Table Of Contenti-i i H < ~J ~1 r-~ 0 Z
>, c~ u--, I a', r'-..
S~minaire P.LELONG
(Analyse) 4 Novembre 1976
16e annie, 1975/76.
/ I
SUR LES DECOMPOSITIONS PRIMAIRES DES FAISCEAUX ANALYTIQUES COHERENTS
par W. T H I M M
Ii s'agit d'une m~thode r~cursive pour d~terminer les d~compo-
sitions primaires locales d'une esp~ce particuli~re de faisceaux
analytiques coh~rents, appel~s "faisceaux modulaires".
.I Nous prenons pour base la situation suivante :
Soit ~un domaine dans l'espace ¢n et ~un faisceau analytique cohe-
rent, dgfini sur~, qui est un sousfaisceau analytique de~ p, o3 (~
n
est le faisceau des germes de fonctions holomorphes dans g . Un tel
faisceau est appelg "faisceau modulaire avec p composants".
.2 Sur le faisceau ~on applique la thgorie alg~brique des d~-
compositions primaires d'un module noeth~rien. Pour chaque point
xa ~ il y a un voisinage U de x et un systgme fini de faisceaux
x
modulaires avec p composantes~, ~ = ,1 ..., r }, d~finis dans
Ux, tel que :
)i( <u = r
X
(2) S= ~!~ est une d~composition primaire du
x
~x-SOUSmodule < de
Comme on sait cette reprgsentation a les propri~t~s suivantes :
)a( Pour chaque ~ =~ I~ ..... r~ :
(b) Chaque ~ ~x est Un~x-SOUsmodule primaire de ~ p
x
(c) L'id~al :
xX xX
x
est un ideal primaire de l'anneau .
x
Soit~.kx = rad?>,x , X= I ,... ,r.
Les id~aux prerniers~ ~x sont bien d~termin~s. On les appelle
"id~aux premiers associ~s de / ~ "-y
3. Parmi les composantes primaires locales d'un faisceau
modulaire sont particuli~rement importantes et faciles g d~crire les
composantes nulprimaires.
Un sous-module ~ de ~ p est appel~ nulprimaire, s'il a
x x
la propri~t~ suivante :
De x ~ a ~x ~x 6 ~P et x a ~x6~ x r~sulte soit a = ~ soit ~x ~
X " X X"
Ainsi dens ~x on peut diviser par les ~l~ments de~ x - ~0~ . De ce
fait simple on peut d~duire la description suivante de~ :
x
Q(~x )
Soit le corps quotient de x O at
(3) '~x x~(Q )
= ~x ~ Ox
est un sous-espace vectoriel de Q(~x )p dont la dimension
x ~ x
satisfait g :
(4) @ < ~'x = dim ~9 < p.
x
Alors on obtient :
(5) ~x = ~x ~ ~p x
D'ailleurs ~x est nomm~ "rang de ~ "
x
Inversement si on a un sous-espace vectoriel ~x de Q(~x) p, satisfai-
sant ~ (4), alors (5) dgfinit un sous-module nulprimaire~x de
~ P Ainsi (3) (4) (5) dgterminent une correspondance univoque entre
les sous-modules nulprimaires de~ p et les sous-espaces vectoriels
x
de Q(~x )p ' ~-dimensionels,x o~ x'~ satisfait ~ (4).
Dans cette situation on sait caract~riser les sous-espaces vectoriels
de Q(~x) p_ de dimension fixe ..~' Od,~x~p, par les points de la vari~t~
grassmannienne~(~x,p,Q(~x)) , d~finie sur le corps Q(~x)o On obtient
cette description de la mani~re suivante :
Prenons une base quelconque de ~x et 6crivons les composantes de
ces~ vecteurs dans une matrice. Alors les quotients de leurs
x
sous-d6terminants de rangg~'x sont les coordonn6es pl{lck6riennes
de~x. lls sont des germes de fonctions m6romorphes et satisfont
des relations alg6briques, qui sont justement les 6quations de
la varift6 ~(rx, ,P Q (~x))
D6signons ie syst6me des coordonn6es plu'ck6riennes de~ x par
~(~x . ) Inversement si on a un point de~(rx,P,Q(~x)) on (d'une
mani~re 6quivalente) un syst~me ~ de germes de fonctions m6romorphes
x, satisfaisant aux 6quations alg6briques de~(rx,P,Q(~x)) , alors
il existe un sous-espace vectoriel~x de dimension x r avec ces coor-
donn6es pl~ck6riennes -
et par la formule (5) un sous-module nulprimaire de~ p de rang r .
x x
Nous 6crivons :
ed 7
et appelons les 61@ments coordonn6es pl{lck6riennes de~x . Ain-
si pour chaque x r ~ r ~ p, on a aussi une correspondance univo-
x
que entre les sous-modules nulprimaires de~ p de rang r et les
x x
points de ~ (rx,P, Q(~x )) ou, ce qui est 6quivalent, les systgmes
de coordonn6es pluck6riennes.
4. Apr~s la description compl6te des sous-modules nulpri-
maires de ~ p se pose la question suivante :
x
D~cider si le faisceau modulaire poss6de un composant nulprimaire
en~. C'est le cas si et seulement si :
(6) ~x :~P=x {0}.
La condition (6) est 6quivalente ~ la suivante :
Le sous-espace vectoriel :
)7< 90x = xF Q< x)
a une dimension, satisfaisante ~ (4). Dans ce eas on peut calculer
le composant nulprimaire ~x de ~x par (5) et aussi le syst~me de
ses coordonn~es pl~ck~rlennes . Nous Ecrivons :
D'ailleurs ~x dim est nomm~ rang de x.
x
5. Des considerations locales ci-dessus on derive quelques
r~sultats globaux.
(a) Par is coherence du faisceau~le rang r de~ x est indEpendant
x
de x~.
Nous appelons r = r rang de~.
x
(b) De m~me de la coherence de~on conclut l'existence de fonctions
mEromorphe dang G , dont les germes dang chaque point x de G
constituent le syst~me des coordonnEes pl~ckEriennes
~( ~x . ) Ces fonctions sont appel~es coordonnEes plHck~riennes de
41- --
et leur syst~me est dEsignE par ~(~). A ~(~) correspond unique-
merit un point de la variEtE grassmannienne~(r,p;Q) , o3 Q dEsigne
le corps des fonctions mEromorphes dang ~.
.6 ConsidErons d'abord le cas special, o3 le module ~ est
x
nulprimaire dang chaque point x~ ~. Alors~est nommE nulprimaire.
On volt faeilement que ~est dEterming uniquement parT(~). En
r~sulte : leg faisceaux nulprimaires avec p composants et de rang r,
0 K r ~ p, sont en correspondanee univoque aux points de la variEtE
grassmannienne~(r,p,Q) o Ainsi on peut considErer~(r,p,Q) comme
"l'espace des module~'des sous-faisceaux nulprimaires de~ p, qui sont
d~finis sur~ et sont de rang r.
7. Retournons au cas gEnEral de~. SiVa un composant nul-
primaire dang un point quelconque ~ x ~ on a r = p r < et done
x
a un composant nulprimaire dang tous leg points de~ . On dEmontre,
que l'union de ces composants nulprimaires est un faisceau nulpri-
maire, soit~, de rang r, dont le syst~me des coordonnEes pluckErien-
nes ~(~) coincide avec~(~). Par ce rEsultat is t~che de calculer
I
I
le composant nulprimaire de ~ est complEtement rEsulu. Un autre
probl~me consiste g d~terminer lea autres composants dana lea dgcom-
positions primaires locales de~. La r~solution d~pend de la possi-
bilit~ de s~parer le composant nulprimaire~ des autres composants.
A cette fin on utilise une operation simple nomm~e "couper le fais-
ceau ~".
8. Supposons que ~poss~de un composant nulprimaire , alors
r = rang ~4 .p Soit
:~-~ ~p ~ ~r
l'homomorphisme analytique d~fini comme suit :
Pour x~ et ~x = .... ' ~ Ix ( ~px ~ ) ~p soit :
~(~x
) (~Olx ..... ~rx ) '
c'est-~-dire on supprime lea p-r derniers composants de ~x" L'appli-
cation deCY" surSdonne un faisceau modulaire~(~) avec r composants,
aussi d~fini sur ~. Par une permutation convenable des composants de
~on pent obtenir que~et Os(~) sont isomorphes. Dams ce cas l'homo-
morphisme(~, qui conduit de~O~(~) eat appelg : "couper le faisceau
D~sormais il s'agit de comparer lea d~compositions primaires locales
de~ celles de~(~), ee point de d~part eat la remarque suivante :
A chaque x£~ le composant nulprimaire~x de ~est le seul composant
primaire isol~ de~et donc le seul, qui est unique~ent d~termin~.
Les autres composants n'~tant pas uniques, peuvent ~tre choisis
avec des conditions suppl~mentaires, En effet en x quelcnnque de~
on pent obtenir que chaque composant primaire~ ~x( #~x ) de~ x
a la proprigt~ :.
= ~( ~Xx)*'~ xP -r .
Alors le~x-modul~x ) eat primaire et son ideal premier associ~
coincide avec celui de ~x"
iS maintenant
est la d~composition primaire locale delhi ~, on obtient
Dans cette intersection tous les membres sont primaires exceptg
~eut-~tre le premier. Soit
I Ux s
sa d~composition primaire locale en ~.
D'ailleurs on peut d~montrer que tous les id~aux premiers associ~s
deO~(~) en )C sont n-l dimensionels. De (I0) et (ll) rgsulte :
/ U 1 "'" s ~1 "'" / r
x
De (12) on obtient une d~composi-tion primaire locale en r~unissant
les composantes primaires ayant le m@me ideal premier associg.
Ainsi on salt calculer la d~composition primaire de 0~(~) en~sl celle
detest connue° Le probl~me inverse est complEtement r~solu si on
suppose connu le composant nulprimaire ~de ~.
Si
est la d~composition primalre locale de(~(~) en X- , alors
Ux Ux r
est une intersection , o~ tous les membres sont faiseeaux primaires
~. Peut-~tre elle contient des composants primaires superflus,
Apr~s- avolr supprim~ celles~c£, on obtient une d~compos~tion pr~mai~
re locale de ~en ~.
Ces r~sultats montrent que le calcul des d~compositions primaires
locales de~et deO~(~) s-ont ~qulvalents. On peut donc toujours
ramener le cas oO le rang du faisceau est plus petit que son hom-
bre des composants, au cas o~ ces hombres sont Egaux. C'est ce
problgme qui nous occupe ci-dessous.
9. - Supposons dEsormais r = p. Dans ce cas on applique
une mEthode de reduction -au fond local-, qui base sur une projec-
cn-I
tion de cn sur . Pour la description nous convenons de designer
les objets, dEfinis pour cn-I avec un ast~risque. Par exemple ~ z
marque un point de cn-I et~J est le faisceau des germes de fonc-
tions holomorphes dans cn-]
De la supposition r = p rEsulte S:O p # 0 .
Par consequent chaque point x&~ poss~de un voisinage ~ , q ui apr~s
un choix convenable des coordonnEes dans Cn a les propriEtEs suivan-
tes :
(9.1.) Le point x est le point ~ de cn. (Ceci est introduit seulemen
pour simplifier les notations).
1-n~
o~ ~ = et ~ >
(9.3.) II y a une section
d ~ ~(~, ~ :~P)
qui est un polynome de Weierstrass
m-]
d = z m + ~ d ; ~
n = Zn '
d~ ~ --~( ~ ,C ~) ,~ = ,O • .., m-1
Retenons que m est le degrg du polynome d.
(9.4.) Pour chaque ~ z ~ les zeros de d(z~,z n ) sont situ~s dans
le cercle { IZnl~ ~ ) .
Maintenant nous consid~rons la projection
: cn ___~n-I
I~
01
d~finie par :
(z ,z n) z
=
Pour l'application holomorphe ~ est d~fini le faisceau image ~T (~)
qui est un faisceau analytique sur ~ ~ ~ Cn-I . ~(~) n'est pas
coherent. Cependant on peut s~parer de ~ (~) une part non coh~rente,
tel que le reste est coherent et de plus contient toutes les infor-
mations importantes sur ~(~).
Plus pr~cis~ment : ~(~) permet une representation comme somme di-
recte :
(15) ~ (~) = ] 2
CJ = ~(H.O P) n'est pas coN@rent, tandis queY~ est canoniquement
o~ l
isomorphe gun faisceau modulaire avec m.p composants ["I (~).
m
On obtient ~m(/) par le pr~faisceau suivant :
Soit ~ V un ouvert, V * ~U . Alors :
~m (~) (V ~)
{ =
p / a V ~ , }t.= I, ..., r , = 0,i, ..., m-i
/~-=0 P~ ' = .... ' p
Les homomorphismes du pr~faisceau sont des restrictions.
La representation (15) est bas~e sur le th~or~me du reste de Oka :
Une fonction f ~V'x IZnl< J~,~) s'~crit d'une mani~re unique
(16) f = f'd + '~
I
o~ ~ f' n z < , et f est un polynome de z :
n
,,s m-1
f° p-f; ,
~=o
De m~me pour la d~finition de TTm(~). On d~montre que TTm(~) est
coherent • Les clefs pour tous les r~sultats concernant ITm( ~ sont
les trois propositions suivantes :
11
(I) Propri~t~ d'unicit@.
Soient donn~s deux faisceaux modulaires ~I' ~2 sur
U avec p composants, tel que
Alors TTm(~ )I = Trm(~2 ) si et seulement si I ~ = ~2"
(II) Propri@t~ d'intersection.
on a < ooa
~m(~" ) = ]Tm(~l) ~ ITm(~2).
(III) Projection de faisceaux primaires.
Supposons ~primaire en O" et~ l'id@al premier associ~ de
~. Alors le faisceau TTm(~) est primaire au point zgro 0"~ @n-I
et son ideal premier associ@ est," = ~ f~'~
O*
Ici ~O~ d~signe l'anneau des germes de fonctions holomorphes de
0~
z i en O" ,consid~r~ comme sous-faisceau de .
IO. - A present se pose le probl~me de comparer les d~com-
positions primaires de ~ celles de ~m(~).
Soit z un point quelconque de U . Consid~rons les z@ros du poly-
nome d(zl,Zn ) soient
)J(z
n , j = ] ..... k (~m).
Notons z (j) , ~ (z z(J)).
n
A cause de (9.4.) on a z(J) ~ U , j = 1 ..... k.
Alors on peut d@terminer un voisinage V~ Cn-| de ~ z et des faisceaux
modulaires avec p composants
, = X 1 ...... j = 1 ..... k~
avec les propri@t@s suivantes :
(a) ~ (j)~ est d@fini dans V = V'X~Znl ~)
