Table Of Contentv
v v
-
. . .
ar arr uac !ii2..\.vof 1 ff cen1
anyff' az y
UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE
Knii'tovna mat fyz. fakulty
M�tematir.kP 'ldd<>lení
sig.
I?
Boris Pavlovič Děmidovič
Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy
Originally published in Russian under the title "Collection of Prohl�s
and Exercises in Mathematical Analysis" by B.P. Demidovich, Moscow, Nauka, 1990.
AU rights reserved.
Z ruského originálu přeložili Miroslav Rozložník. a Miroslav Tůma.
Grafická úprava MarekJodas
Odborná korektura Eva Murtinová
Odpovědný redaktor Karel Kuna
Technická redaktorka Alena Suchánková
Vydalo nakladatelství Fragment, Humpolecká 1503, Havlíčkův Brod,
jako svou 631. publikaci. 1. vydání, 2003.
Sazbu zhotovil Fragment DTP, s. r. o.
Vytiskla Centa, spol. s r. o., Brno.
České vydání© Fragment, 2003
Translation © Miroslav Rozložník, Miroslav Tůma, 2003
Typo © Marek Jodas, 2003
Všechna práva vyhrazena. Žádná část této publikace nesmí
být rozšiřována bez písemného souhlasu majitelů práv.
Kontaktní adresa: Radiová 1, 102 27 Praha 10-Hostivař
e-mail: [email protected].:
h ttp:/Avv,rw .fragment.cz
ISBN 80-7200-587-1 (I. vydání, 2003)
OBSAH
KAPTIOLAI- Úvoddo m atemaatniaclkýéz y
§L Reáčlíns.ál a. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .9. . .. .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2.L impiotsaloup.n.o,..s .d. ............,....,.. .,.... ................. 14
§3.P ojfuenmk c.e. .................,. ...... ..,,... . .....,... ......, .. . . 26
§ .G4 rafizcnkáéz ofornněkncí.e . .,. ......,. .... ..,.. ..,... .. .., .. . 32
§5 .L imíftuan k.c.e. ....,.. .........., . ... .. . . . . . . . . 4.2 . . . .
§6 .P oužívsyámnboíl Ou .....,.. ...... .•.....,.. ........,.. ....... 62
§7 .S pojitofusntk c.e. ......,.. ............... .........,. .. . 65
§8.I nrvzenfuín kc:Feu.n kzacdea npéa rametyr .i...c.k.......,... . .. ..7.4.
§9 .S tjneoměrspnojiát ofusntk c,.e . ....,.. ..,... ... ....,. ... ... .. . .7 .7 . .
§1 0.i, �unkciroovnn.iic.le n .,í. ... .,. .•.,.. .. .. ... .. ... . ... ... .. ..,. ....7 .9... . .
KAPITOlLi-A D iferenpcočifeáutln nkíc ír eJáelpdnrnéoé m ěnné
§l.De rivacef.u.n.k.c.e. .,..,.. ...... .,.. ......,. ... ............8.1. ............
§2.Der ivaicnev efur1ztnlu;eí_ Derivaczea dafupnnaékrac mee tDreircikivypma.lc iecfu intkncí,e 9 ,6
§3 .G eomeýtv rýzinckadme riv.a.,c. .e . . . . . . . . . . . . .9 8. . . . . . . .
§4.D iferendál.fu.n.k.c.e. .,.. ..,.. ..,... ... ........... ,....1.0.1. ...
§5 .D erivacaed iferevnycšišřááídlců.yh . ....,.. ..,.. . ,. . . . . . . I.0 4. . . . . . . . .
•§ 6 .R olleLaogvraa,n gaeC ovaau chvyěotv.aa, , . ..,.. ..., 112
f7 .M onotfuónnkncíNe e.r ovn.o.s.ti.. ............... .,. ... ... . ... 1.1 7. . . . . . . . . . .
§8,K onveakx onník áfuvnnkícl en.fl ebxondí.y ..... .. .. .... . . . .... ......1.2.0. ...
§9.Vý pOCelti mpiotm ocí ťHosppriatvai•ld ol,va a . . . . . . • . •1 2.2
§IOTa,y lorova.v.ě.t..a.. .. ,.., .. ....,.. ......,... .... . 126
§l ELx trféimmyk Mcaex.i maám linníi mháodlnnoífut nyk c.e. ....,.. . .,... .. . l3 0
§1 2.V yšetřpon'ivbáěnhíu fu.n.k.c.e. ..,..... ...... ........,.. ......,... ....1.. 3 .4. ..
§1 3Ú.l onhaym aximaum mi nimfuumn k.c.e. ............,. ... ... . . . 1.3 7. .
§.1 4D.o tykkřyi vOeskk.u lkaručnžníi {cker užknřiciev) ,Eos vtoil.u.t.a. ..,. ...,,. .,. ,I4 0. . . .
5·1Psř.i bližnéfe.š.e...n..í.r,..o ..,v. n.i.c. ................,... .. .......1.41. ...
KAPITIOl-LlNA e uričnitteýg rál
§1 .N ejjednnoeduurščšiít é .i.n.t.e.g.,.r. .á..l..y.. .,.. ....,... .. , .. .......1.4.3. ...
§2 .I ntegrorvaácniío nálnífucnhk cl.ío. ,m. e .n.ý. c.,h. .,. .,.. ......... ..,. .1..5 ..3. ..
§3 .I n&trerováfunníks co íd mocnin,a. m.,i. ...,.. ......., . ... . . . . . 1.5 7. . . . . . . . . . . . . .
§4I.n gtreovgáonníi ometfurnikcc.kí.ý .c.h. ,. .,. .. . ... .. .. .. . .... .... ...1 6..1 . . . . .
§5 .I ngrtoevátnría nscendefin.tmnk.íc.cí..h .. . •,. .....,. ... ... .. . . .1 6.7 . . . . . .
§ ,D6 alpšříí kilnatdegryofu v-nJknc.fí. .,. ,.. . ......,. ... ... .. 169
KAPITIOVL- AU rčiinttýe gral
§ DLe fiunričcieit nétheog .r .á,.l, ..u . ....,.. ........ .,.. ......... ..,. .......1 .7.2. .
§2 .Výpoč etu rčiitnétheogp roámlopucr íi miftuinvk.n.c.íe.. . ... , 175
§ .V 3ětyostfedn,.í .h,..o . d,..n .o.t.ě,. . .... ... .,.. .... . 184
§4.N evlasitnntíe grál ...,.. .. ..•.. ..,•. .• • 187
§ .V5 ýpoéeto bsarhouvý icnhpn loch 193
§ .Vý6 počedté lrkoyv ýicnhkn i'iv.e k. ... ... .,. ..,.. ..,.. . .. .. !96
§ .V7 ýpočoebtj etměul .e.s. ......,. .. ....,.. ....., .. ..,. , . 198
§.8V ýpočpeotv rrcohtua čpnlíocc.h,h ....2.0.0
§9 .Vý počmeotm enStoůu.řa dtněižcíe.š ._t.. ě . ....,.. .... .. 201
§1 0Ú.l ozhm ye d,aanfy izkiky..y . ,. .,. ..... .., . .,.. ... .. ... ..2 03
§1 .1P řiblmiežtnoévýd pyoč tuur ýčcihit nteg.r .á,.l. .ů. ..,... . 204
·--=--------------=,
KAPITOVL A - Řady
§1.Č íseřlandKéyr .i tkéornivae rgeknocnes třaazndnt ansmí émn .k.e.m. ......2.0.6. ......
§2 .K ritkéornivae rřgaesdon bceecn ýčmlie .n.y. ........................2..1..7.. .....
§3.O persař caed a.m i. . . . ... .. .... ... ... ... .. .. ... ... ... . .... 2...2 .2. .. .. .. . . . . .
§4.Ř adfyu nk.c .í . ... .. .. .. .. .. ... ... . . .. .. ... ... ... ... ... 2 ..2. 4 ... ... ... . .. . . . .
§5 .M ocniřnandé.y . . . . . . . . . . . .. .. .. .. ... .2. 3 .4. .. . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§6.F ourifeardo.yv. y. ....................................._..... .2..4. 4. .....
§7 .V ýposčoeutřč atdu.y . . . . . . . . . . . . .. .. .. . .. 2 ...4 .8. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§8.V ýpoučrečti itnýtcehpg ormáolscůuoí č třua d.y. .........................2..5.1. ....
§9.Ne konesčonuéč .i.n_..y . ................,.. ......·...... ... . .. ..2. 5..3. .. ... . .
§1O .S tirlviznogi'r1evc . . . . . . . . . . .. .. .. ... ... ..2. 5 ...9 ... .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1l A. proximace sppoojmioptcoýílc yhn .of mu.ún k.c .í . . . .. .. .. ..2 5..9 .. .. .. .. . . . . . . . .
KAPITOVIL- AD ,terenpcoičáfelutnn ikv ciicr ee alnpýrcohm ěnnych
§I.L imais tpao jfuintkocs.et . . . . . . . . . . .. .. .. .. ..2 6..2 . . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . .
§2.P arcdieárlinvDíai cfeer.efu nnckicá.el . . . . . . . . .. .. ... ... 2 .6.. 8 .. . .. .. . . . . . . . . . . . . .
§3.D eriviomvpálniíc fuintknc.íí c. h . . . . . . .. .. .. .. .. .. . .. 2 .7. 9 . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
§4.Z áměpnrao měnn.ý .c h. . . . . . . . . . .. .. .. .. 2..8 6.. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§5.G eometarpilcikk.éa. c.e. ...........................................,.. ...2.9 5
§6.T aylovrzúovr. e c. . . . . . . . . . . . . .. .. .. .2. 9 .9. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§7.E xtrfuénmkyvc íípc reo měn.n ý.c h. . . . . . . . .. . . . . .. . 3. 0. 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KAPITOVLI-AII ntegrálnya pz aárvaimseltér u
§I.U rčiinttée zgárvánilasyp l aér ame.t.r.u. ....:.. .............. ..............3.0.8.
§2 .N euričnitteézg árvánilasyp l aér ametru. Sktoenjvneormigěnerntnáec ge.r .á.l.ů. .3.1.2. .
§3.D eriavi anctee grnoevválnaiísn ttneígczrháá vlinůsa lp ýacrha m.et .ru .. .. .. .. 3 .1 7. . . . . .
§4.E uleirnotveygr .á .l y. . . . . . . . . . . . .. .. .. ..3 2..3 .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§5.I ntegrFáolunríir eorzvů.o.vj. .................................,.. 3..2. 6. .......
KAPITOVLIAI- IV ícerozamk ěřrinvék, onvtée graly
§l .D vojintneég r.á.l.y.. ...................................................3..2. 8
§2 .V ýpoočbestar hoilv inpnlýocch.h . ..................................3.. 3..5.. ....
§3.V ýpoočbejte tměůl .e s. . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3. 3. 7. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4.V ýpoočbestap hrůo stoprloov.cý.hc. h,. .. . . . . .. . . . . . . . . . 3. 3. 9. . . . .. . . . . . . . . . . . . .
§5.P ouždivtoíj niýncthe gvmr eáclhůa .n.i.c.e. .......,. ... ... .. ... ...3 .4 1. .
§6.T rojinnét eg.r.á.l.y. ...,. ... ... ... . . . . . . .. .. . . ... 3.4 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§7.V ýpočoebtj epmoum otcrío jinnýtcehg .r á.l .ů . .. .. .. .. .. .. . .. . . .3. 4. ..6 . . . . . . . . . . .
§8.P oužtirtoíji nnýtcehvg m reáclhůa n.i.c.e. ......................,.... ......3..4..9
§9.N evladsvtojnnatíé r oijnntée grá.l y. . . . . . . . . .. .. .. ..3 5..3 . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . .
§1O .V ícerozimnětreng.ér á.l y. . . . . . . . . . . .. .. .. .3. 5 .7. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§11K.f iviknotveég .r á.l y. . . . . . . . . . . . . . .3 6.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§12G.r eenvoěvt.aa. ...............................8. ........................... 36
§13V.y užkr-iitvík oivnýtcehgv refyá zli.ůc e. . . . . . . . . . . .. 3 .7 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§14P.l ošinnét eg.r á.l y. . . . . . . . . . . . . . . .3 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1 5S.t okeso.v.a. .v.ě.t.a. ..... .,. ... ... ... .. . . . . . . 3.7 7. . . . . . . . . . . .
§16G.a ussova-Ostvrěot.ga r .a d.s k.é .h o. . . . . . .. .. .. 3..7 .9. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§I7 .Z áklvaedkyt oarnoavlaéýt zeyop roile.e . . . . . . .. . . . . .3 8.3 . . . . . . . . . .
V 'sledk
Tajka mknoo dalšíchho matematiků, ijjásp eomu žtíuvvteaolpl mop iu l,ákmníi dhvua krát.
Poprvéto by ltoe hdkdyyj,ž s setmudo vmaatlernat ickouaPnoadlrtýubyozhl ukéo.d ,j y sžse ámm
podlen učíi jli Pné.r ojtsove eml rmádžei,s setá vsávmě ddkaelšomví ydáhnsíb írpkNyk lad11
B.P .D ěmidoviče,t entvoč kersjákatémz Sypř cier.o zepnoýmc ivtdeětamkkr u e angaut joit o
vydánína psájneíphmřo ed mluvy.
B.P .D ěmidovi(1č 9 06-19vys7t7udo)v aBlě lorusstáktuonnuíi veNrzěiktolulez.itd ke
stenrýácvyvhu čomatematviaklu ,pa kp řijmaísltv oe dokucaíhoryt mateedmaticaknéa nlýzya
Mosksetátvnsuíkn éi verzitěZ.dp eř edvnášíceneelžč tyřicleezttís ,kt ailtk ualndyidáa td ao ktora
matematických věads taslpe r ofesmatematoriemky .
Sbírúlokha,k e trnoynudí o stádov rátuek pya,tm říej zeivyh soo occee ňodvíalUžnáa p .o
prvnímvydá nív r o1c59e2 s kin ihak,n íažu tsohrr omažďmoavtaeplra iátlnál cezttís ,k ala
povzákěsladtn íu nivesrzbíirútklnyzoímatemat h i ckéa nalýSztyr.u kkntiubyhralazy v olena
natoliúskp ěšženěa ,nv dalšíci h vydáníchn evyžadovalap odstzamtěnDnéody ne.šn ídhnsoee
přitom dočkatřilan ávydácntíiv rus kéjma zsvy íccneeem ži lionemv ýtaisby klapů ř eldoože na
mnohadalš íchj azyků.
Vývojmatematik y postupnpěři nnášoív toeurm inpoojlmomeygit,iod ,ay k oncketpecreé,
obvyksjeled nodcousjaípv oazdnanČastítk ojy s.tao kuo vliviněnzá yk ladnoíb okrtyse,jer i éž
zdály býtuc elené.T os den vep sl mnéíře tý kdáfi erenciáali nrúíehgroá plončtsímu ho od erní
invariiarúrúerprneítací d iferenciáalp ur aviddeerli vjaozvyádknifaíe ,r enciáfolrneímc h
aj ejicihr úekgrtaerucéme o,ž mňoudernjíí z ápísac hápáNwntío nova-Levizbonriczeo.v a
Přestterúoo f ormaliiz sombuse cněnáS tokveěsdtoodavn ace hsy vbesěj bíí rpříkkladáuc h
ivp ovinknuýrcmazehtc ehmat iacnakléýD záeylex. i assymtpujtío mettiockdktyéser, pé oj vujícíe
matematickoýcdhv aět tvvvoíeří lm uiž iteačnpýaj reáths,oo žu čjásajstkoiotu, e olriitemn iího
přechaoTay dluo rvůzvo byrta ekcnemé,ě lcyh yvwlbě nét sbíúrlzcoma eht emaatniaclýzyk.é
Prakticzkkušáeno sutk ázažela s,b írúkalo she staBv.eP n.Dá ě midovuičmeomž ňuje
studentůmzís katp otřzenabnélo svpt oiu žaípvaárnkáílast iumac tkeéma tainaclýzyk.Iéd nes
stateo k nihat ězasšíl oupženopulaéritě . Protmoo hjuejn ío vvyéd náyninív čí, e sjkaézmy ce,jen
přivítatj akvydáon íj edznné e jlvyepsšoíckho šskboírpřílekskladký ůczk h las imactkeém atické
analýzy.
ProfeVsA.o. Zr o rič
VedoOucdíd ělmeantíe maantailcýkzéy
Katedmrace hanami aktye matiky
Moskesvtsáuktnáni ív erzita
I
,i
l
!
REÁLNFÉU NKCE
JEDNRÉE ÁLNÉ
PROMĚNNÉ
KAPITOLAI
Uvoddo m atematicyk é analýz
§ 1R.e álčníás la
1.METODMAAT EMATIICNKDÉU KKC tEo.m auyb,c hodmo kázžaenl ěij,at kvér zpleanptír ío
kažpdřéi ročzíesnnl,éso t aučkíá zžaet1:,)t ottov rzpelnapítr íno = 2I)p laa ttío-ttlovi r zení
prnoěj akpéř iročzíesnnl,épo a pkl aitp ír noá slepdřuijríocčzííe snnlé o+ 1 .
2.DEFINIŘEZCUE ČÍSELMNNtO ŽINDYv. ojmincoižr ianc iončáílsAneí alcs hn· az veřemzee m,
jsosup-llnině ánsyl epdoujdímkáíy: nI ž)á dznm án ožAi,n n eBn pír ázd2n)á ;k raažcdiéo nální
čísllepožr íá vvj ěe dznt éě chmtnoo ži3n)l iab ovčoílsznml éno o žiAn y( MlníŤ eszkuu)pjiena
mennšeílž i bovčoílsznml éno o žiBn( yh osrnkpíiu nřae zŘue)Az.! jBe dnozunraččuanj)ěče í:s lo
racionoáblsnaíh,ju ejhedo-o llsink píui nAa n ejvětší očbíssalhjoue jhnehoe-o blrsoink ípui nBa
nejmečníšsbíl )čo í;s ilroa ciojneásltmnlníio,žž eiA n nae obsanheujjvčeěí tsašlm íon ožinaB
neobsanheujjmeeč níšsČílí osr.la ac ioani árlancíi obnuádlednmoíeh roymn aadzýrveaá)!tlm ni
čisl1>y .
3.ABsOLUTNÍH ODNOTRAE ÁLNÉHOC ÍSLAA.b solhuotdnníor teáolun čéíhsxol rao zumíme
nezápočrínskélt oe,zr néa čsíymmbeo lelmxa lk tejreué r čennáos ledupojdímcíínmkia mi:
={-jxe,- xl i< O,
I lxlX ,J C-nho .
-
I)V n ásledjíuctíme xbtuud epomdep ojmčeíms rlooz uremáěltnč é{s lnoe,b udeex-plliiz cmiítnnněěěnoco j inké=h�""�,"
ŮVQDD OM ATEMATI/.INCAKLY'ZÉ Y
ti Prloi bovdovlonjoriuec áil nčýícsxhe y lap lanteír ovnosti
lx-ll y"ll +xy ll"x+ lI YI.
4.HORNÍADOLNÍHRANICE(SUPREMUMAINFIMUM)člsEI.NNÉeMcNXhO=ŽIť {N Yxj.} oe mezená
množirenáal čníýscehl .
I
Reálčínsél o
m=inf{x}
nazývádomlenh íra nniecbíio n fimmenmo žXi pnoyk ud:
1)prkoa žčdíés xl XoE2l p latí
x�m;
'II2)k ek aždéem>uOe xisatsujpeo ňjXe'dEnpXor,:ko t eprléa tí
_
x'<m+e.
I
Analogriecáklčíyns,él o
M=sup{x}
nazývhornáím hera ninecbíso u premmenomž Xi pnoyk ud:
I)prkoa žčdíés xlE Xop latí
xs.M,
2)kek aždéem u>e xOi satsupjjoeeň d xn"oE Xp,rk ot eprléa tí
x">M-t.
I
Nením-nloiž iXn oam ezezndáo kllaa,d eme
in{fx =}- �;
nneí-mlnio žiXn oam ezesnháo krlaa,d eme
I sup{=+ xoo}.
5.ABSOLUTNAÍ R ELATIVNÍ ODCHYLKA (CNHeYcBAha)ť .( a0,) j ep řeshnoád nontěaj aké
Iměře vneél iač ijxnej y ep jříi blhioždnnáoP taačk.í slo
D-=jx-aj
nazývahásmoel oudicnhíyn elbkaoob us oclhuytbanč oííu s,l o
Do
5=-
lal
I
nazývráemlaet oidcvnhíy nlekboroue laticvnhíy mběořue vneél ičiny.
�
�Ř íkážmeeč ,í sxlm oán p latnýcčhís lnice,n jíe-hlaoib solcuhtynvbíěa t nšeípž o lojveidnnao tky
řáduur čenjéehhnoo- tčoíus licí.
--
2
)ZápxiE sX vy jadřužječe í,s lpoa tdxřo Oí e p rvkemmn)o žiXny.
§ 1 . RČEÍÁSLLAN Á
Metodmoaut emaitdniuckkdcéoe k ažžept relo,i bovpořlinréoč zíesnnlp éol atí
násuljerídocvín osti:
n(n1 )
+
J.1+2+ ... +.n -
2
5N.ecah[ ť=n aJ( -ha.) . [.a- ( -nl )haa] [0 l= 1 .
Dokažžte(e a,+ b)=[Í: n( Jn)=a [n-m]bk[dme(nl ), j ep očme-tp rvkových
m=O m m
podmnonž-ipnrv kmonvoéž iZtn éyrt.oo v npoasoktd iv oďbitneo mivcěktouu.
6D.oakžBterneo ullionveruo vnost
(1+ x1)(+12x) •(1•+ •x ;,_n )1 1+ x2++ x .xn.,. +
kdxe1, 2x,. .., xjns obuuv ďš echnneaz ápnoernábv,oš ecnhenkal čadívnsěáltšn aíe ž
-1.
7D.okažžetp erx,o ->1 p lanteír ovnost
(l+x)";,.(ln+>nlx) ,
přičreomvžnn oasstt párváákv,dě yx ž =O.
8.
Dokapžltaet nneorsotv nosti
<(
n;l
n! )n ,k dne> I.
NÁVOD: Pnoáusžlijetndeeu rjoívcnío st
2 1
(n•)••=•( 1+--)••>•2,( n=l,)2., ...
n+l n+l
9D.okapžltaetn noesrto vnosti
2·!4 .!.( .2n> ) [!( ln) +!k ]d"ne>, I .
10.
Dokapžltaet nneorsotv nosti
1 32n -l 1
-·-... --<---
✓
2 4 2n2n +l
10D.olk apžltaet nnáosslte dnuejríocvíncohs tí:
· 1 1 1
a)1+ -+-+ +.-.>..,/n (n2;,.);
/2 ,f3 .,/n
b)n1">•(n+l()n";,. 3);
Í:
c)s i(nÍ: x) � sin(xOk� �xn;k =l2,, n.).;. ,
k k
keI keI --
d)(2n)<2! 2 n( n2.!)
KNIHOVNAM A•T .f'IZ. FAKULTY
Matematické odcleleoi
SoiuJkM,ka83
18675Pnllla8
