Secondo corso di analisi matematica

477 Pages·2016·227.14 MB·Italian

by  Emilio Acerbi - Giuseppe Buttazzo

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Presentazione
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A quasi vent'anni dalla sua uscita, il fortunato volume "Primo corso di Analisi
Matematica" viene affiancato oggi dal "Secondo corso di Analisi ,Matematica". Questo
libro contiene' gli argomenti che solitamente vengono svolti in un corso universitario
di Analisi Matematica 2; l'impostazione che abbiamo dato alla presentazione dei vari
capitoli si adatta a tutti gli studenti che seguono un percorso scientifico o tecnologico,
senza distinzioni tra corsi di laurea. Inoltre il volume, per come è strutturato, può essere
utilizzato sia dagli studenti più brillanti che vogliono approfondire determinati argomenti
di analisi matematica, che dagli studenti che invece vogliono limitarsi alla comprensione
dei concetti essenziali.
Ogni capitolo è organizzato in tre parti: nella prima abbiamo esposto gli argomenti
fondamentali, cercando di evitare i dettagli troppo spinosi e limitando le dimostrazioni
all'indispensabile. I concetti e le definizioni sono corredati da numerosi esempi ed os
servazioni; abbiamo inoltre inserito molte figure allo scopo di illustrare meglio i punti
più delicati e aiutare lo studente nella comprensione attraverso la componente visiva,
che risulta assolutamente essenziale soprattutto dove gli argomenti trattati coinvolgono
curve e superfici.
Nella seconda parte di ogni capitolo abbiamo raccolto numerosi esercizi proposti, dai
più semplici a quelli che richiedono un notevole impegno da parte dello studente; insieme
a quelli inseriti nel testo ed ai vari esempi svolti in dettaglio, gli esercizi costituiscono
un elemento fondamentale per la comprensione di argomenti delicati, come sono tutti
quelli di un corso di analisi di più variabili. Consigliamo vivamente a tutti gli studenti di
svolgere un buon numero di esercizi, iniziando dai più semplici, ma anche di cimentarsi
con qualcuno dei più impegnativi.
La terza parte di ogni capitolo costituisce un'appendice contenente vari esempi e
applicazioni, insieme agli approfondimenti di alcuni concetti e qualche argomento com
plementare. Suggeriamo a tutti di provare a leggere le appendici che abbiamo inserito,
dopo aver assimilato gli argomenti di base presenti nella prima parte. Nelle appendici si
trovano anche dimostrazioni delicate, anche di risultati che difficilmente si trovano in un
libro di testo di Analisi Matematica 2.
vi
Abbiamo cercato di curare al massimo tutti i dettagli, dall'indice dei capitoli e delle
sezioni posto nelle prime pagine all'indice analitico alla fine del volume, per rendere
più agevole la lettura; un elenco dei simboli principali utilizzati nel testo completa la
presentazione.
Per rendere più immediata la lettura abbiamo usato le seguenti notazioni:
per i richiami a figure, teoremi o formule collegate: ad esempio, " ... base canonica
ir;,>
di !Rn u:.' Sezione 1.1, possiamo ... ";
~ per indicare che a quel punto è opportuno svolgere un certo esercizio: ad esempio,
" ... piuttosto che a un altro (~ es. 4.3) o che, addirittura ... ";
,,.. per indicare che è stata inserita un'appendice con un approfondimento dell'argo-
mento, o con un argomento collegato: ad esempio, " ... deriva dalla forma di una
catena appesa(,,.. appendice 5.10); qu~ta è il grafico ... ";
[ ] questa coppia di simboli è usata per indicare un'alternativa: ad esempio, la frase
" ... k + 1 [ k + 2] se invece è radice semplice [doppia] ... " va intesa come
" ... k + 1 se invece è radice semplice e k + 2 se è radice doppia ... ";
■ indica la fine di una dimostrazione.
Infine, abbiamo raccolto diversi suggerimenti di colleghi e studenti sulla maniera
più efficace di suddividere e presentare gli argomenti. Il volume ci sembra largamente
sufficiente per poter seguire con profitto le lezioni di un corso di Analisi Matematica 2 e
siamo certi che anche questa edizione incontrerà il gradimento degli studenti.
Parma e Pisa, 6 febbraio 2016
Emilio Ac'erbi e Giuseppe Buttazzo
I
Indice
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Presentazione
V
Indice vii
Capitolo 1 - Da una a più dimensioni 1
1.1 - Spazi lineari a più dimensioni 1
1.2 - Prodotto vettoriale . 7
1.3 - Esempi fondamentali 11
1.4 - Traslazioni e rotazioni di coordinate 23
1.5 - Coordinate polari 27
1.6 - Elementi di topologia 30
1.7 - Successioni a valori vettoriali 38
1.8 - Funzioni continue 40
1.9 - Limiti in più variabili 50
1.10 - Risultati in una variabile 61
Esercizi relativi al capitolo 1 64
Appendice al capitolo 1 68
1.1 - Centri di massa e minimi 68
1.2 - Problemi di spazio 71
viii
Capitolo 2 - Curve 73
2.1 - Funzioni vettoriali di una variabile 73
2.2 - Curve e riparametrizzazioni 76
2.3 - Curve in coordinate polari 86
2.4 - Velocità e accelerazione 89
2.5 - Curvatura 98
2.6 - Lunghezza di una curva e parametro d'arco 102
2.7 - Studio di una funzione su una curva 112
2.8 - Integrali su una curva e somma di curve 117
Esercizi relativi al capitolo 2 129
Appendice al capitolo 2 133
2.1 - Raccordi autostradali 133
2.2 - Altre curve celebri . 135
2.3 - Applicazione ai motori 143
2.4 - Ellissi, astroidi e garages 143
Capitolo 3 - Calcolo differenziale in più variabili 147
3.1 - Derivate parziali 147
3.2 - Derivate direzionali . , 152
3.3 - Differenziale 153
3.4 - Operazioni con le derivate parziali 159
3.5 - Derivate successive 164
3.6 - Formula di Taylor . 166
3. 7 - Massimi e minimi locali 167
3.8 - Funzioni convesse in ]Rn 176
3.9 - Superfici k dimensionali in ]Rn 178
3.10 - Funzioni implicite . 187
3.11 - Moltiplicatori di Lagrange 195
Esercizi relativi al capitolo 3 201
Appendice al capitolo 3 205
3.1 - Medie numeriche 205
3.2 - Funzioni omogenee 207
3.3 - Un minimo o no? 209
3.4 - Centri di massa e minimi 210
3.5 - Cambiamenti di variabile e operatori differenziali 212
3.6 - Il Teorema del Dini in meccanica 214
Capitolo 4 - Integrali multipli 217
4.1 - Integrale su un rettangolo 217
4.2 - Integrale su un insieme normale 223
4.3 - Cambiamenti di variabile 232
4.4 - Coordinate polari 238
ix
4.5 - Integrali in tre dimensioni e più 242
4.6 - Integrali impropri 253
4. 7 - Integrali di superficie 263
Esercizi relativi al capitolo 4 268
Appendice al capitolo 4 271
4.1 - Integrali ed energie . 271
4.2 - Baricentri e navi 272
4.3 - Integrali superficiali multidimensionali 275
4.4 - Integrali ed energie di superficie 277
Capitolo 5 - Equazioni differenziali 279
5.1 - Introduzione alle equazioni differenziali 279
5.2 - Il problema di Cauchy: esistenza 284
5.3 - Il problema di Cauchy: unicità 303
5.4 - Teoremi di confronto 308
5.5 - Equazioni lineari del primo ordine 312
5.6 - Equazioni a vari~bili separabili . 317
5. 7 - Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti 320
5.8 - Equazioni di ordine superiore al secondo 328
5.9 - Condizioni diverse da quelle di Cauchy 332
Esercizi relativi al capitolo 5 336
Appendice al capitolo 5 344
5.1 - Un sistema che collassa 344
5.2 - Curve di inseguimento 346
5.3 - Oscillazioni di un'altalena 348
5.4 - Caduta di un corpo in un campo di gravità 349
5.5 - Traiettorie balistiche 352
5.6 - Periodo di un pendolo 353
5. 7 - Oscillazioni smorzate 355
5.8 - Dinamica di popolazioni 357
5.9 - Soluzioni particolari di equazioni di ordine superiore al secondo 359
5.10 - Catene e bolle di sapone 362
5.11 - Qualche equazione alle derivate,..parziali . 367
5.12 - Dimostrazione del Teorema di esistenza di Peano 370
Capitolo 6 - Potenziali e integrali curvilinei 375
6.1 - Primitive e potenziali 375
6.2 - Il teorema della divergenza 387
6.3 - La formula di Stokes 390
Esercizi relativi al capitolo 6 393
Appendice al capitolo 6 396
6.1 - Calcolo di aree e di volumi 396
X
6.2 - Forme differenziali . 401
Capitolo 7 - Successioni e serie di funzioni 407
7.1 - Successioni di funzioni e convergenza 407
424
7.2 - Serie di funzioni
7.3 - Serie di potenze 430
7.4 - Serie di Fourier 436
Esercizi relativi al capitolo 7 ·' 449
Appendice al capitolo 7 452
7.1 - Serie ed equazioni differenziali 452
7.2 - Serie di Fourier ed equazioni differenziali 455
7.3 - Serie di Fourier ed equazioni differenziali alle derivate parziali 456
7.4 - La funzione di Weierstrass 457
Lista dei simboli . 459
Indice analitico . 461
Secondo corso
di Analisi matematica
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