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SEMÁNTICA DE SOCIEDADES COMO UN MODELO O INTERPRETACIÓN
(ÁRBOLES DE FORZAMIENTO), DE LAS LÓGICAS BÁSICAS
PARACONSISTENTE Y PARACOMPLETA A NIVEL ATÓMICO
HUGO GUARÍN VÁSQUEZ
MARÍA DEL CARMEN MONTOYA POSADA
Monografía presentada como requisito
parcial para optar al título de Especialista en Lógica y Filosofía
Director: MANUEL SIERRA ARISTIZÁBAL
MEDELLÍN
UNIVERSIDAD EAFIT
ESCUELA DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
DEPARTAMENTO DE HUMANIDADES
2003
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Nota de Aceptación
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Presidente del Jurado
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Jurado
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Jurado
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Ciudad y fecha
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AGRADECIMIENTOS
Expresamos nuestros agradecimientos:
A MANUEL SIERRA ARISTIZÁBAL, Magister en Ciencias con especialidad en
Lógica Matemática, Coordinador de la Especialización en Lógica y Filosofía
de la Universidad EAFIT y Director de este trabajo.
A RAÚL GÓMEZ MARÍN, Ingeniero Industrial, Magister en Filosofía y Director
del Departamento de Humanidades de la Universidad EAFIT.
A ANDRÉS SICARD RAMÍREZ, Ingeniero de Sistemas, Magister en Sistemas
y Profesor del Departamento de Ciencias Básicas de la Universidad EAFIT.
A La UNIVERSIDAD EAFIT
A Todas aquellas personas que de una u otra forma colaboraron con la
realización del presente trabajo.
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RESUMEN
En esta monografía se presentan las sociedades abiertas y cerradas como modelos
semánticos respectivamente de la lógica básica paraconsistente y la lógica básica
paracompleta debilitadas ambas a nivel atómico, de tal manera que se cumpla la
tarea de exhibir los enfoques sintáctico y semántico para dichas lógicas como
objetos de igual interés teórico, dentro del cual la presentación semántica aumenta y
complementa el nivel de inteligibilidad que se consigue a través de las
presentaciones sintácticas.
A partir de la enumeración de un conjunto de axiomas y de reglas de inferencia y
supuestas la relación de consecuencia sintáctica ├ y la relación de consecuencia
semántica ⊨ visualizada mediante árboles de forzamiento semántico, se da la
interpretación de los enunciados sintácticos dentro de las sociedades y se muestra
que tanto el enfoque sintáctico como el semántico caracterizan de manera diferente
las lógicas en cuestión para asegurar que un enunciado es una conclusión
axiomático-sintáctica cuando es una consecuencia semántica.
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5
TABLA DE CONTENIDO
Pág.
INTRODUCCIÓN 8
1 PRIMERA PARTE 10
1.1 PRELIMINARES 10
1.1.1 Teoría inconsistente 10
1.1.2 Teoría trivial 10
1.1.3 Lógica Paraconsistente 10
1.2 ELEMENTOS DE LA LÓGICA CLÁSICA DE ENUNCIADOS 11
1.2.1 Sintaxis 11
1.2.2 Axiomática 11
1.2.3 Regla de inferencia 13
1.3 ELEMENTOS DE LÓGICA BÁSICA PARACONSISTENTE DÉBIL
A NIVEL ATÓMICO 13
1.3.1 Sintaxis 13
1.3.2 Axiomática 14
1.4 ELEMENTOS DE SOCIEDADES BIASERTIVAS ABIERTAS 15
1.4.1 Sociedad 15
1.4.2 Lenguaje de la sociedad 16
1.4.3 Agentes clásicos 16
1.4.4 Sociedad Biasertiva 16
1.4.5 Relación de satisfactibilidad 17
vi
6
1.4.6 Sociedad biasertiva abierta 17
1.4.7 Tautología abierta 18
1.4.8 Teorema 19
1.5 SOCIEDADES BIASERTIVAS ABIERTAS COMO MODELO DE LA
LÓGICA BÁSICA PARACONSISTENTE DÉBIL A NIVEL ATÓMICO 22
1.6 ÁRBOLES DE FORZAMIENTO SEMÁNTICO CLÁSICO 22
1.6.1 Construcción de enunciados 22
1.6.2 Árboles de construcción de enunciados 22
1.6.3 Regla básica 24
1.6.4 Reglas para los conectivos , , , 24
1.6.5 Reglas para la iteración de marcas 29
1.6.6 Tipos de árboles 30
30
1.7 ÁRBOLES DE FORZAMIENTO SEMÁNTICO PARA LA LÓGICA
BÁSICA PARACONSISTENTE DÉBIL A NIVEL ATÓMICO 31
1.8 ÁRBOLES DE FORZAMIENTO SEMÁNTICO ASOCIADOS A LAS
SOCIEDADES BIASERTIVAS ABIERTAS 34
1.9 VALIDEZ Y COMPLETITUD 37
1.10 VALIDEZ DE ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES 38
2 SEGUNDA PARTE 99
2.1 PRELIMINARES 99
2.1.1 Enunciado completo o determinable 99
2.1.2 Lógica Paracompleta 99
vii
7
2.2 ELEMENTOS DE LÓGICA CLÁSICA DE ENUNCIADOS 100
2.3 ELEMENTOS DE LA LÓGICA BÁSICA PARACOMPLETA DÉBIL
A NIVEL ATÓMICO 100
2.3.1 Sintaxis 100
2.3.2 Axiomática 100
2.4 ELEMENTOS DE SOCIEDADES BIASERTIVAS CERRADAS 102
2.4.1 Sociedad biasertiva cerrada 102
2.4.2 Tautología cerrada 102
2.4.3 Teorema 97
2.5 SOCIEDADES BIASERTIVAS CERRADAS COMO MODELO
DE LA LÓGICA BÁSICA PARACOMPLETA DÉBIL A NIVEL
ATÓMICO 107
2.6 ÁRBOLES DE FORZAMIENTO SEMÁNTICO CLÁSICO 107
2.7 ÁRBOLES DE FORZAMIENTO SEMÁNTICO PARA LA LÓGICA
BÁSICA PARACOMPLETA DÉBIL A NIVEL ATÓMICO 107
2.8 ÁRBOLES DE FORZAMIENTO SEMÁNTICO ASOCIADOS
A LAS SOCIEDADES BIASERTIVAS CERRADAS 110
2.9 VALIDEZ Y COMPLETITUD 113
2.10 VALIDEZ DE ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES 114
CONCLUSIÓN 183
BIBIOGRAFÍA 185
viii
8
INTRODUCCIÓN
Dentro del trabajo riguroso de las lógicas no clásicas figuran como problemas de
“frontera” el desarrollo en los últimos tres años de la “Semántica de Sociedades”,
definida, investigada y desarrollada por W. A. Carnielli y M. Lima-Marques [3], en la
cual se generan múltiples preguntas y problemas abiertos respecto a la lógica o
lógicas subyacentes a dicha semántica y a la combinación entre diferentes sistemas
lógicos; es decir, la construcción de nuevas lógicas utilizando ciertos procedimientos
susceptibles de ser formalizados matemáticamente.
Se hace necesario profundizar en su teoría y construir en lo posible una
formalización tanto en lo semántico como en lo deductivo que permita capturar y
formalizar las relaciones existentes entre las diferentes fórmulas del lenguaje.
En 1973, M. Sette [11], introdujo un cálculo paraconsistente denotado por P1 en el
cual la fórmula ¬(A ¬A) no es válido.
En 1995, A. M. Sette y W.A. Carnielli [10] introdujeron el cálculo paracompleto I1
como un sistema dual del sistema P1 el cual posee un carácter intuicionista en el
sentido de que por ejemplo el enunciado: ¬¬A A no es una tautología.
La semántica de Sociedades propuesta por W. A. Carnielli y M. Lima-Marques [3]
para P1 e I1 procuró responder a la cuestión siempre presente (dentro de la
lógica), de hallar casos o situaciones “concretas” en el sentido de la coexistencia de
A y ¬A en un determinado ámbito Semántico donde no se prohíban las
compatibilidades de un enunciado con su negación, ni las indeterminaciones
respecto a la negación; o sea, que ambas (A) y su negación (¬A) puedan tomar un
9
referente concreto en la interpretación que permitan la presencia de enunciados
contradictorios y/o indeterminados.
Como es sabido, la lógica (proposicional) clásica no admite contradicciones ni
indeterminaciones. Por ende no es posible construir (para ella) una semántica que
pueda soportar inconsistencias y/o indeterminaciones. Dado que una sociedad está
constituida por un conjunto enumerable aunque no necesariamente finito de
agentes, los cuales se supone que son “inteligentes” y perfectamente “racionales”
[3] y donde cada uno de ellos se compone de una colección de variables
proposicionales, o bien cada agente es una valuación de una lógica dada, entonces
la semántica de sociedades constituye un marco natural de inscripción para el
tratamiento lógico de las inconsistencias e indeterminaciones que se presentan de
un modo natural en el ámbito de los agentes, procesados a un nivel más alto como
es la sociedad misma.
En los años 2001 y 2002 el profesor M. Sierra [15] investigó y desarrolló una
generalización de la lógica clásica en la cual se tiene un operador llamado “negación
débil”, dicho operador tiene la característica de no prohibir la «compatibilidad» de
un enunciado con su negación (paraconsistencia), ni las indeterminaciones respecto
a la negación (paracompletez).
En la presente monografía se presenta la semántica de sociedades como modelo o
interpretación tanto de la «lógica básica paraconsistente con negación clásica
(LBPc), como de la lógica básica paracompleta con negación clásica (LBPo)»,
lógicas creadas e investigadas por el profesor M. Sierra. Así mismo, se hace un uso
instensivo de la técnica de los “árboles de forzamiento semántico” para dichas
lógicas, realizados por el mismo investigador.
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1. PRIMERA PARTE
LÓGICA BÁSICA PARACONSISTENTE DÉBIL A NIVEL ATÓMICO Y
SEMÁNTICA DE SOCIEDADES BIASERTIVAS ABIERTAS
1.1 PRELIMINARES (definiciones [7])
1.1.1 Teoría Inconsistente
Una teoría T se dice que es inconsistente si tiene como teoremas una
fórmula y su negación.
1.1.2 Teoría Trivial
Una teoría T se dice que es trivial si toda fórmula de su lenguaje es un
teorema.
1.1.3 Lógica Praconsistente
Una lógica es paraconsistente si puede ser usada como lógica subyacente
para teorías inconsistentes pero no triviales, las cuales son llamadas
Teorías Paraconsistentes.
De hecho en las lógicas paraconistentes, el principio de (no) contradicción
no es necesariamente inválido, pero en toda lógica paraconsistente, de una
fórmula y su negación no es posible en general, deducir cualquier fórmula.
