Table Of Content(cid:10)(cid:20)(cid:17)(cid:26)(cid:13)(cid:22)(cid:23)(cid:17)(cid:24)(cid:29)(cid:24) (cid:9)(cid:24)(cid:25)(cid:24)(cid:24)(cid:15)(cid:11)(cid:22)(cid:24)
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Sensitivit¨atsanalyse und Optimierung
bei nichtlinearem Strukturverhalten
von
Stefan Schwarz
Bericht Nr. 34 (2001)
Institut fu¨r Baustatik der Universit¨at Stuttgart
Professor Dr.-Ing. E. Ramm
Stuttgart 2001
(cid:13)c Stefan Schwarz
Berichte k¨onnen bezogen werden ¨uber:
Institut fu¨r Baustatik
Universit¨at Stuttgart
Pfa(cid:11)enwaldring 7
D{70550 Stuttgart
Tel.: 0711 / 685 6123
Fax: 0711 / 685 6130
http://www.uni-stuttgart.de/ibs/
Alle Rechte, insbesondere das der U¨bersetzung in andere Sprachen, vorbehalten. Ohne Genehmi-
gung desAutorsist esnichtgestattet, diesen Berichtganz oder teilweise auf photomechanischem,
elektronischem oder sonstigem Wege zu kommerziellen Zwecken zu vervielf¨altigen.
ISBN 3-00-007419-8
Sensitivit¨atsanalyse und Optimierung
bei nichtlinearem Strukturverhalten
Von der Fakult¨at fu¨r Bauingenieur{ und Vermessungswesen
der Universit¨at Stuttgart zur Erlangung der Wu¨rde eines Doktors
der Ingenieurwissenschaften (Dr.-Ing.) genehmigte Abhandlung
vorgelegt von
Stefan Schwarz
aus Heilbronn
Hauptberichter: Prof. Dr.-Ing. Ekkehard Ramm
Mitberichter: Prof. Dr. Michal Kleiber
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 12. Januar 2001
Institut fu¨r Baustatik der Universit¨at Stuttgart
Stuttgart 2001
Zusammenfassung
Zur Generierung aussagekr¨aftiger und zuverl¨assiger Tragwerke mit Hilfe der Methoden
der Strukturoptimierung ist es erforderlich, das tats¨achliche, in der Regel nichtlineare
Strukturverhalten bereits w¨ahrend des Optimierungsprozesses m¨oglichst gut zu erfassen.
Probleme der Strukturoptimierung fu¨hren oftmals zu nichtlinearen Optimierungsaufga-
ben, die mit gradientenbasierten Verfahren e(cid:14)zient gel¨ost werden k¨onnen. Hierfu¨r wer-
den die Gradienten, d.h. die Sensitivit¨aten, der Zielfunktion und der Nebenbedingungen
nach den Optimierungsvariablen ben¨otigt. Da die Entwurfskriterien im allgemeinen von
der Strukturantwort abh¨angen, wird die Komplexit¨at sowie die Herleitung der Sensiti-
vit¨atsanalyse im wesentlichen durch das mechanische und numerische Modell bestimmt.
Im Mittelpunkt der vorliegenden Arbeit steht die Herleitung und numerische Umsetzung
der analytischen Sensitivit¨atsanalyse bei elastoplastischem Materialverhalten mit Ver{
und Entfestigung und geometrischer Nichtlinearit¨at mit Hilfe der Methode der Finiten
Elemente. Aufgrund der Pfadabh¨angigkeit der Strukturantwort im Rahmen der raten-
unabh¨angigen Plastizit¨atstheorie (Prandtl{Reuss) ist eine spezielle Prozedur fu¨r die
ebenfalls pfadabh¨angige Sensitivit¨atsanalyse erforderlich.
Es wird eine variationelle und direkte Formulierung der analytischen Sensitivit¨atsanalyse
vorgestellt, die sich in Verbindung mit elastoplastischem Materialverhalten als besonders
vorteilhaft erweist. Besondere Beachtung bei der Herleitung der analytischen Sensiti-
vit¨atsanalyse ist auf eine zum L¨osungsalgorithmus der Strukturanalyse konsistente Vor-
gehensweise zu legen. Dies bezieht sich sowohl auf das Integrationsverfahren der kon-
stitutiven Gleichungen als auch den Algorithmus fu¨r die Pfadverfolgung. Die entwickelte
Sensitivit¨atsanalyse ist wegen ihrer Allgemeingu¨ltigkeit fu¨r beliebige Optimierungsproble-
me, z.B. in der Form{ und Topologieoptimierung, einsetzbar.
Der Einflu(cid:25) des mechanischen und numerischen Modells bei der Berechnung von Opti-
mierungsproblemen wird anhand ausgew¨ahlter Beispiele unter Verwendung der zuvor be-
schriebenen Sensitivit¨atsanalyse demonstriert und diskutiert. Anhand der Maximierung
derDuktilit¨atoderderMinimierung desGewichts wirdzumeinengezeigt, welchen Einflu(cid:25)
das zugrunde gelegte Materialmodell auf die optimale Topologie bzw. Form haben kann,
zum anderen wird die Notwendigkeit einer Formoptimierung im Anschlu(cid:25) an eine Topo-
logieoptimierung zur genauen Bestimmung von Details aufgezeigt. Zur Vermeidung von
fru¨hzeitigem Tragwerksversagen infolgeStabilit¨atwird eine Stabilit¨atsnebenbedingung im
Optimierungsproze(cid:25) zus¨atzlich beru¨cksichtigt, deren Auswirkung auf die optimale Form
des Tragwerks verdeutlicht wird.
Abstract
To generate meaningful and reliable structures by using the methods of structural opti-
mization it is essential to gather the real, in general nonlinear structural behavior already
for the optimization process.
The design problems of interest often lead to nonlinear optimization problems which can
be solved e(cid:14)ciently by gradient based methods. Thus, it is necessary to compute the
sensitivities, that are the gradients of the objective and the constraints with respect to
the optimization variables. Because the optimization criteria depend in general on the
structural response, the theoretical and computational complexity of the sensitivity ana-
lysis is dominated by the underlying, mechanical and numerical model.
The present work focuses on developing and implementing an analytical approach for the
sensitivity analysis. The structural response is characterized by an elastoplastic material
behavior with strain hardening and softening as well as geometrical nonlinearities, and is
simulated by a Finite Element method. A Prandtl{Reuss model is applied to describe
the elastoplastic material which leads to path{dependent response. In turn, this requires
a special procedure to treat the also path{dependent sensitivity analysis.
A variational and direct formulation for the analytical sensitivity analysis is presented.
The advantages of this formulation in the context of elastoplasticity are discussed. The
proposed procedure is consistent with the one forcomputing the structural response. This
refers to the integration method of the constitutive equations as well as the path following
strategy. Due to its generality, the proposed sensitivity analysis can be applied to diverse
optimization problems including shape and topology optimization.
The influence of the mechanical and numerical model on the optimization procedure and
the optimization results is demonstrated with selected examples. For maximizing the
ductility and minimizing the weight the influence of the material model on the optimum
topology and shape is studied. The importance of subsequent shape optimization fol-
lowing a topology optimization step is shown. Additional constraints on the structural
stabilityareimposedinordertoavoidstructuralfailure. Theinfluenceoftheseconstraints
on the optimum shape is studied.
Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand in den Jahren 1996 bis 2000 w¨ahrend meiner T¨atigkeit
als Stipendiat der Schweizer Stiftung ’Besinnung und Ordnung’ und wissenschaftlicher
Mitarbeiter am Institut fu¨r Baustatik der Universit¨at Stuttgart.
Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr.-Ing. Ekkehard Ramm, der mir an seinem
Institut einen optimalen Rahmen fu¨r meine Forschungsarbeit bot. Seine Anregungen zu
diesem Thema sowie sein f¨orderndes wissenschaftliches Interesse haben diese Arbeit ent-
scheidend gepr¨agt.
Herrn Prof. Dr. Michal Kleiber m¨ochte ich recht herzlich fu¨r sein Interesse an meiner Ar-
beit und die U¨bernahme des Mitberichts danken. Ich habe mich sehr u¨ber seine spontane
Bereitschaft gefreut, meine Arbeit zu begutachten und extra zu meiner Doktorpru¨fung
aus Polen anzureisen.
Meinen Kollegen am Institut fu¨r Baustatik danke ich fu¨r die angenehme Zeit, ihre Hilfs-
bereitschaft und die zahlreichen wissenschaftlichen Diskussionen und wertvollen Hinweise,
die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben. Ein besonderer Dank gebu¨hrt dabei
Roman Kemmler, Ellen Kuhl, Kurt Maute und Holger Steeb, durch die ich nicht nur bei
fachlichen Themen neue Einblicke gewonnen, sondern in denen ich auch echte Freunde
gefunden habe.
Der Schweizer Stiftung ’Besinnung und Ordnung’ m¨ochte ich fu¨r die u¨beraus gro(cid:25)zu¨gige
(cid:12)nanzielle Unterstu¨tzung w¨ahrend meiner Zeit am Institut fu¨r Baustatik sehr herzlich
danken.
Schlie(cid:25)lich m¨ochte ich mich ganz besonders herzlich bei meinen Eltern bedanken, die mir
w¨ahrend meiner gesamten Ausbildung jederzeit Unterstu¨tzung gew¨ahrt haben und mir so
ein unverzichtbarer Ru¨ckhalt waren.
Stuttgart, im Januar 2001 Stefan Schwarz
