Table Of ContentDieterFranke
SequentielleSysteme
Binareund FuzzyAutomatisierung
mit arithmetischen Polynomen
Mit61 Abbildungen und 31 Tabellen
DieDeutscheBibliothek- CIP-Einheitsaufnahme
Franke,Dieter:
SequentielleSysteme: Biniireund Fuzzy-Automatisierungmit
arithmetischenPolynomen; mit31Tabellen1DieterFranke.
Braunschweig;Wiesbaden:Vieweg, 1994
ISBN-!3:978-3-528-06527-0 e-ISBN-13:978-3-322-83947-3
001: 10.1007/978-3-322-83947-3
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©Friedr.Vieweg& SohnVerlagsgesellschaftmbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1994
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rungundVerarbeitunginelektronischen Systemen.
Umsch1aggestaltung: KlausBirk,Wiesoaden
v
Vorwort
ZudenzentralengegenwlirtigenHerausforderungenderam Infonnationsbegrifforientier
ten Regelungs- und Automatisierungstechnik geMren die diskreten Steuerungen. In ge
wisser Hinsicht steht diese Systemklasse den durch Abtastung kontinuierlicher Prozesse
entstehenden zeitdiskreten Systemen nahe: Beiden gemein ist die zeitlich sequentieUe
AbfolgederSystemzustllnde, wasdurchden Oberbegriff"SequentieHeSysteme"treffend
charakterisiert wird. Dennoch gibt es zwei bedeutsame Wesensunterschiede, die einer
einheitlichenGesamtschauscheinbarim Wegestehen: Zum einensinddiskrete Steuerun
gen - anders als klassische zeitdiskrete Systeme - nur diskreter Werte aHer Steuer-,
Zustands- und AusgangsgrlSBen flIhig. Die grlSBte praktische Bedeutung haben die
biniirenProzesse erlangt, diskrete Systeme also, deren sllmtlicheVariablen nurje zweier
Werte flIhig sind. Man hat es nicht mehr mitnumerischen Variablen zu tun, sondern mit
logischenVariablen.DerzweiteWesensunterschiedzwischenklassischenAbtastsystemen
und diskreten Steuerungenbetrifftdie Art der Taktung. Abtastsysteme unterliegen in der,
Regel einem konstanten, durch die Abtastperiode gegebenen Zeittakt. Dagegen wird ein
diskretes Steuerungssystem haufig durch die in ibm spontan auftretenden Ereignisse ge
taktet; es wird so zu einem ereignisdiskreten System. Diese prinzipieHen Unterschiede
wurden seither als so gravierend erachtet, daB sich eigenstlindige Methoden der nicht
numerischen Datenverarbeitung ftlr die Analyse und.Synthese diskreter Steuerungen
herausgebildet haben. Ihre theoretische Basis wird vor aHem von der Diskreten Mathe
matik,derAutomatentheorieundderNetztheoriebereitgesteHt.
Das vorliegende Buch hat seinen Ursprung in der manchem Leser vieHeicht gewagt er
scheinenden Frage, die ichmir voreinigen Jahren steHte:Kann manmethodenorientierte
AnalyseundSynthesediskreterSteuerungenauch ohnedasspezielleInstrumentarium der
DiskretenMathematik betreiben? Oderkonkreterfonnuliert: Kann man Boolesche Funk
tionenalsdierechten SeitenderZustandsgleichungeneinesendlichenbin~en Automaten
mit gewlShnlichen arithmetischen stat! Boolescher Rechenoperationen ~quivalent wieder
geben und so eine engere Verwandtschaft zwischen diskreten Steuerungen und klassi
schenAbtastsystemenaufdecken?
Dabei stieB ich nahezu zwangsl~ufig aufarithmetische Polynome, eine Beschreibungs
fonn Boolescher Funktionen, die in vlSllig anderem Zusammenhang, nllmlich in der
Booleschen Zuverl~sigkeitstheorie, seit Anfang der 60er Jahre verwendet wird. In dem
vorliegenden Buch wird diese Beschreibungsfonn erstmals als Ansatz in steuerungs- und
regelungstechnisch interpretierten AutomatenmodeHen gew~lt, und es werden Elemente
einerreinarithmetischenSystemtheoriederdiskretenSteuerungenentwickelt.
Gegenilber Booleschen AusdrUcken haben arithmetische Polynome unter anderem den
Vorzug, daB ihrDefmitionsbereich ilber die bin~en Variablen 0 und 1hinaus aufbelie
bigeZwischenwerteausgedehntwerdenkann. DieserMfneteineinteressanteQuerverbin-
VI Vorwort
dung zurFuzzyLogikundFuzzyRege/ung, tiberdie im letztenKapiteldieses Buchesbe
richtetwird.
Arithmetische Polynome zur Darstellung BoolescherFunktionen erweisen sich somitun
erwartet als "missing link" filr ganz verschiedene Aufgabenfelder der heutigen ProzeB
automatisierung:
• BeurteilungderVerftlgbarkeitausfallgeflihrdeterMehrkomponenten-Systeme
(GegenstandderBooleschenZuverUissigkeitstheorie,nichtdesvorliegendenBuches).
• KlassischelineareundnichtlineareAbtastsysteme,soweitdieNichtlineariuttenyom
multilinearenPolynomtypsind.
• BinlireSteuerungen,insbesondereauchmitRtickkopplungsstruktur.
• FuzzyLogikundFuzzyRegelung.
Das Buch ist seiner Natur nach eine Originalarbeit, die einen unkonventionellen Beitrag
zur aktuellen Fachdiskussion in der Automatisierungstechnik leisten mochte. Auf die
Textgestaltung nach didaktischen Gesichtspunkten wurde Wert gelegt. Daher kann das
Buch gut in der Lehre eingesetzt werden, sei es als Ergfulzung des tiblichen Stoffs tiber .
zeitdiskrete Regelungen, sei es als Begleittext zu Lehrveranstaltungen tiber Binlire und
Fuzzy ProzeBautomatisierung. Es wendet sich an Interessenten einer methoden- und
modellgesttltzten Automatisierungstechnik an den Hochschulen und in der industriellen'
Praxis.
Zu den Voraussetzungen gehOrt kaum mehr als eine gewisse Vertrautheit mit den Zu
standsraumverfahren filr lineareAbtastregelungen. OberBoolesche Schaltalgebrawerden
nur Grundkenntnisse, liber Automatentheorie so gut wie keine Kenntnisse vorausgesetzt.
Die textbegleitenden Beispiele sind praxisnahund doch so einfach gehalten, daB sie sich
ohne weiteres in eineLehrveranstaltung integrieren lassen. Das in dem BuchpIiisentierte
Material istkeineswegs bereits vollstlindig entwickelt. Viele Fragen sindnoch offen, und
der eine oder andere Leser mag durch die Lekttlre angeregt werden, den hier gewlihlten
ZugangaufzugreifenundineigenenArbeitenzuvertiefen.
Die GrundideeundTeilaspektedes Manuskripteshabe ichaufintemationalenFachtagun
gen zur kritischen Diskussion gestellt und dabei aufmerksames Interesse vorgefunden.
Wichtig war mir die Einschl1tzung einiger ftihrenden Fachleute. Besonders danke ich
Herro Prof. Dr.-Ing. H. Unbehauen filrwertvolleRatschll1ge und filrdie Ermutigung, mit
einem sokonzipierten Manuskript an die FachOffentlichkeit zu treten. Verbunden bin ich
auch den Herren Prof. Dr.-Ing. D. Bochmann, Prof. Dr.-Ing. J. Lunze und Prof. Dr.-Ing.
Dr. rer. nat. H. Reinschke filr anregendtlD Gedankenaustausch, dermirhalf, die hier vor
gestellten Ideen in das Umfeld bekannterAnsl1tze einzuordnen. In meiner Arbeitsgruppe
haben dankenswerterweise Frau Dr.-Ing. A. Sandweg-Kohmann, Herr Dr.-Ing. K. Frick
und Herr Dr.-Ing. M. Knoop das Manuskript kritisch durchgelesen und mir etliche Kor
rekturhinweise gegeben. Frau H. Eskau gebtlhrt Dank filr das sorgfliltige Erstellen der
Reinschrift und Frau Schwarz filr das Anfertigen der Tabellen und Zeichnungen. Dem
Vieweg Verlag schlieBlich danke ich filr die angenehme Zusammenarbeitund die ztlgige
FertigstellungdesBuches.
Hamburg, imFebruar 1994 DieterFranke
VII
Inhaltsverzeichnis
1 EinmhrungundCbersicht 1
1.1 ZeitkontinuierlicheSysteme 2
1.2 Abtastsysteme.................................................................................................. 6
1.3 Automaten 10
1.4 EinordnungundGliederungdesBuches 23
2 EinstetigesalgebraischesAquivalentBoolescherSchaltfunktionen 30
2.1 SchaltfunktionenundihreImplementierungmitSchaltem 30
2.2 EinstetigesalgebraischesAquivalentzurNegation 33
2.3 FunktioneninzweiVariablen 35
2.4 FunktionenindreiVariablen 38
2.5 FunktioneninnVariablen 41
2.6 SeparationvonVariablenundParametem 45
.2.7 Funktionenbin!rerEingangsgrOBen uundbin!rerZustandsgrOBenx............ 46
2.8 Zusammenfassung ~...................................... 51
3 EinigespezielleKlassen BoolescherFunktionenf(x,u) 54
3.1 LineareFunktionenbeZUglichu 54
3.2 LineareFunktionenbeZUglichx 57
3.3 BilineareFunktioneninxundu 62
3.4 LineareFunktioneninxundu 67
3.5 UnvollstlindigdefmierteBoolescheFunktionen 70
3.6 DieGesamtheitdervollstlindigdefmierten,algebraischlinearen
Bin!rprozesse .. 83
3.7 Zusammenfassung 86
4 AlgebraischIineareAutomaten 87
4.1 DerlineareAutomatimSinnederAutomatentheorie...................................... 87
4.2 DerautonomealgebraischlineareAutomatundseindynamisches
Verhalten 89
4.2.1 DasautonomeAbtastsystem................................................................. 90
4.2.2 DerautonomeAutomat........................................................................ 95
4.2.3 DieEigenwertealgebraischlinearerAutomaten 101
4.2.4 Beispiele 113
4.3 SteuerbarkeitundErreichbarkeit 122
4.3.1 SteuerbarkeitundErreichbarkeitlinearer,zeitinvarianter
Abtastsysteme 122
4.3.2 ErreichbarkeitinderAutomatentheorie 125
vm
4.3.3 SteuerbarkeitundErreichbarkeitalgebraischlinearerAutomaten 129
4.4 BeobachtbarkeitundBeobachterentwurf 138
4.4.1 Beobachtbarkeit 138
4.4.2Beobachterentwurf 144
4.5 Zusammenfassung 149
5 RegelungalgebraischIinearerBiniirprozessedurch Eigenwertvorgabe 151
5.1 Vorbemerkungen 151
5.2 RegelungdurchkonstanteZustandsrUckftlhrung 156
5.3 EntwurfdynamischerRegier 164
5.4 ModellgestlltzteVorsteuerungbinaJ'erdynamischerSysteme........ 171
5.5 Zusammenfassung 179
6 Regelungalgebraisch multilinearerBiniirprozesse 180
6.1 GlobaleLinearisierungmultilinearerBinll.rprozessedurchmultilineare
Rilckkopplung 180
6.1.1 BeispieleineszeitgeftlhrtenProzesses 186
6.1.2 BeispieleinesereignisdiskretenProzesses 194
6.2 RegelungmultilinearerBinll.rprozesseohneLinearisierung 200
6.2.1 Beispiel:Zwei-Tank-System 201
6.2.2 Beispiel:PneumatischeStellzylinder 208
6.3 EineVariantederDirektenMethodevonLjapunowfUrdiskreteProzesse 214
7 QuerverbindungzurFuzzyRegelung 218
7.1 UnscharfeLogikmitarithmetischenSHEGALKIN-Polynomen 219
7.2 FuzzyReglerentwurfmitarithmetischenSHEGALKIN-Polynomen 223
7.3 ModellgestlltzteStabilitlitsanalyse.... 231
7.4 Zusammenfassung 243
Literaturverzeichnis 245
Sachwortverzeichnis 256
1
1 Einfiihrung und Ubersicht
Begriffewie "Binaredynamische Systeme", "Sequentielle Steuerungen", "Ereignisdis
krete Systeme" charakterisieren einen Themenkreis im Grenzgebiet zwischen klassi
seher Systemtechnik und modemer Informationstechnik, der im Zentrum der gegen
wartigen Entwicklung der Automatisierungstechniksteht. Einschlagige Anwenderpro
blemekommenausBereichenwie
SteuerungvonTransport- und Stiickgutprozessen,
MaschinensteuerunginderFertigungstechnik,
ChargenprozessederVerfahrenstechnik.
InalldiesenFallen liegen zumindestanteiligdynamische Systeme vor, die mitMitteln
der klassischen kontinuierlichen System- und Regelungstheorie modelliert werden
koimten, also durch gewohnliche oder partielle Differentialgleichungen. Charakteri
stisch fUr diese Systemklasse ist jedoch ein diskontinuierlicher, zeitlich schrittweiser
Betrieb. Dieeinzelnen Schritte konnen dahei nacheinemvorgegebenen Zeittaktablau
fen oder nach einem Takt, der von den Proze6variablen selbst erzeugt wird. Auch
MischformendieserheidenVarianten kommenvor.
Nun ist der schrlttweise Betrieb auch ein Wesensmerkmal der klassischen zeitdiskre
ten Systeme, die durch Abtastung aus kontinuierlichen Systemen entstehen. 1mUnter
sehied zu diesen Abtastsystemen sind die in diesem Buch interessierenden diskreten
Steuerungen durch einen diskreten Wertevorrat jeder ProzefJgrofJe gekennzeichnet,
also durch eine starke Amplitudenquantisierung. Ein zeitlich sehrittweise arbeitendes
System mit diskretem Wertevorrat aller Systemgro6en hei6t Automat. Wegen ihrer
herausragenden technischen Bedeutung interessieren wir uns hier ausschlieBlich fUr
biniire Automaten, diskrete Systeme also, deren GroBen nur je zweier Werte flihig
sind.
An betont einfach gewiihltenBeispielen dynamischer Systeme solI in den Abschnitten
1.1, 1.2 und 1.3 zuniichst veranschaulicht werden, wie je nach Fragestellung und
Verwendungszweck ein zeitkontinuierliches Modell, ein zeitdiskr~tesModell oder ein
Automatenmodell angemessen sein kann. Das Anliegen dieser Einfiihrung ist Dicht
eine Wiederholung der Theorie zeitkontinuierlicher und zeitdiskreter Systeme, die
2 1 EinfiihrungundUbersicbt
hinUinglich bekannt ist. Vielmehr sollen beispielorientiert Unterschiede und Gemein
samkeiten festgestellt und die wesentlichen Merkmale im Vergleich zum Automaten
Modell herausgearbeitetwerden. 1mAbschnitt 1.4wirdder indiesemBuch vorgestell
te neue Zugang zur Analyse und Synthese diskreter Steuerungen in das Umfeld be
kannter Ansiltze und Methoden eingeordnet. Dies schlieBt auch eine Obersicht iiber
die GliederungdesBuchesein.
1.1 Zeitkontinuierliche Systeme
Die klassische Systemdynamikund RegelungstechnikbefaBtsich mitderAnalyseund
Synthesevon Systemen,derenSteuergroBen,AusgangsgroBenund innereZustandsgro
Ben kontinuierliche Funktionen derZeitsind. SofemnurSpeichergliedermitortsunab
hiingigen, also konzentrierten Parametem auftreten, fiihrt die mathematische Modell
bildung auf ein System von gewohnlichen Differentialgleichungen, die mehr oder
weniger stark untereinander verkoppelt sein konnen [7]. Sie ergeben sich durch For
mulieren der physikalischen GesetzmaBigkeiten, die dem jeweils konkreten System
zugrundeliegen. Haufig fiihrt das Aufstellen von Bilanzgleichungen direkt zum mathe
matischen Gleichungsmodell.
Ein einfaches Beispiel, das spilter unter einem anderen Blickwinkel emeut aufgegrif
fen werden soIl, ist der Fiillvorgang eines zylindrischen Tanks nach Bild 1.1. Das
AbfluBventil bleibe fUr unsere Betrachtung geschlossen (Chargenbetrieb). 1mBild 1.1
bezeichne
u(t) dieVentilstellung,
q(t) denFliissigkeitsstromund
x(t) denFiillstand.
Der Behillterquerschnitt sei A. Dann lautet die einfache Bilanzgleichung fUr dieses
Beispiel
A·x(t) = q(t), (1.1)
1.1 ZeitkontinuierlicheSysteme 3
q
-------::::---~
x(t)
"IA
xr o
Umax U
BUd1.1 Fliissigkeitstank BUd1.2 Ventilkennlinie
wobei wie ublich der Punkt die Ableitung oach der Zeitkennzeichnet. Der Stromq(t)
hiingtuberdieVentilkennlinievonderVentilstelJungu(t) ab,
q(t) .. f[u(t»),
sodaBdasvollstiindigemathematischeModelliautet:
:k.
x(t) .. f[u(t»), (1.3)
mitderAnfangsbedingung x(O) .. x .
o
Da eine Ventilkennlinie nichtlinear ist, z.B. nach Art von BUd 1.2, wird bereits in
diesem einfachen Beispiel das mathematische Modell nichtlinear. Das System wird
durch eine einzige Differentialgleichung erster Ordnung beschrieben, weU es nur ein
Speichergliedenthiilt.
Bei einemallgemeinen zeitkontinuierlichen Systemn-terOrdnung, das also nkonzen
trierte Speicherglieder enthalt, faBt man die n Zustandsvariablen x1(t), ..., xn(t) zum
Zustandsvektorx(t), die pSteuergro6enu1(t), ...,up(t)zum Steuervektoru(t) und dieq
Ausgangsgro6en y1(t), ..., yq(t) zum Ausgangsvektor y(t) zusammen. Das mathemati
sche Modell eines derartigen Systems wird dann durch einevektorielle Zustandsdiffe
rentialgleichungderForm
i(t) .. f[x(t), u(t») (1.4)
4 1 EinfiihrungundObersicht
undeinevektorielleAusgangsgleichungderForm
y(t) = g[x(t),u(t)] (1.5)
beschrieben [4], [7], [18]. Umdie LOsung von (1.4) eindeutigzu machen, istnoch der
Anfangszustand
x(t = 0) = xo
anzugeben, aus dem heraus die Systembewegung startet. 1mBeispiel des Fliissigkeits
tanks imBild 1.1 istdies derAnfangspegel x(O).
Einewichtige Systemklasse,dieals SpezialfallinderallgemeinenZustandsdarstellung
(1.4), (1.5) enthalten ist,bildendie linearenSysteme.Bei ihnensinddierechten Seiten
von (1.4)und (1.5) linearinxundu:
x(t) =Ax(t) +Bu(t), (1.6)
y(t) = Cx(t) +Du(t), (1.7)
mit konstanten Koeffizientenmatrizen A, B, C und D von passender Dimension. Der
bei weitem iiberwiegende Teil der verfiigbaren Analyse- und Syntheseverfahren der
Regelungstechnik gilt dieser Systemklasse. Man denke etwa an die fundamentale
Bedeutung der Eigenwerte ~l' ..•, ~n der Matrix A fUr das dynamische Verhalten
dieserSysteme.
Wenn auch die Klasse der linearen Systeme vergleichsweise klein ist, so war ihre
griindlicheErforschungdoch vorallemdeshalbgeboten, weil nichtlineare Systemebei
nicht zu gro6er Auslenkung aus einem festen Arbeitspunkt mit guter Naherung durch
ein lineares mathematisches Modell beschreibbarsind. So istetwa die Ventilkennlinie
imBild 1.2fUrkleineu-Wertenaherungsweise linearmitderSteigung
m= f'(O).
UnterdiesenVoraussetzungendarfdienichtlineareZustandsdifferentialgleichung(1.3)
naherungsweisedurchdas lineareModell
x(t) = K . u(t), (1.8)
