Simulation stochastischer Systeme: Eine anwendungsorientierte Einführung

422 Pages·2016·4.68 MB·German

by  Karl-Heinz Waldmann

Karl-Heinz Waldmann
Werner E. Helm
Simulation
stochastischer
Systeme
Eine anwendungsorientierte
Einführung
Simulation stochastischer Systeme
Karl-Heinz Waldmann · Werner E. Helm
Simulation stochastischer
Systeme
Eine anwendungsorientierte Einführung
Prof. Dr. Karl-Heinz Waldmann Prof. Dr. Werner E. Helm
KIT Hochschule Darmstadt
Karlsruher Institut für Technologie Fachbereich Mathematik und
Institut für Operations Research Naturwissenschaften - Statistik und OR
Schlossbezirk 14 Schöfferstr. 3
76131 Karlsruhe 64295 Darmstadt
Deutschland Deutschland
ISBN 978-3-662-49757-9 ISBN 978-3-662-49758-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-49758-6
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Springer Gabler
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Vorwort
AufmerksameWahrnehmungderWeltumunsherumzeigtsofortdieGrenzen
einerreindeterministischenWeltsicht.EsereignensichDingeaufeineArt,die
es nach einem strikten Kausalit¨atsprinzip gar nicht geben du¨rfte: Der Zufall
regiertmit.DasreichtvonderPhysikderElementarteilchenbiszumUrknall,
gilt im pers¨onlichen Alltagsleben, in Wirtschaft, Technik und Politik. Nach
kurzem Nachdenken wird der Leser das sofort best¨atigen k¨onnen.
Damit stellt sich die Frage: Sind wir dem Zufall v¨ollig hilflos ausgeliefert
oder k¨onnen wir Muster und Strukturen erkennen, k¨onnen wir Trends rich-
tig vorhersagen und damit Entscheidungen f¨allen und Aktionen vornehmen,
um Entwicklungen in unserem Sinne zu steuern, ggf. sogar zu optimieren?
Dazu mu¨ssen wir u.U. komplexe Systeme, die unter Zufallseinfluss stehen,
vom Anfang bis zum Ende durchdenken, Was-w¨are-wenn-Fragen stellen und
versuchen diese logisch richtig zu beantworten. Genau davon handelt dieses
Buch!
Die grundlegende Erforschung dieser zufallsbeeinflussten Systeme, an deren
EndeEntscheidungen,Verbesserungen,evtl.sogarOptimierungenstehen,be-
zeichnetmanalsSIMULATIONstochastischerSysteme.Indernachfolgenden
Einfu¨hrung geben wir erste konkrete Beispiele und Hinweise auf die vielf¨alti-
gen Einsatzm¨oglichkeiten dieser Form von Simulation.
DasBuchkannalsgrundlegender/begleitenderTextfu¨rLehrveranstaltungen
mit Simulation im Titel in Bachelor- und Master-Studieng¨angen eingesetzt
werden. Die prinzipielle Konzeption einer Simulationsstudie verbunden mit
leicht und schnell verst¨andlichen Anwendungsbeispielen erm¨oglicht den Ein-
satz des Buches in den verschiedensten Fachrichtungen und eignet sich auf
diese Weise auch gut zum Selbststudium.
Ein gewisses begriffliches Fundament u¨ber Wahrscheinlichkeitsrechnung und
elementareStatistikwirdbeimLeservorausgesetzt.DieindiesemBuchaber
tats¨achlich verwendeten Elemente (von Begriffen bis zu Lehrs¨atzen) sind im
Anhangaufgefu¨hrt und vielfach auch erkl¨art. Dadurch wird das Buch in sich
geschlossen und deckt alle Elemente ab, die zur Planung, Durchfu¨hrung und
Ergebnispr¨asentation einer Simulationsstudie erforderlich sind. Vom Schwie-
rigkeits- und Abstraktionsgrad zielt das Buch in die Mitte: Maßtheoretische
BegriffeundArgumentewerdenvermieden,aberz.B.dieMarkovChainMon-
te Carlo Methode oder das Gesetz der großen Zahlen fu¨r Markov Ketten
werden vorgestellt und praktisch angewendet.
Das Buch versucht stets zum Kern der Dinge“ vorzustoßen, diesen klar zu
”
pr¨asentieren, anhand von vielen Beispielen zu illustrieren und verst¨andlich
zu machen. Wir unterstu¨tzen so Learning by Example“ mit der folgenden
”
Vorgehensweise: Wir beschreiben ein Problem, entwerfen ein sinnvolles Mo-
dell,untersuchendiesesModellimRahmeneiner(kleinen)Simulationsstudie
undpr¨asentierenErgebnisse,dieeine(N¨aherungs-)L¨osungdesProblemsdar-
stellen. Dabei durchlaufen wir vielfach die Standardsequenzen einer solchen
StudieimKleinen,insbesonderedieInputAnalyseundOutputAnalyse.Das
erm¨oglicht Learning by Doing“, indem zun¨achst die vielen Beispiele nach-
”
vollzogen (und nachgerechnet!) werden k¨onnen, um das Gelernte dann auf
eigene Problemstellungen zu u¨bertragen. Demzufolge kann der Leser auf sei-
nemeigenenArbeitsgebietanfangen,ModellederWirklichkeitzuentwickeln,
zu analysieren, Grundlagen fu¨r bessere Entscheidungen zu liefern oder die-
se gar selbst f¨allen. Dann h¨atten die Autoren ihr ultimatives Ziel erreicht,
ihre eigene Begeisterung u¨ber dieses faszinierende Gebiet der Simulation an
Studierende verschiedenster Fachrichtungen erfolgreich weiterzugeben.
Dem Buch liegen langj¨ahrige Erfahrungen der Autoren zum Thema Simula-
tioninTheorieundPraxiszugrunde.Hierzuz¨ahlenmitBlickaufdieStudie-
renden insbesondere des Wirtschaftsingenieurwesens und der Informations-
wirtschaftamKarlsruherInstitutfu¨rTechnologie(KIT)sowiederInformatik
und Angewandten Mathematik an der Hochschule Darmstadt die Erfahrun-
gen aus zahlreichen Vorlesungen, Seminaren, Projekten sowie internen und
externen Examensarbeiten.
Karl-HeinzWaldmann
WernerE.Helm
Karlsruhe und Darmstadt, im Januar 2016
Inhaltsverzeichnis
1 Einfu¨hrung
1.1 Was ist Simulation ?............................................ 4
1.2 Der Umgang mit dem Zufall................................... 5
1.3 Die Monte Carlo Methode..................................... 6
1.4 Die Verwendung von Zufallszahlen........................... 8
1.5 Erste Beispiele.................................................... 9
1.6 Einsatz von Simulation......................................... 14
1.7 Aufgaben.......................................................... 17
2 ErzeugungvonZufallsvariablen
2.1 Zufallszahlen...................................................... 21
2.2 Die Inversionsmethode.......................................... 34
2.3 Die Verwerfungsmethode....................................... 44
2.4 Die Faltungsmethode ........................................... 50
2.5 Die Alias-Methode............................................... 54
2.6 Die Kompositionsmethode..................................... 57
2.7 Beru¨cksichtigung weiterer Verteilungszusammenh¨ange... 62
2.8 Erzeugung mehrdimensionaler Zufallsvariablen............. 66
2.9 Aufgaben.......................................................... 70
3 EreignisorientierteSimulation
3.1 Einfu¨hrung ........................................................ 77
3.2 KomponentenundOrganisationeinesereignisorientierten
Simulationsmodells.............................................. 79
3.3 Anwendung auf ein Wartesystem............................. 84
3.4 Anwendung auf ein Lagersystem.............................. 87
3.5 Prozessorientierte Simulation.................................. 92
3.6 Softwarel¨osungen zur Simulation ............................. 94
3.7 Java-Codes........................................................ 97
3.8 Aufgaben.......................................................... 106
4 OutputAnalyse:StatistischeAuswertungder
Simulationsergebnisse
4.1 Die Darstellung einer Kenngr¨oße als Erwartungswert..... 111
4.2 Stichprobenmittel und Stichprobenvarianz.................. 112
4.3 Statische Modelle................................................ 114
4.4 Dynamische Modelle mit begrenzter Dauer................. 119
4.5 Dynamische Modelle mit unbegrenzter Dauer ............. 121
4.6 Multivariate Output-Analyse................................... 125
4.7 Aufgaben.......................................................... 127
5 StatischeSimulationsmodelle
5.1 Monte Carlo Integration........................................ 131
5.2 Zuverl¨assigkeit komplexer Systeme........................... 137
5.3 Netzpl¨ane mit stochastischen Vorgangsdauern............. 141
5.4 Aufgaben.......................................................... 146
6 InputAnalyse:FestlegungderEingabegr¨oßen
6.1 Die Auswahlschritte im U¨berblick ............................ 149
6.2 Exemplarische Modellierung von Schadensh¨ohen.......... 151
6.3 Exemplarische Modellierung von Schadensh¨aufigkeiten .. 157
6.4 Auswahl einer Input-Verteilung bei fehlenden Daten...... 160
6.5 Bayessche Sch¨atzverfahren..................................... 161
6.6 Aufgaben.......................................................... 174
7 VarianzreduzierendeVerfahren
7.1 Antithetic Sampling............................................. 178
7.2 Die Verwendung einer Kontrollvariablen..................... 182
7.3 Varianzreduktion durch Bedingen............................. 185
7.4 Stratified Sampling.............................................. 190
7.5 Die Verwendung gemeinsamer Zufallszahlen ............... 193
7.6 Importance Sampling............................................ 196
7.7 Ein verfahrensu¨bergreifendes Beispiel........................ 205
7.8 Erg¨anzende Beweise............................................. 211
7.9 Aufgaben.......................................................... 213
8 Markov-Ketten
8.1 Definition und Grundlagen..................................... 219
8.2 Ersteintrittszeiten und Absorptionsverhalten ............... 224
8.3 Asymptotisches Verhalten und station¨are Verteilung..... 228
8.4 Bewertete Markov-Ketten...................................... 233
8.5 Markovsche Entscheidungsprozesse .......................... 235
8.6 Simulation einer Markov-Kette................................ 236
8.7 Das Metropolis Hastings Verfahren .......................... 237
8.8 Das Gibbs Sampling Verfahren................................ 241
8.9 Festlegung der Eingangsgr¨oßen einer Markov-Kette ...... 243
8.10 Aufgaben.......................................................... 244
9 Poisson-Prozesse
9.1 Der homogene Poisson-Prozess............................... 249
9.2 Der inhomogene Poisson-Prozess............................. 251
9.3 Der zusammengesetzte Poisson-Prozess..................... 252
9.4 U¨berlagerung und Zerlegung von Poisson-Prozessen...... 253
9.5 Simulation eines Poisson-Prozesses........................... 255
9.6 Cox-Prozesse...................................................... 258
9.7 Festlegung der Eingangsgr¨oßen eines Poisson-Prozesses. 258
9.8 Aufgaben.......................................................... 259
10 Markov-Prozesse
10.1 Definition und Grundlagen..................................... 263
10.2 Asymptotisches Verhalten und station¨are Verteilung..... 266
10.3 Ein praxisnaher Zugang......................................... 268
10.4 Geburts- und Todesprozesse................................... 272
10.5 Bewertete Markov-Prozesse.................................... 273
10.6 Simulation eines Markov-Prozesses........................... 275
10.7 Festlegung der Eingangsgr¨oßen eines Markov-Prozesses. 276
10.8 Aufgaben.......................................................... 277
11 Wartesysteme
11.1 Beschreibung eines Wartesystems............................ 281
11.2 Kenngr¨oßen eines Wartesystems.............................. 283
11.3 Wartesysteme, die auf einem Markov-Prozess basieren... 284
11.4 Wartesysteme mit eingebetteter Markov-Kette............ 289
11.5 Jackson Netzwerke .............................................. 291
11.6 G/G/c - Systeme und deren Simulation..................... 296
11.7 Festlegung der Eingangsgr¨oßen eines Wartesystems...... 297
11.8 Aufgaben.......................................................... 298
Anhang
.......................................... 298
A Wahrscheinlichkeitstheorie
A.1 Zufallsexperimente, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten 301
A.2 Zufallsvariable.................................................... 304
A.3 Ausgew¨ahlte Verteilungen...................................... 306
A.4 Erwartungswert und Varianz................................... 325
A.5 Mehrdimensionale Zufallsvariable............................. 327
A.6 Die multivariate Normalverteilung............................ 333
A.7 Summen von unabh¨angigen Zufallsvariablen............... 335
A.8 Gemischte Verteilungen......................................... 337
A.9 Bedingte Wahrscheinlichkeit und bedingter Erwartungs-
wert................................................................. 339
A.10 Zusammengesetzte Verteilungen.............................. 344
A.11 Grenzwerts¨atze................................................... 345
B Statistik
B.1 Stichprobenverfahren............................................ 351
B.2 Stichprobenverteilungen........................................ 353
B.3 Punkt-Sch¨atzung................................................. 358
B.4 Die Momentenmethode......................................... 359
B.5 Die Maximum Likelihood Methode........................... 361
B.6 Die Maximum Likelihood Methode bei zensierten Daten 364