Table Of ContentProgress in Mathematics
Volume 81
Series Editors
1. Oesterle
A. Weinstein
Seminaire de
Theorie des N ombres,
Paris 1987-88
Edited by
Catherine Goldstein
1990 Birkhauser
Boston . Basel . Berlin
Catherine Goldstein
Mathematique, BMiment 425
Universite de Paris-Sud
Centre d'Orsay
91405 Orsay Cedex
France
"The Library of Congress has cataloged this
serial publication as follows:".
Seminaire Delange-Pisot-Poitou.
Seminaire de theorie des nombres/Seminaire Delange-Pisot
Poitou. - 1979-80-- Boston: Birkhiiuser, 1981-
v.;24 cm. - (Progress in mathematics)
Annual.
English and French.
Continues: Seminaire Delange-Pisot-Poitou. Seminaire Delange-Pisot-Poi
tou: [exposes)
I. Numbers, Theory of-Periodicals. I. Title. II. Series: Progress in math
ematics (Boston, Mass.)
QA 24.S37a 5 I 2'.7'05-dcI 9 85-648844
Library of Congress [8510) AACR 2 MARC-S
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Seminaire de Theorie des Nombres:
Seminaire de Theorie des Nombres. - Boston; Basel;
Berlin : Bi rkhiiuser
Teilw. auf d. Haupttitels. auch : Seminaire Delange
Pisot-Poitou
1987/88. Paris 1987-88. - 1990.
(Progress in mathematics ; Vol. 81)
ISBN-13 :978-1-4612-8032-3 e-ISBN -13: 978 -1-4612-3460-9
DOl: 10,1007/978-1-4612-3460-9
NE:GT
Printed on acid-free paper.
© Birkhauser Boston, 1990
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1990
All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system,
or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording
or otherwise, without prior permission of the copyright owner.
Permission to photocopy for internal or personal use, or the internal or personal use of specific
clients, is granted by Birkhauser Boston, Inc., for libraries and other users registered with the
Copyright Clearance Center (CCC), provided that the base fee of $0.00 per copy, plus $0.20
per page is paid directly to CCC, 21 Congress Street, Salem, MA 01970, U.S.A. Special re
quests should be addressed directly to Birkhauser Boston, Inc., 675 Massachusetts Avenue,
Cambridge, MA 02139, U.S.A.
3458-4/90 $0.00 + .20
ISBN-13:978-1-4612-8032-3
Camera-ready text provided by the editor.
9 8 7 6 5 4 3 2 1
Les textes qui suivent sont pour la plupart des versions ecrites de
conferences donnees pendant l'annee 1987-88 au Seminaire de TMorie des
Nombres de Paris. Ce seminaire est organise par la R.C.P. 08 303 du C.N.R.S. qui
regroupe des arithmeticiens de plusieurs universites et est dotee d'un conseil
a
editorial et scientifique. Ont ete aussi adjoints certains textes dont la mise la
disposition d'un large public nous a paru interessante. Les papiers proposes ici
exposent soit des resultats nouveaux, soit des syntheses origin ales de questions
recentes ; ils ont en particulier to us fait l'objet d'un rapport.
a a
Ce recueil doit bien sUr beaucoup tous les participants du seminaire et
a
ceux qui ont accepte d'en reviser les textes. 11 doit surtout Monique Le Bronnec
qui s'est chargee comme toujours du secretariat et de la frappe definitive du
manuscrit ; son efficacite et sa tres agreable collaboration ont ete cruciales dans
l'elaboration de ce livre.
Pour Ie conseil editorial et
scientifique
C. GOLDSTEIN
CONTENTS
Comportement statistique du nombre de facteurs
premiers des entiers
M. Balazard 1
Sur les minorations geometriques des regulateurs
A.-M. Berge et J. Martinet 23
Deformations of Galois Representations associated
to the cusp form !J.
N. Boston 51
Multiplicative functions 1 gl 5 1 and their convolutions:
an overview
P.D. T.A. Elliott 63
Arithmetic of 3 and 4 branch point covers. A bridge
provided by noncongruence subgroups of SL2(71.)
M. Fried 77
Minoration de hauteurs et analyse diophantienne sur
les courbes elliptiques
M. Hindry 119
Rang P-adique d'unites : un point de vue torique
M. Laurent 131
Le groupe des classes ambiges (au sens strict)
S. Louboutin 147
Sur l'arithmetique des corps de nombres p-rationnels
A. Movahhedi et T. NGuyen Quang Do 155
viii
Algebraic independence of certain power series
K. Nishioka 201
Representations p-adiques, periodes et fonctions
L p-adiques
B. Perrin-Riou 213
Raising the levels of Modular Representations
K. A. Ribet 259
Matrices dont les coefficients sont des formes lineaires
D. Roy 273
Some new Hasse principles for conic bundle surfaces
P. Salberger 283
Valeurs des formes quadratiques indefinies irrationnelles
(d'apres G.A. Margulis)
J.-C. Sikorav 307
P-adic heights on abelian varieties
Yuri G. Zarhin 317
Erratum: "Diagonale de fractions rationnelles" (STNP 1986-87)
G. Christal 343
Erratum: "On the arithmetic of conic bundle surfaces"
(STNP 1985-86)
P. Salberger 347
Liste des conferenciers 349
1
Seminaire de Theorie des Nombres
Paris 1987-88
COMPORTEMENT STATISTIQUE DU NOMBRE
DE FACTEURS PREMIERS DES ENTIERS
M.BALAZARD
I.-Introduction.
Si n est un entier positif, on note f/ (n) Ie nombre de facteurs premiers de
n, comptes avec leurs multiplicites :
L L
(1) f/(n) = 1 = a
II
n p~ln
ou p designe un nombre premier generique et a un entier positif generique. La
fonction arithmetique f/ est comph3tement additive, c'est-a-dire que
f/ (ab) = f/ ( a) + f/ (b) , quels que soient les entiers naturels a et b.
Dans cet expose, nous etudions Ie comportement local de f/. Posons:
(2)
ou x est un entier posit if tendant vers l'infini, et k un entier positif. Dans (2),
v x designe la probabilite uniforme sur l'ensemble des entiers 1,2, ... ,x; comme
.j!( n) ~ n, on a v x(f/( n) = k) = 0 pour k> t~~ ~ et il suffit d'etudier (2) pour
k< tog x .
- og 2
Depuis Ie debut de notre siecle, de nombreux auteurs ont donne des
equivalents asymptotiques ou des majorations pour v if/(n) = k). Nous
resumons ci-dessous ces travaux ; pour ne pas alourdir cette presentation, nous
omettons les termes d'erreurs effectifs connus pour les resultats (6) et (10).
2
(3) v x( !1(n) = k) N (log X)-l (l ogl(okg- l)x.~ k-l quand x -+ + (f) ,
pour tout k fIxe (Landau 1900, cf. [11]).
uniformement pour x ~ 3 et k ~ 1, ou Co et ~ sont des constantes positives
k-l
L
absolues et Sk-l (X) = ~ est la (k-l)-ieme somme partielle de la serie
i=O z.
exponentielle (Hardy et Ramanujan 1917, cf. [8]). Signalons qu'une inegalite
cl-
fausse (v x(!1(n) = k) ~ co(log xtl(loglog x + l j(k-l)!) a parfois ete utili see
imprudemment it la place de (4).
et I k -loglog xl ~ B (loglog x) 12 ou Best positif, arbitraire mais fIxe (Erdos
1948, cf. [5]).
k-l
(6) v x( f!( n) = k) N F( IogkIo-lg x) (log X)-l (log(lokg- I)x.~ quand x -+ + (f) ,
uniformement pour 1 ~ k ~ (2--£ )loglog x, ou E > 0 est fIxe et
F(z) =r(~+I) ~ (l-jl(1-it1 (Sathe-Selberg 1953-54, cf. [19]).
(7) v x(f!( n) = k) N C(log x)2-k quand x -+ + (f) ,
uniformement pour (2+E )loglog x ~ k ~ B loglog x ou E et B sont positifs et
1 1
fIxes et C = 4 ~3 (1 + P(p-2») (Selberg 1954, cf. [19]).
(8)
3
uniformement pour x ~ 3 et k ~ 1, ou ~ est une constante positive absolue
(Erd6s-Sark6zy 1980, d. [6]).
(9)
uniformement pour x ~ 3 et k ~ 1, ou c3 est une constante positive absolue
(Norton 1981, cf. [14]).
uniformement pour k ~ (2+E )loglog x, E > 0 etant fixe (Nicolas 1984, d. [13]).
Signalons des travaux recents d'Azzouza, dormant des majorations explicites de
viQ(n) = k), et utilisant la demonstration du tMoreme de Nicolas.
Le rapprochement entre les lois de repartition des fonctions arithmetiques
et les lois probabilistiques classiques est l'un des objectifs de la tMorie
probabiliste des nombres. Ainsi (6) montre que, pour k~ (2--E)loglog x, Q(n) se
comporte it peu pres comme une variable de Poisson de parametre loglog x et
(10) indique une loi locale it peu pres geometrique de raison ~ pour
k ~ (2+E )loglog x .
11 est naturel de s'interroger sur ce brusque changement de nature des
formules asymptotiques pour v iQ( n) = k). La solution du probleme est donnee
par la consideration d'une nouvelle loi probabiliste simple.
II.-La loi Poisson-goometrique.
Considerons une loi de Poisson de parametre ). ~ 0, definie par la formule
-). ).k-l
(11) Pk = e f7i=I)T k = 1,2, ... ,
et une loi geometrique de raison r:
(12) gk = (l-r)rk k = 0,1,2, ...
Nous appelons loi POisson-geometrique de parametre ). et de raison r Ie
produit de convolution:
