SEMIGRUPOS DE OPERADORES DE COMPOSICIÓN Abel Rosales Tristancho Dpto. de Análisis

151 Pages·2017·0.83 MB·English

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SEMIGRUPOS DE OPERADORES
DE COMPOSICI(cid:211)N
Abel Rosales Tristancho
Dpto. de AnÆlisis MatemÆtico
Dpto. de MatemÆtica Aplicada II

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SEMIGRUPOS DE OPERADORES DE
COMPOSICI(cid:211)N
Abel Rosales Tristancho
Dpto. de AnÆlisis MatemÆtico
Dpto. de MatemÆtica Aplicada II
Sevilla, Septiembre de 2017
Memoria presentada como parte de los requi-
sitos para la obtenci(cid:243)n del t(cid:237)tulo de MÆster en
MatemÆticas por la Universidad de Sevilla.
Tutorizada por
Prof. Manuel D. Contreras MÆrquez
Prof. Luis Rodr(cid:237)guez Piazza

˝ndice general
English Abstract iii
Introducci(cid:243)n v
1. Semigrupos de Operadores. 1
1.1. De(cid:28)nici(cid:243)n y propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. El generador in(cid:28)nitesimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Espacios de funciones anal(cid:237)ticas. 35
2.1. Funciones arm(cid:243)nicas y subarm(cid:243)nicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2. Espacios de Hardy y espacios de Bergman. . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1. Productos de Blaschke. Teorema de factorizaci(cid:243)n. . . . . . . . . 43
2.3. Operadores de composici(cid:243)n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3. Semigrupos de operadores de composici(cid:243)n en espacios de funciones
anal(cid:237)ticas. 59
3.1. Semigrupos de funciones anal(cid:237)ticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2. Ejemplos de semigrupos de funciones anal(cid:237)ticas. . . . . . . . . . . . . . 65
3.3. Semigrupos fuertemente continuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4. El generador in(cid:28)nitesimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4. Descomposici(cid:243)n de Berkson-Porta y semigrupos de operadores de
composici(cid:243)n en H∞. 91
4.1. DinÆmica discreta en el disco unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2. Descomposici(cid:243)n de Berkson-Porta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3. El espacio H∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
ApØndice A. Transformada de Fourier. 123
ApØndice B. Caracterizaci(cid:243)n de la funci(cid:243)n exponencial. 127
ApØndice C. Integrales vectoriales. 131
Bibliograf(cid:237)a 137

English Abstract
The main problem we consider in this work is the study of semigroups of composi-
tion operators on spaces of analytic functions on the unit disc. Mainly, we focus on the
problem in Hardy spaces, Hp(D), and Bergman spaces, Ap(D).
We can divide this work in two di(cid:27)erent parts. Firstly, we study the concept of
strongly continuous semigroup of operators on a Banach space, as well as the existence
of its in(cid:28)nitesimal generator. Secondly, we pay attention to semigroups of composition
operators on spaces of analytic functions on the unit disc and its construction from the
concept of semigroup of analytic functions. If {ϕ } is a semigroup of analytic self
t t≥0
maps of the unit disc D with the composition as operation between them, and X is a
Banach space of analytic functions on D, then
Q(t)f = f ◦ϕ , f ∈ X, t ≥ 0,
t
de(cid:28)nes a semigroup of composition operators whenever Q(t) ∈ B(X) for t ≥ 0. We will
proof under what conditions they are strongly continuous and we will focus on cases
such as Hardy spaces and Bergman spaces. Finally, we will calculate its in(cid:28)nitesimal
generator.
Results of the (cid:28)rst part are classic and they can be found in many traditional books
of Functional Analysis, such as [Rud1], while the rest of this report collects current
results, so we will study recently published works of di(cid:27)erent authors.

Introducci(cid:243)n
Denotamos por D el disco unidad, ∂D su frontera y H(D) el espacio de funciones
anal(cid:237)ticas en dicho dominio. Para una funci(cid:243)n ϕ: D → D se de(cid:28)ne el operador de
composici(cid:243)n de s(cid:237)mbolo ϕ como
C (f) = f ◦ϕ, f ∈ H(D).
ϕ
El estudio de los operadores de composici(cid:243)n es llevado a cabo en numerosos espacios
de funciones anal(cid:237)ticas (que denotaremos de forma genØrica X) y tiene como principal
objetivo caracterizar las propiedades que Østos poseen a partir del espacio de funciones
en el que se estØ trabajando, as(cid:237) como de las propiedades del s(cid:237)mbolo ϕ.
En particular, el trabajo que se desarrolla en esta memoria se centra en los espacios
de Hardy Hp(D) y los espacios de Bergman Ap(D), siendo ambos espacios de funciones
anal(cid:237)ticas satisfaciendo, cada uno de ellos, cierta propiedad de integrabilidad.
As(cid:237), para 0 < p < ∞, se de(cid:28)ne el espacio de Hardy Hp(D) = Hp como el conjunto
de funciones holomorfas f en el disco unidad de forma que
(cid:18) 1 (cid:90) 2π (cid:19)
sup |f(reit)|pdt < +∞.
2π
0≤r<1 0
Para el caso p = ∞, el espacio correspondiente es el de las funciones anal(cid:237)ticas y
acotadas H∞(D).
Por otra parte, para 1 ≤ p < +∞, el espacio de Bergman Ap(D) = Ap se de(cid:28)ne
como el conjunto de funciones holomorfas en el disco unidad que pertenecen al conjunto
de funciones p−integrables Lp(D). Es decir,
(cid:90)
1
|f(w)|pdm(w) < +∞,
π
D
donde m denota a la medida de Lebesgue en D.
En ambos casos probaremos que, si tenemos una funci(cid:243)n ϕ: D → D holomorfa y un
operador de composici(cid:243)n C : X → X, donde X es un espacio de Hardy o un espacio
ϕ
vi semigrupos de operadores de composici(cid:243)n
de Bergman, entonces dicho operador es acotado en esos espacios y daremos, ademÆs,
una cota de su norma para cada uno de los dos casos.
Una vez estudiados los operadores de composici(cid:243)n de forma genØrica, veremos c(cid:243)mo
es posible obtener una familia de dichos operadores a partir de un semigrupo de funcio-
nes anal(cid:237)ticas. La familia {ϕ } se dice que es un semigrupo de funciones anal(cid:237)ticas si
t t≥0
para cada t ≥ 0 la aplicaci(cid:243)n ϕ : D → D es anal(cid:237)tica y, ademÆs,
t
ϕ es la identidad en D.
0
ϕ = ϕ ◦ϕ , para todo t,s ≥ 0.
s+t s t
Se dirÆ, ademÆs, que es continuo si ϕ → ϕ uniformemente en compactos cuando
t 0
t → 0+.
A partir de dicho semigrupo continuo de funciones anal(cid:237)ticas podemos construir una
familia de operadores {Q(t)} de(cid:28)nidos, para cada t ≥ 0, como
t≥0
Q(t)f = f ◦ϕ , f ∈ X.
t
Esta familia constituye un semigrupo de operadores de composici(cid:243)n, ya que
Q(0) es la identidad en X.
Q(s+t) = Q(s)Q(t) para todo t,s ≥ 0, denotando dicha operaci(cid:243)n a la composi-
ci(cid:243)n de operadores.
En cuanto a las condiciones de continuidad que podemos atribuirle al semigrupo de
operadores de composici(cid:243)n, se dirÆ que el mismo es uniformemente continuo si
l´ım (cid:107)Q(t)−I(cid:107) = 0,
t→0+
y, estableciendo una condici(cid:243)n mÆs dØbil, se dirÆ que es fuertemente continuo si
l´ım (cid:107)Q(t)f −f(cid:107) = 0,
X
t→0+
para toda f ∈ X. Evidentemente, la primera condici(cid:243)n de continuidad implica la se-
gunda.
De esta forma, uno de los objetivos primordiales de este trabajo es probar que, dado
un semigrupo continuo de funciones anal(cid:237)ticas, el semigrupo de operadores de compo-
sici(cid:243)n correspondiente {Q(t)} es fuertemente continuo en los espacios Hp y Ap para
t≥0
1 ≤ p < +∞ pero, sin embargo, no lo es en el espacio de funciones holomorfas y aco-
tadas H∞.