Schöne Fragen aus der Geometrie: Ein interaktiver Überblick über gelöste und noch offene Probleme

240 Pages·2020·37.019 MB·German

by  Jürgen Bokowski

Jürgen Bokowski
Schöne Fragen
aus der
Geometrie
Ein interaktiver Überblick
über gelöste und noch offene
Probleme
Schöne Fragen aus der Geometrie
Jürgen Bokowski
Schöne Fragen
aus der
Geometrie
Ein interaktiver Überblick
über gelöste und noch offene
Probleme
Jürgen Bokowski
Fachbereich Mathematik
Technische Universität Darmstadt
Darmstadt, Deutschland
ISBN 978-3-662-61824-0 ISBN 978-3-662-61825-7 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-61825-7
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Vorwort
Auf die Frage, was ich beruflich mache, mo¨chte ich gerne ausfu¨hrlich antworten, aber
mein Gegenu¨ber hat in der Regel nur die Schulmathematik als mathematisches Hinter-
grundwissen. Besonders bei interessiertem Nachfragen, mo¨chte ich gerne mehr u¨ber of-
fene Fragen in der Geometrie berichten, ohne den Gespra¨chsstoff fachspezifisch werden
zulassen.DieserWunschkannalsmeinAusgangspunktangesehenwerden,einigeKapi-
telu¨berforschungsrelevanteFrageninderMathematikaufzuschreibenmitdemZiel,dass
fachfremde Personen sie verstehen ko¨nnen. Natu¨rlich bleiben die Aussagen auch fu¨r an
derMathematikbegeisterteLeserrelevant.ZuvielenAspektenmathematischerErkla¨run-
genhabeichModelleangefertigt.Sieunterstu¨tzendenEinstiegindieWeltderGeometrie.
ZumTextfindendieLeserzahlreicheBilderundoftwirddasVersta¨ndnisderdargestell-
tenZeichnungenundModellezusa¨tzlichdurchFilmeaufYouTubegefo¨rdert.Sowieein
ZeitungsleserausvielenBereichenohneSpezialwissenInformationenaufnimmt,wu¨nsche
ichmir,dassvieleLesergroßeTeiledesTextesverstehen,wobeisiesichsofu¨hlensollten,
wiesichZoobesucheranTierenerfreuen,diesieerstmaligsehen.MeinWunsch,Teileder
Geometrie versta¨ndlich erkla¨rt zu haben, mag nicht immer in Erfu¨llung gehen, aber ich
habe jedenfalls versucht, das Niveau niedrig zu halten durch Verzicht auf Beweise und
durchUnterstu¨tzungdurchvieleZeichnungen,ModelleundFilme.
Darmstadt,Mai2020 Ju¨rgenBokowski
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Danksagung
DiefastdreißigmathematischmotiviertenKeramik-ModelledesAutorswurdenu¨bervie-
leJahrevomAutorselbstimTo¨pferateliervonGabrielaHeininWiesbadengefertigt.Ihr
gebu¨hrt mein herzlicher Dank fu¨r die stete beratende Unterstu¨tzung, um meine mathe-
matischen Ideen zur Form, eine Keramikversion werden zu lassen. Der Wechsel von der
sonstigenFertigungvonObjektenderTeilnehmerandenTo¨pferkursenvonGabrielaHein
zu den ihr ungewo¨hnlichen Formen aus der Mathematik fu¨hrte in der Anfangsphase bis
hinzumletztenModellimmerwiederzuStreitgespra¨chenvonderArtDasgehtsonicht
bis zum gefeierten Ergebnis: Es gab beim Brennen keine Probleme. Fu¨r die mir dadurch
ermo¨glichtenAusstellungenderModelleinDarmstadt,Ungarn,O¨sterreichundSlowenien
undvorallemfu¨rdieVerwendungderModelleindieserMonografiedankeichihraußer-
ordentlichherzlich.
Fu¨rdiegewissenhafteDurchsichtdesgesamtenTextesmitihremmathematischenHinter-
grundwissen danke ich sehr herzlich meiner ehemaligen Doktorandin Frau Dr. Susanne
Mock. Herzlichen Dank lieber Leonhard fu¨r die Hilfe bei der Produktion einiger Filme
mithilfe der komplexen Software Blender. Deine kompetente Unterstu¨tzung hat mir viel
Zeiterspart.Diesta¨ndigeBegleitungwa¨hrendderEntstehungdesBuchesdurchFrauDr.
Annika Denkert und spa¨ter auch durch Frau Janina Krieger war mir eine sehr hilfreiche
Unterstu¨tzung bei der Copyrightproblematik und bei allen weiteren Aspekten, die zu ei-
nemerfolgreichenGelingendesManuskriptesfu¨hrten.
Ju¨rgenBokowski
ix
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung.......................................................... 1
1.1 AnwenwendetsichdasBuch? .................................... 1
1.2 HilfreicheSoftwarezumVersta¨ndnis ............................... 5
1.2.1 DiedynamischeZeichensoftware:Cinderella.................. 6
1.2.2 Die3-D-Software:Blender ................................. 7
1.2.3 DasProgrammsystemfu¨rmathematischeGruppen:GAP........ 9
1.3 WelcheThematikenwerdenbehandelt? ............................. 9
1.3.1 Punkt-Geraden-Konfigurationen............................. 9
1.3.2 ZellzerlegtegeschlosseneFla¨chen ........................... 12
1.3.3 PlatonischeKo¨rperundAnaloga ............................ 14
1.3.4 Die3-Spha¨rezerlegtinDu¨rer-Polyeder....................... 16
1.3.5 SymmetrienundPermutationsgruppen ....................... 18
1.3.6 ArchitekturundMathematik................................ 19
1.3.7 Regula¨reKarten .......................................... 21
1.3.8 Spha¨rensysteme .......................................... 23
1.3.9 Integralgeometrie ......................................... 25
1.4 WelcheThemenwerdennichtbehandelt?............................ 26
1.5 ZudenKeramikmodellen......................................... 27
Literatur............................................................ 30
2 Punkt-Geraden-Konfigurationen...................................... 31
2.1 ZurProblematikdesFernsehsenders................................ 31
2.2 VonFelixKleinzurGru¨nbaum-Rigby-Konfiguration.................. 33
2.3 Punkt-Geraden-Konfigurationen ................................... 39
2.4 Kleine(n )-Konfigurationen ...................................... 40
4
2.5 KonstruktionvonKonfigurationsfamilien............................ 48
2.6 Einedreiecksfreie(40 )-Konfiguration ............................. 51
4
2.7 FehlerhafteKonfigurationen....................................... 57
2.8 Gibteseine(n )-Konfigurationfu¨rn<48? ......................... 58
5
2.9 VerbindungzuralgebraischenGeometrie............................ 59
2.10 FloraleKonfigurationen .......................................... 61
xi
xii Inhaltsverzeichnis
2.11 (n )-Konfigurationen ............................................ 62
5
Literatur............................................................ 65
3 ZellzerlegtegeschlosseneFla¨chen ..................................... 67
3.1 InderTopologiespielenAbsta¨ndekeineRolle ....................... 67
3.2 DerKlassifikationssatzfu¨rgeschlosseneFla¨chen ..................... 69
3.2.1 DieSpha¨re............................................... 69
3.2.2 DerTorus................................................ 71
3.2.3 DieSpha¨remitendlichvielenHenkeln ....................... 78
3.2.4 DasMo¨bius-Band......................................... 82
3.2.5 DieprojektiveEbene ...................................... 83
3.2.6 DieKlein’scheFlasche .................................... 85
3.2.7 DieprojektiveEbenemitendlichvielenHenkeln............... 88
3.3 DieGeschichteeinesModells ..................................... 88
Literatur............................................................ 93
4 PlatonischeKo¨rperundAnaloga...................................... 95
4.1 PlatonischeKo¨rper .............................................. 96
4.2 Schlegel-Diagramme............................................. 101
4.3 ArchimedischeKo¨rper ........................................... 101
4.4 DreidimensionalesSogo-Spiel..................................... 106
4.5 VierdimensionalesSogo-Spiel..................................... 108
4.6 DervierdimensionaleWu¨rfel...................................... 110
4.7 VomTetraederzur3-Spha¨re....................................... 111
4.8 Zellzerlegungder3-Spha¨re ...................................... 112
4.9 AnalogazudenplatonischenKo¨rperninho¨herenDimensionen ......... 114
4.9.1 Dasn-dimensionaleSimplex................................ 115
4.9.2 Dern-dimensionaleWu¨rfel................................. 116
4.9.3 Dasn-dimensionaleKreuzpolytop ........................... 117
4.9.4 DerSonderfallderDimension4............................. 117
4.9.5 Das24-Zell .............................................. 118
4.9.6 Das120-Zell ............................................. 119
4.9.7 Das600-Zell ............................................. 121
4.10 Gibtesdas240-ZellalskonvexesPolyeder? ......................... 122
Literatur............................................................ 125
5 Die3-Spha¨rezerlegtinDu¨rer-Polyeder ................................ 127
5.1 DerKupferstichMelencholiaIvonDu¨rer ........................... 127
5.2 DiedreidimensionaleSpha¨re ...................................... 131
5.3 Keramikmodellmitfu¨nfverheftetenDu¨rer-Polyedern ................. 133
5.4 DieVerklebungbeiderVolltori .................................... 134
5.5 GibteseinkonvexesPolyedermitzehnDu¨rer-Polyeder-Facetten?....... 137
5.6 PolyedermitnureinemFacettentyp ................................ 138
Literatur............................................................ 139
Inhaltsverzeichnis xiii
6 SymmetrienundPermutationsgruppen................................ 141
6.1 DieSymmetriegruppedesregula¨renFu¨nfecks........................ 141
6.2 DieSymmetriegruppedesregula¨renTetraeders....................... 144
6.3 DieSymmetriegruppedesdreidimensionalenWu¨rfels................. 147
6.4 DieFahneeinerzellzerlegtengeschlossenenFla¨che................... 150
6.5 Petrie-Polygone................................................. 150
6.6 DieSymmetriegruppedesOktaeders ............................... 150
6.7 DieSymmetriegruppevonIkosaederundDodekaeder................. 153
6.8 WeitereBegriffederGruppentheorie ............................... 154
Literatur............................................................ 154
7 ArchitekturundMathematik......................................... 155
7.1 DasNexusNetworkJournal....................................... 155
7.2 Minimalfla¨cheninderArchitektur ................................. 156
7.3 MessestandentwurfderArchitekten ................................ 158
Literatur............................................................ 161
8 Regula¨reKarten .................................................... 163
8.1 Ausgangspunktfu¨rregula¨reKarten:dieplatonischenKo¨rper ........... 163
8.2 KombinatorischeListenregula¨rerKarten............................ 168
8.3 DurchschnittsfreietopologischeRealisationenregula¨rerKarten ......... 169
8.4 Dieregula¨reKarte 3,7 vonFelixKlein........................... 171
8
{ }
8.5 Dieregula¨reKarte 3,8 vonWalthervonDyck..................... 173
6
{ }
8.6 Dieregula¨reKarte 3,8 vonKleinundFricke ..................... 177
12
{ }
8.7 Dieregula¨renKartenvonHaroldScottMacDonaldCoxeterundAlicia
BooleStott ..................................................... 178
8.8 Dieregula¨reKarte 3,7 vonAdolfHurwitz ....................... 180
18
{ }
8.9 Hurwitz-Polyeder(3,7) mitgeometrischerSymmetrie?.............. 185
18
8.9.1 EsgibtkeinegeometrischeSymmetriederOrdnung9 .......... 188
8.9.2 ArgumentegegeneinegeometrischeSymmetriederOrdnung7 .. 188
8.9.3 EsgibtkeinegeometrischeSymmetriederOrdnung3 .......... 195
8.9.4 ArgumentegegeneinegeometrischeSymmetriederOrdnung2 .. 197
8.9.5 FazitnachfehlgeschlagenerSymmetriesuche.................. 200
Literatur............................................................ 206
9 Spha¨rensysteme..................................................... 209
9.1 ErsteBeispielabbildungen ........................................ 209
9.2 WarumstudierenwirstattPunktmengenauchSpha¨rensysteme?......... 212
9.3 Spha¨rensystemeaufderdreidimensionalenKugel .................... 213
9.4 Pra¨zisionderDefinitioneinesSpha¨rensystems ....................... 215
9.5 Einungelo¨stesProblemfu¨rSpha¨rensysteme ......................... 217
Literatur............................................................ 220