Table Of ContentFortdruck des Berichtes P-7/77
der internationalen Vereinigung für Brückenbau und Hochbau
ISBN978-3-7643-0965-7 ISBN978-3-0348-5917-2(eBook)
DOI10.1007/978-3-0348-5917-2
© SpringerBaselAG 1977
UrsprünglicherschienenbeiBirkhäuserVerlagBaselundStuttgart 1977.
lASSE PROCEEDINGS P-7/77
Schnittkraftumlagerung in Verbundkonstruktionen
Moment Redistribution in Composite Structures
Redistribution des efforts interieurs dans les constructions mixtes
Werner HITZ
dipl, Ing. ETH
Institutfür Baustatik und Konstruktion, ETH
Zürich, Schweiz
ZUSAMMENFASSUNG
Der Autor behandelt ein Verfahren zur raschen Abschätzung der Schnittkraftumlagerung
infolge Kriechen und Schwinden in statisch unbestimmten Verbundkonstruktionen. Auf die
AngabegeschlossenerAusdrückewird bewusstverzichtet;dieaufgezeigte Methodebeschränkt
sich vielmehr auf einen leicht kontrollierbaren, iterativen Rechenablauf. Sie ist für einen ver
einfachten Bauvorgang auf den beidseitig eingespannten Balken angewendet.
Die Ausweitung auf anderestatisch unbestimmte Systeme sowie eine Änderung im zeitlichen
Ablauf des Bauvorgangs ist jedoch leicht möglich. Ausschliessliche Querschnitts- oder
Systemumlagerung sind Spezialfälle des vorliegenden Verfahrens. Die angegebenen For
meln lassen sich entsprechend vereinfachen.
SUMMARY
This paper describes an approximate procedure for the analysis of the moment redistribution
due to creep and shrinkage of concrete in statically indeterminate composite structures.
It was notintended to give closed expressions butto explain the iterative procedure - which
iseasyto check- applied on asimple span beam built in at both ends.
The application of the procedure to other statically indeterminate systems and to changes in
the execution process with respect to time is easily possible. Redistribution of forces in the
statical system or in the cross section alone are special cases of the proposed procedure.
The corresponding equations can easily de derived.
RI:SUMI:
L'article präsente une rnethode pour une estimation rapide de la redistribution des efforts
intärieurs due au retrait et au fluage du beton dans les constructions mixtes hyperstatiques.
a a
La mäthode consiste en un calcul iteratif, faeile vörlfler, Elle est appliquable une poutre
simple encastree desdeux cötes,
a
11 est facile d'appliquer ces formules d'autres svstemes hyperstatiques ou de changer I'ordre
des phases d'execution, Lesformules de la mäthode proposäe peuvent ätre simplifiees dans
lecasspecial de laredistribution seule desefforts dans lasection ou dans lesvsterne statique.
2 lASSE PROCEEDINGS P-7/77
1. EINLEITUNG
Im Rahmen der statischen Berechnung von Verbundkonstruktionen aus Beton-Fertig
teilen bzw. Stahlträgern mit Ortbeton. sind für Spannungs- und Bruchsicherheits
nachweise die Schnittkräfte infolge Kriechen und Schwinden für die massgebenden
Lastfälle zu bestimmen. Insbesondere interessieren - zum Beispiel bei Spannbeton
brücken aus vorfabrizierten Trägern mit nachträglich ergänzter Fahrbahnplatte
die Zwängungsmomente über dem Auflager. Diese erlauben die Ermittlung der schlaf
fen Bewehrung oben und unten im Querschnitt über dem Auflager.
Die "wirklichkeitsnahe" - oder zutreffender. "rechnerisch genaue" - Erfassung die
ser Schnittkräfte kann heute mit bereits vorhandenen Computer-Programmen durch
geführt werden. Die näherungsweise Ueberprüfung der aus diesen Berechnungen re
sultierenden Ergebnisse ist jedoch notwendig. Im übrigen ist der Einsatz solcher
Programme während der Vorprojektphase fraglich. eine kurze. grobe Abschätzung ist
einer langwierigen. aufwendigen Berechnung vorzuziehen.
Zu diesem Zweck wurde ein einfaches. übersichtliches Verfahren entwickelt. welches
die rasche Abschätzung der Schnittkraftumlagerung erlaubt. Die Einsatzmöglichkei
ten des Verfahrens erstrecken sich auf folgende. praktisch bedeutsame Fälle für
Stahlbeton- und Stahlträger-Verbundkonstruktionen:
• Statisch bestimmte Systeme
- Querschnittsergänzung
• Statisch unbestimmte Systeme
- ausschliessliche Systemänderung
- gleichzeitige Systemänderung und Querschnittsergänzung
- Systemänderung mit späterer Querschnittsergänzung
Das Verfahren ist hergeleitet für den allgemeinen Fall der gleichzeitigen System
änderung und Querschnittsergänzung: Für die restlichen Fälle sind die angegebenen
Ausdrücke jedoch leicht übertragbar.
2. GRUNDLAGEN UND ANNAHMEN
Der Rechenaufwand und die Genauigkeit der Ergebnisse sollen in vernünftigemVer
hältnis stehen zu den recht unsicheren Ausgangswerten wie Grösse und Verlauf der
Kriech- bzw. Schwinddehnungen. Der Berechnung sei deshalb folgender vereinfach
ter Bauvorgang zugrunde gelegt (Abb. 1):
Abb. 1 Längsschnitt
lASSE PROCEEDINGS P-7/77 3
Im Zeitpunkt to erfolgt die Herstellung der vorfabrizierten Träger. Diese werden
montiert und im Zeitpunkt t1 durch eine Druckplatte aus Ortbeton ergänzt [Quer
schnittsänderungl. Gleichzeitig werden die Fugen zwischen den Längsträgern ge
schlossen [Systemänderungl.
Als Resultate interessieren in erster Linie die Schnittkräfte aus ständigen
Lasten im Zeitpunkt t '
oo
Querschnittswerte, Materialkennwerte
F Fläche
I Trägheitsmoment
S Schwerpunkt
Teil b: Fb, Eb.
Teil B: F E I
B, B B
Teil B (0 F F ·d2
~b b b
Ü, E S F , y I
B B B
d
e ; , I I +F 'e2+ü,'F ' [d-el2
1+_1_ B B b
Abb. 2 Querschnitt ü"S
Das Eigenträgheitsmoment Ib der Druckplatte wird vernachlässigt und die E-Moduln
EB und Eb zeitlich konstant angenommen. Ebenso bleiben die Untersuchungen auf ein
reine~ Betontragwerk beschränkt. Diese Annahme führt nach [4] und [5] auf zu gros
se Schnittkräfte, da die Bewehrung das Kriechvermögen des Betons behindert. Bei
kleinem Bewehrungsgehalt ist diese Behinderung für die angestrebte Genauigkeit je
doch ohne Bedeutung.
Für die Kriechfunktion wird der Ansatz von Dischinger zugrunde gelegt. Ein Ansatz,
der den technologischen Gegebenheiten besser entspricht [Ansatz von Rüschl, ist
im Anhang kurz behandelt.
3. SCHNITTKRAFTUMLAGERUNG MIT KRIECHEN DER UMLAGERUNGSKRAEFTE
Für die Bestimmung der Umlagerungskräfte [~Nb' ~Nb' ~NB' etc.l wird ein Ansatz
mit Differenzengleichungen gewählt [7]. Dazu ist der Kriech- bzw. Schwindablauf
;*;
in n gleiche Intervalle zu unterteilen. Die Kriechzahl für ein Intervall wird zu
~~ ~Es ~s ~
das Schwindmass zu ; • und Es sind die nach der Systemänderung
und Querschnittsergänzung noch zu erwartenden Restkriechzahlen bzw. Restschwind
masse für Platte und Träger. Der gesamte Betrag der Umlagerungskräfte setzt sich
aus zwei Antei len zusammen, einem aus Querschnittsumlagerung und einem aus System
umlagerung [Abb. 3l.
4 IABSE PROCEEDINGS P-7/77
Querschnitt Schnittkräfte Verformungen
MSb !::i
~ 'I
-.. -.. ---- "---1
Nb !::iNb MJb \\
\
+s ~s )~s
_ .- --
NS !::iNS !::iNS
a) b) c)
~
Aob. 3 Verformungen und a) Zu Beginn eines Intervall-Schrittes
Schnittkräfte vorhandene Schnittkräfte
b) Durch Querschnittsumlagerung erzeugt
Schnittkräfte (primäre Kriech- und
Schwindumlagerung)
c) Durch Systemumlagerung erzeugte Schn
kräfte (sekundäre Kriech- und Schwin
lagerung)
3.1 Querschnittsumlagerung
Bei genügend feiner Aufteilung des Kriechablaufes wachsen die Umlagerungskrä
im betrachteten Intervall i linear von Null auf den Endwert ~Nbi bzw ~NBi un
~MBi an. Aus diesem Grunde rechnet man mit einem an den Kriechverformungen m
wirkenden. mittleren Antei l von O.5·~Nbi bzw. O.5·~NBi und O.5·~MBi' Wie Abb
und Abb. 3 zu entnehmen ist. gelten dann für die Verformungen am Balkeneleme
der Länge ds während eines Intervallschrittes folgende Differenzengleichunge
Dehnung in der Platte:
Dehnung im Träger:
~ds =Ll.~,p
~B·F
B B B
Querschnittsverdrehung im Träger:
IABSE PROCEEDINGS P-7/77 5
Diese drei Gleichungen eingesetzt in die Verträglichkeitsbedingung zwischen Platte
und Träger
~ds =~ds - ~d~ "d
b B B
und in die Gleichgewichtsbedingungen
~NB + ~Nb =0
o
MB ~Nb"d
ergeben nach kurzer Rechnung die Umlagerungskraft in der Platte zu
~Nb "~<P ~<P "~<PB ~E ~E )1
= .:!. "[-N + N "ci"ß" - MB ei"Y + E "F "( -
K b b B B d b b sB Sb J
Weiter gilt im Symmetriefall für den Auflagerdrehwinkel aus einem Intervall
1/2
J~d1jJB
l!.1jJB
o
3.2 Systemumlagerung
Aus dem in Abb. 1 dargestellten durchlaufenden Balken wird ein mittleres Feld
untersucht.
Statisches System
im Zeitpunkt t und im Zeitpunkt t
o oo
~I----~
l---~1
-J J.-
-J.'-------=----.Lr
"
Das Zwängungsmoment ~X hält den aus Querschnittsumlagerung in einem Intervall
schritt resultierenden Auflagerdrehwinkel ~~B zurück (Abb. 4).
Abb. 4 Systemumlagerung
6 IABSE PROCEEDINGS P-7/77
~X wirkt amVerbundquerschnitt und ~st für den vorliegenden Symmetriefall über
die gesamte Stablänge konstant . Es verursacht den Auflagerdrehwinkel
~w =~O~O (1+0 5o~~ )
B EBoI 2 . B
Die Elastizitätsgleichung
~wB + ~~B = 0
führt nach einigen Umformungen auf das aus einem Intervall-Schritt resultieren
de Zwängungsmoment
1/2
J
EBoIBo~dWB
o
Schliesslich erzeugt ~X amVerbundträger folgende Umlagerungskräfte:
~Xo (d-e)oaoF
~Nb
I b
~NB - ~Nb
~MB ~X + ~Nbod
Damit sind alle in Abb. 3 aufgeführten Schnittkräfte bekannt.
4. PRAKTISCHES VORGEHEN BEI n INTERVALL-SCHRITTEN
Die Ausgangsschnittgrössen für den ersten Schritt zum Zeitpunkt t1 lauten N '
bo
NBo' MBo' Daraus sind nach Kapitel 3 der Reihe nach die Grössen ~Nb1' ~X1' ~NB1'
~MB1' ~Nb1' ~NB1 und ~MB1 bestimmbar. Die Ausgangsschnittgrössen für den zweiten
Schritt ergeben sich dann zu
Nb1 Nbo + ~Nb1 + ~Nb1
N N ~NB1 ~NB1
B1 Bo + +
MB1 MBo + ~MB1 + ~MB1
Nach n Schritten heisst das Ergebnis
Nbn Nbn-1 + ~Nbn + ~Nbn
NBn NBn-1 + ~NBn + ~NBn
MBn MBn-1 + ~MBn + ~MBn
...
Xn ~X1 + ~X2 + + ~Xn
Die genauere Untersuchung der Endgrössen der Umlagerungsschnittkräfte Sn(Nbn,N ,
Bn
MBn,Xn) zeigt, dass diese folgendem Gesetz gehorchen
1 n
S S + ~S' o~
n 0 1 1-p
lASSE PROCEEDINGS P-7/77 7
worin S Ausgangsschnittgrösse
o
,
lIS1 lIS2 Schnittkraftänderung im ersten, bzw. zweiten Intervall-Schritt
aus primären und sekundären Kriech- und Schwindumlagerungen
n Anzahl Intervall-Schritte
p
Dies heisst aber, dass zur Bestimmung der Schnittkräfte Sn von n Intervall-Schrit
ten nur die ersten zwei vollständig durchgeführt werden müssen. Mit den daraus
resultierenden Werten lIS1, p sowie mit So können die Endgrössen Sn ermittelt wer
den.
Die derart bestimmten Schnittkräfte führen nach Abschluss der Kriech- und Schwind
umlagerungen zum Zeitpunkt t auf die Normalspannung
oo
Nb NB MB
o = -- in der Platte und 0 = -- + __oy im Träger
b F B F I
b B B
5. FDRMELSAMMLUNG
Im folgenden sind zur Erleichterung bei praktischen Berechnungen die notwendigen
Formeln zusammengestellt. Das Integral im Ausdruck für das Zwängungsmoment lIX
wurde zu diesem Zweck für die Lastfälle
- Eigengewicht
- "Schwinden"
- Gerades Vorspannkabel
- Parabelförmiges Vorspannkabel
gelöst und in eine leicht zu handhabende Form gebracht . Für die Formeln von lINb'
lIN und lIX gelten im übrigen die Indizes des jeweiligen Intervall-Schrittes.
b
Querschnittswerte, Materialkennwerte
d
, e
1+ _1_
aoß
Kriechzahl, Schwindmass, Anzahl Intervalle
E
sB
--, lIE =---
n sB n
Ausgangsschnittgrössen für den 1. Intervall-Schritt
8 IABSE PROCEEDINGS P-7/77
Querschnittsumlagerung
K = 1 + O.5·ß~ + a·(1+0.5·ß~ l'(ß+yl
b B
1 [ a'y E.F. lJ
= _. -N 'ß~ + N 'a'ß'ß~ - M'---'ß~ + (M: - ߀
K b beB B d B b b sB sb
Systemumlagerung
1
~
1-
l l/ 2
~
n
I
Für die eingangs erwähnten vier Lastfälle gilt:
ßX = - I •[(MI+2'MIIl'ß~ +(ßNI+2'ßNIIl·(1+0.5·ß~ l'd]
3·IB·(1+0.5·ß~Bl B B B b b B
Für die Lastfälle "Gerades Vorspannkabel" und "Schwinden" sind MB und ßNb über
die Balkenlänge konstant. Es gilt M§ M§I bzw. ßN5 =ßNII und der Ausdruck für
ßX lässt sich vereinfachen zu b
IB'(1+0I .5'ß~Bl·lr-MBI ·ß~B
ßX = -
Ausgangsschnittgrössen für den 2. Intervall-Schritt (analog für den 3. Schrittl
Fb'a'(d-el
ßN -ßX'
b I
N N + ßN + ßN
b1 bo b1 b1
N N - ßN ßN
B1 Bo b1 b1
M M + (ßN + ßN l'd + ßX
B1 Bo b1 b1 1
Endschnittgrössen Sn
S steht für X, Nb' NB' MB ßS'
2
ßS1 S1 S0, ßS2' = S2 - S1' P = ßS1'
1 pn
S S + ßs·· -
n 1 1-p
0
Normalspannungen
Nb
Ob =F'
b
