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Seismic True-Amplitude Imaging Jörg Schleicher Martin Tygel Peter Hubral SEG Geophysical Developments Series No. 12 Robert H. Stolt, volume editor Stephen J. Hill, series editor SOCIETY OF EXPLORATION GEOPHYSICISTS Theinternationalsocietyofappliedgeophysics Tulsa,Oklahoma,U.S.A. Downloaded 26 Jun 2012 to 95.28.162.50. Redistribution subject to SEG license or copyright; Terms of Use: http://segdl.org/ “1127fm” — 2007/6/26 — page i — 16:59 — StageII — #1 ISBN0-931830-41-9(Series) ISBN1-56080-143-3(Volume) Copyright©2007 SocietyofExplorationGeophysicists P.O.Box702740 Tulsa,OKU.S.A.74170-2740 Allrightsreserved.Nopartofthisbookmaybereproduced, storedinaretrievalsystem,ortranscribedinanyformorbyanymeans, electronicormechanical,includingphotocopyingandrecording,without priorwrittenpermissionofthepublisher. Published2007 PrintedintheU.S.A. LibraryofCongressCataloging-in-PublicationData Schleicher,Jörg. Seismictrue-amplitudeimaging/JörgSchleicher,MartinTygel,PeterHubral. p.cm.--(SEGgeophysicaldevelopmentsseries;no.12) Includesbibliographicalreferencesandindex. ISBN1-56080-143-3(volume)--ISBN0-931830-41-9(series) 1. Seismicreflectionmethod.2. Earth--Internalstructure. I.Tygel,M.II.Hubral, Peter.III.Title.IV.Series. QE538.5.S342007 (cid:2) 551.110284--dc22 2007025618 Downloaded 26 Jun 2012 to 95.28.162.50. Redistribution subject to SEG license or copyright; Terms of Use: http://segdl.org/ “1127fm” — 2007/6/26 — page ii — 16:59 — StageII — #2 To Sergey Goldin, whose pioneering ideas have been a great source of inspiration to us And to all who contribute to the advancement of geophysics without receiving the deserved recognition Downloaded 26 Jun 2012 to 95.28.162.50. Redistribution subject to SEG license or copyright; Terms of Use: http://segdl.org/ “1127fm” — 2007/6/26 — page iii — 16:59 — StageII — #3 Downloaded 26 Jun 2012 to 95.28.162.50. Redistribution subject to SEG license or copyright; Terms of Use: http://segdl.org/ “1127fm” — 2007/6/26 — page iv — 16:59 — StageII — #4 Contents AbouttheAuthors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii Foreword . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv VolumeEditor’sPreface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii Authors’Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv ListofSymbolsandAbbreviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii Variablesandsymbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii Latinlowercaseletters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii Latincapitalletters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxi Calligraphiccapitalletters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxvii Greeklowercaseletters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxix Greekcapitalletters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xli Othersymbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xliv Indicesandaccents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xliv Subscripts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xliv Superscripts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xliv Mathematicalaccents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xlv Operationalsymbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xlvi Chapter1:Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 True-amplitudeKirchhoffmigration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 True-amplitudeKirchhoffdemigration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 True-amplitudeKirchhoffimaging. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Additionalremarksontrueamplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chapter2:DescriptionoftheProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Earthmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Macrovelocitymodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Wavemodeselection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Coordinatesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Measurementconfigurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Measurementsurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Measurementconfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Data-spacedescription . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Hagedoorn’simagingsurfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Thediffraction-traveltime,orHuygenssurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Theisochronoussurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Hagedoorn’simagingconditions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Downloaded 26 Jun 2012 to 95.28.162.50. Redistribution subject to SEG license or copyright; Terms of Use: http://segdl.org/ “1127fm” — 2007/6/26 — page v — 16:59 — StageII — #5 vi Contents Mappingversusimaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Migrationanddemigration:Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 GeneralizedHagedoorn’simagingsurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Unifiedapproach:Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Seismic-reflectionimaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Chapter3:Zero-OrderRayTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Waveequations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Rayansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Homogeneousmedium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Inhomogeneousmedium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Time-harmonicapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Time-domainexpressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Validityconditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Eikonalandtransportequations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Acousticcase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Elastodynamiccase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Raysascharacteristicsoftheeikonalequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Slownessvector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Characteristicequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Rayfields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Raycoordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 TransformationfromraycoordinatestoglobalCartesiancoordinates . . . 72 RayJacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Solutionofthetransportequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 SolutionintermsoftherayJacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Point-sourcesolutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Caustics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Computationofthepoint-sourcesolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Homogeneousmedium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Inhomogeneousmedium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Ray-centeredcoordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Transformationfromray-centeredtoglobalCartesiancoordinates . . . . . 81 Transformationfromraytoray-centeredcoordinates . . . . . . . . . . . . . . 82 RayJacobianinray-centeredcoordinates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Ray-tracingsysteminray-centeredcoordinates. . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Paraxialanddynamicraytracing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Paraxialraytracing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Dynamicraytracing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Paraxialapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Initialconditionsfordynamicraytracing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Ray-centeredpropagatormatrixΠˆˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 ˜ Raysatasurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Vectorrepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Downloaded 26 Jun 2012 to 95.28.162.50. Redistribution subject to SEG license or copyright; Terms of Use: http://segdl.org/ “1127fm” — 2007/6/26 — page vi — 16:59 — StageII — #6 Contents vii Surfacerepresentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 TransformationfromlocalCartesiancoordinatesto ray-centeredcoordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 TransformationfromlocaltoglobalCartesiancoordinates . . . . . . . . . . 95 Relationshipbetweentheslowness-vectorrepresentations . . . . . . . . . . 96 Surface-to-surfacepropagatormatrixTˆˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 ˜ Raysacrossaninterface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Boundaryconditions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Dynamic-ray-tracingmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 RayJacobianacrossaninterface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Primaryreflectedwaveatthegeophone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Rayamplitudeatthegeophone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Completetransientsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Chapter4:Surface-to-SurfaceParaxialRayTheory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Paraxialrays. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Traveltimeofaparaxialray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Infinitesimaltraveltimedifferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Surface-to-surfacepropagatormatrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Paraxialtraveltime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Ray-segmentdecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Chainrule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Ray-segmenttraveltimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Meaningofthepropagatorsubmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Propagationfrompointsourcetowavefront . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Propagationfromwavefronttowavefront. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Fresnelzone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Time-domainFresnelzone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 ProjectedFresnelzone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Time-domainprojectedFresnelzone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Determination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Otherapplicationsofthesurface-to-surfacepropagatormatrix . . . . . . . . . . . 141 Geometric-spreadingdecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 ExtendedNIP-wavetheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Chapter5:Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Basicconcepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Dualityofreflectorandreflection-traveltimesurface. . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Basicassumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 One-to-onecorrespondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Downloaded 26 Jun 2012 to 95.28.162.50. Redistribution subject to SEG license or copyright; Terms of Use: http://segdl.org/ “1127fm” — 2007/6/26 — page vii — 16:59 — StageII — #7 viii Contents Basicdefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Diffractionandisochronoussurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Usefuldefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Expressionsintermsofparaxial-rayquantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Dualitytheorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Firstdualitytheorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Seconddualitytheorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Proofsofthedualitytheorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Firstdualitytheorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Seconddualitytheorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Fresnelgeometric-spreadingfactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Curvatureduality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Beylkindeterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Chapter6:Kirchhoff-HelmholtzTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 TheKirchhoff-Helmholtzintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Kirchhoff-Helmholtzapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 AsymptoticevaluationoftheKirchhoff-Helmholtzintegral . . . . . . . . . . . . . 182 Geometric-spreadingdecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Phaseshiftbecauseofcaustics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Chapter7:True-AmplitudeKirchhoffMigration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 True-amplitudemigrationtheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Underlyingassumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Diffractionstack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Evaluationatastationarypoint. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Evaluationelsewhere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Evaluationresult . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 True-amplitudeweightfunction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Traveltimefunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 TraveltimedifferenceandHessianmatrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Geometric-spreadingfactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Finalweightfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Alternativeexpressionsfortheweightfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 True-amplitudemigrationresult . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 ComparisonwithBleistein’sweightfunction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Free-surface,verticaldisplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Particularconfigurations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Zero-offset(ZO)configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Common-offset(CO)configuration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Common-midpoint-offset(CMPO)configuration . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Common-shot(CS)configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Downloaded 26 Jun 2012 to 95.28.162.50. Redistribution subject to SEG license or copyright; Terms of Use: http://segdl.org/ “1127fm” — 2007/6/26 — page viii — 16:59 — StageII — #8 Contents ix Common-receiver(CR)configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Cross-profile(XP)configuration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Cross-spread(XS)configuration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 True-amplitudemigrationprocedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Chapter8:FurtherAspectsofKirchhoffMigration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Migrationaperture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Minimumaperture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Pulsedistortion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Geometricapproach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Mathematicalderivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Geometricinterpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Syntheticexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Mathematicalderivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Syntheticexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Vertical-faultexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 MultipleweightsinKirchhoffimaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Multiplediffraction-stackmigration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Threefundamentalweights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Syntheticexamplein2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Chapter9:SeismicImaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Isochronstack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Asymptoticevaluationatthereflection-traveltimesurface. . . . . . . . . . . 262 Isochronstackinthevicinityofthereflection-traveltimesurface . . . . . . 263 Isochronstackelsewhere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 True-amplitudekernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Diffraction-stackandisochron-stackchaining . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Chainedsolutionsforproblem1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Chainedsolutionsforproblem2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Generalremarksonimagetransformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 AppendixA: ReflectionandTransmissionCoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Reflectioncoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 P-Preflection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 SV-SVreflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 SH-SHreflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 P-SVreflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 SV-Preflection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Downloaded 26 Jun 2012 to 95.28.162.50. 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by Jorg Schleicher, Martin Tygel, Peter Hubral

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by Jorg Schleicher, Martin Tygel, Peter Hubral| 2007| 400 pages| 5.913| English

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Detailed Information

Author:	Jorg Schleicher, Martin Tygel, Peter Hubral
Publication Year:	2007
Pages:	400
Language:	English
File Size:	5.913
Format:	PDF
Price:	FREE

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