2.3. Rang du module de dérivation ................................................ 38
2.4. Module des dérivations d’une courbe algébrique affine ........................ 39
2.5. Dérivation résultante et système de générateurs du module des dérivations .. 50
3. Interlude textile .............................................................. 65
3.1. Tissus : généralités et définitions ............................................ 65
3.2. Quelques exemples de tissus plans ............................................ 66
3.3. Linéarisation d’un tissu ...................................................... 67
3.4. Linéarisation des tissus quasi-homogènes incomplets .......................... 70
4. Nilpotents du schéma des arcs tracés sur une courbe affine plane .. .. .. 73
4.1. Conventions et notations .................................................... 74
4.2. S-algorithme ................................................................ 75
4.3. La filtration par le type ...................................................... 83
4.4. Dérivations et filtration par le type .......................................... 90
4.5. Etude de l’idéal N (f) ...................................................... 91
1,1
4.6. Changement de base et type .................................................. 96
