Table Of ContentThis series aims to report new developments in mathematical economics and operations
research and teaching quickly, informally and at a high level. The type of material cons'idered
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Department of Economics, Brown University, Providence, Rhode Island 02912/ USA or
Prof. Dr. H. P. Kunzi, Institut fur Operations Research und elektronische Datenverarbei
tung der Universitat Zurich, SumatrastraBe 30, 8006 Zurich.
Die" Lecture Notes" sollen rasch und informell, aber auf hohem Niveau, uber neue Entwick
lungen der mathematischen Okonometrie und Unternehmensforschung berichten, wobei
insbesondere auch Berichte und Darstellungen der fUr die praktische Anwendung inter
essanten Methoden erwunscht sind. Zur Veroffentlichung kommen:
1. Vorlaufige Fassungen von Originalarbeiten und Monographien.
2. Spezielle Vorlesungen u!Jer ein neues Gebiet oder ein klassisches Gebienn neuer Betrach-
tungsweise.
3. Seminarausarbeitungen.
4. Vortrage von Tagungen.
Ferner kommen auch altere vergriffene spezielle Vorlesungen, Seminare und Berichte in
Frage, wenn nach ihnen eine anhaltende Nachfrage besteht.
Die Beitrage durfen im Interesse einer groBeren Aktualitat durchaus den Charakter des U n
fertigen und Vorlaufigen haben. Sie brauchen Beweise unter Umstanden nur zu skizzieren
und durfen auch Ergebnisse enthalten, die in ahnlicher Form schon erschienen sind oder
spater erscheinen sollen.
Die Herausgabe der "Lecture Notes" Serie durch den Springer-Verlag stellt eine Dienstlei
stung an die mathematischen Institute dar, indem der Springer-Verlag fUr ausreichende
Lagerhaltung sorgt und einen groBen internationalen _K reis von Interessenten erfassen kann.
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Copyright sowie durch die Versendung von Besprechungsexemplaren wird eine luckenlose
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Lecture Notes in
Operations Research and
Mathematical Systems
Economics, Computer Science, Information and Control
Edited by M. Beckmann, Providence and H. P. Kunzi, Zurich
30
H. Noltemeier
Institut fUr 'Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
der Universitat Karlsruhe
Sektion: Okonometrie und Unternehmensforschung
Sensitivitatsanalyse
bei diskreten linearen
Opti mieru ngsproblemen
Spri nger-Verlag
Berlin · Heidelberg· New York 1970
Advisory Board
H. Albach A. V. Balakrishnan F. Ferschl
W. Krelle . N. Wirth
ISBN-13: 978-3-540-04953-1 e-ISBN-13: 978-3-642-95163-3
DOl: 10.1007/978-3-642-95163-3
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© by Springer-V~rlag Berlin' Heidelberg 1970. Library ofC ongress Catalog Card Number 74-131544.
Title No. 3779
Vorwort
Die Sensitivitatsanalyse bei diskreten Optimierungsproblemen ist ein
ebenso schwieriges wie reizvolles Objekt der Unternehrnensforschung.
In dieser Arbeit versucht der Verfasser, wenigstens fur die einfachsten
Problernklassen - diskrete lineare Programme mit pararnetrischen Ziel
funktions- bzw. Restriktionenvektoren - eine einheitliche Darstellung
zu geben und grundlegende Ergebnisse zu forrnulieren, die sich nicht
zwangsweise an den verfugbaren Algorithmen orientieren, sondern
starker den mathematischen Sachverhalt herausstellen.
Einige Ideen lassen sich ohne Schwierigkeiten auf den Fall pararnetri
scher Koeffizientenmatrizen und auch auf nichtlineare, parametrische
Problemstellungen Ubertragen.
Mein besonderer DanK gilt Herrn Prof.Dr.Rudolf Henn, der mein Inter
esse an den mathematischen Methoden in den Wirtschaftswissenschaften
weckte und mir mit Anregungen wertvolle Hilfe leistete.
Mein Dank gilt ferner Herrn Prof.Dr.D.Bierlein und Herrn Privatdozent
Dr.W.Fieger fur die mir erwiesene unterstutzung.
Besonderen Dank schulde ich auch Frau Wurz, die mit groBer Sorgfalt
das Manuskript tippte.
AbschlieBend mochte ich der Deutschen Forschungsgemeinschaft fur die
mir wahrend mehrerer Jahre gewahrte finanzielle Unterstutzung meinen
Dank aussprechen.
Karlsruhe, den 30.Mai 1970 Hartrnut Noltemeier
Inha1tsverzeichnis
1. Praliminarien .................................. . 1
1.1. Einlei tung .............................. . 1
1.2. Bezeichnungen und Satze zur Theorie
konvexer Mengen ••••••••.•.•••••.••••••••• 8
1.3. Aussagen fiber den a11gemeinen einpara-
metrischen Fall •.•••••••••••••••••••••••• 10
2. Rein-diskrete parametrische Programme ••.•••••••• 14
2.1. Aussagen fiber die konvexe HU11e der rein
diskreten Losungen •.••••.•.•••••...•.•••• 14
2.2. Bestimmung der charakteristischen Para-
meterbereiche •••..•••.••••..••••••••••••• 22
2.3. Bestimmung der Losungsfunktionen zM(t)
und zG (t) ................................ 24
2.4. Beispie1e 29
3. Programme mit parametrischen Restriktionen-
vektoren ....................................... 32
3.1. Gewohn1iche Programme mit mehrparametri-
schen Restriktionenvektoren ••.••.•.•...• 32
3.2. Rein-diskrete Programme mit parametrischen
Restriktionenvektoren •....••••......•.•. 34
4. Gemischt-diskrete parametrische Programme ••...• 40
4.1. Aussagen fiber die abgesch10ssene konvexe
HU11e CG der gemischt-diskreten Losungen 40
4.2. Zur Charakterisierung der StUtz-und Be
rUhrparamete~ngen und weitere Eigen-
schaften von CG ••••.•.•••••••••••••••••• 43
4.3. Eigenschaften der Losungsfunktion ZG(t) 54
4.4. Zur Bestimmung der Losungsfunktion zG(t) 60
4.4.1. Exakte Bestimmung der Losungs-
funktion ••••..•..•••••••••.•.... 60
- VI -
4.4.2. Konstruktion von Naherungslosungen 62
4.5. Beispiele. • . . . . . • . . . . . . . . . • • • . . . • . • . . . • . . 69
5. Programme mit mehrparametrischen Zielfunktionen 76
6. Parametrische Programme mit allgemeinen Diskret-
hei tsbedingungen ..•.•.•.•........••.......•...• 83
Anhang Al Bezeichnungen ••....•..•...••.•.•..•.... 86
A2 Zur diophantischen Approximation .....•• 87
A3 Zur stUckweise linearen Approximation
konkaver Funktionen .....•.•..•......... 91
Li teraturhinweise .......•.•.•..........••............ 100
1.1. Einlei tung
Stabilitatsuntersuchungen sind sowohl fUr die Wirtschaftstheorie als
auch fUr die Anwendung von Entscheidungsmodellen in der unterneh
merischen Praxis gleichermaBen von Interesse.
Wirtschaftstheoretische Modelle konnen gerade auf Grund von Aussagen
Uber Gleichgewichtszustande (in diesen Modellen) und deren Abhangig
keit von der Xnderung verschiedener, (gewohnlich "exogener") modell
bestimmender GroBen in mehr oder weniger wirklichkeitsnahe Modelle
eingestuft werden.
In der betrieblichen Praxis, in der in vielen Fallen Nachfrage- und
Angebotsquantitaten, preisvektore~, Zins- und Lohnsatze und viele
andere, die Entscheidung und das Resultat wirtschaftlicher Aktionen
beeinfluBende GroBen im Zeitpunkt der Entscheidungsfallung nicht
genau bekannt sind, sind Untersuchungen besonders wichtig, die den
EinfluB dieser variablen ModellgroBen ("Parameter") auf die zu fal
lende Entscheidung und das damit verbundene Risiko aufzeigen. Diese
"Sensitivitatsanalyse" dient also vornehmlich als Entscheidungshilfe.
Sie ist insbesondere auch Grundlage fUr stochastische Modelle, in
denen fUr die Parameter des Modells zusatzlich wahrscheinlichkeits
theoretische Annahmen (in Form von Verteilungsfunktionen, Ubergangs
wahrscheinlichkeiten, etc.) gemacht werden.
Die vorliegenden AusfUhrungen beschranken sich auf Entscheidungsmo
delle, die sich als lineare Programme formulieren lassen, die aber
zusatzlich durch spezielle Diskretheitsforderungen (gewohnlich die
Ganzzahligkeit bestimmter Variablen) ausgezeichnet sind.
Wegen dieser Forderungen sind Entscheidungen, die sich in einem
analogen Modell ohne Diskretheitsforderungen als optimal herleiten
lassen, haufig sowohl unzulassig als auch irrefUhrend bei der Suche
nach einer optimalen Entscheidung im vorliegenden Modell. Dennoch
bildet die Theorie gewohnlicher parametrischer, linearer Programme,
die seit den ersten Arbeiten von Manne, Saaty und Gass (vgl. [41J ,
[19J , [20]) in wesentlichen Teilen entwickelt ist, eine Grundlage
der folgenden Untersuchungen. Zusammenfassende Darstellungen dieser
Theorie findet man zum Beispiel bei Simmonard ( [49] ), Dinkelbach ([13]),
oder Gass ( [18J ).
Auf dem Gebiete der parametrischen diskreten linearen Programmierung
sind erst in letzter Zeit an wenigen Stellen Fortschritte bei der
Losung der zum kontinuierlichen Fall analogen Probleme erzielt worden.
- 2 -
Erwahnt sei hier nur die Arbeit von Gomory(l); weitere Hinweise
J .
[17] '
findet der Leser bei [33] ' [2
Die Schwierigkeiten auf diesem Gebiet sind von zweierlei Natur.
Auf der einen Seite ist die konvexe HUlle der zulassigen Losungen
eines diskreten Programms im Gegensatz zum gewohnlichen linearen
Programm i.a. weder abgeschlossen noch besitzt sie endlich viele
Extremalpunkte. Auf der anderen Seite ist selbst im Falle der Kon
vergenz der GOmOry-Algorithmen(2) nach endlicher Iterationszahl,
also etwa bei rationalen Programmen, der Rechenaufwand fUr die Be
rechnung des Optimums der Zielfunktion zu einem bestirnrnten Para
meterwert gewohnlich"erheblich hoher" (3) als im kontinuierlichen
Fall. Daher ist man bei der praktischen Berechnung u.U. nur auf
eine "geringe Zahl" von Parameterwerten angewiesen. Diese Parameter
werte aber gilt es so zu wahlen, daB man aus der Kenntnis des Opti
mums oder einer suboptimalen Losung (einschlieBlich zugehoriger
Fehlerschranken) an diesen ausgewahlten Stellen das Optimum als
Funktion eines oder mehrerer Parameter moglichst genau bestirnrnen
kann. Erschwerend wirkt sich dabei die Tatsache aus, daB das im
kontinuierlichen Fall gebrauchliche Ver.fahren(4) zur Bestirnrnung
der "charakteristischen" Parameterwerte hier selbst haufig in dem
Fall versagt, in dem die konvexe HUlle der zulassigen Losungen des
diskreten Programms nur endlich viele Extremalpunkte aufweist.
1m allgemeinen Fall diskreter Programme ist weder die Endlichkeit
noch die Konvergenz der Gomory-Algorithrnen gesichert. Hier ist man
entweder darauf angewiesen, das Prograrnrn "durch rationale Programme
zu approximieren" - dabei bedarf es jedoch einer genauen Analyse
der durch die Approximation hervorgerufenen Fehler (vgl. die An
merkungen im AnschluB an Satz (4.2.5) und das Beispiel (4.5.4»;
oder man ist in der Lage - und dieser Fall ist im Hinblick auf die
Praktikabilitat (beschrankte Rechenzeit, beschrankte Speicherrnoglich
keiten auf elektronischen Rechnern) der wei taus wichtigere -, spe
zielle Losungsverfahren einzusetzen, die dem besonderen Typ der ge
gebenen Aufgabenstellung entsprechen. Letzteres ist haufig der Fall
bei graphentheoretischen Problemstellungen (Transportprobleme, Zu
ordnungsprobleme, etc. (5», die man gewohnlich als diskrete Programme
formulieren kann, bei denen aber Losungsverfahren vom "algebraischen
(1) R.E.Gomory, "On the relation between integer and noninteger solu-
tions to linear programs", Proc. Nat .Ac. Sci. , Vol. 53 (1965), ~5J •
(2) vgl. die Konvergenzbeweise bei Sirnrnonard (@9]) und Balinski ([6J ) ,
sowie bei [27J .
(3) vgl. die Iterationsschrittzahlen- bzw. Rechenzeitvergleiche bei
Balinski (f? J) .
(4) vgl. Sirnrnonard (@9]), § 7.9.
(5) vgl.Sirnrnonard (B9]) ,Kp.12,13jDantzig (Q..IJ) ,Kp.15-19;Noltemeier(@5])
- 3 -
Typ" (1) existieren, die den Gomory-Algorithmen nicht nur wegen der
Moglichkeit der Vorhersage einer oberen Schranke fUr die Zahl der
erforderlichen elementaren Operationen prinzipiell Uberlegen sind,
sondern auch bei dem Vergleich tatsachlich benotigter Rechenzeiten
(bei den bisher berechneten.Beispielen) in der Uberwiegenden Zahl
der FaIle gUnstigere Rechenzeiten liefern. Auch fUr den Fall, daB
die Menge der zulassigen Losungen des diskreten Problems beschrankt
ist oder gefolgert werden kann, daB eine optimale Losung in einem
beschrankten Bereich liegt, ist es generell moglich und haufig vor
teilhaft, auf die Problemstellung zugeschnittene Verfahren zu benutzen,
die in der Literatur unter "Branch-and-Bound"-Methoden zusammenge-
faBt werden (2) . In diesen Fallen eignen sich auch additive Algorithmen,
[5] )
die von Balas (vgl. [4] ' entwickel t wurden.
Primale Verfahren, wie sie von Glover und Young (vgl.~lJ ,~4 ] )
zur Losung diskreter Programme vorgeschlagen wurden, haben bisher
kaum Anklang gefunden bei der praktischen Bewaltigung derartiger
Probleme. Sie erscheinen aber teilweise geeignet bei der Bestimmung
von Naherungsfunktionen (vgl. (4.4.2)).
AIle hier aufgefUhrten Losungsverfahren weisen den gleichen ent
scheidenden Nachteil auf, der bei den Gomory-Algorithmen schon ge
schildert wurde: diese Verfahren lassen sich nicht direkt para
metrisieren wie etwa die regulare Simplexmethode im Fall einer pa
rametrischen Zielfunktion.
Die nachfolgenden untersuchungen machen keinen Gebrauch von Eigen
schaften spezieller Losungsverfahren. Es wird unterstellt, daB das
bezUglich Rechenzeit (oder Speicheraufwand) gUnstigste Verfahren
zur Bestimmung einer optimalen diskreten Losung Anwendung findet
(sofern eine Klassifizierung der fUr den Aufgabentyp zur Auswahl
stehenden Verfahren in diesem Sinne moglich ist).
FUr die untersuchung von Fragestellungen der parametrischen diskreten
(linearen) Programmierung wird in den folgenden AusfUhrungen im
wesentlichen nur Gebrauch gemacht von einfachen Grundlagen aus
der Theorie konvexer Teilmengen des Rn, elementaren Satzen aus
der Gruppentheorie und der Theorie der Korpererweiterungen, einigen
Aussagen der Theorie diophantischer Approximationen und der Theorie
der gewohnlichen, insbesondere parametrischen linearen Programmierung.
(1) die Zahl der zur Losung erforderlichen elementaren Operationen
(und damit die Rechenzeit) laBt sich nach oben abschatzen durch
ein Polynom in n1, ... ,nk, wobei die n. die Dimension des Problems
charakterisierenae Zahlen sind (Zahl 5er Variablen, Zahl der
Restriktionen o.a.)
(2) vgl. [6], [39J ' [53J .
- 4 -
EinfUhrende Darste11ungen zu obigen Tei1gebieten findet man z.B.
bei [51], [52] ' [9], [49].
Charakteristische Beispie1e parametrischer diskreter (linearer)
Programme sind aufgefUhrt in (2.4) und (4.5).
