Table Of Content© Springer Basel AG 1977
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel und Stuttgart, 1977
ISBN 978-3-7643-0964-0 ISBN 978-3-0348-5316-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5316-3
Schweizerische Bauzeitung Sonderdruck aus dem 95. Jahrgang, Heft 26, 30. Juni 1977 Druck: Offset + Buchdruck AG, Zürich
Schubbemessung bei Querbiegung
Von Bruno Thürlimann. Zürich
Einleitung Schubwand
Speziell im Brückenbau stellt sich bei grossen Kasten Im Bruchzustand bildet sich in einer Schubwand gemäss
trägern aus Stahlbeton und Spannbeton die Frage, ob und wie Bild 2 kräftemässig ein Fachwerk aus, bestehend aus den
die Querbiegung den Schub- und Torsionswiderstand beein oberen und unteren Gurtkräften Zo und Zu, den Bügel
flusst. Bild 1 zeigt einen solchen Kastenträger mit einer kräften B und dem Betondruckfeld, crD, unter dem Winkel IX
Belastung, die im Schnitt A-A ein bedeutendes Querbiege [3, 4]. Ist die Wand unterarmiert, d. h. die Druckspannungen
moment mq hervorruft. Zusätzlich sind die Kastenwände in crD, bzw. die nominellen Schubspannungen -: sind limitiert, so
Längsrichtung durch Biegung, Querkraft und Torsion be tritt Versagen durch Fliessen der Zugarmierung Zu = ZI und
ansprucht. Nach den Regeln der Elastizitätstheorie sind die ver der Bügel B = BI auf (Biege-Schubbruch). Ist jedoch die Zug
schiedenen Einflüsse direkt zu überlagern. Entsprechend wird armierung sehr stark, so stellt sich der untere Grenzwinkel
dann die Bemessung vorgenommen. tanlX = 112 ein; der Bruch erfolgt infolge Fliessens der Bügel
Es ist bekannt, dass im Stahlbeton eine solche Super allein (Schubbruch). In Richtlinie 34, [1], mit y anstelle von IX,
position zu sicheren Resultaten führt. Prinzipiell ist sie jedoch wird der Grenzwert tan y = 3/5 vorgeschrieben, um im
unzutreffend, da durch Rissebildung und unelastisches Material Gebrauchszustand die Risseöffnungen zu limitieren [4]. Ein
verhalten eine Umlagerung der inneren Kräfte möglich ist. Um im Sinne der Plastizitätstheorie statisch zulässiger Spannungs
diesen Sachverhalt näher abzuklären, ist am Institut für Bau zustand ist durch folgende Kräfteverteilung dargestellt:
statik und Konstruktion der ETH Zürich unter der Leitung
--$-
von Prof Dr. C. Menn ein umfangreiches Versuchsprogramm (1) Diagonalkraft: D =
geplant und durchgeführt worden. Die Ergebnisse liegen in SInIX
einem Versuchsbericht vor [5]. D
Mit der Richtlinie 34 (1976), Norm SIA 162 [I], sind neue (2) Druckspannung: cr lJ = b . h . COSIX
Bemessungsregeln für Stahlbeton- ulld Spannbetonträger unter
Q
Schub, Torsion und deren Kombination mit Biegung eingeführt
worden. Der CEB «Model Code» (1977) [2] hat sie ebenfalls b . h sinlX . cos IX si not . COSot
übernommen. Sie beruhen auf der plastischen Analyse eines
Q
Fach werk modelles mit einem Betondruckfeld unter einer (3) Nominelle Schubspanmmg: -:
b'lz
variablen Neigung IX [3, 4].
Im folgenden wird versucht, diese Analyse auf den Fall M + -Q .
(4) Untergurt: Zu = - COtlX
mit zusätzlicher Querbiegung zu erweitern. Damit soll eine h 2
einheitliche Behandlung des Problems erreicht werden. Die
M + -Q '
Situation wird der Einfachheit halber an einer Schubll'and (5) Obergurt: Zo = - - cotot
untersucht. Die Ergebnisse lassen sich sofort auf die Wände h 2
von Kastenträgern anwenden, wenn die resultierenden Schub
Q' s
kräfte aus Querkraft und Torsion in den Wänden bekannt (6) Biigelkraft: B = -h-. tanlX
sind (z. B. [3 J).
Die verwendeten Symbole sind in den Bildern definiert und,
wenn nötig, im Text erläutert.
Im Bruchzustand fliessen die Bügel, d. h. B = BI. Bild 3 (a)
hält den Kräftezustand in einem Horizontalquerschnitt H-H
durch die Wand fest. Die bei den Bügelkräfte BI12 (zwei
schnittiger Bügel) stehen im Gleichgewicht mit der Vertikal
komponente Dv des Druckfeldes in Wandmitte. Die Vertikal
komponenten crv der Druckspannungen crD sind gleichmässig
über die Breite verteilt. Damit folgt:
Q' s
(7) Dv = BI = -h-. tanot
Bild I. Kastenquerschnitt
mit Querbiegung
D
v
(8) O'v = - - = - ... tanot = cr[) . sin21X
s'b
Risse
Einfluss der Querbiegung
Wird zusätzlich ein Querbiegemoment mq (Bild 2) an
gebracht, so kann sich ein Gleichgewichtszustand gemäss
Bild 3(b) durch Verschiebung des DiagonaldruckfeIdes, crD,
und damit der Vertikalkomponente Dv einstellen. Wird
näherungsweise eine konstante Verteilung der entsprechenden
Druckspannungskomponenten crv und damit des Druckfeldes
crD, angenommen, so erreicht das Querbiegemoment seinen
Bild 2. Spannungszustand in Schub wand maximalen Wert, wenn die Spannungen crr, auf die Breite b.
n
zusammengedrückt, ihren Extremwert O"v, max erreichen. In smq
einem Versuch entspricht diese Grenze der Stauchung des
Betons im Druckfeld. In Bemessungsvorschriften [1,2] ist sie IID v= r BI IID rv = Bf
durch die Limitierung der nominellen Schubspannungen
I
I
gegeben. Somit ergibt sich nach Bild 3 die Breite be, Bt/21 I 2 /21
()9 b •. O"V, max = b . O"v •I f/ Bf ~ f/2
10» S6'v
b O'v. max "t'max sG"'v,max.
und das Querbiegemoment über die Länge des Bügelabstan
des 8:
Fsl2
und schliesslich
(12) mq =B-" -b ( 1 (a) Ohne Querbiegung (b) Mit Querbiegung mq
2'8
Bild 3. Spannungszustand in Horizontalschnitt H-H (Bild 2)
Damit ist jedoch noch nicht der allgemeine Fall erfasst.
Gemäss Bild 4 weist die Wand eine unsymmetrische Bügel
armierung mit den Querschnitten Fm links und FBr rechts und
den entsprechenden Fliesskräften B,! und B,r auf. Bei grossem Die bei den konstruktiven Möglichkeiten zur Aufnahme
Querbiegemoment mq ist es durchaus möglich, dass nur der der Querbiegung werden aus GI. (18) klar ersichtlich. Der
linke Bügelteil ins Fliessen kommt. Die rechte Bügelkraft Br Term (1 - "/"max) zeigt, dass durch die Nichtausnützung der
nimmt den restlichen Anteil auf, der zur Übertragung der maximalen Schubspannung, " < "max, das Querbiegemoment
Querkraft noch nötig ist. Das Betondruckfeld ist exzentrisch linear anwächst. Andererseits bringt eine Umordnung einer
auf die Breite be zusammengedrückt. Im Sinne der Plastizitäts symmetrischen Armierung, ~ = 1/2, in eine einseitige Armie
theorie stellt ein solches Kräftesystem immer noch einen rung, ~ = 1, eine bedeutende Erhöhung. Selbstverständlich
statisch zulässigen Spannungszustand dar. Die entsprechende kann durch eine einseitige Zulage dasselbe Ziel erreicht
Schnittkraftkombination ist damit ein unterer Grenzwert des werden.
Bruchwiderstandes.
Wird mit R die aus den linken und rechten Anteilen Bemessungsdiagramm
resultierende totale Bügelkraft bezeichnet, so gelten folgende
Die GI. (18) ist in Bild 5 in dimensionsloser Form als
Beziehungen:
Bemessungsdiagramm, GI. (20), dargestellt. Als Bezugs
(13) Totale Bügelkraft: R = B,! + Br = -Qh' -8 ' tanO( moment mqo wird folgender Ausdruck gewählt:
1 _ 1 _
(14) Linker Anteil: B! = B,! = ~ . R (fliesst) (19) mqo = - . B,! . b = - . ~ . R . b
8 8
(15) Rechter Anteil: Br = (1 - ~) . R ~ B,r
Dieses Moment entspricht näherungsweise dem plastischen
(16) Parameter: ~ = BI! GQIu. e(r1b8i)e gedmurocmh enGtI . b(e1i9 ) rediniveird ieBrite, guson g,f odlg. th . d"ie =g ewOü. nWschirtde
R
dimensionslose Form:
l
Schliesslich gelten folgende Grenzen für ~. Mit ~ = 1/2 j
+-
wird BI = Br = R/2, d.h. es liegt der mit der GI. (12) erfasste (20) -mq= 1 1 --b= -('1 --"-) -1
symmetrische Fall vor. Für ~ = 1 wird BI = Rund Br = O. mqo 2 . ~ b "max
Der linke Anteil überträgt die gesamte Querkraft. Es ergibt
Es bleibt noch zu untersuchen, für welches Armierungs
sich auch das grösstmögliche Querbiegemoment. Der Fall ~ > 1 verhältnis GI. (19) einen konservativen Ausdruck für das
ist praktisch nicht interessant, da eine Druckkraft im rechten
plastische Querbiegemoment liefert. Wird nach Bild 6 ein
Bügelteil zu keiner wesentlichen Steigerung des Querbiege
rechteckiger Spannungsblock für die Betondruckzone in
momentes beitragen wird. Somit gilt:
Rechnung gestellt, so ist der Hebelarm zwischen der Zug- und
1/2~ ~ ~ 1 Druckresultierenden gerade b, wenn die Distanz zur neutralen
Achse x = b - b ist. Aus der Beziehung
Das Querbiegemoment mq über eine Länge gleich dem Bügel
abstand 8 wird damit: (21) Z - D = Fm . a,B - 8 (b - b) . ßr = 0
folgt der entsprechende Armierungsgehalt
b be) + -1 -
(17) 8 . mq = R ( - - - (2 . ~ - 1) R . b
2 2 2 Fm +b - b ßr
(22) (.LB!=--= + '-
Mit be aus GI. (10) ergibt sich 8' b. (b b) O"IB
R'b[( ") + bj Darin ist a,B die Fliessspannung der Bügelarmierung und ßr
(18) mq = -2·- 8 1 - "-max (2 . ~ - 1)b- der Rechenwert der Betonfestigkeit.
Wenn x < b - b, so ist mqo nach GI. (19) auf der sicheren
Die GI. (12) folgt als Spezialfall aus GI. (18) für ~ = 1/2 und Seite. Ausgedrückt für den bezogenen Armierungsgehalt
R = B,. heisst dies:
2
n
smq
Graph: Gleichung (20)
GsmqO
b/b = 1.25
I
I ~ Bfll R
rI -Dy = R 1,0 R Bfl+ Br t~-
+ 'r
t-Br =( 1 -~) R S B
0,5 0,5 FBr (vernachl.l
0,33
~ = Bfl/R
R =B fl+Br +--r---r---r--,.-0-,-5, r--r--.-----.--1r,0- -+--T I T mo.
Bild 4. Querbiegung in Wand, allgemeiner Fall Bild 5. Bemessungsdiagramm: Schub-Querbiegung Bild 6. Bezugsmoment IIIqo
I. In einem Versuchsträger ist die konstruktive Ausbildung
(23) fLBI = fLBI . -aßl-rB = SF B• Ib •. a. lßBr ,,;; 2 . bb +- -bb gdüern sDtiget, adilass s( Bbüeigmel aBbrsutcahn dd, ieK Braefttoenindlreuictuknspga unsnwu.n)g mene iasDte nusn tseor
dem Winkel die Prismen druckfestigkeit nahezu erreichen
IX
Sollte ausnahmsweise iLBI einmal grösser sein, so ist für ff/qo können.
das plastische Moment direkt zu bestimmen.
Schliesslich ist noch der Fall zu betrachten, wenn die 2. Werden bei der Auswertung die maximal zulässigen
Querkraft Q und entsprechend die Schubspannungen ";' sehr Schubspannungen ";'max, zum Beispiel nach [1], herangezogen,
klein sind. Fliessen des linken Bügelteiles wird dann primär so ist zu beachten, dass dafür konservative Werte eingeführt
durch das Querbiegemoment erzeugt und damit GI. (19) mass wurden. So wurde ";'max konstant angenommen, obwohl nach
gebend. Somit wird das Bemessungsdiagramm, Bild 5, auf der GI. (2) die Schubspannungen ";' durch beeinflusst sind. Ferner
IX
Höhe mqlmqo = 1 abgeschnitten. wurden Störungen, die sich aus Längsarmierungen und speziell
Kabelrohren von Vorspannkabeln ergeben, nicht speziell
Vergleich mit Versuchsresultaten berücksichtigt, sondern indirekt in die Werte für Tmax ein
bezogen.
Versuche an Trägern unter Biegung, Schub und Quer
biegung sind, wie eingangs erwähnt, von Kaufmann und 3. Die Bemessungsgleichung (20) wurde aus der Betrach
Menn [5] und ebenfalls Kupfer [6] durchgeführt worden. Beim tung eines statisch zulässigen Spannungszustandes über eine
Vergleich solcher Versuche mit der dargestellten Theorie sind kurze Trägerlänge von der Grössenordnung der Trägerhöhe
folgende Punkte zu beachten: hergeleitet. Sie ergibt einen unteren Grenzwert der Traglast.
Damit Bruch eintritt, muss sich aber ein Mechanismus ent
wickeln, d. h. entlang der Verbindungslinie von Steg und
Flansch muss sich ein plastisches Gelenk ausbilden. Daher
müssen in einem Vergleich die Verhältnisse über die gesamte
mq/mqO
n Trägerlänge oder zum mindesten über den massgebenden
Be~eSSUng,Gl{20J Loslslellung I
n Loslslellung n Bereich in Betracht gezogen werden.
In Bild 7 sind die Versuchsresultate aus [5] mit den
theoretischen Werten verglichen. Für ";'max wurden dabei
Werte entsprechend der Richtlinie 34 [I] verwendet. Wie er
-a-+ac wartet, ergibt die Theorie in allen Fällen ein konservatives
r--
Resultat.
'""'
~
- -,.,." '"" Praktische Anwendung
-
In einem Kastenquerschnitt (Bild I) sind aus einer
1.0 -""' f-E - - -f- ._- statischen Berechnung die resultierenden Querkräfte aus
Schub und Torsion sowie die Querbiegemomente in den ein
zelnen Wänden bekannt. Die Bemessung soll nach Richtlinie 34
[I] aus dem Bruchwiderstand erfolgen.
In einem ersten Schritt wird für jede Wand infolge Quer
kraft allein eine symmetrische Schubarmierung, F BI = F Br =
F B/2, und die zusätzliche Längsarmierung aus Schub be
stimmt. Dabei kann der Winkel IX zwischen 3/5 ,,;; tanlX ,,;; 5/3
gewählt werden. Bekanntlich ergeben kleine Werte wirt
o schaftlichere Lösungen [4]. Die Wandbreite b wird so gewählt,
5, 52 53 54 55 56
dass der Wert Tmax nicht voll ausgenützt wird, wenn ein
Bild 7. Vergleich Bemessung-Versuche [5] grosses Querbiegemoment vorhanden ist.
3
Aus dem Bemessungsdiagramm (Bild 5) kann das Ver gleich geschaffen wird. Schliesslich sind ~erade im Bereich
hältnis mq(mqo Jür das Querbiegemoment herausgelesen wer grosser Querkräfte, d. h. an den Auflagern, meistens Quer
den, und zwar für die eben bestimmte symmetrische Armie träger vorhanden. Diese aber reduzieren in ihrer näheren
rung, d.h. ~ = 1/2, und das gewählte Verhältnis 'r/'rmax. Umgebung die Querbiegung recht bedeutend. Es sollte daher
Ist der QuerbiegJwiderstand ungenügend, so wird der der Nachweis nicht unmittelbar am Querträger, 'sondern in
Widerstand für eine vollständig einseitige Armierung, ~ = 1, einer Distanz, die etwa der halben Kastenbreite entspricht,
bestimmt. In diesem Fall ist die auf der Zugseite liegende vor durchgeführt werden.
her bestimmte Armierung zu verdoppeln, Fm = FB. Sie trägt
allein die ganze Querkraft. Ist der Widerstand immer noch zu Zusammenfassung
klein, so muss ein grösserer Querschnitt gewählt werden, d. h. Die neuen Bemessungsmethoden für Stahlbeton- und
die Breite b muss vergrössert werden. Liegt der erforderliche Spannbetonträger unter Biegung, Schub und Torsion beruhen
Widerstand jedoch zwischen den zwei Werten, so muss die auf der plastischen Berechnung eines räumlichen Fachwerk
zugseitige Armierung nur um einen Teil verstärkt werden. modelles mit einem Betondruckfeld unter variabler Neigung
0(.
Entsprechend wird sich die zugseitige Kraft vergrössern, die Dieses Modell ist erweitert worden, um die Querbiegung zu
druckseitige Bügelkraft vermindern und sich ein ~ zwischen berücksichtigen, wie sie z. B. in einem Kastenquerschnitt auf
1/2 und 1 einstellen. treten kann. Mit Hilfe eines einfachen Bemessungsdiagrammes
Der Sicherheitsnachweis bei gegebenen Kräften, Ab kann dieser Einfluss berücksichtigt werden.
messungen und Armierungen erfordert zuerst die Bestimmung
der Bügelkraft R in Funktion von Q und rx [3]. Bei genügend Literaturverzeichnis
stark ausgebildeter Längsarmierung wird der untere Grenz
[I] Schweizerischer Ingenieur- und Architekten-Verein: «Bruchwider
wert tanrx = 3/5 erreicht. Dann berechnet sich ~ aus GI. (16), stand und Bemessung von Stahlbeton-und Spannbetontragwerkem);
wobei BII die Fliesskraft der Bügelarmierung auf der Zugseite Richtlinie 34 (1976) zu Norm SIA 162. Zürich, 1976.
ist. Das Bemessungsdiagramm liefert dann das Verhältnis
[2] Comite Euro-International du Beton: «Code modele pour les
mq/mqo. structures en betom), Systeme international de reglementation
Abschliessend sei noch auf folgende Umstände hin technique unifiee des structures, vol. H, Bulletin d'Information
gewiesen. Eine elastisch berechnete Schnittkraftverteilung kann no 117, Paris, decembre 1976.
im Bruchzustand eine Umlagerung erfahren, falls ein statisch [3] Thürlimann B" Grob J., Lüchinger P.: «Torsion, Biegung und
unbestimmter Querschnitt vorliegt. Bei einem Kastenquer Schub in Stahlbetonträgerm). Autographie zum Fortbildungskurs
für Bauingenieure, Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH
schnitt (Bild 1) werden die elastisch ermittelten Querbiege
Zürich, April 1975.
momente in den Stegen relativ abgebaut, bis sich im Bruch
[4] Grob J., Thürlimann B,: «Bruchwiderstand und Bemessung von
zustand ein Mechanismus in Querrichtung mit Gelenken an den
Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Erläuterungen zur Richt
oberen Enden der beiden Stege und in Plattenmitte ausgebildet linie 34 der Norm SIA 162». Schweizerische Bauzeitung, Heft 40,
hat. Selbstverständlich muss die Einleitung der Querbiege 1976.
momente aus der Platte in die Stege konstruktiv einwandfrei [5] Kaufmann J., Menn C.: <<Versuche über Schub bei Querbiegung»,
gewährleistet sein. Versuchsbericht Nr. 7201-1, Institut für Baustatik und Konstruk
tion, ETH Zürich, Dezember 1976, Birkhäuser Verlag, Basel und
Die Bemessungsgleichung (20) wurde, wie bereits im
Stuttgart.
Abschnitt «Vergleich mit VersuchsresuItaten» angedeutet, nur
[6] Kupfer H" Ewald G.: «Überlagerung von Scheibenschub und Plat
für einen konstanten Zustand über eine kurze Trägerlänge
tenbiegung im Spannbetonbrückenbam). Institut für Massivbau der
hergeleitet. Der Bruchmechanismus muss sich aber über eine Technischen Universität München, interner Versuchsbericht, De
grössere Länge erstrecken, so dass auch hier ein gewisser Aus- zember 1973 (Veröffentlichung in Vorbereitung).
4
