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Mathematics
A collection of informal reports and seminars
Edited by .A Dold, Heidelberg and .B Eckmann, ZOrich
Series: Universit~ de Nice, Facult~ des Sciences
Adviser: .J Dieudonn6
277
S6minaire hcanaB
Edit6 par C. Houzei, Universit6 de Nice
Nice/France
galreV-regnirpS
Berlin. Heidelberg- New York 1972
tcejbuS ,01M64
AMS Classifications (1970): 12B99, 46A05, 46A09, 46A99, 46M05, 46A20
ISBN 3-540-05934-2 Springer-Vedag Berlin. Heidelberg. New York
ISBN 0-387-05934-2 Springer-Verlag New York • Heidelberg- Berlin
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:kcurdtesffO Julius ,ztleB hcabsmeH
INTRODUCTION
Ce texte est celui d'un s~mine/re tenu ~ l'Ecole ~ormle Sul~rieure en 1962-63.
Les r~sultats pr~sent6s ne sont pas nouveaux pour la plupart : ce sont ceux de la
th~orie classlque des espaces vectorlels topologlques [1,2] . La nouveaut~ r~slde
seulement darts l'a~encement de ces r~sultats et le Tocabuls/re utilis~.
En premier lieu le 1 ~ cat6~rique et fonctoriel s'adapte aussi bien ~ ces
questions d'analyse qu'au reste des math6matiques ; il fournlt des ~nonc~s plus ri-
ches, plus concis et met mieux en l~mi~re cert~ns ph~nom~nes. Le chapltre 0 est une
introduction de ce lsngage qu'on utillse conste~ment dana la suite ; il est r~d/~
dans iIoptique propre au su~et de ce s~mins/re (categories pr~-ab~liennes) .
La notion de bornolo~ie se trouve latente strad la litt~rature classique (par
exemple comae ensemble ~ de parties born~es d'un espaee vectorlel topolo~que) .
On s'est attach~ ~ syst~matiser cette notion. L'id~e de consld~rer la bornologle -nroc
me une structure ind~pendante pro~rient de l'~ude des probl~mes ou des propri~t~s
" qui ne d~pendent que des boru6s " ; cette id6e a ~t~ explolt6e dans les tra~ux de
L. Waelbroeck E5,6] ; notre premier int~rSt pour la question est contemporaln de
ces trava~Ix, m~is il en eat ind~pendant. Le ch~pitre I de ce fascieule expose les
g6n~ralit~s sur les structures bornolo~iques et sur les esp~ces vectorlels bornolo~i-
ques, apr~s avoir rappel~ les premiers r~sultats de la th~orle des espaces vectorlels
topolo~ique ( [I~ , Chap. ) I pour mettre en ~rldence le parall~lisme et lea diff6-
rences entre les deux th~orles. I1 se poursuit p~r l'~tude des structures qu'on pout
mettre naturellement sur les espaces d'ap~lications lin~a.ires %e par l'~tude des es-
paces ,nnds ~ la lois d'une topolo~ie et d*une bornolo~e ( § ~ ) : la mati~re est
[I]
en ~ros celle du chapltre III de , ma/s la seule felon d'y voir clair eat de
bien distin~uer les structures topolo~iques et les structures bornolo~iques. L'~tude
des espaces d'applicatlons billn~a/res, avec les applications billn6alres hypoconti-
hues, termlne le chapitre ; la notion d'application billn~a/re h~pocontinue eat tr~s
naturelle et les propri~t~s de la composition des morphismes (u,v) ~ v~u ap-
paraissent dans route leur ~n~ralit6.
Au Chspitre II , on introduit les questions de convexlt6. Contrairement aux tex-
tes cl~ssiques, on continue ~ d~velopper la th~orie avec un corps de base valu~ eom-
plst non discret arbitraire, su lleu de se restreindre ~ R et C . Apr~s avolr
IV
rappel~ ( § I ) la th~orie des espaces semi-horrors - auxquels on impose d'etre
ultram~triques si le corps de base l'est - on volt que lee espaces localement con-
vexes s'interpr~tent naturellement co-,,e formant une cat~gorie (elc) ~quivalente
celle des pro-objets de la cat~gorie (esn) des espaces semi-horrors. Corr~lative-
ment, une sous-cat~gorie (ebc) de cells des espaces vectoriels bornologiques s'in-
troduit, ~quivalente ~ la cat@gorie Ind-(esn) des ' ind-ob1~ets de (esn) ;les oh-
jets de (ebc) sont appel~s espaces vectoriels bornologiques de type convexe. Parmi
ceux-ci, on d~finit les espaces vectoriels bornologiques complete en suivant L. Wae~
broeck ( [5] , Chap. ° 2 l, n ,) ainsi que d'autres classes d'espaces bornologiques
ayant des propri~t~s int~ressantes relativement ~ la compl~cion ou ~ la duallt~ :
espaces r~guliers, espaces propres. Les relations entre categories (elc) et (ebc)
sont ~tudi~es dane le rests du chapitre : un couple de foncteurs adjoints (t,b)
(topologie canonique d'un ebc. , bornologie canonique d'un elc. ) permet de pas-
ser de l'une dane l'autre et d~finit un isomorphisme entre deux sous-cat~gories plei-
nes de (elc) et (ebc) respectivement, dont les objets sont appel~s espaces nor-
maux (ce sont lee espaces bornologiques de Bourbaki) . Comme cas particulier impor-
tant des espaces normaux, on ~tudie ~ part les espaces localement convexes m~trisa-
bles (qui peuvent aussi bien ~tre consid~r~s come des espaces bornologiques, puis-
qu'ils sont normaux) .
Le Chapitre III est consacr~ ~ I '~tude de la dualit~ (cf. Chap. II et Chap. IV
de [I]) , qui est men~e sans faire de restriction sur le corps de base ; il con-
tient quelques r~sultats nouveaux, dQs ~ L. Gruson, pour le cas o~ le corps de base
est ultram~trique. On y trouvera le theorems de Hahn-Banach, interpr~t~ comme eigni-
fiant que le corps de base est un objet injectif de la cat~gorie des espaces norm~s;
il n'est valable que si ce corps est ,R== C ou un corps ultrsm~trique maximalement
comfier ; plus g~n~ralement, on donne une caract~risation des espaces norm~s injec-
tifs (d~e ~ Nachbin dans le cas o~ K = ~ ) . On ~tudie ensuite les syst~mes d'es-
paces vectoriels en dualitY, avec les th~or~mes de Mackey et de Grothendieck, d'ail-
leurs g~n~ralis~s, puis certaines classes d'espaces (topologiques et bornologiques
de type convexe) li~es ~ la dualit~ : espaaes infratonnel~s, espaces r~flexifs, es-
paces satur~s de type d~nombrable, espaces de Grothendieck (introduits sous le aron
d'espaces (DF) par Grothendieck dans [3] ) . Notons que nos d~finitions diff~-
rent g~n@ralement un peu de celles de la litt~rature ; le mode d'exposition choisi
conduit ~ introduire des notions plus naturelles (cf. en particulier la notion d'es-
pace Ioc~lement convexe r~flexlf) . La th~orie de la dualit~ s'int~resse surtout
aux esp~ces norm~s et aux espaces localement convexes : ells repose en effet cur le
th~or~ne de Hahn-Banach qui passe bien aux pro-objets (les e.l.c.) ,mais Pas aux
ind-objets (les e.b.c.) . Pour ces derniers, la situation est assez mauvaise, puis-
qu'un e.b.c, m@me s~par~ peut avoir un dual nul (exemple de Waelbroeck , [7] )
on n'a de r~sultats partiels que pour lee e.b.c, r~guliers qui, lorsqu'ils sont
s~par~s, se plengent dens leur bldual.
La fin du s~ninalre (chapitre 1~) trai~e des prsd~/ts tensorlels. Au § 1 , on d~-
finit les produits tensoriels projectifs, qui repr~sentent un espace d'&pplications
bilin~aires (of. E~,8~) , et on ~tudie leurs propri~t~s fonctorlelles. Pour chaque
type de structure sur l'espace E et sur l'espace F il y a une structure " projec
tire " sur E ~ F ; d'o~ un grand nombre de produ/ts tensorlels dont les rela-
tions sont e~u~es. En compl~tant ces prodults tensoriels (n ° IO) on obtlent de
nouveaux foncteurs. A la fin du paragraphe, on donne quelques exemples, tir~s de
l'in~ration. Le § 2 est consacr~ aux produits tensoriels g~n~ralement appel~s
" injectifs " , en liaison avecla th@orie de la dualit~ ; on donne encore d'assez
nombreux exemples.
BIBLIOGRAPHIE
3,[
N. IKABRUOB - Espace$ vectorlels topologiques-(Act. Scient. et
Indust., ° n 1189 et ° n 1229).
32[
A. @ROTK~DIECK - Espaces vectorlels topologiques -(Cours de l'Universit~
de S~o Paulo).
33[
A. GROTHENDIECK - Sur les espaces (F) et (DF) - (Buena Brasiliensis
Mathematicae, vol. 3, fasc. 6, 1953) •
A. GROTHENDIECK - Produits tensoriels topolo~ques et espaces nucl~s/res
(Memoirs of the A.M.S., 1955) .
L. W~RT.~OECK - Etude spectrale des slg~1~es compl~tes - (M~emolres de
l'Acad~mie Royale de Belgique, t. XXXI, fast. 7, 1960) .
L. WAELBROECK - Les quotients de b-eSl~Ces - (Public. Scient. de l'Uni-
versit~ llbre de Bruxelles, Juln 1962)
L. WAELBROECK - Le compl~t~ d'un espace " ~ born~s " - (C.R., t. 253,
z827-2828, 1961)
p. .
38E
L. SCHWARTZ - S~ninaire 1953-195~ •
TABLE DES MATIERES
CHAPITRE O, THEORIE ELEMENTAIRE DES CATEGORIES (R6dig~ par G.Schiffmann)
Premiere partie - D&finition des cat6gories et des foncteurs. 1
Deuxi~me partie - Foncteurs repr6sentables - Applications . . 11
Troiei@me partie - Categories Additives, Pre-Abeliennes et
Abeliennes . . . . . . . . . . . . . . . . 26
CKAPITRE 1, ESPACES VECTORIELS TOPOLOGI~UES ET BORNOLOGI~UES -
GENERALITES - (Redig~ par H.Jacque%) ....
§ .I Espaces vectoriels Topologiques . . . . . . . . . . . . . 34
§ 2. Ensembles bornologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
§ 3. Espaces Vectoriels Bornologiques ............ 43
§ 4. Espaces d'applications lin6aires ............ 53
§ .5 Espaces Vectoriels Topologiques et Bornologiques .... 62
§ 6. Espaces d'applications bilin6aires ........... 69
CHAPITRE 2, ~UESTIONS DE CONVEXITE (R~dig~ par J.P.Ferrier)
§ I. Espaces semi-nora, s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§ .2 Structures de type convexe . . . . . . . . . . . . . . . 91
§ 3. Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . 104
CHAPITRE ~, LA DUALITE DANS LES ESPACES DE TYPE CONVEXE
(R6dig~ par L.Gruson)
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
I. Propri~t6s d'exaxtitude du foncteur Hom sur les espaces
de type convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
II. Syst~mes duals - Topologles compatibles avec une dualit6 134
III. Applicatlon & l'~tude de certaines classes d'espaces . . 149
CHAPITRE 4' PRODUITS TENSORIELS (C.Houzel)
§ .I Produits tensoriels projectifs . . . . . . . . . . . . . 166
§ 2. Produit tensoriel et dualit~
Produit tensoriel injec~If . . . . . . . . . . . . . . . 201
SEMINAIRE BANACH
Exposes Iet 2 E.N.S.
24 et 31.10.62
CHAPITRE 0
THEORIE ELEM~NTAIRE DES CATEGORIES
(par C~rard SCHIFFMANN)
Les nmn~ros entre crochets renvoient ~ la bibliographie.
Co-~e l'indique le titre, on se propose de presenter les d~finitions g~n~rales
relatives aux categories. Tout ce qui suit est donc bien connu. Notons seulement
que, pour les besoins de la th~orie des E.V.T., on a ~t~ conduit ~ pr~ciser la no-
tion d'exactitude d'une suite dans une cat~gorie additive avec noyaux et conoyaux
en d~finissant les suites " ante-exactes " et " post-exactes " .
Aucune connaissance pr~alable n'est n~cessaire. Les d@monstrations qui se r~dui-
sent ~ des v6rifications triviales sont laiss~es au Lecteur. Si@~alons enfin que,
pour certains passages, on s'est plus que largement inspir~ de [I 3
PREMISE PARTIE - DEFINITION DES CATEGORIES ET DES FONCTEURS
§ 0 • D~finition des univers
La notion d'univers est introduite pour ~vlter de sortir du cadre de la th~orie
des ensembles. Intuitivement, un univers est un " ensemble d'ensembles assezgros "
U pour que routes les constructions classiques de la th~orie des ensembles, effec-
tu@es ~ partir d'~l~ments de U , donnent des ~l~ments de U . On se limitera
quelques br~ves indications.
DEFINITION . Un ensemble U est un univers s'il satisfait aux axiomes suivants :
I U - La r~union d'une famille d'ensembles appartenant ~ U , index~e par un
~l~ment de U , appartient ~ U
2 U - Si x est un ~16ment de U , l'ensemble dont le seul ~l~ment est x
est un @l~ment de U
3 U - Si x appartient ~ un ensemble X et si X est un ~l~ment de U ,
alors x est un @l~ment de U
4 U - Si un ensemble appartient ~ U , l'ensemble de ses parties appartient
U
5 U - Le couple (x,y) appartient ~ U si et seulement si x et y appar-
tiennent ~ U
On laisse au lecteur le soin d'~noncer et d'~tablir nut certain hombre de conse-
quences des axiomes precedents. Par exemple :
- Toute pattie d'un ensemble appartenant ~ U appartient ~ U
- Le produit d'une famille d'ensembles appartenant ~ U index~e par un ~l~ment
de U , appartient ~ U
Notons seulement la proposition suivante :
PROPOSITION . Si X est un ensemble appartenant ~ un univers U , s/ors :
Card X < Card U
Ii en r~sulte qu'un univers n'appartient pas ~ lui-m~me.
Ii convient d'ajouter aux axiomes de la th~orie des ensembles l'axiome suivant :
Axiome de Tarski . Tout ensemble appartient ~ au moins un univers.
Bien entendu, il serait n~cessaire d'int~grer de fa~on precise ce qui precede
dans le cadre de la th~orie des ensembles. Remarquons seulement que, le seul univers
fini ~tant l'ensemble vide, l'axiome de Tarski entraine l'axiome de l'infini (exis-
tence d'ensembles infinis) .
I . D~finition des categories
DEFINITION . Etant donn~ un univers U , une U-cat~gorie "~ est constitute par
les donn~es suivantes :
Un ensemble de U dont les ~l~ments sont les objets de "~ , not~ oh(~)
Un ensemble de U dont les ~l~ments sont les fl~ches (ou les morphismes) de
T, not~ FI(~)
Deux applications de FI(~) dans ob(~) appel~s application source et ap-
plication but, not~es respectivement s et b
Une loi de composition interne snalc FI('C) , appel~e loi de composition
-
des fl~ches (ou des morphismes) , notre o et satisfaisant ~ certains axiomes qu'on
va expliciter.
Etant donn~s deux objets X et Y de "~ , on appelle morphisme de X dens
Y tout ~l~ment f de FI(~) tel que s(f) = X et b(f) = Y . L'ensemble
s-1(X) ~ b-1(Y) des morphlsmes (ou des fl~ches) de X dans Y est un ~l~ment de
U ; on le note Hom~(X,Y) ; lorsqu'aucune confusion n'est ~ craindre, on le note
simplement Hom(X,Y) .
A to~ ~hisme f de X dans Y on associe l'un des deux diagrammes
, :
f
f : X > Y X ~ Y
X est appel6 la source de f et Y le but de f .
Axiomes de la loi de composition des morphismes.
- Le compos@ g o f est d~fini si et seulement sl : b(f) = s(g) ;
s(go f)= )f(s te b(go f)=b(g)
La loi de composition des morphismes est associative.
-
- Quel que soit l'objet X de ~ , il existe unmorphisme X I ed )X,X(=oH
appel~ morphlsme identique de X et tel que :
quel que soit f appartenant ~ FI(~) et tel que b(f) = X , alors
X o f = I f ,
quel que soit f appartenant ~ FI(~ et tel que s(f) = X , s/ors
x f = o f I
II est clair que le morphisme identique d'un objet de X est unique.
Autrement dit, on a :
Un ensemble d'objets .
-
- Pour tout couple d'objets (X,Y) un ensemble de morphismes Hom(X,Y) deux
quelconques de ces ensembles @rant disjoints.
- Pour tout triplet : (X,Y,Z) d'objets une application de
Hom(X,Y) x Hom(Y,Z) >- Hom(X,Z)
ces applications satisfont aux axiomes qu'on vient d'~noncer.
Exemples de categories :
Soit U un univers. Ii existe au moins un univers V tel que U appartienne
V .
)I La cat~orie des ensemble . s Les objets sont les ensembles de U , les mor-
phismes les applications d'un ensemble dams un autre. Co,me tous les exemples qui
suivent, ce n'est pas une U-cat~gorie mais une V-cat~gorle.
On la note u (Ens)
2) La cat~orie des ensembles point6s. Les objets sont les ensembles point,s et
si (X,x) et (Y,y) sont deux ensembles point~s, un morphisme du premier darts le
second est une application f de X dans Y telle que f(x) = y . (On se limite
aux ensembles point,s dont l'ensemble appartient ~ U )
3) La categoric des espaces topologiques. Les objets sont les espaces topolo-
giques dont l'ensemble sous-jacent appartient ~ U et les morphismes sont les appli-
cations continues. On la note (Top) U
h) De m~me, on a la cat~gorie des groupes ab~liens : U (Ab) , la categoric
des corps, des alg~bres, des espaces vectoriels, des espaces vectoriels topologiques,
etc ...
Dans la suite, pour all~ger l'expos~, on n'introdulra pas explicitement les uni-
vers. Saul indication contraire, chaque lois qu'on consid~rera simultan~ment plu-
sieurs categories, elles seront toutes relatives au m~me univers. Notons ~ ce propos,
quc si U et V sont deux univers tels que U appartienne ~ V , alors route
U-cat~gorie est afortiori une V-cat~gorie.
Morphismes inversibles.
Etant donn~e une cat~gorie ~ , un morphisme : f X : ~ Y de "~ est
dit inversible ~ gauche (resp. ~ droite) s'il existe unmorphisme g Y : ....... ~ X
tel que g X o f = I (resp. f o g = )yI ; f est inversible s'il existe un morphis-
me g : Y ...... • X tel que X g o f = I et f o g = Iy ; g s'appelle l'inverse
de f et il est unique. Si f est inversible, on dit encore que f est un isomor-
phisme ; pour que f soit un isomorphisme, il faut et il suffit qu'il soit inversi-
ble ~ droite et ~ gauche. Deux objets sont dits isomorwhes s'il existe un isomorphis-
me de l'un dans l'autre. L'isomorphisme est une relation d'~quivalence dans Ob('~) .
Cat~orie duale :
Etant donn~e une categoric ~ , on appelle categoric duale de ~ et on note
.~o la categoric suivante :
les objets de .~ o sont les objets de ~(- ,
-
les morphismes de ~(~o sont les morphismes de ~ ,
-
l'application source (resp. but) de .~ o est l'application but (resp. sour-
-
ce) ~e "~ .
Autrement dit, pour tout couple (X,Y) d'objets de ~ on a :
)Y,X(o~mOH
= HomK(Y,X)
