Segundo número

53 Pages·2011·7.21 MB·English

ISSN 0719-0077
variados, siendo los únicos requisitos el incluir
contenidos de índole matemática, y el que estén
escritos en lengua española. Estos pueden ser sobre
historia de las matemáticas, matemática aplicada,
física matemática, enseñanza de las matemáticas, y
cualquiera de los campos de las matemáticas puras.
El nivel de los artículos debe ser apto para estu-
diantes avanzados de carreras universitarias afines a
matemática,aunquetambiénsonbienvenidosartícu-
losdetipointroductorioatemasmásespecializados.
Paraserconsideradosparapublicaciónenelpróximo
número,losartículosdebenserenviadosalcorreode
contacto antes del 15 de Agosto de 2011. Artículos
recibidos después de esta fecha serán considerados
para publicación en ediciones posteriores. Los ar-
tículos deben ser enviados en formato TEX, con el
correspondientearchivoPDFadjunto.
Revista Joven Matemático, Edición 2. Publicada
de forma electrónica el día 31 de Marzo de 2011. Equipoeditorial:
Próximaedición: 30deSeptiembrede2011.
RafaelBenguria
La revista cuenta con el patrocinio del Núcleo DepartamentodeFísica,P.UniversidadCatólicade
Milenio“TeoríaMatemáticadeSistemasMagnéticos Chile,Santiago,Chile
CuánticosyClásicos”. [email protected]
Contacto: SebastiánGarcíaSáenz
DepartamentodeFísica,P.UniversidadCatólicade
[email protected] Chile,Santiago,Chile
[email protected]
Suscripción:
RicardoRepenning
Personaseinstitucionesinteresadasenrecibircopias Facultad de Ingeniería, P. Universidad Católica de
electrónicas de ediciones futuras pueden suscribirse Chile,Santiago,Chile
enviando un correo a la dirección de contacto, [email protected]
indicando el nombre, ciudad, país, y afiliación en el
casodeestudiantesyprofesores. FelipeSotoArévalo
Facultad de Ingeniería, P. Universidad Católica de
Informaciónparaautores: Chile,Santiago,Chile
[email protected]
Los editores invitan a alumnos y profesores a
enviar artículos para su publicación en esta revista, FranciscoVial
previa revisión por parte del equipo editorial. Los ÉcolePolytechnique,París,Francia
temas que pueden incluir los artículos son muy [email protected]
Artículos
Edición 2 / 2011
Contenidos
EltrascendentalnúmerodeEuler 2
TransformadasdeLaplacedefuncionesdeBessel:
funcionesdeordencero 8
Acercadelinteriordeunpolígono 19
Problemasdeobstáculosycurvasconvexas 26
Métodosaconmutadoresenteoríaespectral
yteoríadelscattering 36
ProblemasySoluciones 43
Noticias 52
[email protected] 1
Artículos
Edición 2 / 2011
El trascendental número de Euler
MagdalenaEterovic
P.UniversidadCatólicadeChile,Santiago,Chile
1. Introducción
Probablemente muchos hemos escuchado sobre el famoso número e. Es un número irracional y su valor es
aproximadamentee ≈ 2.71828182845. Juntoconel0,el1,laconstanteπ ylaunidadimaginariai,eesuno
delosnúmerosmásimportantesenmatemáticas. Enestamonografíaresponderemoslassiguientespreguntas:
¿Dedóndevieneelnúmeroe? ¿Cuálessudefiniciónycómosepuedecalcularsuvalor? ¿Cómosabemosque
esunnúmeroirracional? ¿Quérelacióntieneconlosnúmeroscomplejos?
2. Antecedenteshistóricos
LeonhardEuler(1707-1783),matemáticosuizo,fuequienledioelnombrealnúmeroe. Talvezladefinición
másconocidadelnúmeroeesqueeslabasedeloslogaritmosnaturales. Pero,¿quéquieredecirqueeseala
basedeloslogaritmosnaturales?. Primero,veamosbrevementeelorigendeloslogaritmos.
Los logaritmos fueron inventados por el matemático escocés John Napier (1550-1617). Napier quería facili-
tar el cálculo de las funciones trigonométricas, por la vía de reemplazar las operaciones de multiplicación y
división por sumas y restas. Para esto, Napier se basó en el trabajo del matemático alemán Michael Stifel
(1487-1567), quien había llegado a determinar las relaciones qmqn = qm+n, y qm/qn = qm−n para los
númerosenteros.
Napier razonó que si podemos escribir cualquier número como una potencia de algún número fijo dado
(una base), entonces la multiplicación y división de números serían equivalentes a la suma y resta de sus
exponentes. Paraevitarintroducirfracciones,Napiereligióelvalor107 paraelradiodelcírculo(esdecir,una
unidaddivididaen107 subunidades);ycomobaseparasuspotencias,eligió1−10−7 =0.9999999(esdecir,
elsiguientenúmeromáspequeñoquelaunidad,queresultaderestarleunasubunidadalaunidad). Entonces
unnúmeroN puedeescribirsecomo
N =107(cid:0)1−10−7(cid:1)L,
en que el exponente L es el logaritmo naperiano de N. Napier acuñó la palabra logaritmo a partir de las
palabrasgriegaslogos,quesignifica“razón,”yarithmos,quesignifica“número.” Esinteresanteobservarque
(cid:18) 1 (cid:19)107 (cid:18) 1(cid:19)n 1
1− ≈ lim 1− = .
107 n→∞ n e
Es decir, aunque Napier no se lo propuso, él prácticamente obtuvo un sistema de logaritmos en base 1. A
e
propósito, nosabemosquiénfuelaprimerapersonaquenotóelcomportamientodelaexpresión(cid:0)1+ 1(cid:1)n a
n
medidaquentiendeainfinito,demodoquelafechadenacimientodelnúmeroepermaneceenlaoscuridad.
Los logaritmos de Napier y, posteriormente, los del matemático inglés Henry Briggs (1561-1631), los
logaritmos en base 10 o “comunes,” se difundieron rápidamente en la comunidad científica europea (incluso
fueron introducidos en China 1653), y muy pronto dieron origen a la regla de cálculo. La regla de cálculo
aparecióporprimeravezen1620yfueusadaporcientíficoseingenierosdurantelospróximos350años,hasta
queen1970apareciólacalculadora.
[email protected] 2
Artículos
Edición 2 / 2011
Que e sea la base de los logaritmos naturales significa que el logaritmo natural de un número x es la
potenciaalaquehabríaqueelevareparaobtenerx. Ellogaritmonaturaldexesr siysólosier = x. Estos
logaritmos en base e se llaman “naturales” porque aparecen frecuentemente en matemáticas; por ejemplo,
cuandodiferenciamosunafunciónlogarítmica,
d log (e) 1
log (x)= b = ,
dx b x ln(b)x
comoveremosmásabajo. Entodocaso,elcalificativode“natural”lefuedadoporMergoliyMercatorantes
dequeIsaacNewton(1643-1727)yGottfriedLeibniz(1646-1716)desarrollaranelcálculo.
3. Definicióndelnúmeroe
Hayvariasformasdedefinirconceptualmenteelvalordelnúmero e, ytodasson, naturalmente, equivalentes
entre ellas. Para partir por una de estas, analicemos el siguiente problema: derivar la función y = ax con
respectoax. Loprimeroquedebemoshaceresrecordarelconceptodederivada: geométricamentehablando,
laderivadadelafunciónf(x)esotrafunción,f(cid:48)(x),quecorrespondealapendientedelarectatangenteala
curvay = f(x); engeneral,estapendientevaríaparacadavalordex. Analíticamente,estadefiniciónpuede
escribirsecomo
f(x+h)−f(x)
f(cid:48)(x)= lim (1)
h→0 h
Armados con esta herramienta, una forma de definir el valor de e es la siguiente. Como dijimos en la
introducción,eeslabasedeloslogaritmosnaturales,esdecir,eestárelacionadoconloslogaritmos. Sieestá
relacionadoconloslogaritmos,entoncesetambiénestárelacionadoconlasfuncionesdelaformaax,inversas
deloslogaritmos. Así,siqueremosderivary =axusandoladefiniciónanterior,obtenemos
ax+h−ax ax·ah−ax
(ax)(cid:48) = lim = lim .
h→0 h h→0 h
Sisesacafactorcomúnresulta
ah−1
ax· lim .
h→0 h
Aquí nos enfrentamos con el verdadero problema, ¿cómo calculamos este límite? Desde el punto de vista
práctico,lomejorquenospodríapasaresqueestelímitefueseiguala1,esdecir,queladerivadadeax fuese
igualaax. Peroestonoesnecesariamenteciertoparacualquiervalordea. Entonces,definamosecomoaquel
númerorealquecumpleestacondición:
eh−1
lim =1. (2)
h→0 h
Otraformadeentenderestoesqueladerivadadeexesex.Conestelímitehemoslogradoobtenerunadefinición
paraeln’umeroe. Sinembargo,enlapráctica,noesfácilcalcularlo. ¿Quépodemoshacer? Primero,veamos
siexisteunnúmeroequesatisfagaellímiteanterior. Paraello, calculamoselvalordellímitesustituyendoe
pordistintosnúmeroenterosy,encadacaso,evaluandolaexpresiónparavalorescadavezmáspequeñosdeh.
Lasiguientetablasugierequeeefectivamenteexiste,ydebesermayorque2ymenorque3.
h 2h−1 3h−1
h h
1 1 2
0.5 0.828 1.464
0.2 0.743 1.228
0.1 0.717 1.161
0.05 0.705 1.129
[email protected] 3
Artículos
Edición 2 / 2011
Aúnestamosmuylejosdetenerelvalorexactodee.Veamoscómopodemosaprovecharelhechodequela
derivadadeexesexparaesto.Definamoslafunciónln(x)comolafunciónlogarítmicaconbasee(yaveremos
quenosolotienesentidohacerestadefinición,sinoquetambiénesmuyútil). Acontinuación,demostraremos
queladerivadadelln(x)es 1. Consideremoslafunción
x
y =log x.
a
Estosignificaqueay =x. Ademássabemosquepodemosexpresaracomozlogz(a) paracualquiervalordez.
Porlotanto,z(logza)y =x. Entonces,reemplazandozporenosqueda
ey(ln(a)) =x.
Ahoraderivamosparcialmenteestaigualdadconrespectoax. Enelladoderechoobtenemos1,mientrasque
enelladoizquierdoaplicandolaregladelacadenaquedaey(ln(a))ln(a)y(cid:48) = 1. Esteeselequedefinimosen
(2),porqueestamosusandoelhechodequeladerivadadeexesex. Siahoradespejamosyobtenemos
1 1 1
y(cid:48) = = = .
ey(ln(a))ln(a) ayln(a) xln(a)
Esdecir, laderivadadelafuncióny = log xesy(cid:48) = 1 . Finalmente, sisubstituimosapore, entonces
a xln(a)
y =ln(x)ylaexpresiónanteriorqueda
1 1
y(cid:48) = = . (3)
xln(e) x
Así, hemos demostrado que la derivada del ln(x) es 1/x. ¿Y para qué nos sirve esto? Haber calculado la
derivadadellogaritmonaturaldeestaforma,nosayudaráacalcularelvalordee,comoveremosacontinuación.
Si usamos la definición de derivada, dada en (1), para calcular la derivada del logaritmo natural en el punto
x = 1, e igualamos esta expresión con el valor que acabamos de obtener en (3), obtenemos la siguiente
igualdad:
ln(1+h)−ln(1) ln(1+h)
1= lim = lim .
h→0 h h→0 h
Ahora,porpropiedaddeloslogaritmos,estoesiguala
(cid:16) (cid:17)
1= lim ln (1+h)1/h ,
h→0
ycomolasfuncioneslogarítmicassoncontinuas,entonces
(cid:18) (cid:19)
1=ln lim(1+h)1/h .
h→0
Reemplazandon=1/h,estaexpresiónqueda
(cid:18) (cid:18) 1(cid:19)n(cid:19)
1=ln lim 1+ .
n→∞ n
Finalmente, aplicando la función inversa del logaritmo (que es la exponencial, es decir, ex) a ambos lados,
concluimosque
(cid:18) 1(cid:19)n
e= lim 1+ . (4)
n→∞ n
Hemosencontradounaformadecalcularelvalordee. Lasiguientefiguramuestracómocambiaelvalorde
estelímiteamedidaqueaumentaelvalorden.
[email protected] 4
Artículos
Edición 2 / 2011
4. Lairracionalidaddelnúmeroe
Enlasecciónanteriorvimosdistintasdefinicionesyformasdecalculare. Cuandotratamosdeobtenerelvalor
dee, nosdamoscuentaqueningunadelasdefinicionessepuedeexpresardirectamentecomounvalorcono-
cido, y que en las aproximaciones que hemos hecho, no hay un patrón en las cifras decimales. Esto nos da
razónparapensarqueeesirracional. Acontinuacióndemostraremosestehecho.
Ademásdelasdefiniciones(2)y(4)parae,tambiénsepuededemostrarque
(cid:88)∞ xn
ex = . (5)
n!
n=0
A partir de esta nueva definición de e, podemos demostrar su irracionalidad por contradicción (reductio ad
absurdum), de la siguiente forma. Supongamos que e es un número racional; entonces, e se puede escribir
comoelcuocientededosnúmerosnaturales:
a
∃a∧b∈N|e= .
b
Apartirdelosnúmerosnaturalesaybanteriores,definamosunnúmeroxdelasiguienteforma:
(cid:32) b (cid:33) b
(cid:88) 1 (cid:88) b!
x=b! e− =a(b−1)!− .
n! n!
n=0 n=0
Esfácilverquexesunnúmeroentero, porquea(b−1)!esunproductodeenteros(quedaporresultadoun
entero)y,comoesb ≥ n, b! essiempreentero,yporlotanto(cid:80)b b! esunasumadenúmerosenteros,que
n! n=0 n!
tambiénesunnúmeroentero. Así,xeslarestadedosnúmerosenteros,yporlotantoesentero.
Ahora,trataremosdeacotarelvalordex. Enprimerlugar,sabiendode(5)quee = (cid:80)∞ 1,podemos
n=0 n!
sustituirestevalorenladefinicióndex:
(cid:32) ∞ b (cid:33) ∞
(cid:88) 1 (cid:88) 1 (cid:88) 1
x=b! − =b! .
n! n! n!
n=0 n=0 n=b+1
Vemosasíquexesclaramentemayorque0. Porotraparte,nótesequeenestaúltimaexpresiónntienevalores
estrictamentemayoresqueb. Enestascondiciones,sedaque
b! 1 1
= ≤ ,
n! (b+1)(b+2)...(n−b) (b+1)n−b
[email protected] 5
Artículos
Edición 2 / 2011
yporlotanto,
∞ ∞
(cid:88) b! (cid:88) 1
x= ≤ .
n! (b+1)k
n=b+1 k=1
Estaúltimasumatoriaeslasumadeunaseriegeométricainfinitaderazón1/(b+1),cuyovalores
∞ (cid:32) (cid:33)
(cid:88) 1 1 1 1
= = .
(b+1)k b+1 1− 1 b
k=1 b+1
Como por hipótesis b es un número natural, 1/b es menor o igual que 1, y como x es menor que la suma de
laseriegeométricainfinita,entoncesxesestrictamentemenorque1. Enconsecuencia,tenemosquexesun
número entero que es a la vez mayor que 0 y menor que 1. Esta es una contradicción que invalida nuestra
suposicióndequeeesunnúmeroracional.
5. ElteoremadeDeMoivre
Unadelasmásimportantesaplicacionesdeeessudirectarelaciónconlosnúmeroscomplejos. Elteoremade
DeMoivrenospermiteexpresarcualquiernúmerocomplejocomoelresultadodeunaexponencial.Cuandouno
tieneunnúmerocomplejozcualquiera,loprimeroesexpresarestenúmerodelaformaz =r(cosθ+isinθ),
siendorelmódulodezyθelánguloquezformaconelejexmedidoensentidoantihorarioyenradianes.Esta
formadeescribirlosnúmeroscomplejossellamaavecesrcisθ. ElteoremadeDeMoivredicelosiguiente:
zn =rn(cosθ+isinθ)n =rneinθ.
A continuacióndemostraremos este teorema. Primero, definamos alnúmero complejo unitario(módulo = 1)
comounafuncióndeθ:
y =(cosθ+isinθ),
yderivemoslafunciónconrespectoaθ,
dy
=icosθ−sinθ =i(cosθ+isinθ).
dθ
Notemosqueenestaúltimaexpresiónapareceyenelparéntesis. Esdecir,
dy
=iy.
dθ
Estoquetenemosesunaecuacióndiferencialparay. Resolviendoobtenemos
y =eiθ.
Ahora bien, si nosotros consideramos que el número complejo tiene módulo r, esto lo escribiríamos así en
términosdey: z =r(cosθ+isinθ)=ry. Entonces,porloqueacabamosdemostrar,
ry =reiθ.
Sielevamosambosladosalapotencian,entonces
rnyn =rn(cosθ+isinθ)n =rn(cid:0)eiθ(cid:1)n =rneniθ.
HemosdemostradoasíelteoremadeDeMoivre. Paraterminarconelteorema,revisemosunacaracterística.
Al hablar de θ dijimos que era un ángulo medido en radianes. Enfoquémonos en el caso particular en que
θ =π. Usemoselteoremaparaestecasoenqueelnúmerocomplejoademástienemódulounitario:
eiπ =cosπ+isinπ =−1+0=−1.
[email protected] 6
Artículos
Edición 2 / 2011
Estaidentidadesbastantefamosa. Enparticular,fuecatalogadaporelfísiconorteamericanoRichardFeynman
(1918-1988)comolaidentidadmásespectacularenmatemáticas. Engeneral,escribimoslaidentidadcomo
eiπ+1=0.
Deestaforma,aparecenenunasolaigualdadlosnúmerose,π,elneutromultiplicativo1,elneutroaditivo0,
yademáselcomponenteimaginarioi.
Bibliografía
JanGullberg,“Mathematics: FromtheBirthofNumbers,”W.W.NortonandCompany,1997.
EliMaor,“e: TheStoryofaNumber,”PrincetonPaperbacks,1998.
http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html
(Fechaenqueseutilizóestapágina: 21/07/08.)
JamesStewart,“Cálculo: TrascendentesTempranas”(4aed.),ThomsonLearning,2002.
[email protected] 7
Artículos
Edición 2 / 2011
Transformadas de Laplace de Funciones de Bessel:
Funciones de Orden Cero
MarkS.Ashbaugh1,ySebastiánGarcíaSáenz2
1DepartmentofMathematics,UniversityofMissouri,Columbia,MO,[email protected].
2DepartamentodeFísica,P.UniversidadCatólicadeChile,Santiago,Chile,[email protected].
Resumen
Este artículo constituye una aproximación pedagógica a la transformada de Laplace de la función de
BesselY ,obtenidamedianteundesarrolloadicionaldelmétodoqueusanloslibrosdetextoparaobtenerla
0
transformadadeJ detalmodoquesesuperanlosproblemasaparentesdelageneralizacióndelmétodopara
0
Y .EnelcaminonotamoslosmodosmásdirectosdeobtenerlastransformadasdeLaplacedelasfuncionesde
0
Bessel,yadicionalmentealosdesarrollosparaY notamosunaidentidadbinomialinteresantequeinvolucra
0
losnúmerosarmónicos.
1.Introducción
EnesteartículoderivamoslatransformadadeLaplacedelafuncióndeBesselY ,siguiendoeldesarrollode
0
latransformadadelafuncióndeBesselJ queseencuentraenmuchoslibrosdetexto.Unagrancantidadde
0
libroselementalessobreecuacionesdiferenciales,osobremétodosmatématicosdelafísica,contienenbreves
derivacionesdelatransformadadeLaplacedeJ yaseacomounejemploocomounejercicio,usualmenteenel
0
capítulosobrelatransformadadeLaplace,yenelqueelcálculoeshechotomandotransformadaalaecuación
deBesseldeorden0enlaformaty(cid:48)(cid:48) +y(cid:48) +ty = 0.Véase,porejemplo,[7](verProb.35,p.322),[9](ver
Ejemplo4,pp.216-217),[12](verEjemplo5,p.483),[15](verEjemplo6-4,pp.305-306),[17](verEjemplos
16y17,pp.205-206),[21](verEjemplo3,pp.403-404),[22](verProb.14,pp.314-315),ounacantidadde
otros textos ([2], [3], [4], [5], ...). Un resultado clave usado en esta derivación es que, si F(s) = L{f(t)}
representa la transformada de Laplace de f(t), entonces la transformada de Laplace de tf(t) está dada por
−F(cid:48)(s), esto es, la transformada de Laplace convierte multiplicación por t en −d/ds. Así, dada la forma de
la ecuación de Bessel de orden 0, con coeficientes lineales en t, la aplicación de la transformada de Laplace
la convierte en una ecuación diferencial de primer orden en la función transformada Y(s). A menudo estas
derivacionestambiéncontienenunbreveargumentoparaidentificarlaconstantedeintegraciónmultiplicativa
que surge de resolver esta ecuación homogénea de primer orden, la cual se necesita para identificar la forma
precisa de la transformada de Laplace de J (t). En particular, uno encuentra que la solución toma la forma
0
Y(s) = C(s2+1)−1/2,yunoidentificaC = 1comparandolaserieobtenidaalexpandirY(s)enpotencias
de1/sconlaserieresultantedeaplicartransformadadeLaplacetérminoatérminoalaseriedepotenciasde
J (t)(bastaríaaquícompararsolamentelostérminosdominantes,aunquelamayoríadelosautoresconsideran
0
laseriecompleta,yaqueestecálculorequierepocotrabajoadicional).Estecálculousualmentesesugierede
manera formal, sin justificar el procedimiento de transformar término a término (que no es más que el inter-
cambiodelosórdenesdesumaeintegración,pueslatransformadadeLaplaceconsisteenmultiplicarpore−st
e integrar desde t = 0 a ∞, i.e., L{f(t)} =: (cid:82)∞e−stf(t)dt). La expansión de Y(s) = C(s2 +1)−1/2 en
0
potenciasde1/sesunaaplicaciónsimpledelaexpansiónbinomial(paralacualesnecesarioasumirques>1;
aquíyenadelanteasumiremoss>1alexpandiren1/s).
Estoscálculos,aunqueinstructivosenmuchossentidosyapropiadosparapresentarenlibroselementales,
tienensinembargociertosdefectos.Unodeellosesobviamentelafaltadejustificacióndelaintegracióntérmi-
noatérmino(transformacióndeLaplace),perocomoestoseremediafácilmentemedianteteoremasestándarde
[email protected] 8
Artículos
Edición 2 / 2011
cálculoavanzadooteoríadeintegración,nonosdetendremosmástiempoenesto.Otrasobjeciones,algomás
serias,incluyen(1)elhechodequeresolverlaecuacióndiferencialademásdeaplicartransformadadeLaplace
a la expansión en serie constituye una tarea engorrosa, pues cada uno de estos procedimientos por sí mismo
permiteobtenercasitodoloqueunobusca,y(2)latransformacióndelaecuacióndiferencialdejaalestudiante
serio(yalprofesor)conladudaacercadequéhapasadoconla“segundasolución”delaecuaciónconlaque
empezamos,estoes,laecuacióndeBesseldeorden0,queesunaecuacióndesegundoorden.Dehecho,siuno
quisieraasegurartododirectamente,incluyendolaconstanteC,entoncesel“mejor”métodoseríatransformar
laexpansiónenseriedesdeelprincipio,obteniendoL{J }explícitamente,sinnecesidaddetocarlaecuación
0
deprimerordenqueestasatisface.Unoentoncespodríaemplearlaexpansiónbinomialpara“sumar”laseriey
llegaralaexpresiónenformacerradadeL{J }.Algunasrazonesquepodríanayudarnosaexplicarlapresente
0
organizacióndelargumentoincluyen(i)queelmétododetransformarlaecuaciónesmássimpleycompleto,
demodoquesuexposicióncalzamejorenelcontextodeunadiscusióndelatransformadadeLaplace(ilustran-
dotambiénelteoremadequeL{tf} = −F(cid:48)(s));(ii)elmétododelaecuacióndiferencialpermiteobtenerla
transformadadeLaplacedeJ (t)enformacerrada,nosolamentelaexpansiónenserie,yporlotantopermite
0
alosautoresevitarhacerusoenunprincipiodelaexpansiónbinomialde(s2+1)−1/2 =1/s(1+1/s2)−1/2;y
(iii)relegandoelusodelasseriessolamenteparalaidentificacióndelaconstanteC hacequizásmásjustifica-
bleennuestraopiniónelusodeargumentosformalesenestepunto,sinpreocuparnosdequeelargumentosea
cabalmenteriguroso.(Uncaminoparaevitarestacríticaesusarelresultadol´ım [sL{f(t)}] = f(0),que
s→∞
sepuedeencontrar,porejemplo,en[23](verTeorema1,p.275).PeromuypocosautoresquetratanL{J (t)}
0
usanesto,siendolosúnicosdenuestroconocimiento[8],[14],[16],[17],y[20].)
En particular, notamos que si el objetivo es obtener la transformada de Laplace de J (t) explícitamente
0
de la forma más fácil y directa posible, entonces con seguridad uno debería simplemente tomar la expansión
en serie, aplicar transformada término a término, y luego identificar la serie resultante como la expansión de
(s2+1)−1/2 medianteelteoremadelbinomio.Nadadeesteprocedimientoesajenoalestudiantedeuncurso
deecuacionesdiferenciales,exceptotalvezlateoríadeconvergenciaquejustificalatransformacióntérminoa
término,locualalmenossepuedemostrarcomoplausiblealnotarquelaserietieneunradiodeconvergencia
√
infinitomientrasquelafunciónquerepresentaesacotadaparatgrande(ydehechoesacotadaporK/ tpara
ciertaeleccióndelaconstanteK).
Quizásalgomásparapensar,oparaconfundir,sonlascosasqueomitenmuchosautorescuandoaplicanel
métododetransformarlaecuacióndiferencial.LamayoríaintroducecondicionesinicialesparaJ ollamanla
0
atenciónhaciaJ desdeelprincipio.Perosiunopiensaporquéesteprocedimientonocapturanadadela“se-
0
gundasolución”delaecuacióndeBessel,laprimeraimpresiónesprobablementeque,aunquenosemencione,
lasoluciónquebuscamosposeeunatransformadadeLaplace,mientrasquelafunciónY no.Peroestonoes
0
así, pues un poco de reflexión (usando los principios de la teoría de Frobenius para resolver ecuaciones con
puntossingularesregulares,osimplementehaciendoreferenciaalaexpansióndeY (t)desarrolladayaenlos
0
libros(ver,porejemplo,[7],p.295))nosconvencedequeestonoescierto.Y (t),cuyaexpansióncomienza
0
comienzacomounaconstanteporlntparatpequeño,síposeeunatransformadadeLaplace(susingularidad
en t = 0 es muy débil, de modo que la integral de la transformación es convergente hacia t = 0; notar que
lnt, o cualquier potencia no negativa de t por lnt es un integrando convergente en el intervalo 0 < t < 1).
Así pues, el problema no es que Y (t) no tenga transformada de Laplace. En cambio, lo que uno encuentra
0
cuandoseexaminaloqueestápasandoconY ,Y(cid:48),eY(cid:48)(cid:48),esqueY(cid:48)esdemasiadosingularent=0comopara
0 0 0 0
admitirunatransformadadeLaplace,ysimilarmenteconY(cid:48)(cid:48) oinclusoconeltérminotY(cid:48)(cid:48) queapareceenla
0 0
ecuacióndiferencialdeBessel.Así,paray =Y ,lostérminosty(cid:48)(cid:48)ey(cid:48)enlaecuaciónty(cid:48)(cid:48)+y(cid:48)+ty =0causan
0
problemas. Sin embargo, un poco más de reflexión nos muestra que el término ty se comporta bien obvia-
mente,yporlotantolacombinacióndelosotrosdostérminosenlaecuacióndebecomportarsebientambién.
Ycuandounoobservaqueesostérminossepuedenagruparenunsolotérminocomo(ty(cid:48))(cid:48),yque(ty(cid:48))(cid:48)posee
transformada de Laplace, entonces se ve que uno está avanzando. De hecho, aunque aún quede trabajo por
delante,estaaproximaciónsífunciona,ynosllevaporalgunoscaminosnuevos,dandounnuevoairealmétodo
de ecuaciones diferenciales que en la mano de los autores de los libros de texto podría haber sonado como
[email protected] 9