Sannsynlighetsregning og statistisk metodelære 1: Sannsynlighetsregning

226 Pages·1988·62.147 MB·Norwegian

by  Høyland, Arnljot

Del 1
Sannsynlighetsregning
5. utgave
NB Rana
Depotbiblioteket
TAPIR
© TAPIR
Uten skriftlig tillatelse er det ikke tillatt å kopiere
eller mangfoldiggjøre dette skrift, eller deler av
det, ifølge lov av 12. mai 1961 om opphavsrett til
åndsverk.
Første utgave 1972
Andre utgave 1976
Tredje utgave 1979
Fjerde utgave 1985
Femte utgave 1988
Trykk: Tapir
Bind: Julius Maske A/S
Papir: G-print 90 gr.
Omslag: Leif Gaustad
ISBN 82-519-0831-0
,,Sandsynlighedsregningen er en matematisk Videnskab og
som saadan henter den hjcelp fra Aritmetiken og Geometrien.
Ved disses Bistand har den bygget sig et Palads, hvis faste
Mure trodse Tvivlens og Kritikens skarpe Pile. Den yder Raad
og Bistand snart til Astronomen og Fysikeren, der komme og
bede om Oplysning i mere end et tvivlsomt og vanskeligt
Spørgsmaal, snart til Trigonometristen og Landmaaleren,
snart til Statsmanden og Statistikeren. ”
Fra Dr. A.S. Guldberg: „0m Sandsynlighedsregningen og dens
Anvendelse på Hazardspil og Forsikringsvæsen”, (side 2),
Christiania 1873.
VI
Forord til forste utgave
Statistisk tenkemåte og statistiske metoder er i de seneste årtier tatt i bruk
innenfor nær sagt alle områder av næringsliv og forskning. Dette gjelder ikke
minst samfunnsvitenskap, medisin, naturvitenskap og teknikk. (Gallup­
undersøkelser, analyse av data som er innsamlet eller som er resultat av eks­
perimenter, vurdering av forsøksopplegg, og beskrivelse av fysikalske eller
teknologiske prosesser.) Ved slike analyser gjør en i stadig større utstrekning
bruk av matematiske (sannsynlighetsteoretiske) modeller.
Fagfolk på de forskjelligste felt føler derfor et økende behov for å være
orientert om de viktigste prinsippene i den statistiske metodelære og om
grunnbegrepene i sannsynlighetsregning bl.a. for å kunne følge med i sine
egne fagtidsskrifter. I dag gis det derfor innføringskurs i sannsynlighetsreg­
ning og statistikk ved en rekke postgymnasiale undervisningsinstitusjoner.
Denne boken utgjør første bind av en bearbeidet versjon av mine foreles­
ningsnotater ved et innføringskurs i sannsynlighetsregning og matematisk sta-
tisikk ved Universitetet i Trondheim, Norges tekniske høgskole.
Hensikten med kurset er — etter at det nødvendige grunnlag er lagt i sannsyn­
lighetsregning — å gi en innføring i grunnbegrepene i den statistiske metode­
lære. En tar sikte på at studentene etter endt kurs
1) skal kunne gjenkjenne enkle standardsituasjoner og vite
hvordan disse best kan analyseres,
2) forstå hva som ligger i de viktigste begrepene og
3) kjenne såpass til terminologien at de kan kommunisere
med en fagstatistiker i mer kompliserte situasjoner.
I dette bind gis en innføring i elementene av sannsynlighetsregningen og i
de mest benyttede modeller med tilhørende sannsynlighetsfordelinger. I
annet bind er det meningen å ta for seg den statistiske metodelære med
hovedvekt på estimering og hypotesetesting.
I forbindelse med utarbeidelsen av første bind har jeg hatt god hjelp av
universitetslektorene Per Hokstad og Liv Høyland, samt av cand, real Ivar
Heuch og cand, real Bent Natvig.
Det som her presenteres er ment som en foreløpig utgave. Jeg er derfor inter­
essert i å få såvel kommentarer som kritikk og også i å bli gjort oppmerksom
på trykkfeil slik at den endelige utgave kan bli bedre enn den foreløpige.
Trondheim, juni 1972
Arnljot Høyland
VII
Forord til annen utgave
De 9 første kapitler er, bortsett fra mindre endringer og rettelser, stort sett
de samme som i første utgave.
I kapitel 10 har jeg føyd til noen avsnitt der jeg presenterer vanlig forekom­
mende sannsynlighetsfordelinger.
I kapitel 11 har jeg tatt med definisjoner av konvergens i sannsynlighet og
av konvergens i fordeling.
Enkelte universitets- og høgskolelærere i statistikk har uttrykt at de finner
det naturlig å avslutte et kurs i sannsynlighetsregning med utvalgte avsnitt
fra estimeringsteori. Derfor inneholder annen utgave av boka tre nye kapit­
ler, 12, 13 og 14, der en tar for seg estimeringsproblemet. Dette emne hører
strengt tatt ikke hjemme i sannsynlighetsregningen og er derfor trykt i en
annen farge som et tillegg. Disse tre kapitlene er også tatt med i del II av
læreboka, der den statistiske metodelære behandles samlet.
I forordet til første utgave ba jeg om kommentarer og kritikk. Jeg vil her be­
nytte anledningen til å takke dem som har pekt på svakheter og trykkfeil i
første utgave. Spesielt vil jeg takke høgskolelektor Henrik Dahl og universi­
tetslektor Trygve Nilsen.
Samtidig vil jeg takke universitetslektor Liv Høyland for uvurderlig hjelp i
forbindelse med utarbeidelsen av annen utgave.
Trondheim i januar 1976
Arnljot Høyland
Forord til tredje utgave
Jeg har rettet noen trykkfeil og foretatt noen mindre endringer. For øvrig er
tredje utgave identisk med den forrige.
Trondheim i juli 1979
Arnljot Høyland
VIII
Forord til fjerde utgave
Ennå noen trykkfeil er oppdaget og rettet. Nå skulle det forhåpentligvis
ikke være mange tilbake. Dessuten er noen få avsnitt skrevet om. Videre er
det gjort noen typografiske endringer slik at det skulle bli lettere for brukeren
å finne fram i boka.
Trondheim i november 1984
Arnljot Høyland
Forord til femte utgave
Den såkalte ”inverse Gaussfordeling” er i de senere år blitt brukt stadig mer
ved analyse av levetidsdata av en bestemt type. Ennå har få lærebokforfattere
tatt den med. I denne utgaven har jeg imidlertid funnet det riktig å ta med
et lite avsnitt om denne fordelingen, særlig av hensyn til dem som senere
skal sette seg inn i pålitelighetsteori.
Dessuten har jeg tatt med definisjoner av begrepene modalverdi og unimodale
fordelinger og rettet opp noen få trykkfeil.
Forøvrig er femte utgave identisk med den forrige.
Madison, Wisconsin 1988
Arnljot Høyland
INNHOLD
1 Stokastiske forsøk - Utfallsrom - Hendelser 1
1.1 Matematiske modeller 1
1.2 Stokastisk forsøk (Random experiment) 2
1.3 Utfallsrom - Enkeltutfall 3
1.4 Hendelser 3
1.5 Sammensetning av hendelser - Litt mengdealgebra 4
1.6 Venn-diagrammer 6
1.7 Anvendelse av union- og snittsymbol på flere enn
2 hendelser 6
1.8 Statistisk regelmessighet - Relativ hyppighet 7
2 Sannsynlighetsregning 10
2.1 Definisjon av sannsynlighetsbegrepet 10
2.2 Sannsynlighetsregning i endelige utfallsrom 13
2.2.1 Uniforme sannsynlighetsmodeller 13
2.2.2 Litt kombinatorikk 17
2.2.3 Tilfeldig utvelging fra endelig populasjon.
Stikkprøve 23
2.3 Betinget sannsynlighet 26
2.3.1 Definisjon av betinget sannsynlighet 29
2.3.2 Multiplikasjonssetningen 32
2.3.3 Ordnet stikkprøve. Ekvivalenssetningen 33
2.3.4 Oppdeling av utfallsrommet. Total sannsynlighet 35
2.3.5 Bayes formel 36
2.4 Uavhengige hendelser 37
3 Endimensjonale sannsynlighetsfordelinger 42
3.1 Stokastiske variable 42
3.2 Hendelser definert ved stokastiske variable 45
3.3 Fordelingsfunksjon 45
3.4 Diskret sannsynlighetsfordeling 48
3.5 Forventningsverdi og varians for diskrete variable 50
3.6 Kontinuerlig sannsynlighetsfordeling 55
3.7 Forventningsverdi og varians for kontinuerlige variable 58
3.8 Funksjoner av stokastiske variable 60
3.8.1 Fordeling for en funksjon av en stokastisk variabel 60
3.8.2 Forventningsverdi 63
3.9 Tsjebysjeffs ulikhet 66
3.10 Moment. Sentralmoment 66
3.11 Kvantiler - Median - Kvartiler 67
3.12 Modalverdi 67
X
4 Viktige sannsynlighetsteoretiske modeller 68
4.1 Binomisk modell 68
4.1.1 Binomisk fordeling 68
4.1.2 Bemoullis lov om de store tall 72
4.1.3 Beregning av binomiske sannsynligheter 72
4.2 Hypergeometrisk modell 74
4.2.1 Hypergeometrisk fordeling 74
4.2.2 Beregning av hypergeometriske sannsynligheter 75
4.2.3 Beregning av E(X) 76
4.3 Poisson-modell 77
4.3.1 Poissonforde lingen 77
4.3.2 Beregning av Poisson-sannsynligheter 78
4.3.3 Utledning av Poissonfordeling (Poissons punkt-
prosess) 78
4.4 Sammenheng mellom binomisk, hypergeometrisk og Poisson­
fordeling 80
4.4.1 Binomisk fordeling - hypergeometrisk fordeling 80
4.4.2 Binomisk fordeling - Poissonfordeling 81
4.5 Ventetid i Poissons punktprosess 82
4.5.1 Eksponensialfordeling 82
4.5.2 Utledning av eksponensialfordeling 82
4.6 Gaussmodell 83
4.6.1 Standard-normalfordelingen 84
4.6.2 Beregning av sannsynligheter i Gaussmodell 85
5 Flerdimensjonale sannsynlighetsfordelinger 87
5.1 Todimensjonal fordeling 87
5.1.1 Hendelser definert ved vektorer i planet 87
5.1.2 Fordelingsfunksjon for vektoren (X1?X2) 88
5.1.3 Diskret todimensjonal sannsynlighetsfordeling 90
5.1.4 Kontinuerlig todimensjonal sannsynlighetsfordeling 94
5.1.5 Betingede fordelinger 97
5.1.6 Uavhengige variable 101
5.1.7 Kovarians. Korrelasjon 103
5.1.8 Setninger om dobbeltforventning 107
5.2 n-dimensjonale fordelinger 108
5.2.1 Fordelingsfunksjon for vektoren (X15...,Xn) 108
5.2.2 Diskret n-dimensjonal fordeling 109
5.2.3 Kontinuerlig n-dimensjonal fordeling 110
5.2.4 Uavhengige variable 111
5.2.5 Kovarians. Korrelasjon 112
5.2.6 De store talls lov 113
5.2.7 Indikatorvariable 113
5.2.8 Approksimasjon av E[g(X15..., Xn)] og
Var[g(X1,...,Xn)] 115
XI
6 Viktige flerdimensjonale sannsynlighetsteoretiske modeller 117
6.1 Multinomisk modell - Multinomisk fordeling 117
6.2 Den multinormale modell - Multinormal fordeling 119
6.2.1 Binormal fordeling 119
7 Ordningsobservatoren - Ekstremvariable - Median -
Variasjonsbredde 122
7.1 Innledning 122
7.2 Fordeling for ekstremvariable 124
7.3 Fordeling av X(k) 126
7.4 Fordeling for variasjonsbredde 127
8 Momentgenererende funksjon 130
8.1 Definisjon 130
8.2 Egenskaper ved den momentgenererende funksjon 132
8.3 Karakteristisk funksjon 134
9 Konvolusjon 136
9.1 Definisjon 136
9.2 Lukkede fordelingsklasser 136
9.3 Alternativ fremgangsmåte ved bestemmelse av konvolusjon 138
10 Noen viktige fordelinger 140
10.1 x2-fordelingen 140
10.1.1 Definisjon. Egenskaper 140
10.1.2 Forbindelse mellom normalfordeling og x2-fordeling 142
10.2 Students t-fordeling 143
10.2.1 Definisjon 143
10.2.2 Forbindelse mellom normal-, x2- og t-fordeling 144
10.3 Fishers F-fordeling 146
10.3.1 Definisjon 146
10.3.2 Forbindelse mellom x2-, t- °g F-fordeling 147
10.4 Gammafordelingen 149
10.4.1 Definisjon. Egenskaper 149
10.4.2 Ventetid i Poissons punktprosess 150
10.5 x-forde lingen 151
10.5.1 Definisjon. Egenskaper 151
10.5.2 To fordelinger avledet av x-fordelingen
i) Rayleighfordelingen 153
ii) Maxwell(-Boltzmann)-fordelingen 154
10. 6 Fordeling for levetid - Weibullfordelingen 155
10. 7 Betafordelingen 157
10. 8 Lognormalfordelingen 158
10. 9 Negativ binomialfordeling (kalles av enkelte Pascals
fordeling) 160
10.1 0 Den inverse Gaussfordelingen 162
XII
11 Stokastisk konvergens - Sentralgrenseteoremer 168
11.1 Konvergens i sannsynlighet 168
11.2 Konvergens i fordeling 169
11.2.1 Definisjon 169
11.2.2 Asymptotisk normalitet 170
11.2.3 Lindeberg - Levys sentralgrenseteorem 170
11.3 Approksimasjon ved normalfordeling 171
11.3.1 Innledning 171
11.3.2 Binomisk fordeling 171
11.3.3 Middeltallets fordeling 173
11.4 Bevis for Sentralgrenseteoremet (Setning 11.2.) 173
Appendiks I Gammafunksjonen 175
Appendiks II o-felt av hendelser - Sannsynlighetsfelt 177
TILLEGG
12 Innledning til estimeringsteorien 1
13 Punktestimering 3
13.1 Innledning 3
13.2 Estimering av forventningsverdi og varians 8
13.3 Prinsipper for konstruksjon av estimatorer 9
13.3.1 Sannsynlighetsmaksimeringsprinsippet 9
13.3.2 Minste kvadratsums prinsipp 13
13.3.3 Momentprinsippet 17
13.4 Markov-estimatorer 18
14 Intervallestimering 19
14.1 Innledning 19
14.2 Konstruksjon av konfidensintervall 20
Stik kordliste 25