Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr.1407
Herausgegeben
im Auftrage des Ministerpräsidenten Dr. Franz Meyers
von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
DK 539
M arcel Beiner
Aus dem Institut für Theoretische Kernpqysik der Universität Bonn
Leitung: Prof K. Bleuler
Separations energien
und mittleres phänomenologisches Potential
der Atomkerne
WESTDEUTSCHER VERLAG KÖLN UND OPLADEN 1964
ISBN 978-3-663-04143-6 ISBN 978-3-663-05589-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-05589-1
Verlags-Nr. 011407
© 1964 by Westdeutscher Verlag, Köln und Opladen
Gesamtherstellung : Westdeutscher Verlag
MEINER FRAU UND MEINEN ELTERN GEWIDMET
Inhalt
Allgemeine Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1. Graphische Darstellungen der Kernseparationsenergien . . . . . . . . . . . . .. 13
1. Mittlere Separationsenergien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1 Definitionen............................................... 13
1.2 Graphische Darstellung der Flächen B2ii(Z, N) und B2ji(Z, N) .... 14
1.3 Meßergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Diskussion der Resultate .................................... 20
2. Verallgemeinerte Separationsenergien .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
2.1 Definition................................................. 23
2.2 Graphische Darstellung der Flächen
vB!7t (Z, N), vB!7t (Z, N), vB~7t (Z, N) und vB~7t (Z, N) ............. 27
2.3 Meßdaten und Diskussion der Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32
3. Die Paarungsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33
3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33
3.2 Darstellung der Paarungsenergie Pn(Z, N) und Pp(Z, N) ........ 34
4. Überblick über die in Teil I studierten Kerneigenschaften ....... 39
4.1 Flächen der mittleren Separationsenergien ... . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40
4.2 Flächen der Separationsenergien der u-Nukleonen und Flächen der
Bindungsenergien der g-Nukleonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40
4.3 Spin und Parität der Grund- und ersten angeregten Zustände der
u-Kerne .................................................. 40
4.4 Die Paarungsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40
11. Skalares phänomenologisches mittleres Kernpotential . . . . . . . . . . . . . .. 41
1. Einleitung ................................................ 41
1.1 Der »Modell«-Hamiltonoperator ............................. 41
1.2 Das HARTREE-FocKsche Verfahren und die Reorganisationsenergie 42
1.3 Numerische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
7
2. Einnukleon-Niveaus in Abhängigkeit von den Muldenparametern . 44
2.1 Neutronen-Niveaus ohne Spin-Bahn-Kopplung... ... .... ....... 44
2.2 Neutronen-Niveaus mit Spin-Bahn-Kopplung .. .... ............ 48
2.3 Protonen-Niveaus mit Spin-Bahn-Kopplung ................... 49
3. Muldenparameter als Funktion von Z und N .................. 52
3.1 Aufstellung eines funktionalen Zusammenhangs zwischen Mulden-
parametern und Nukleonenzahlen ............................ 52
3.2 Anpassung der Festparameter hinsichtlich der experimentellen
Separationsenergien ........................................ 54
3.3 Einnukleon-Niveaus als Funktion von Z und N .. . . . . . . . . . . . . .. 57
IH. Diskussion der Ergebnisse ...................................... 59
1. Einnukleon-Niveaus und Kernseparationsenergien . . . . . . . . . . . . .. 59
1.1 Vergleich zwischen Fermigrenze und mittlerer Separationsenergie . 59
1.2 Längsneigung der Einnukleon-Niveauflächen .................. 60
2. Kernradien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61
2.1 Neutronen- und Protonenverteilungen ........................ 61
2.2 Zur Isotopieverschiebungsdiskrepanz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63
3. Qualitative Überlegungen zur Konsistenz des mittleren Kern-
potentials ................................................. 65
Literaturverzeichnis ................................................ 67
8
Verzeichnis der Abbildungen
Abb. 1 Neutronen - Potentialmulde für Ce138 ••••••••••••••••••••••.•••••• 11
Abb. 2 Das Konstruktionsverfahren der Flächen B2ri und B!ip ............... . 14
Abb. 3 Die Fläche B2,i ................................................. . 15
Abb. 4 Die Fläche B2jj ................................................. . 17
AJ"
Abb. 5 Zur Definition der Fläche vBn der Neutronen-Separationsenergien .... . 25
Abb. 6 Zur Definition der Flächen VB!" und vB!" ......................... . 26
Abb. 7 Dl·e FI"a ch en vBnJ " •••••••••••••••••••••••••••.••••••••••.••••••••• 28
Abb. 8 Die Flächen vB!" ..... , ...................... , .................. . 29
-J"
Abb. 9 Die Flächen vBp •• , ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ,. 30
Abb.10 Die Fläche 1:B~2- .............................................. . 31
Abb.11 Zur Definition der Paarungs energie der Neutronen Pn •••• , ••••••••• , 33
Abb.12 Längsschnitt durch die Flächen B2,i, B!", B!" im mittleren Massental .. 35
Abb.13 Längsschnitt durch die Flächen B2j)' BJ", B-J" im mittleren Massental .. 37
p p
Abb.14 Resultierendes Potential W n (r) ....... , .......... , ....... , ... , ... , . 45
Abb.15 Die Einneutron-Niveaus -E~I als Funktion des Potentialradius 46
Abb.16 Die Einneutron-Niveaus - E~I als Funktion der Potentialtiefe ....... . 47
Abb.17 Klassisches Coulombpotential der Kerne ......................... , . 50
Abb.18 Radien- und Potentialparameter im mittleren Massental ... , ......... , 51
Abb.19 Die Einnukleon-Niveaus und die mittlere Separations energie ........ . 55
Abb.20 Vergleich der Neigungen der Flächen Brn und Bip und der theoretischen
Einnukleon-Niveaus (Z bzw. N const) ........................... . 58
Abb. 21 Die Neutronenverteilung als Funktion des Potentialradius ........... 61
Abb. 22 Die Protonenverteilung als Funktion des Potentialradius ........ , ... , 62
Abb.23 Vergleich zwischen experimentellen und theoretischen Radien ...... ,. 62
Abb. 24 Zur Isotopieverschiebungsdiskrepanz .......... , ................ , .. 64
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Allgemeine Einleitung
Eine noch wesentliche Rolle spielen bei dem heutigen Stand unserer Kenntnisse
die Kernmodelle, deren Gültigkeitsbereiche zu bestimmen das Hauptziel jeder
Systematik der experimentellen Kerneigenschaften ist. Wenn die Kernmodelle
als wirksame Hilfsmittel für die Einteilung und die Voraussagen gewisser Kern
eigenschaften fortbestehen sollen, dann wird es die Aufgabe einer Kerntheorie
sein, ihre Grundhypothesen zu rechtfertigen.
Außerdem kann die Systematik der experimentellen Kerneigenschaften sehr
nützlich sein, um die Konsistenz der Messungen nachzuprüfen, neue Experimente
vorzuschlagen und die experimentellen Ergebnisse zusammenzufassen.
Am besten studiert man zuerst die Systematik solcher Eigenschaften, die einfach
und allgemein sind und im direkten Zusammenhang mit Grundhypothesen der
Modelle stehen. In dieser Kategorie nehmen die in einer etwas verallgemeinerten
Weise definierten Nukleonen-Separationsenergien einen besonderen Platz ein;
denn sie finden im Rahmen eines Modells unabhängiger Teilchen eine natürliche,
anschauliche Deutung: Sie stellen in einer Potentialmulde die Energiedifferenzen
zwischen den von dem letzten Nukleon (oder von dem ersten Loch!) besetzten
Einteilchen-Zuständen und dem ersten freien Zustand (s. Abb. 1) dar. Demnach
wird die Systematik der Kernseparationsenergien die Festlegung der Parameter
werte ermöglichen, welche die mittleren skalaren Kernpotentialmulden bestim
men.
~,+-_O~I ____________________ ~S ____________ -,_ 10 Fermi
~
...... • 1 7/2- Fermigren1.c
..~&-'"5 - S11f22>+ ~ 711~/22 ~-~~?-+;~E~inn§cu~tron~-N~ivca~u ~50 ~~7 Vn = _ V~ ( <xp r -:rO + Ir '
~fr vo. = 56- 30N---A--Z = 51.2
'"
1" to = 1.20 A'I3 = 6.2
b = 0.73 (b, = 3.2)
ä
~ I §§§ Schale
Trapczförmigc
-1---------= R.di.labhängigkeit
VO
-+_ __~
" 1-1- ---------rO ____
.\IcV' - \.
Abb. t cutroncn-Potcntialmuldc für 5sCeAgS
11
Im ersten Teil dieser Arbeit betreiben wir hauptsächlich die Systematik der
Nukleonen-Separationsenergien, die wir anschließend in einer neuen graphischen
Form darstellen. Die allgemeinen und wesentlichen Eigenschaften dieser Syste
matik legen die Einführung eines Modells unabhängiger Nukleonen nahe, dessen
Einnukleon-Hamiltonoperatoren für die sphärischen Kerne folgende Gestalt
haben:
Tl 2 (Art )21 d!.5
Hn=--ll+Vn(r)-a - --Vn(r).- (1 )
2 Mn 2 7t r dr Tl 2
Tl An:)2 1 d!.5
Hp=---l2 l+Vp(r)-a ( - --Vp(r).-.-+\cT( r) (1 ')
2Mp 27t r dr t)2
wobei
r rO}-l
Vn(r)=-V~ { l+exp b (2)
(2')
Die hier eingeführten mittleren skalaren Kernpotentiale V n(r) und V per) sind
nicht geschwindigkeitsabhängig. Deshalb können unsere »Modell«-Einnukleon
Niveaus die »wirklichen« Einnukleon-Niveaus höchstens in einem begrenzten
Energiebereich gut annähern.
In einem zweiten Teil bestimmen wir mit Hilfe von graphischen Näherungs
methoden die Eigenwerte der Einnukleon-Hamiltonoperatoren H und Hp in
n
Abhängigkeit von den Muldenparametern b, rOu nd VO und von der Intensität a
der phänomenologischen Spin-Bahn-Kopplung. Dann stellen wir die funktio
nalen Zusammenhänge zwischen Muldenparametern und Nukleonenzahlen
VO = V' _ V" N -A Z.' VOP = V' +A V" -N--_Z'. (3)
n
rO = cA! V', V" = Konstanten (4)
b = Konstante c = Konstante (5)
auf und wählen die Festparameter a, b, c, V' und V" so aus, daß
1. für die Gesamtheit der sphärischen Kerne die mittleren Separationsenergien
zufriedenstellend wiedergegeben werden und
2. eine vernünftige Reihenfolge der Einnukleon-Niveaus an der Fermigrenze ge
sichert wird.
Der dritte und letzte Teil dieser Arbeit ist einem Vergleich zwischen theoretischen
und experimentellen Resultaten gewidmet und schließt mit einigen qualitativen
Überlegungen zur Konsistenz des Potentialv erlaufs.
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1. Graphische Darstellungen der Kernseparationsenergien
1. Mittlere Separationsenergien
Aus folgenden Gründen fangen wir mit dem Studium der mittleren Separations
energien an:
1. Sie hängen nach den unten angegebenen Definitionen nur mit den Grund
zuständen der Kerne zusammen.
2. Sie sind besonders gut geeignet für eine graphische Darstellung, die in einem
einzigen Diagramm alle Kerne umfaßt.
3. Sie spiegeln in augenfälliger Wiese sehr allgemeine Eigenschaften der Kern
struktur wider.
1.1 Definitionen
Sei B (Z, N) die totale Bindungsenergie des Kernes (Z, N) im Grundzustand.
Die üblichen Definitionen der Nukleonen-Separationsenergien lauten:
Bn(Z, N) = B(Z, N) - B(Z, N -1)
Bp(Z, N) = B(Z, N) - B(Z -1, N) (1.1;1)
Sei die Gesamtheit der Kerne (Z, N) in vier Klassen unterteilt: Die Klassen der
Kerne vom Typ Z gerade - N gerade, Z gerade - Nungerade, Zungerade - N
gerade und Zungerade - Nungeradel. Nach den Definitionen (1.1 ;1) der Sepa
rationsenergien bildet man die Differenz der totalen Bindungsenergien zweier
Kerne von verschiedenem Typ, und es ist experimentell wohl bekannt, daß
Bn(Z, N) und Bp(Z, N) dann in regelmäßiger Weise vom Typ der Kerne (Z, N)
abhängen. Zum Beispiel ergibt Bn(Z, N) für feste geradzahlige Z als Funktion
von N charakteristische Zick-Zack-Diagramme [1], weil die Separationsenergien
der g-g-Kerne stets größer als die ihrer Nachbarn sind. Die Erklärung dieses sehr
interessanten experimentellen» Paarungseffektes« erfordert die Verfeinerung jedes
Modells unabhängiger Nukleonen. Um aber gemeinsame, tieferliegende Eigen
schaften der Kerne aller vier Klassen ausdrücklich hervorzuheben, ist es zweck
mäßig, bei der Definition einer Separationsenergie so vorzugehen, daß die Paa
rungsenergie keine explizite Rolle mehr spielt.
1 Der Einfachheit halber werden wir dementsprechend von g-g-, g-u-, u-g- und u-u
Kernen sprechen; unter u-Kernen verstehen wir die Gesamtheit der g-u- und u-g
Kerne, und z. B. ein u-Neutron bezeichne ein einem g-g-oder u-g-Kern hinzugefügtes
Neutron.
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