Table Of ContentCopyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Казанский национальный исследовательский
технологический университет»
А. Н. Титов, Р. Ф. Тазиева
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЫ И ПРИКЛАДНОЙ
МАТЕМАТИКИ В СРЕДЕ SCILAB
Учебно-методическое пособие
Казань
Издательство КНИТУ
2020
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 004.42:51(076)
ББК 32.97:я7
Т45
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Казанского национального исследовательского технологического университета
Рецензенты:
д-р техн. наук, проф. М. Х. Хайруллин
канд. экон. наук О. С. Семичева
Титов А. Н.
Т45 Решение задач линейной алгебры и прикладной математики
в среде Scilab : учебно-методическое пособие / А. Н. Титов,
Р. Ф. Тазиева; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол.
ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2020. – 100 с.
ISBN 978-5-7882-2814-3
Рассмотрены возможности системы компьютерной математики Scilab в об-
ласти решения задач вычислительной математики. Приведены теоретический ма-
териал, примеры решения задач линейной алгебры и вычислительной матема-
тики. Для оценки уровня усвоения студентами пройденного материала предло-
жены варианты заданий для самостоятельной работы.
Предназначено для бакалавров, обучающихся по направлениям подго-
товки 18.03.01 «Химическая технология», 28.03.02 «Наноинженерия», 09.03.02
«Информационные системы и технологии», изучающих дисциплины «Инфор-
матика», «Вычислительная математика», «Прикладная математика», «Методы
оптимизации».
Подготовлено на кафедре информатики и прикладной математики.
УДК 004.42:51(076)
ББК 32.97:я7
ISBN 978-5-7882-2814-3 © Титов А. Н., Тазиева Р. Ф., 2020
© Казанский национальный исследовательский
технологический университет, 2020
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................ 5
1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В СРЕДЕ SCILAB .... 7
1.1. Простейшие операции с элементами массивов .......................... 7
1.2. Матричные операции линейной алгебры ................................... 9
1.3. Решение систем линейных уравнений в Scilab ........................ 16
Задания для самостоятельной работы ........................................... 17
2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
В SCILAB ................................................................................................. 19
2.1. Вычисление корней полинома ................................................... 19
2.2. Решение трансцендентных уравнений в Scilab ........................ 20
Задания для самостоятельной работы ........................................... 25
3. АППРОКСИМАЦИЯ .......................................................................... 26
3.1. Меры погрешности аппроксимации .......................................... 26
3.2. Нахождение коэффициентов c при точечной
j
аппроксимации методом наименьших квадратов ........................... 27
3.3. Решение задачи аппроксимации в Scilab. Функция datafit ..... 29
3.4. Неполиномиальная регрессия .................................................... 34
3.5. Проверка адекватности модели объекту исследования .......... 36
Задания для самостоятельной работы ........................................... 40
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ............................................................................... 42
4.1. Линейная интерполяция ............................................................. 43
4.1.1. Функция interpln ................................................................ 43
4.1.2. Функция linear_interpn ...................................................... 44
3
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.2. Построение интерполяционных полиномов в Scilab ............... 52
4.2.1. Решение задачи интерполяции с помощью функции
datafit ............................................................................................ 52
4.2.2. Решение задачи интерполяции без использования
функции datafit ............................................................................. 54
4.3. Интерполяция сплайнами ........................................................... 57
4.3.1. Сплайн-интерполяция в Scilab ......................................... 59
4.3.2. Специальные функции Scilab для сплайн-
интерполяции .............................................................................. 61
4.3.3. Нахождение уравнений сплайнов .................................... 68
4.3.4. Функция smooth ................................................................. 75
4.4. Обратная интерполяция .............................................................. 78
Задания для самостоятельной работы ........................................... 83
5. ОПТИМИЗАЦИЯ ................................................................................ 84
5.1. Решение задач безусловной оптимизации. Функция optim .... 84
5.2. Решение задач линейного программирования. Функция
karmarkar ............................................................................................. 89
5.3. Решение задач квадратичной оптимизации. Функция qld ...... 93
Задания для самостоятельной работы ........................................... 97
ЛИТЕРАТУРА ......................................................................................... 98
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВВЕДЕНИЕ
Система компьютерной математики Scilab в настоящее время по-
лучила достаточно широкое распространение в вузах ввиду ее очевид-
ных преимуществ перед своими более мощными и дорогостоящими
аналогами: Matlab, Mathcad и др. Основными преимуществам системы
являются, прежде всего, ее бесплатность, сравнительно небольшой
объем, относительная простота в использовании. Появилось и доста-
точное количество публикаций о возможностях системы и принципах
работы с ней. Из числа известных авторам публикаций на данную тему
следует отметить работы [1‒4]. Все они, как правило, содержат мате-
риал по широкому кругу вопросов применения пакета. Авторов дан-
ного учебно-методического пособия, прежде всего, интересовали ос-
новные возможности системы в области численных методов и решения
задач линейной алгебры. Несмотря на имеющиеся в литературе при-
меры решения указанных задач, многие полезные функции системы
остались не рассмотренными. Не облегчает понимание и имеющаяся
в справке Scilab информация на английском языке о работе таких функ-
ций, как, например, interpln, linear_interpn, datafit, interp, smooth, qld.
В известных авторам источниках не указаны частые ошибки,
к которым могут привести неправильное применение функций, напри-
мер неудачный выбор начального приближения при решении уравне-
ний или построении аппроксимирующих кривых.
Авторы поставили перед собой цель: собрать имеющуюся в лите-
ратуре информацию по указанным вопросам и издать ее в виде отдель-
ного пособия, дополнив его не переведенной информацией из справоч-
ной системы Scilab (версия 6.0.2) на эту тему. Авторы надеются облег-
чить восприятие изложенного в справочном разделе системы материала,
снабдив пособие большим количеством примеров и пояснений к ним.
Пособие включает в себя пять разделов. В первом разделе рас-
сматриваются вопросы, связанные с операциями над матрицами:
нахождение определителей матриц, обратных матриц, векторов соб-
ственных значений и т. д., а также рассмотрены способы решения си-
стем линейных уравнений в среде Scilab. Во втором разделе показано,
как решаются алгебраические, трансцендентные уравнения и системы
нелинейных уравнений с помощью функций roots и fsolve. В третьем
разделе рассмотрены способы решения задач одномерной аппроксима-
ции полиномами и другими функциями. В четвертой части приведено
5
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
большое количество примеров решения задач интерполяции полино-
мами и кубическими сплайнами (функции interpln, linear_interpn, datafit,
interp и smooth). В пятой главе рассмотрены возможности системы
Scilab в области одномерной и многомерной оптимизации: решение за-
дач одномерной и многомерной безусловной оптимизации (функция
opt), решение задач линейного программирования (функция karmarkar),
решение задач квадратичного программирования (функция qld).
Материал, изложенный в пособии, использовался при проведе-
нии лабораторных занятий по информатике, обработке эксперимен-
тальных данных, теории вероятностей и математической статистике,
вычислительной и прикладной математике. При изложении материала
предполагалось, что читатель имеет базовые представления о работе
в среде Scilab. Используемая в пособии версия среды Scilab 6.0.2.
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В СРЕДЕ
SCILAB
1.1. Простейшие операции с элементами массивов
В этом разделе будут рассмотрены вопросы работы с элементами
одномерных и двумерных массивов – векторами и матрицами.
Задать вектор в Scilab можно следующим образом: b=[2 4 -5 6].
При обращении к элементам вектора нужно учитывать, что нумерация
всегда начинается с 1, т. е. b(1) – это 2, b(3) – это -5 и т. д. Элементы
вектора (как и элементы строки матрицы) разделяются запятой или про-
белом. Количество элементов вектора b можно определить так:
n=length(b). В приведенном примере n=4. Запись c=[2;4;-5;6] означает
вектор-столбец. При решении некоторых задач (например, при постро-
ении графиков функций, решении систем линейных уравнений, выводе
на печать результатов вычислений) необходимо следить за правильно-
стью использования векторов: нужен ли нам вектор-столбец или век-
тор-строка. В противном случае система может выдать сообщение об
ошибке. Запись b' означает транспонирование вектора: вектор-строка
становится вектором-столбцом и наоборот.
Элементы матрицы можно задать так: а=[2 1 4;5 -1 5] или в две
строки:
a=[2 1 4
5 -1 5];
Оба способа задания матрицы эквивалентны и означают ввод матрицы
æ 2. 1 . 4. ö
a = .
ç ÷
5. 1 . -5.
è ø
В системе Scilab элементы матрицы принято записывать следую-
щим образом: a(3, 7), a(n, m). Первое число в скобках – это номер
строки, второе – номер столбца. Для того чтобы определить количество
строк (n) и столбцов (m) матрицы a, можно воспользоваться функцией
size: [n, m]=size(a). Значение функции length применительно к матрице
даст общее число ее элементов, т. е. n·m.
Чтобы возвести все элементы приведенной выше матрицы,
например, в квадрат, нужно записать: a.^2. Результатом будет матрица
4. 1. 16.
25. 1. 25.
7
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При попытке сделать это так: a^2, будет выдано сообщение об
ошибке: «Неверный размер входного параметра №1: ожидалась квад-
ратная матрица».
Дело в том, что оператор «^» применительно к матрице в этом
примере означает умножение матрицы на себя. В этом случае матрица
должна быть квадратной. Выражение a*b означает умножение массива
a на массив b. Если а и b – матрицы, количество строк первой матрицы
должно равняться количеству столбцов второй. Пример:
clc
a=[2 4 6;-1 4 -2];d=[2 3;-1 2;6,1];c=a*d;disp(c,'c=')
Результат:
c=
36. 20.
-18. 3.
æ 2 3ö
æ2 4 6 ö ç ÷ æ36 20ö
Найдено произведение матриц: × -1 2 = .
ç ÷ ç ÷
ç ÷
-1 4 -2 -18 3
è ø ç ÷ è ø
6 1
è ø
Ниже приведены некоторые специальные операторы для работы
с матрицами:
a(: , j) – j-й столбец матрицы a;
a(i , :) – i-я строка матрицы a;
a(j : k) – элементы a, a , …, a ;
j j+1 k
a( : ) – записывает все элементы массива a в виде столбца;
a(m , :) =[ ] – удаляет из матрицы строку m;
a' – транспонированная матрица а;
prod(a) – произведение элементов массива;
prod(a, dim) – произведение элементов столбцов (dim=1) или
строк (dim=2) ;
sum(a) – сумма элементов массива – вектора или матрицы;
sum(a, dim) – сумма элементов столбцов (dim=1) или строк
(dim=2).
Пример применения приведенных выше операторов:
a=[2 3 6;3 1 -4];
d=a';c=prod(a);e=prod(a, 2);f=sum(a);
g=sum(a, 1); u=a(: , 2);b=a(1 , :);
s=a(2 : 5);t=a( : );a(1 , :)=[ ]; disp(d,'d=',c,'c=',e,'e=',f,'f=')
disp(g,'g=',u,'u=',b,'b=',s,'s=',t,'t=',a,'a=')
f= 11.
8
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
e= 36.
-12.
c= -432.
d=
2. 3.
3. 1.
6. -4.
a= 3. 1. -4.
t= 2 3. 3. 1. 6. -4.
s= 3. 3. 1. 6.
b= 2. 3. 6.
u=
3.
1.
g= 5. 4. 2.
Примечание: для экономии места значения переменных t и s
в приведенных ответах записаны в виде строки, хотя результатом явля-
ются столбцы.
1.2. Матричные операции линейной алгебры
Покажем, как в Scilab можно вычислять определители матриц, их
ранг, норму, обратные матрицы и совершать другие преобразования.
Для этого предназначены следующие функции:
o det(a) – возвращает определитель квадратной матрицы а;
o rank(a) – возвращает ранг матрицы;
o inv(a) – возвращает матрицу, обратную матрице а;
o norm(a) – возвращает норму матрицы а;
o cond(a) – возвращает число обусловленности матрицы а по второй
норме. Эквивалентно выражению norm(a)*norm(a^(-1));
o spec(a) – возвращает вектор собственных значений матрицы а.
Пример 1.1. Вычислить определитель матрицы d, ранг матрицы c,
матрицу, обратную к матрице x.
æ2 9 9 4 ö
æ1 - 2 -3 0ö æ3 2 1ö
ç ÷
2 -3 12 8
ç ÷ ç ÷
ç ÷
d = , c = 2 3 8 7 , x = 1 0 2 .
ç ÷ ç ÷
ç4 8 3 -5 ÷
ç ÷ ç ÷
-1 1 1 -1 4 1 3
ç ÷ è ø è ø
1 2 6 4
è ø
9
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение.
В командном окне в строках ввода набираем:
--> d=[2 9 9 4; 2 -3 12 8; 4 8 3 -5; 1 2 6 4];
--> c=[1, -2, -3, 0; 2, 3, 8, 7; -1, 1, 1, -1];
-->x=[3 2 1; 1 0 2; 4 1 3];
--> x1=det(d), x2=rank(c), x3=inv(x)
В строках вывода получаем:
x1 = 147.
x2 = 2.
x3 = -0.4 -1. 0.8
1. 1. -1.
0.2 1. -0.4
Если необходимо преобразовать исходную матрицу в матрицу с
другим количеством строк и столбцов, используют функцию matrix.
Входные и выходные матрицы должны иметь одинаковое количество
элементов. Преобразуем, например, матрицу с размерности 3×4 в мат-
рицу размерности 6×2:
--> c=[1, -2, -3, 0; 2, 3, 8, 7; -1, 1, 1, -1];matrix(c,6,2)
ans =
1. -3.
2. 8.
-1. 1.
-2. 0.
3. 7.
1. -1.
Для создания матрицы размерности nxm, состоящей из единиц,
используют функцию ones: ones(n,m). Если мы хотим создать единич-
ную матрицу e того же размера, что и матрица с, можно записать:
e=ones(c):
--> e=ones(c)
e =
1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.
--> e=ones(2,2)
e =
1. 1.
1. 1.
10
