Table Of ContentKarl Heinz Holst
Schnittgro6en in schiefwinkligen Briickenwiderlagern
Internal Forces in Oblique-Angled Bridge Abutments
Karl Heinz Holst
SchnittgroRen
in schiefwinkligen Briickenwiderlagern
unter Beriicksichtigung der Schubverformungen
in den Wandbauteilen
Berechnungstafeln
Internal Forces
in Oblique-Angled Bridge Abutments
Taking into Consideration the Shear Deformations
in the Wall Elements
Calculation Tables
II
vleweg
Professor Dipl.-Ing. Karl Heinz Holst lehrt an der Fachhochschule Ltibeck
im Fachbereich Bauwesen.
Alle Rechte vorbehalten
© Springer Fachrnedien Wiesbaden 1993
Originally published by Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH. Braunchweig/Wiesbaden in 1993
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1993
Das Werk einschlieJ3lich aller seiner Teilc isi urhcberrechtlich geschtilzt. Jede
Verwcrlung auJ3erhalb der cngen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes isi ohne
Zuslimmung des Vcrlags unzulăssig und strafbar. Das gilt insbesondere ftir
Vcrvielfăltigungen. Oberselzungen. Mikroverfilmungen und die Einspeicherung
und Verarbeitung in elektronischcn Syslcmcn.
ISBN 978-3-663-07998-9 ISBN 978-3-663-07997-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07997-2
Inhalt
1 Einfiihrung......................................... 1
2 Das Berechnungsverfahren ........................... 2
3 Auswertung der numerischen Rechenergebnisse .... . . . .. 7
4 Berechnungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18
Literaturverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32
Tafeln der Schnittkraftbeiwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77
Tabelleni.ibersicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78
Contents
1 Introduction........................................ 43
2 The Method of Calculation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44
3 Evaluation of Results of Numerical Calculations ......... 49
4 Calculation Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53
Tables of Coefficients of Plate Forces and Bending
Moments ........................................... 77
List of Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78
Vorwort
Nunmehr liegen auch die Ergebnisse der Auswertungen der Belastungsfălle fiir
schiefwinklige Widerlagerformen vor. Die hieraus gewonnenen Erkenntnisse konnten
wiederum in Berechnungshilfen fiir die Ermittlung der Schnittkrăfte in schiefwinkligen
Briickenwiderlagern umgesetzt werden. Der Winkel der Briickenschiefe beeinfluBt die
GroBe der Schnittkrăfte in hohem MaBe, wobei wiederum groBe Scheibenzugkrăfte
einen erheblichen EinfluB auf die Bemessungsschnittkrăfte ausiiben.
Die vorgelegten Ergebnisse sind Bestandteil meiner anwendungsbezogenen For
schungsarbeiten iiber das Tragverhalten von Widerlagerbauwerken, die durch das
Kultusministerium des Landes Schleswig-Holstein gefOrdert worden sind.
Meinem Partner, Michael Pafivogel, danke ich fiir die Mitarbeit, die sich auf die
Bearbeitung des FEM-Programms und der Durchfiihrung der EDV-Berechnung
erstreckte. Klaus Bernhardt iibernahm die Erstellung der Plotterdarstellungen der
Diagramme, Ioachim Sierig fertigte die Ubersetzung in die englische Sprache an; beiden
Herren sei herzlich gedankt.
Dem Vieweg-Verlag sei fiir gute Zusammenarbeit und eine sorgfăltige Herstellung des
Buches gedankt.
Liibeck, im Friihjahr 1992 Karl Heinz Holst
1 Einfiihrung
1.-- 1 r;--------
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Bild 1 schiefwinklige Widerlagerformen
In dem Buch SchnittgrăJ3en in Briickenwiderlagen [15] wurden die rechtwinkligen
Formen der Widerlager im Hinblick auf die Belastungssituation und SchnittgroBener
mittlung erlăutert. Liegt ein spitzer Winkel in der Kreuzungssituation der Verkehrswege
vor, so verlăBt die Widerlagerkonstruktion die Symmetrie und geht in die allgemeine
Form eines schiefwinkligen Widerlagers tiber. Diese unterliegt bestimmten geometri
schen Konstruktionsbedingungen, die im einzelnen in [1] genauer erlăutert sind. So
zeigt sich u.a., daB die F1tigelwănde unterschiedlich lang werden, an der stumpfen Ecke
werden sie Iănger, an der spitzen Ecke ktirzer als die der zugehorigen rechtwinkligen
Form. Durch die nun nicht mehr vorhandene System- und Belastungssymmetrie
ergeben sich verănderte Beanspruchungszustănde. Grundsătzlich ergibt sich eine
VergroBerung der Schnittkrăfte an der stumpfen Ecke. Die Verănderungen der
Wandsteifigkeiten in den vertikalen Systemecken kann aber auch soIche Umlagerungen
zur Folge haben, durch die der groBere Beanspruchungsgrad an die spitze Ecke
herangezogen wird. In den Fltigelwănden verăndern sich die vertikalen Scheibenzug
krăfte proportional zur Wandlănge, da sie im wesentIichen aus der gleichgewichts
măBigen Auflosung des Scheibenmomentes herrtihren, weIches aus den horizontalen
Scheibenzugkrăften gebildet wird. Hierdurch entstehen in den Fliigelwănden an der
spitzen Ecke im Verhăltnis groBe vertikale Scheibenzugkrăfte.
Alle so beschriebenen Schnittkraftverănderungen gegentiber der rechtwinkligen
Systemform sind vom Winkel der Schiefe abhăngig. Bei den Biegemomenten ist die
indirekt entstandene Verănderung der Systemlăngen der Plattentragwerke der verur
sachende EinfluB, die Verănderung der Scheibenkrăfte ist direkt vom Winkel abhăngig
und wird durch das Scheibentragsystem verursacht.
Im folgenden sind Kurventafeln fUr die Beiwerte der Schnittkriifte dargestellt und
erlăutert, die die Ermittlung der SchnittgroBen in schiefwinkligen Widerlagern fUr die
Systemwinkel von 75°, 60° und 45° fUr die maf3gebenden Belastungsfălle ermoglichen.
1
2 Das Berechnungsverfahren
2.1 AlIgemeines
Die Ermittlung der SchnittgroBen erfolgte nach der gleichen Methode wie sie im oben
genannten Buch erlăutert wurden. Es wurde die Finite-Elemente-Methode angewendet,
bei der das System durch einzelne, ebene, dicke Schalen ersetzt wurde. Ais Material
wurde ein linear elastischer Werkstoff mit der Querdehnzahl ~ = Og ewăhlt.
2.2 Die Berechnungsgrundlagen
Fur die Berechnung des schiefwinkligen Kastenwiderlagers gel ten die gleichen
Grundlagen wie bei der Behandlung der rechtwinkligen Form. Fur die Biegeeinflusse
der Plattenbauteile gel ten die Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie mit der
Erweiterung nach Reissner [3; 4; 6], nach der die Kirchhoffsche Normalenhypothese
fallengelassen wird. Fur die Berucksichtigung der Verformungseinflusse der Scheiben
gelten die Voraussetzungen des ebenen Spannungszustandes der Scheibe. Uber
Einzelheiten dieser Berechnungsansătze siehe [15].
2.3 Besondere Angaben zur Durchfiihrung der Berechnung
Fur die DurchfUhrung der Berechnung wurden die einzelnen Wănde des Tragwerkes
durch dickwandige ebene Schalen idealisiert. Die Dicke der Fliigelwănde betrăgt
wieder, wie beim rechtwinkligen Widerlager, 85 % derjenigen der Widerlagerwand,
Abweichungen sind innerhalb einer Toleranz von ± 10 % zulăssig.
Ais Plattenelement wurde das gleiche Element aus der Berechnung des rechtwinkligen
Widerlagers gewăhlt, es basiert auf dem Hybrid-Verfahren mit Ansatzfunktionen fUr
die Spannungen nach [7]. Dieses Element ist in [5] genauer beschrieben worden. Ais
Scheibenelement gelangte das Rechteckelement nach Pian und Sumahari [14] zur
Anwendung.
Im folgenden sei das Verfahren zur Herleitung der speziellen Ansătze dieses Elementes
beschrieben:
y
mit:
U il. Us Verschiebungen am Rond
Sa. Si Scheibenkrefte om Rond
-+----------------~--x
Dild 2 Randpunkt und Verschiebung
2
Das Element basiert auf dem Hybridverfahren mit Ansatzfunktionen fUr die Spannun
gen. Die Lasungsansătze werden wieder nach dem Prinzip vom Minimum der
Komplementărenergie erarbeitet. HierfUr seien die erforderlichen Ansătze in Ergăn
zung zu [5] im folgenden dargestellt:
FUr eine Scheibe, bei der auf dem gesamten Rand Verschiebungen und im Innern
Spannunsg en vorgegeben sind, IăBt sich die Komplementărenergie im Koordinatensy
stern li, nach Bild 2 in folgender Form schreiben:
(1)
Hierin bedeuten:
P SchnittgraBenvektor im Innern, Px, y) = {Sxx ' Syy; Sxy 1T
E Elastizitătsmatrix fUr isotropes Material
j
E.t 1 111
E=-- Il
1-112 ~-r---r~I-;-1l
mit E Elastizitătsmodul
t Dicke der Scheibe
Il Querkontraktionszahl
T SchnittgraBenvektor auf dem Rand, T = {S_, S~l T
u s
u vorgegebener Randverschiebungsvektor,o = {u -, u ~l T
u s
s
mit u îi', u s Verschiebungen in Richtung der Achsen li,
FUr die Diskretisierung zur Erlangung der Finite-Elemente-Darstellungen wird fUr ~
der folgende, dem Plattenelement analoge Ansatz gewăhlt:
Z· A (2)
1
mit Zi Vektor der Ansatzfunktionen Qi im Innern
ni einzelne Ansatzfunktionen der Elementflăche
ni = {Sxx, i Syy, i Sxy, ilT
A Vektor der freien Ansatzkoeffizienten
3
Fur den SchnittgroBenvektor am Rand gilt:
T= Zr' A
(3)
Zr ist mit Zi festgelegt.
Den Răndern wird ein Verschiebungsfeld zugewiesen, das in Abhăngigkeit von den
Knotenverschiebungen gegeben ist:
u = y. A (4)
=
mit A Vektor der Knotenverschiebungen
y = Vektor der Ansatzfunktionen fUr die Randverschiebungen
Durch Einsetzen von (2), (3) und (4) in (1) ergibt sich:
=.!...
II AT·k.A_AT·I·A (5)
e 2
Wendet man das Prinzip der Komplementărenergie auf (5) an, so gilt:
alle
O=--=k· A -1· A
a AT
oder
A =k-I. 1· A (6)
Eingesetzt in (5) ergibt sich dann
1 T
lle=-' A ·K·A (7)
2
mit der Steifigkeitsmatrix:
f
und k = zŢ [ErI. Zi" dA
A
I=fz~Y'ds
Das verwendete Element ist ein Rechteckelement mit den Elementknoten CD, @, Q)
und @) und der FIăche a. Jeder Knoten hat u- und v-Verschiebungsfreiheitsgrade. Fur
die Randverschiebung wird eine lineare Verteilung angenommen, also z.B. die
Verschiebung up des Punktes P am Rand @-Q).
y,v
-1------------_ X,U
DUd 3 Element und zugehtirige Verschiebung
4
FUr den Spannungsansatz im Innern wurde folgender Ansatz gewăhlt:
Al
Sxx A2
=r~l
Syy A3 (2)
A4
Sxy
A5
P z· A
1
Yl
Y3
_._.-
/:1
~
BUd 4 Bezugssystem
Da~ Bezugssystem fUr die Berechnung ergibt sich nach Bild 4. Die GroBe der einzelnen
Teilsysteme, die der Berechnung zugrunde gelegt worden sind, waren von den
folgenden Parametern abhăngig:
Ex =Ixlly; EZI =Iz/ly; EZ2=lz/ly
Die KenngroBen der Parameter waren
Ex = 1,2,3,4 und lOz = 0,50; 0,75; 1,00; 1,25,
wobei sich die letzteren Werte auf das zugehorige rechtwinklige Widerlager beziehen,
also nur die Grundwerte darstellen. FUr das schiefwinklige Widerlager ergeben sich
diese Parameter in Abhăngigkeit von den tatsăchlichen FIUgelwandlăngen bei vorhan
denem Winkel < 90°. Nach [1] betrăgt das UnterschiedsmaB der FIUgelwandlăngen 21:1
l:1=b/tana
mit b Breite der Kappe im FIUgelwandbereich.
Setzt man fUr b die Regelkappenbreite von 2,0 m ein, so ergeben sich fUr die
verwendeten Winkel von 75°, 60° und 45° die nachstehend ausgewiesenen, verzerrten
Seitenverhăltnisse der Fliigelwănde, wenn die Hohe der Widerlagerwand mit 4,80 m
festgeschrieben bleibt.
5
Description:Professor Dipl.-Ing. Karl Heinz Holst lehrt an der Fachhochschule Lübeck im Studiengang Bauingenieurwesen
