Table Of ContentEberhard Brommundt, Delf Sachau
Schwingungslehre
mit Maschinendynamik
Eberhard Brommundt, Delf Sachau
Schwingungslehre
mit Maschinend ynamik
Mit 210 Abbildungen und 286 Aufgaben
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Prof.em. Dr. Eberhard Brommundthatte von 1970 bis 2000 die Professur für Technische Mecha-
nik, mit gleichnamigen Institut, an der Technischen Universität Braunschweig inne. Sein Arbeitsgebiet
sind Dynamik und lineare wie nichtlineare Schwingungen. Vor seiner Berufung als Professsor arbeite-
te er als Wissenschaftlicher Assistent am Institut für Angewandte Mechanik und Technische Schwin-
gungslehre an der TH Darmstadt und als Privatdozent, ebenfalls an der TH Darmstadt.
Univ.-Prof.Dr.-Ing. Delf Sachauhat seit 2001 die Professur für Mechatronik an der Helmut-Schmidt-
Universität –Universität der Bundeswehr Hamburg inne und leitet dort das Institut für Mechanik. Vor
Antritt der Professur arbeitete er nach seinem Studium des Maschinenbaus an der Technischen Uni-
versität Braunschweig als Entwicklungsingenieur in der Industrie und als Wissenschaftler am Institut
für Robotik und Systemdynamik des Deutschen Zentrums für Luft- und Raumfahrt (DLR) sowie als
Leiter der Abteilung Adaptronik am DLR Institut für Strukturmechanik.
1. Auflage 2008
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© B.G.Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008
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Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 978-3-8351-0151-7
Vorwort
Maschinen und Fahrzeuge werden leistungsfahiger, schneller und leichter. Um die daraus
resultierende Umweltbelastung durch Vibrationen und Larai gering zu halten, benotigt der
Ingenieur fundierte Kenntnisse der Schwingungslehre mit Maschinendynamik.
Dieses Buch behandelt die Schwingungslehre mit Frage- und Aufgabestellungen aus der
Maschinendynamik. Dabei geht der Schwingungslehre stets die Modellbildung, d. h. das
Eindringen in die Physik des Systems und das Aufstellen der Bewegungsgleichungen voraus.
Ziel ist es, das Verstandnis der Vorgehensweisen und das Denken in den Begriffen am
Schwingungsverhalten einfach aufgebauter Maschinen zu lemen. Diese Grundlagen benotigt
der Ingenieur spater im Beruf, selbst dann, wenn er die Dynamik mechatronischer Systeme
mit Hilfe modemster Rechnerprogramme untersucht. Dann hilft ihm die aus der Beschafti-
gung mit den Grundbegriffen erworbene Anschauung, die Rechnerergebnisse zu durchschau-
en und zu bewerten.
Die erforderlichen mathematischen Grundlagen stammen iiberwiegend aus der Einfuhrungs-
vorlesung Mathematik. Kapitel I fasst sie in der Terminologie der Schwingungslehre zusam-
men. Der Leser hat die Freiheit, dieses Kapitel nur zu iiberfliegen, durchzuarbeiten, bei Be-
darf nachzulesen oder es als Formelsammlung zu benutzen. Ahnliches gilt fur die Grundlagen
aus der Technischen Mechanik bzw. Dynamik, die am Ende des Buches in den Anhangen A,
B, C zusammengestellt sind.
Die eigentliche Schwingungslehre ist in vier Kapitel mit jeweils mehreren Abschnitten ge-
gliedert: Kapitel II, Maschinen und Gerate unter dynamischer Last, nimmt die Modellbildung
auf. Bewegungsgleichungen werden anfangs als Gleichgewichtsbedingungen, mit d'Alem-
bertschen Tragheits-Kraften und -Momenten, spater mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichun-
gen (2. Art) formuliert. Kapitel III gelangt von einem nicht ganz einfachen System zum
Schwinger vom Freiheitsgrad eins und handelt ihn ab. Rotoren mit aufgesetzten Massen,
Kapitel IV, begriinden die Schwinger mit mehreren Freiheitsgraden. Die Torsionsschwingun-
gen der Welle mit verteilter Masse und die Biegeschwingungen einer Kranbriicke (Balken)
fuhren beispielhaft auf schwingende Kontinua, Kapitel V.
Der Inhalt beschrankt sich im Wesentlichen auf lineare Schwingungen. Die Losungen der
Bewegungsgleichungen werden analytisch herausgearbeitet, diskutiert und in Diagrammen
veranschaulicht. Eine Reihe von den Text begleitenden und erganzenden Aufgaben bietet
dem Leser Gelegenheit zu tJbung und Verstandniskontrolle.
Braunschweig und Hamburg E. Brommundt, D. Sachau
Inhaltsverzeichnis
Vorwort II
Inhaltsverzeichnis III
Hinweise zu Schreibweisen 1
I GRUNDBEGRIFFE DER SCHWINGUNGSLEHRE 2
1 Einleitung 2
1.1 Definition einer Schwingung 2
1.2 Harmonische Schwingung, Sinusschwingung 3
1.3 Allgemeineperiodische Schwingung 9
1.4 Nichtperiodische Schwingung 18
1.5 Aufgaben 23
II MASCHINEN UND GERATE UNTER DYNAMISCHER LAST 26
2 Bodenkrafte einer Riittelmaschine 26
2.1 Aufgabenstellung 26
2.2 Losung 26
2.3 Aufgaben 29
3 Auswuchten starrer Rotoren 30
3.1 Aufgabenstellung 30
3.2Modell 31
3.3 Gleichgewichtsbedingungen 31
3.4 Diskussion der Lagerkrafte infolge Unwucht 34
3.5DasWuchten 36
3.6 Aufgaben 37
III SCHWINGER MIT EINEM FREIHEITSGRAD 40
4 Vertikalschwingungen eines Paares gekoppelter Exzenterpressen 40
4.1 Aufgabenstellung 40
4.2Modell 41
4.3 Massenkrafte 43
4.4 Schwingungserregung durch bewegte Massen 46
4.5 Gleichgewichtsbedingungen und Bewegungs-Differentialgleichung 49
4.6 AUgemeine Aussagen; Erganzende Hinweise 50
4.7Aufgaben 54
5 Freie Schwingungen 56
5.1 Bewegungsgleichung; Bemerkungen zur Nomenklatur 56
5.2LosenderDifferentialgleichung 57
5.3 Ausdeutender Losung 57
5.4Aufgaben 60
6 Erzwungene Schwingungen 62
6.1 AUgemeine Aussagen 62
6.2 Erzwungene harmonische Schwingungen 63
6.3 Das Arbeiten mit StoBerregung und StoBantwort 71
6.4Aufgaben 74
7 Erzwungene Schwingungen der Exzenterpressen 77
7.1 Wirkung der relativ bewegten Massen auf die Rahmenauslenkung x(t) 77
7.2 Wirkung der bewegten Bodenplatte 80
7.3 Wirkung der bewegten Massen auf den Boden 82
7.4Aufgaben 84
8 Einschwing- und Anlaufvorgange 85
8.1 Einschwingvorgange 85
8.2 Anlauf einerErregung 88
8.3Aufgaben 94
IV ROTORSCHWINGUNGEN 96
9 Der starr gelagerte Rotor mit einfacher Durchbiegung 96
9.1 Aufgabenstellung 96
9.2Modell 96
9.3 Bewegungsgleichungen 98
9.4 Erzwungene Schwingungen 108
9.5 Freie Schwingungen 110
9.6 Schliisse aus den Untersuchungen 112
9.7Aufgaben 113
10 Anisotrope Rotorlager - der Schwinger mit zwei Freiheitsgraden 115
10.1 Aufgabenstellung 115
10.2Modell 116
10.3 Steifigkeit des Lagerbocks 116
10.4 Eigenschwingungen des Lagerbocks mit angehangter Masse 121
10.5 Erzwungene Schwingungen des Lagerbocks 135
10.6Aufgaben 144
11 Rotorsysteme 148
11.1 Die einfach besetzte Welle aufnachgiebigenLagem 148
11.2 Rotoren mit aufgesetztem Kreisel 158
11.3Aufgaben 171
12 Dreh- und Torsionsschwingungen 173
12.1 Aufgabenstellung, Symbole 174
12.2 Drehschwingungen eines Systems mit einer Ubersetzung 175
12.3 Reduktion von Drehschwingem auf eine Welle 181
12.4 Erzwungene Drehschwingungen 183
12.5Aufgaben 189
V KONTINUA 191
13 Mitschwingen der Wellenmasse bei Drehschwingungen 191
13.1 Aufgabenstellung 191
13.2 Freie Schwingungen 191
13.3 Erzwungene Schwingungen 199
13.4 Diskretisieren des Kontinuums Welle 202
13.5Aufgaben 214
14 Balken-Biegeschwingungen 216
14.1 Aufgabe: Schwingungen einer Kranbriicke 216
14.2 Die partiellen Dgln der Balkenbiegung 217
14.3 Eigenschwingungen der Kranbrucke 220
14.4 Diskretisieren des Kontinuums Balken 232
14.5 Schwingungen der Kranbriicke nach dem Lastabfall 238
14.6Aufgaben 243
ANHANG 246
A Einige Grundlagen aus der Kinetik 246
A.l Bewegung des starren Korpers 246
A.2 Massengeometrie des starren Korpers 262
A.3 Die kinetischen GrundgroBen des starren Korpers 265
A.4 Bewegungsgleichungen aus Gleichgewichtsbedingungen 266
B Arbeitsaussagen aus der Elastostatik 270
B.l Arbeit von auBeren Kraften und Momenten 270
B.2 Arbeit von inneren Kraften und Momenten 271
B.3 Hinweise 273
B.4 Der erste Satz von Castigliano - Verformungseinflusszahlen
(Nachgiebigkeiten) 274
B.5 Der zweite Satz von Castigliano - Krafleinflusszahlen (Steifigkeiten) 275
B.6 Das Berechnen von Einflusszahlen 277
C Energieverfahren 283
C.l Das verallgemeinerte Hamiltonsche Prinzip 283
C.2 Die Lagrangeschen Gleichungen (2. Art) 287
Literaturverzeichnis 290
Verzeichnis der wichtigsten Formelzeichen 293
Sachwortverzeichnis 295
Hinweise zu Schreibweisen
Hinweise zu Schreibweisen
Die Wahl der Formelzeichen halt sich an folgende Konventionen: Kursive Buchstaben be-
zeichnen Skalare (z. B. x, /, k), halbfette (Spalten-) Matrizen (z. B. x, M). GroBe steile Buch
staben (z. B. P, O) benennen Punkte. Der Unterstrich (z. B. x) kennzeichnet komplexe und
die Tilde (z. B. Q) dimensionslose (bezogene) GroBen. Das Dach (x) verdeutlicht Amplitu-
den.
Vektoren
Wir wollen mit Vektor mxxphysikalische Vektoren benennen. (Den Spalten-Vektor der Matri-
zenrechnung nennt man heute lieber Spalten-Matrix.)
Ein Formelbuchstabe mit dariiber gesetztem Pfeil (z. B. F) bezeichnet einen Vektor. Der
Pfeilschaft gibt die Richtung an, s. Bild 0-1. Der Pfeil kennzeichnet die Orientierung (= Pfeil-
sinn o&QX positive Richtung).
Schreibweise Einheitsvektor x Betrag: F ^ep \F\ mit Betrag \F\ ("Lange" des Vektors F)
und Einheitsvektor ep = ^ \^\ ^om Betrag |e^| = 1. Der Einheitsvektor ep = ep hat dieselbe
Richtung und dieselbe Orientierung wie der Vektor F, s. Bild 0-2.
Bild 0-1 Bild 0-2 Bild 0-3 Bild 0-4 Bild 0-5 Bild 0-6
Schreibweise Einheitsvektor x MaBzahl: F = eF mit Einheitsvektor e und MaBzahl F.
Der Vektor F hat dieselbe Richtung wie der Einheitsvektor e , doch nur bei F >0 dieselbe
Orientierung, bei F < 0 die entgegen gesetzte. In Bild 0-3 kann man den Pfeil als Bild des
Einheitsvektors auffassen. F steht dann als Name und MaBzahl.
Beim Vektor -F dreht man dann einfach den Einheitsvektor (den Pfeil)
um: -F = -{eF) = {-e)F, vgl. Bild 0-4.
Berechnet man zur Darstellung nach Bild 0-3 die Kraft F zua) F= 5N, b) F = -7N, so erhalt
man die in Bild 0-5 gezeichneten Pfeile. Stellt man das Ergebnis b) wie in Bild 0-6 dar, ist
das nicht falsch, doch fehleranfallig!
Die Darstellung von Einheitsvektor x MaBzahl steht hinter alien Koordinatendarstellungen
von Vektoren und ist - fur den Einzelvektor - in der Mechanik sehr beliebt.
I Grundbegriffe der Schwingungslehre
1 Einleitung
Die Normenreihe DIN 1311 legt mit ihren Teilen 1, 2, 3 - die Teile 4 und 5 sind in Vorberei-
tung - Begriffe zu Schwingungen und schwingungsfahigen Systemen vorwiegend im Bereich
der Mechanik fest. Wir halten uns uberwiegend an die genormten Benennungen und Be-
zeichnungen, weichen jedoch des bildhaften Ausdrucks oder der Kiirze halber (z. B. Perio-
dendauer -^ Periode) auch von der Norm ab. Einleitend werden hier vor allem die Grundbeg
riffe zusammengestellt (siehe DIN 1311, Teil 1). Dabei wird angenommen, dass die Einzel-
heiten dem Leser aus Mathematik und Technischer Mechanik bekannt sind. Die Zusammen-
stellung gibt vor allem die schwingungstechnische Sicht und Ausdrucksweise wieder.
1.1 Definition einer Schwingung
Unter einer Schwingung versteht man einen Vorgang, bei dem sich die interessierende Gro-
Be X so mit der Zeit andert, dass bestimmte Merkmale wiederkehren.
\X3 t
Bild 1-1 Bild 1-2 Schwingungen: Xj (nicht monoton)
Schwingungen
abkUngend, X2 kriechend (monoton) abkUn-
gend, X3 begrenzt, X4 impulsartig
Im allgemeinen sprechen wir x als Ausschlag oder Auslenkung an. Der Augenblickswert von
X sei eine (deterministische) Funktion der Zeit /: x = x(f).
Es ist unmoglich, eine Schwingung gegenuber einer allgemeinen Bewegung ohne Willkiir
abzugrenzen. Deshalb rechnet man auch GroBen, die nur wenige Male zu- und abnehmen,
impulsartig verlaufen, schwingend oder monoton abklingen zu den Schwingungen, s. Bild
1-2. Wir nennen dann auch den zeitlichen Ablauf von x(/) Bewegung, gleichgiiltig, ob es
sich bei x um eine Ortskoordinate, einen Weg, einen Winkel, eine Geschwindigkeit, einen
Strom usw. handelt.
