Table Of ContentR. Scheithauer
Signale und Systeme
Leitfaden der Elektrotechnik
Begründet von Professor Dr.-Ing. Franz Moeller
Herausgegeben von
Professor Dr.-Ing. Hans Fricke, Braunschweig
Professor Dr.-Ing. Heinrich Frohne, Hannover
Professor Dr.-Ing. Karl-Heinz Löcherer, Hannover
Professor Dr.-Ing. Jürgen Meins, Braunschweig
Professor Dr.-Ing. Rainer Scheithauer, Furtwangen
B. G. Teubner Stuttgart
Signale und Systeme
Von Professor Dr.-Ing. Rainer Scheithauer
Fachhochschule Furtwangen
Mit 317 Bildern, 12 Tabellen und 56 Beispielen
m
B. G. Teubuer Stuttgart 1998
ISBN 978-3-322-99518-6 ISBN 978-3-322-99517-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-99517-9
Die Dcutsche Bibliothek - CIP·Einheitsaufnahme
Scheithauer, Rainer:
Signale und Systemc : mit 56 Beispicicn / von Rainer Scheithauer
Stuttgart : Teubner. 1998
(Leitfaden der Elektrotechnik)
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschlitzL Jede
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Zustimmung des Verlages unzuliissig und strafbar. Das gilt besonders fiir Ver·
vielfăltigungcn, Obcrsetzungcn. Mikrovcrfilmungen und die Einspeichcrung
und Vcrarbeitung in e1ektronischen Systemcn.
!f) B. G. Teubner Stuttgart 1998
Solkover reprint ofthe hardcover Ist edition 1998
Umschlaggestaltung: Petcr Pfitz. Stuttgart
Vorwort
Wer die Studieninhalte der elektrotechnischen Studiengänge über die letzten Jahre
hinweg beobachtet hat, wird mir sicherlich zustimmen, daß klassische Lehrgebiete aus
dem Maschinenbau wie Mechanik, Thermodynamik oder auch Konstruktionslehre sowie
aus der Elektrotechnik wie Theoretische Elektrotechnik, Netzwerktheorie u.a. zugunsten
neuerer Felder zurückgenommen wurden. Die Gewinner dieser Reformen sind zum
einen die softwareorientierten Fächer wie Programmiersprachen, Softwareengineering
usw.; zum anderen sind dies die algorithmenorientierten Fächer wie die Systemtheorie
als Grundlagenfach und darauf aufbauend die Gebiete der Nachrichten- und Kommuni
kationstechnik sowie der Regelungs-und Automatisierungstechnik.
Diese Änderungen sind sicherlich zeitgemäß und entsprechen den neuen Anforderungen
an Elektroingenieure. War vor 20 Jahren in den technischen Abteilungen ein Verhältnis
zwischen hard- und softwareorientierten Ingenieuren von vielleicht 70% zu 30%
anzutreffen, so hat sich in der Zwischenzeit das Verhältnis umgekehrt. So gesehen
entspricht das Arbeitsgebiet des Elektroingenieurs heutzutage mehr dem eines techni
schen Informatikers. Auch wenn zahlreiche Softwarepakete den Ingenieuren die Arbeit
erleichtern oder sogar abnehmen, so ist es doch unsere Aufgabe als Hochschullehrer,
gerade im Grundlagenstudium mit den Studierenden eine Basis zu erarbeiten, die erst
das effektive Arbeiten mit den Programmen ermöglicht. Sonst kann es passieren, daß
mit PSPICE eine Schaltung simuliert oder mit MAT LAB ein FIR-Filter entworfen wird,
die Ergebnisse aber kritiklos akzeptiert werden, auch wenn sie aufgrund fehlerhafter
Eingaben völlig unsinnig sind. Glücklicherweise verstehen die meisten unserer Studie
renden diese Situation und arbeiten selbst in der sicherlich etwas "trockenen" System
theorie begeistert mit; ein Lob, das ich unseren Studenten an dieser Stelle ausdrücklich
machen möchte, es ist nicht übertrieben.
Nach meiner Auffassung ist die Systemtheorie ein interdisziplinäres Fach. Die Verfah
ren der Meß- und Regelungstechnik bauen vor allem auf den Zeitbereichsbeschreibun
gen auf wie den Differentialgleichungen, der Sprung- und der Impulsantwort sowie der
Laplace-Transformation, die aber häufig auch als eine indirekte Zeitbereichsmethode
verwendet wird. In der Nachrichten- und Kommunikationstechnik werden dagegen vor
allem die Frequenzbereichsmethoden benötigt, allen voran die Fourier-Transformation.
Es ist wichtig zu erkennen, daß es sich dabei nur um verschiedene Aspekte derselben
VI Vorwort
Signale und Systeme handelt. Es war mein besonderes Anliegen, diese Verbindungen
deutlich herauszuarbeiten und darzustellen. Die verwendeten Formelzeichen sind
deshalb auch weder die nachrichten-noch die regelungstechnischen, sondern neutrale, in
der Systemtheorie übliche.
Auch der rote Faden ist ein klassisch systemtheoretischer: Nach einem kurzen einruhren
den I. Kapitel werden im 2. Kapitel die grundlegenden Eigenschaften der Signale und
Systeme erläutert. Der Stoff beschränkt sich dabei auf die linearen zeitinvarianten Syste
me. Zwar sind reale Systeme (genau genommen alle) nichtlinear; es ist aber sehr
hilfreich, wenn man versteht, wie die Reaktionen linearer Systeme berechnet werden
können. Glücklicherweise sind die meisten Filter und Regler - zumindest theoretisch -
linear. Im 3. Kapitel werden die Zeitbereichsbeschreibungen entwickelt und diskutiert,
im 4. Kapitel folgen die Fourier-Analyse und die Fourier-Transformation; im 5. Kapitel
wird die Laplace-Transformation behandelt. Das 6. Kapitel hätte auch die Überschrift
"Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung" tragen können, denn es handelt von den
zeitdiskreten Signalen und Systemen. Das 7. Kapitel über stochastische Signale und die
Reaktionen linearer zeitinvarianter Systeme ergänzt den Stoff auf diesem wichtigen
Gebiet. Im 8. Kapitel werden wesentliche Ergebnisse bzgl. kontinuierlicher und diskre
ter Signale und Systeme gegenübergestellt und kurz kommentiert.
Dieses Buch soll ein Lehrbuch sein. Die Herleitungen und Darstellungen sind ausfiihr
Iich kommentiert; wo es möglich ist, werden Bilder eingesetzt. Jedes wichtige Zwischen
ergebnis wird durch eine oder mehrere Übungsaufgaben vertieft. Abschließend werden
die wichtigsten Gleichungen und Erkenntnisse zusammengefaßt und eingekästelt. Sollte
Ihnen, liebe Leserin, lieber Leser, irgend etwas ein- oder auffallen (ein Hinweis, ein
Kommentar, möglicherweise sogar ein Rechenfehler o.ä.), so wäre ich Ihnen über eine
Rückmeldung sehr dankbar; in einer neuen Auflage könnten diese berücksichtigt
werden. Schreiben Sie Ihre Kommentare dem Verlag oder einfach mir per E-mail
([email protected]). Vielen Dank im voraus rur Ihre Mühe.
Dieses Buch wäre ohne Unterstützung und Mithilfe nicht möglich gewesen. Die beiden
Studenten des Fachbereichs Informationssysteme der Fachhochschule Furtwangen, die
Herren Jörg Wintermantel und Markus Striegel, haben viele der Bilder gezeichnet;
hierrur mein besonderer Dank. Ebenfalls danken möchte ich meiner Familie sowie
meinen Rektoratskollegen, daß sie es mir sooft ermöglichten, mich an meinen Rechner
"hinwegzustehlen" . Ein ganz besonderer Dank gebührt auch meinem ehemaligen Lehrer
und jetzigen Kollegen als Herausgeber der Reihe Herrn Prof. DrAng. K.-H. Löcherer.
Er hat mit großer Kompetenz und Geduld das Buch gelesen und kommentiert und sein
Entstehen begleitet. Ebenfalls danken möchte ich abschließend dem Teubner-Verlag,
hierbei insbesondere Herrn Dr. J. Schlembach, rur die gute Zusammenarbeit und stets
wohlwollende Unterstützung.
Furtwangen, im Januar 1998 Rainer Scheithauer
Inhalt
1 Einleitung 1
2 Grundlegende Eigenschaften von Signalen und Systemen 6
2.1 Der Übergang zu normierten Signalen 6
2.2 Wesentliche Merkmale von Signalen 8
2.3 Elementarsignale 16
2.3.1 Die Sprungfunktion 16
2.3.2 Die Rampenfunktion 21
2.3.3 Die Deltafunktion 26
2.4 Die Exponentialfunktion und die komplexe Exponentialschwingung 36
2.5 Lineare zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme) 44
2.6 Kausalität und Stabilität 49
3 Die Behandlung kontinuierlicher LTI-Systeme im Zeitbereich 52
3.1 Das Verhalten statischer und dynamischer Systeme 52
3.2 Die Reaktion auf die Sprung-, Impuls-und Rampenfunktion 60
3.3 Die Reaktion auf eine zusammengesetzte Erregung 68
3.4 Die Faltung 70
3.4.1 Die Grundgleichungen 71
3.4.2 Faltungsalgebra 78
3.5 Klassifizierung von LTI-Systemen 84
3.5.1 Proportionale Systeme 85
3.5.2 Integrale Systeme 90
3.5.3 Differenzierende Systeme 93
3.5.4 Kombinierte Systeme 97
3.5.5 Tot-bzw. Laufzeitsysteme 100
3.6 Das allgemeine L TI -System n-ter Ordnung 102
VIII Inhalt
3.7 Stabilitätsbetrachtungen 106
4 Die Behandlung kontinuierlicher LTI-Systeme im Frequenzbereich 111
4.1 Die Reaktion auf eine sinusförmige Erregung 111
4.2 Logarithmierte Verhältnisgrößen 117
4.2.1 Logarithmierte Verhältnisgrößen mit der Basis e 119
4.2.2 Logarithmierte Verhältnisgrößen mit der Basis 10 119
4.2.3 Beziehungen zwischen Np und dB 119
4.3 Zusammenschaltung von Systemen 121
4.4 Berechnung elektrischer Netzwerke mit Hilfe der Übertragungsfunktionen 123
4.5 Die Frequenzgänge der elementaren Systeme 128
4.5.1 Statische Systeme 128
4.5.21-und D-Systeme 128
4.5.3 Terme 1. Ordnung 130
4.5.4 Terme 2. Ordnung 136
4.5.5 Tot- bzw. Laufzeitsysteme 140
4.5.6 Zusammengeschaltete Systeme 142
4.6 Periodische Erregungen: Die Fourier-Analyse 148
4.6.1 Die Grundgleichungen 148
4.6.2 Die Reaktion auf eine periodische Erregung 161
4.7 Nicht-periodische Erregungen: Die Fourier-Transformation 162
4.7.1 Die Grundgleichungen 163
4.7.2 Existenz und Darstellung der Fourier-Transformierten 168
4.7.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation 170
4.7.4 Rechenregeln und Theoreme 175
4.7.5 Weitere Spektren und Anwendungen der Theoreme 180
4.7.6 Zeitdauer und Bandbreite 191
4.8 Die Reaktion auf eine nicht-periodische Erregung 193
4.9 Ideale Übertragungssysteme 195
4.9.1 Dämpfungs-, Phasen-und Laufzeitdefinitionen 195
4.9.2 Das verzerrungsfreie System 197
4.9.3 Der ideale Tiefpaß 199
4.9.4 Der ideale Hochpaß 202
4.9.5 Der ideale Bandpaß 204
4.9.6 Die ideale Bandsperre 206
4.10 Die Amplitudenmodulation 207
Inhalt IX
5 Die Behandlung kontinuierlicher Systeme im Bildbereich 211
5.1 Grundlagen 212
5.1.1 Defmition der Laplace-Transformation 213
5.1.2 Der Konvergenzbereich 215
5.1.3 Defmition der Rücktransformation 217
5.2 Bildfunktionen elementarer Signale 219
5.3 Eigenschaften der Laplace-Transformation 222
5.4 Rationale Bildfunktionen 225
5.4.1 Die Bildfunktion F(s) = -} 227
5.4.2 Das Pol-Nullstellen-Diagramm 231
5.4.3 Die Rücktransformation rationaler Bildfunktionen 233
5.5 Berechnung der Reaktionen mit der Laplace-Transformation 238
5.5.1 Energiefreie Systeme 238
5.5.2 Nicht-energiefreie Systeme 246
5.6 Blockschaltbildalgebra 248
5.7 Der Zusammenhang zwischen der Fourier-und der Laplace-Transformation 252
6 Zeitdiskrete Signale und Systeme 262
6.1 Die Arbeitsweise der digitalen Signalverarbeitung 262
6.2 Elementare Signalfolgen 287
6.3 Die Spung-und Impulsantwort sowie die Faltungssumme 250
6.4 Die zeitdiskrete Fourier-Transformation (ZDFT) 292
6.5 Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) 297
6.6 Die z-Transformation 311
6.6.1 Die Grundgleichungen 311
6.6.2 Die Eigenschaften der z-Transformation 316
6.6.3 Rationale Bildfunktionen 319
6.6.4 Differenzengleichungen, Übertragungsfunktionen und Strukturen
diskreter LTI-Systeme 325
6.7 Diskrete Modelle kontinuierlicher Systeme 343
6.7.1 Entwurf auf vorgegebene Eingangssignale 344
6.7.2 Treppenförmige Erregungen und die exakte z-Übertragungsfunktion 347
6.7.3 Die Rechteck-und die Trapeznäherung sowie die
bilineare Transformation 349
X Inhalt
7 Stochastische Signale und die Reaktionen von LT I-Systemen 355
7.1 Die Beschreibung stochastischer Signale 356
7.2 Stationäre und ergodische stochastische Prozesse 362
7.3 Korrelationsfunktionen 368
7.3.1 Eigenschaften von Korrelationsfunktionen 368
7.3.2 Die Messung von Korrelationsfunktionen 371
7.3.3 Korrelationsfunktionen periodischer Signale 372
7.4 Die Reaktionen von L TI -Systemen bei Erregung mit Zufallssignalen 375
7.5 Die spektrale Leistungsdichte 378
7.5.1 Die Grundgleichungen 378
7.5.2 Eigenschaften der spektralen Leistungsdichten 382
7.6 Weißes Rauschen 383
7.7 Die Leistungsdichtespektren von Ausgangssignalen 385
7.8 Zeitdiskrete Zufallssignale 388
7.9 Einige Anwendungen 393
7.9.1 Messung der Impulsantwort 393
7.9.2 Die Erkennung periodischer Signale im Rauschen 395
7.9.3 Optimale Suchfilter (matched filter) 399
8 Gegenüberstellung zeitkontinuierlicher und -diskreter Signale und Systeme 405
Anhang 410
1 Literaturverzeichnis 410
2 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 412
3 Einige Beziehungen für komplexe Zahlen 420
4 Korrespondenzen der Fourier-Transformation 424
5 Korrespondenzen der Laplace-Transformation 425
6 Korrespondenzen der zeitdiskreten Fourier-Transformation (ZDFT) 426
7 Korrespondenzen der z-Transformation 427
8 Formelzeichen 428
Sachverzeichnis 430
