secções cônicas e aplicações Robson Edvaldo da Silva Pereira

87 Pages·2017·2.36 MB·Portuguese

Álgebra linear: secções cônicas e aplicações
Robson Edvaldo da Silva Pereira
Dissertação de Mestrado do Programa de Mestrado Profissional em
Matemática em Rede Nacional (PROFMAT)
SERVIÇODEPÓS-GRADUAÇÃODOICMC-USP
Data de Depósito:
Assinatura: ______________________
Robson Edvaldo da Silva Pereira
Álgebra linear: secções cônicas e aplicações
Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências
Matemáticas e de Computação – ICMC-USP,
como parte dos requisitos para obtenção do título
de Mestre em Ciências – Programa de Mestrado
ProfissionalemMatemática. VERSÃOREVISADA
ÁreadeConcentração: Matemática
Orientadora: Profa. Dra. Rosana Retsos
SignorelliVargas
USP – São Carlos
Agosto de 2017
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi
e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,
com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
Pereira, Robson Edvaldo da Silva
P634á Álgebra linear: secções cônicas e aplicações /
Robson Edvaldo da Silva Pereira; orientadora Rosana
Retsos Signorelli Vargas. – São Carlos – SP, 2017.
87 p.
Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-graduação
em Mestrado Profissional em Matemática em Rede
Nacional) – Instituto de Ciências Matemáticas e de
Computação, Universidade de São Paulo, 2017.
1. Álgebra linear . 2. Cônicas. 3. Teorema
espectral . 4. Transformações lineares . 5.
Aplicações. I. Vargas, Rosana Retsos Signorelli,
orient. II. Título.
Robson Edvaldo da Silva Pereira
Linear algebra: conical sections and applications
Master dissertation submitted to the Instituto de
Ciências Matemáticas e de Computação – ICMC-
USP, in partial fulfillment of the requirements for the
degreeofMathematicsProfessionalMaster’sProgram.
FINALVERSION
ConcentrationArea: Mathematics
Advisor: Profa. Dra. RosanaRetsosSignorelliVargas
USP – São Carlos
August 2017
DedicoaDeusodesenvolvimentodestetrabalho,poissemElenãoteriaforçaepaciênciapara
escrevê-lo,comograndenúmerodeaulasquetivequelecionaraolongodocurso. Tambéma
minhaesposaefilha,porsereminspiraçãonosmomentosdedesânimoecansaço,aminha
esposaporcuidardosoutrosafazeresnamedidaemqueestavacomprometidocomesta
dissertação. Dedicotambémaminhafamíliaeaoscolegasdesalaquefizerampartedeste
sonho.

AGRADECIMENTOS
GostariadeagradeceraoSenhorquereinaparatodoosempreemnomedeJesus,pois
Elehavia falado queestavacomigoneste projetodevida,a minhaesposaquefoi companheira,
mãe,irmãeresponsávelpelolar,jáqueotempoquetinhalivreemcasafoidedicadoaosestudos
das disciplinas e trabalhos. Agradecer aos colegas de classe pelos momentos compartilhados,
emoções, alegrias e tristezas, ao Humberto por me ajudar a formatar a dissertação em latex,
onde tive grandes dificuldades para aprender como escrever o texto. A minha orientadora
RosanaRetsosSignorelliVargaspelosencontros,pelasreuniõesviaSkype,pelasuapaciência,
flexibilidadeepalavrasdeânimo. Porfim,aoIMPA,SBMeaUSP,pelodesenvolvimentodo
programaeporseenquadrarnoconteúdomatemáticoquedesejeiestudar,aCAPESpeloauxílio
financeiro.

RESUMO
PEREIRA, ROBSON EDVALDO DA SILVA. Álgebra linear: secções cônicas e aplicações.
2017. 87 p. Dissertação (Mestrado em Ciências – Programa de Mestrado Profissional em
Matemática)–InstitutodeCiênciasMatemáticasedeComputação,UniversidadedeSãoPaulo,
SãoCarlos–SP,2017.
Nestetrabalhodesenvolvemosoestudodaálgebralinear,secçõescônicaseaplicações. Apresen-
tamososconceitosmaisimportantesdaálgebralinear,estudandoosespaçosvetorias,subespaços
vetoriais, matriz de mudança de base, transformações lineares e produto interno. O principal
resultadodotrabalhoéoteoremaespectralqueforneceferramentasparaseestudarassecções
cônicasnãoelementares,ouseja,aquelasnasquaisumaparábola,elipseouhipérbolesãoapre-
sentadascomseuseixosnãoparalelosaoseixoscoordenadosdoplanocartesiano. Umavezde
possedeste teoremaémostradoum processopráticonoqual transformamosumaequaçãoax2+
bxy+cy2+dx+ey+g=0 naequação k (x(cid:48))2+k (y(cid:48))2+(dx +ey )x(cid:48)+(dx +ey )y(cid:48)+g=0
1 2 1 1 2 2
semotermomistoxy,ondeapósaeliminaçãodeste,podemosdeduziraequaçãodacônicaidenti-
ficandoassimestacurva. Apresentamosexemplosdecônicascomeixosparalelosenãoparalelos
aos coordenados doplano cartesiano e utilizamoso software geogebra paravisualização. Tam-
bémdiscutimosalgumasaplicaçõesdascônicascomotrajetóriadecorposcelestes(planetaTerra
eumcometa),princípiodereflexãodaparábolamostrandooporquêdasantenasedoscaptadores
deondas sonoras seremparabólicos. Demonstramosumteorema quedenomineideidentificador
deumacurvacônicapoiscomeleépossívelclassificaracônicasemrealizaroprocessoprático,
apenas para isso identificamos através da equação ax2+bxy+cy2+dx+ey+g=0, quais os
valores de a,b e c e feito isto calculamos o “discriminante” b2−4ac, analisamos os sinais e a
nulidade,ouseja,seémaiorquezero,menorquezeroouigualazero,assimépossívelclassificar
acônica.
Palavras-chave: Álgebra linear , Cônicas, Teorema espectral , Transformações lineares, Apli-
cações.