Ryhmäteoria - Kevät 2015

374 Pages·2015·4.796 MB·Finnish

by  Jyrki Lahtonen

Ryhmäteoria ­ Kevät 2015
Ajankohtaista:
Välikokeiden pistemäärät. Hyvin meni. Hauskaa kesää kaikille.
Toisen välikokeen alue: 3. luku (karakterien teoria)., 4. luvusta indusoitu karakteri (ei indusoitua
modulia), luennoilta karakteritaulujen konstruointia (inflaatio, 2­transitiiviset operoinnit) ja
Sylowin teorian käyttö pienten ryhmien luokittelussa.
Kurssin viimeisen viikon luennoilla (21.04. ja 22.04.) käsitellään ao. kalvojen materiaalia. Se on
mielestäni mukava kertaus kaikkea opittua: A­vitosta, ryhmien operointeja, Sylow­teorian alkeita
ja muuta sellaista. Sopinee siis hyvin wrap up ­viikolle. Opetuksen arviointikaavakkeita on
demolokerikossa. Viimeisten demojen seiskatehtävässä sovelletaan tuota p­aliryhmien
automorfismien ja Sylow­teorian yhdistelyä. Esimerkit 14B ja 14C ovat siinä kaiketi relevantteja.
Pahoittelen sähläystä aprillipäivän luennolla. Väittämäni lineaarinen riippumattomuus tuli
helpommin punnerrettua toista kautta nokkaunien jälkeen. Alla kalvoilla.
1. välikokeen tiistaisen version tehtävät ja malliratkaisut. Torstain version tehtävät ja
malliratkaisut. Jatkan arvosteluni miettimistä. Minun pitää tarkistaa etenkin muutama juttu
lineaarialgebran kurssin nykyversion sisällöstä, joka tarvittiin torstain version viimeisen tehtävän
ratkaisussa. Jutellaan aiheesta ensi viikon demoissa.
1. välikokeen alustavat tulokset . Hyvin meni, mutta muutama kinkkisempi hoksaamistehtävä oli
joukossa. Useimmat oli joku keksinyt (keksiminen oli ilahduttavan laaja­alaista), mutta kukaan ei
kaikkia. En tiedä olivatko tiistain ja torstain versiot yhteismitallisia. Näin tällä kertaa.
Yleistä:
Kuvaus: Kurssin keskeisin asia on ryhmien esitysteoria, johon esitetään kaksi näkökulmaa: 1)
ryhmien esittäminen konkreettisina matriisiryhminä sekä 2) ryhmien modulien teoria. Tärkeä
asema on esitysten karaktereilla, tietyillä esityksiin liittyvillä numeerisilla funktioilla. Jos ryhmän
karakteritaulu tunnetaan, siitä selviää monet ryhmän tärkeimmistä ominaisuuksista. Esitysteorian
lisäksi tutustutaan myös ryhmien "tavalliseen" rakenneteoriaan sekä ryhmäalgebrojen
rakenteeseen.
Osaamistavoitteet: Kurssin jälkeen opiskelija hallitsee ryhmien matriisiesitysten, modulien sekä
karakterien teorian perusteet ja pystyy suorittamaan karaktereilla konkreettisia laskuja sekä
ratkaisemaan yksinkertaisia esitysteoriaan liittyviä teoriatehtäviä.
Esitiedot: Algebran peruskurssi I­II, Suositeltu esitietokurssi lisäksi Algebra
Aikataulu:
Luennot ti 8­10 seminaarihuone Pub469, ke 10­12 seminaarihuonen Pub269
Demonstraatiot to 12­14 matematiikan demosali 299
Materiaali:
Moniste
Demonstraatiotehtävät:
Demot 1, 15.01.
Demot 2, 22.01. Lisäsin tähän yhden tavan ratkaista kolmostehtävä. Nelostehtävässä tuppasi
joiltakin unohtumaan, että aliryhmän normaalisuus EI OLE TRANSITIIVINEN
OMINAISUUS. Siitä (vasta)esimerkki.
Demot 3, 29.01. Lisätty geometrista selitystä diedriryhmien konjugaattiluokista ynnä muuta.
Demot 4, 05.02.
Demot 5, 12.02., (versio, jossa tetraedrin eräs 180 asteen rotaatiosymmetria on animoitu)
Demot 6, 19.02.
Demot 7, 05.03. (Tehtävän 6 malliratkaisu .)
Demot 8, 12.03.
Demot 9, 19.03.
Demot 10, 26.03.
Demot 11, 02.04. (Huom. Kahdeksas tehtävä tuolla jo nyt, mutta käsitellään viikkoa
myöhemmin)
Demot 12, 09.04.
Demot 13, 16.04.
Demot 14, 23.04.
Luentokalvot:
Ke 07.01. (GL ­esimerkki).
2
Ti 13.01. ­Ke 14.01.
Ke 21.01. Luokkayhtälökalvot. Esimerkki käsitellään ensi tiistain luennolla.
Ti 27.01. Tuonne nyt päivitetty tietoa kuution symmetriaryhmästä.
Ke 04.02. Operointi funktiojoukossa ja pari esimerkkiä. Päivitetty 09.02.
Ti 10.02. ­ Ke 11.02. Päivitetty 17.02.
Ti 03.03. Esitysten tensoritulosta
Ti 10.03.­Ke 18.03. S :n esityksiä ynnä muuta
3
Ti 24.03. Tuplahattuilua, eli Monisteen Huomautus 3.9.6.(2) aukipurettuna. Lisään tuohon
vielä "luonnollisuutta" koskevan selityksen. Tätä ei tarvitse osata tentissä.
Ke 25.03. ­ Ke 08.04. On loogista ottaa tuohon mukaan myös tämän viikon luennot. Tuo
selittää, miksi esimerkkien numerointi hyppää 10­>11­>12
Ti 14.04.­ Ke 15.04. Sylowin teoria seurauksineen alkaa!
Ti 21.04.­ Ke 22.04. More A ! Hiukan Sylow­esimerkkejä.
5
Lisämateriaali vektoriavaruuden tensorialgerasta (Esitysteorian opintopiiri 2012) <­ Linkki
korjattu!
Lisämateriaalia ryhmien S  ja S  karaktereihin liittyvästä esitysteoriasta (Esitysteorian opintopiiri
5 6
2013)
Jyrkin Rubik­sivut. Sovellettua ryhmäteoriaa.
Asiaa luennoitsijalle:
[email protected]
Työhuone: Publicum 4. kerros, huone 458 (vastaanotto ke 13­14, muinakin aikoina voi yrittää).
Ryhm(cid:228)teoria
Markku Koppinen
Turun yliopisto
6. toukokuuta 2011
Alkusanat
T(cid:228)m(cid:228)ryhm(cid:228)teoriankurssik(cid:228)sitteleeenimm(cid:228)kseenryhmienesitysteoriaa,muttakutentulem-
me n(cid:228)kem(cid:228)(cid:228)n, esitysteoria liittyy niin l(cid:228)heisesti ryhmien rakenneteoriaan, ettei niit(cid:228) kahta
voi erottaa. Usein puhutaankin rakenne- ja esitysteoriasta.
Kurssin sis(cid:228)lt(cid:246) on l(cid:228)hinn(cid:228) kirjasta
1. J.-P. Serre: Linear representations of (cid:28)nite groups (1977)
ensimm(cid:228)inen kolmannes. Muita l(cid:228)hteit(cid:228) ja hyv(cid:228)(cid:228) jatkolukemistoa ovat seuraavat:
2. W. Adkins, S. T. Weintraub: Algebra: an approach via module theory (1992).
3. J. L. Alperin, R. B. Bell: Groups and representations (1995).
4. C.W.Curtis,I.Reiner:Representationtheoryof(cid:28)nitegroupsandassociativealgebras
(1962).
5. B. Huppert: Endliche Gruppen I (1967).
6. I. M. Isaacs: Character theory of (cid:28)nite groups (1976).
7. W. R. Scott: Group theory (1964).
8. J. J. Rotman: The theory of groups (1965).
Monistetta on muutettu vuoden 2008 monisteesta karsimalla asioita, joita ei kuitenkaan
ehditt(cid:228)isi kunnolla k(cid:228)sitell(cid:228). Tarkoitus on oppia sek(cid:228) ryhmien laskennallisia puolia (karakte-
rit) ett(cid:228) jonkin verran taustalla olevaa teoriaakin.
Kurssilla tarvitaan perustietoina Lineaarialgebra ja Algebran peruskurssit I ja II (luvus-
sa 1 on ryhmist(cid:228) hiukan kertaustakin). Modulien tunteminen on hy(cid:246)dyksi (Algebran kurssi)
muttei v(cid:228)ltt(cid:228)m(cid:228)t(cid:246)nt(cid:228). Lineaarialgebran ja Algebran peruskurssien I ja II pohjaltakin t(cid:228)t(cid:228)
kurssia pystyy seuraamaan, kunhan varautuu siihen, ett(cid:228) taso saattaa tuntua kovemmalta
kuin noilla kursseilla.
i
Sis(cid:228)lt(cid:246)
1 Ryhm(cid:228)teorian perusk(cid:228)sitteit(cid:228) 1
1.1 Ryhm(cid:228), aliryhm(cid:228), isomor(cid:28)a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sivuluokat, tekij(cid:228)ryhm(cid:228), isomor(cid:28)atuloksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Ryhmien suora tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Ryhmien puolisuora tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Konjugaattiluokat ja sentralisoijat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Ryhm(cid:228)n operointi joukossa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Ryhmien esitysteorian perusteita 13
2.1 Ryhm(cid:228)n esitys, matriisiesitys ja moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Johdatteleva esimerkki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Ryhm(cid:228)n matriisiesitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3 Ryhm(cid:228)n lineaarinen esitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4 Lineaarisen esityksen matriisimuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.5 Ryhm(cid:228)n moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Aliesitys ja alimoduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Alimoduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Aliesitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Isomor(cid:28)smit ja homomor(cid:28)smit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Modulien isomor(cid:28)a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Esitysten isomor(cid:28)a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.3 Matriisiesitysten isomor(cid:28)a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.4 Modulihomomor(cid:28)smit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Suora summa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Maschken lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Schurin lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6.1 Sovellus keskuksen alkioihin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.2 Schurin relaatiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7 Tensoritulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7.1 Vektoriavaruuksien tensoritulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7.2 Modulien ja esitysten tensoritulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
ii
SIS˜LT(cid:214) iii
2.7.3 Matriisiesitysten tensoritulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8 Duaaliesitys ja duaalimoduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Karakterit 41
3.1 Ominaisarvoista ja j(cid:228)ljest(cid:228) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Esityksen karakteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Suoran summan, tensoritulon ja duaaliesityksen karakterit . . . . . . . . . . . 45
3.4 Karakterien ortogonaalisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Luokkafunktioavaruus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6 Karakteritaulu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.7 Modulin kanoninen hajotelma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.8 Suoran tulon esitykset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.9 Karakteriryhm(cid:228). Abelin ryhm(cid:228)n esitykset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.10 Permutaatioesityksist(cid:228) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Restriktio ja induktio 64
4.1 Esityksen ja karakterin restriktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Indusoitu karakteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Indusoitu moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Restriktio normaaliin aliryhm(cid:228)(cid:228)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5 Indusoidun modulin konstruktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Ryhm(cid:228)algebra 75
5.1 Assosiatiivinen algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.1 M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) ja esimerkkej(cid:228) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.2 Algebroja koskevia perusasioita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.1.3 Algebran modulit ja esitykset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.1.4 Algebran idempotenteista ja suorasummahajotelmista . . . . . . . . . 79
5.2 Ryhm(cid:228)algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.1 Ryhm(cid:228)n ja ryhm(cid:228)algebran esitysten yhteys . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.2 Ryhm(cid:228)algebran idempotenteista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.3 Ryhm(cid:228)algebran rakenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.4 Ryhm(cid:228)algebran keskus ja keskusidempotentit . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.5 Abelin ryhm(cid:228)n ryhm(cid:228)algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Luku 1
Ryhm(cid:228)teorian perusk(cid:228)sitteit(cid:228)
T(cid:228)m(cid:228) luku on osittain Algebran peruskurssien kertausta.
1.1 Ryhm(cid:228), aliryhm(cid:228), isomor(cid:28)a
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.1.1 Joukkoa G, jossa on m(cid:228)(cid:228)ritelty bin(cid:228)(cid:228)rioperaatio (kuvaus G×G → G,
merkit(cid:228)(cid:228)n (a,b)(cid:55)→ab), sanotaan ryhm(cid:228)ksi, jos
• (ab)c=a(bc) ∀a,b,c∈G (assosiatiivisuus),
• on sellainen alkio 1=1G ∈G, ett(cid:228) 1a=a1=a ∀a∈G (neutraalialkio),
• kun a∈G, niin on sellainen a−1 ∈G, ett(cid:228) a−1a=aa−1 =1 (k(cid:228)(cid:228)nteisalkio).
Jos lis(cid:228)ksi
• ab=ba ∀a,b,c∈G (kommutatiivisuus),
niin G on kommutatiivinen ryhm(cid:228) eli Abelin ryhm(cid:228).
Neutraalialkiota kutsutaan my(cid:246)s ykk(cid:246)salkioksi. Abelin ryhmi(cid:228) merkit(cid:228)(cid:228)n usein additiivi-
sesti, ja silloin puhutaan nolla-alkiosta ja vasta-alkioista.
Esimerkki 1.1.2 R ja C ovat yhteenlaskun suhteen ryhmi(cid:228), neutraalialkiona 0 ja alkion a
k(cid:228)(cid:228)nteisalkiona eli vasta-alkiona −a.
R× = R\{0} ja C× = C\{0} ovat kertolaskun suhteen ryhmi(cid:228), ykk(cid:246)salkiona luku 1 ja
alkion a(cid:54)=0 k(cid:228)(cid:228)nteisalkiona k(cid:228)(cid:228)nteisluku a−1 =1/a.
Esimerkki 1.1.3 (Yleinenlineaarinenryhm(cid:228))K(cid:228)ytet(cid:228)(cid:228)nkompleksistenn×n-matriisien
joukollemerkint(cid:228)(cid:228)Mn(C)={(aij)n×n |aij ∈C ∀i,j}.S(cid:228)(cid:228)nn(cid:246)llistenn×n-matriisienjouk-
ko
GL (C) = {A∈M (C)|det(A)(cid:54)=0}
n n
on ryhm(cid:228) matriisikertolaskun suhteen, ykk(cid:246)salkiona identiteettimatriisi I. Sit(cid:228) kutsutaan
yleiseksi lineaariseksi (matriisi)ryhm(cid:228)ksi (yli C:n).
1
LUKU 1. RYHM˜TEORIAN PERUSK˜SITTEIT˜ 2
Esimerkki 1.1.4 Samoin m(cid:228)(cid:228)ritell(cid:228)(cid:228)n ryhm(cid:228) GLn(K) yli mielivaltaisen kunnan K. Jos K
on (cid:228)(cid:228)rellinen (esimerkiksi K =Zp =Z/pZ, p alkuluku), niin GLn(K) on (cid:228)(cid:228)rellinen ryhm(cid:228).
Esimerkki 1.1.5 (Symmetrinenryhm(cid:228))JoukonJn ={1,2,...,n}permutaatioidenjouk-
ko
Sn = {α:Jn →Jn |α on bijektio}
on ryhm(cid:228) kuvaustulon (kuvausten yhdist(cid:228)misen) suhteen, ykk(cid:246)salkiona identiteettikuvaus.
Sanotaan, ett(cid:228) Sn on n:n alkion symmetrinen ryhm(cid:228) (#Sn = n!). Yleisemmin m(cid:228)(cid:228)ritell(cid:228)(cid:228)n
mielivaltaisen joukon X symmetrinen ryhm(cid:228)
Σ(X) = {f :X →X |f on bijektio (eli X:n permutaatio)}.
Esimerkki 1.1.6 Kerrataansymmetris(cid:181)t(cid:228)ryhm(cid:228)(cid:228)Sn A(cid:182)lgebranperuskurssistaII.Permutaa-
1 2 ... n
tiolle α∈Sn k(cid:228)ytet(cid:228)(cid:228)n merkint(cid:228)(cid:228) α= k k ... k , kun α(j)=kj (j =1,...,n). Toi-
1 2 n
nen t(cid:228)rke(cid:228) merkin(cid:181)t(cid:228)tapa on syklie(cid:182)sitys, jossa α kirjoitetaan erillisten syklien tulona; esimer-
1 2 3 4 5 6
kiksi S6:ssa α = 4 1 6 2 5 3 kirjoitetaan my(cid:246)s α = (142)(36)(5) tai α = (142)(36)
(1-syklit eli kiintopisteet j(cid:228)tet(cid:228)(cid:228)n yleens(cid:228) merkitsem(cid:228)tt(cid:228)). Algebran peruskurssissa II m(cid:228)(cid:228)-
riteltiin permutaation α merkki sign(α); sen voi laskea sykliesityksest(cid:228), sill(cid:228) sign on ryhm(cid:228)-
homomor(cid:28)smiSn →{1,−1}(m(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228)1.1.11)jar-syklinmerkkion(−1)r−1;esimerkiksi,
kun α = (142)(36), niin sign(α) = (−1)3−1(−1)2−1 = −1. Permutaatio on parillinen, jos
sen merkki on +1.
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.1.7 Ryhm(cid:228)n G osajoukko H on aliryhm(cid:228), jos se on ryhm(cid:228) G:n ryhm(cid:228)ope-
raation restriktion suhteen; t(cid:228)ll(cid:246)in merkit(cid:228)(cid:228)n H ≤G.
Olkoon∅(cid:54)=H ⊆G.TunnetustiH ≤Gjosjavainjos ab∈H ∀a,b∈H,a−1 ∈H ∀a∈H
ja 1G ∈H, eli ekvivalentisti, jos ja vain jos ab−1 ∈H ∀a,b∈H. Kun H on (cid:228)(cid:228)rellinen, ehto
voidaan yksinkertaistaa muotoon ab∈H ∀a,b∈H.
Ryhm(cid:228)n G osajoukko S generoi aliryhm(cid:228)n
(cid:92)
(cid:104)S(cid:105) = H. (1.1)
S⊆H≤G
Helposti n(cid:228)hd(cid:228)(cid:228)n, ett(cid:228) (cid:104)S(cid:105) on kaikkien tulojen s±11···s±k1 (si ∈S) joukko (tyhj(cid:228) tulo on 1).
Merkit(cid:228)(cid:228)n lyhyesti (cid:104)a(cid:105)=(cid:104){a}(cid:105) ja yleisemmin (cid:104)a1,...,am(cid:105)=(cid:104){a1,...,am}(cid:105).
Alkion a ∈ G kertaluku on ord(a) = #(cid:104)a(cid:105). Algebran peruskurssista muistetaan, ett(cid:228) jos
ord(a)=n<∞, niin ord(ak)=n/syt(n,k).
Esimerkki 1.1.8 (Erityinenlineaarinenryhm(cid:228))Yleisell(cid:228)lineaarisellaryhm(cid:228)ll(cid:228)GLn(C)
on aliryhm(cid:228)n(cid:228) erityinen lineaarinen ryhm(cid:228)
SL (C) = {A∈M (C)|det(A)=1}.
n n
LUKU 1. RYHM˜TEORIAN PERUSK˜SITTEIT˜ 3
Esimerkki 1.1.9 (Alternoiva ryhm(cid:228)) Symmetrisell(cid:228) ryhm(cid:228)ll(cid:228) Sn on aliryhm(cid:228)n(cid:228) alter-
noiva ryhm(cid:228)
A = {α∈S |sign(α)=+1}.
n n
Esimerkki 1.1.10 Tason R2 isometria on bijektio R2 → R2, joka s(cid:228)ilytt(cid:228)(cid:228) pisteiden et(cid:228)i-
syydet. Tason isometrioita on vain nelj(cid:228)(cid:228) tyyppi(cid:228): translaatiot, kierrot, peilaukset ja siirto-
peilaukset (Geometrian kurssi).
Tason isometriat muodostavat ryhm(cid:228)n. Se on peilausten generoima. Esimerkiksi kierto
pisteenOymp(cid:228)rikulmanαverransaadaankahdenpeilauksentulona,joidenakselitkulkevat
pisteen O kautta ja muodostavat kulman α/2.
Tason isometrioiden ryhm(cid:228)ll(cid:228) on useita mielenkiintoisia aliryhmi(cid:228). Er(cid:228)s on niiden iso-
metrioiden joukko, jotka pit(cid:228)v(cid:228)t O:n paikallaan. N(cid:228)m(cid:228) isometriat ovat O-keskiset kierrot ja
peilaukset, joiden akseli kulkee O:n kautta.
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.1.11 Kuvaus f : G1 → G2 ryhmien G1 ja G2 v(cid:228)lill(cid:228) on (ryhm(cid:228))homomor-
(cid:28)smi, jos f(ab) = f(a)f(b) ∀ a,b ∈ G1. Bijektiivinen homomor(cid:28)smi on isomor(cid:28)smi. Jos on
olemassa isomor(cid:28)smi G1 →G2, niin G1 ja G2 ovat isomor(cid:28)set, merkit(cid:228)(cid:228)n G1 (cid:39)G2.
Esimerkki 1.1.12 (Syklinen ryhm(cid:228)) Ryhm(cid:228) on syklinen, jos se on yhden alkion gene-
roima. Samaa kertalukua olevat sykliset ryhm(cid:228)t ovat isomor(cid:28)set. Merkit(cid:228)(cid:228)n Cn:ll(cid:228) (cid:17)yleist(cid:228)(cid:17)
syklist(cid:228) ryhm(cid:228)(cid:228), jonka kertaluku on n (n=1,2,... tai n=∞).
Esimerkki 1.1.13 Ryhm(cid:228)ss(cid:228) C× alkio ζ =ζn =e2πi/n on er(cid:228)s n:s ykk(cid:246)senjuuri eli ζn =1.
Se generoi aliryhm(cid:228)n {1,ζ,ζ2,...,ζn−1}(cid:39)Cn.
Esimerkki 1.1.14 (Kleinin neliryhm(cid:228)) Nelj(cid:228)n alkion ep(cid:228)isomor(cid:28)sia ryhmi(cid:228) on kaksi,
nimitt(cid:228)insyklinenryhm(cid:228)C4 =(cid:104)a(cid:105),a4 =1,jaKleinin neliryhm(cid:228) V4 ={1,a,b,ab},a2 =b2 =
1, ab=ba.
Esimerkki 1.1.15 (Diedriryhm(cid:228)) Tulemme usein k(cid:228)ytt(cid:228)m(cid:228)(cid:228)n esimerkeiss(cid:228) diedriryhm(cid:228)(cid:228)
Dn (n≥3). Se on ryhm(cid:228), joka toteuttaa ehdot
Dn =(cid:104)a,b(cid:105), an =1, b2 =1, bab=a−1, #Dn =2n. (1.2)
ToisinsanoenDn:ll(cid:228)ongeneroijat a,b,jotkatoteuttavatrelaatiot an =1,b2 =1jabab=a−1,
ja jossa on 2n alkiota. Seuraa, ett(cid:228) Dn = {1,a,a2,...,an−1,b,ab,a2b,...,an−1b} ja ett(cid:228)
t(cid:228)ss(cid:228) listatut alkiot ovat eri alkioita; siis jokaisella Dn:n alkiolla g on yksik(cid:228)sitteinen esitys
muodossa g = aibj (i ∈ {0,...,n − 1}, b ∈ {0,1}). Voidaan osoittaa, ett(cid:228) ehdot (1.2)
m(cid:228)(cid:228)r(cid:228)(cid:228)v(cid:228)t Dn:n isomor(cid:28)aa vaille yksik(cid:228)sitteisesti. Esimerkiss(cid:228) 1.1.16 n(cid:228)hd(cid:228)(cid:228)n, ett(cid:228) ryhm(cid:228)
Dn on olemassa, konstruoimalla er(cid:228)s sellainen konkreettisesti. (Huom. Joissakin kirjoissa
ryhm(cid:228)(cid:228) Dn merkit(cid:228)(cid:228)n D2n:ll(cid:228).)
Esimerkki 1.1.16 Diedriryhm(cid:228) Dn (n ≥ 3) voidaan konstruoida s(cid:228)(cid:228)nn(cid:246)llisen n-kulmion
peittoryhm(cid:228)n(cid:228) eli symmetriaryhm(cid:228)n(cid:228), siis niiden tason isometrioiden ryhm(cid:228)n(cid:228), jotka kuvaa-
vat monikulmion itselleen. Voidaan osoittaa, ett(cid:228) ryhm(cid:228)n generoimiseen riitt(cid:228)(cid:228) yksi kierto
LUKU 1. RYHM˜TEORIAN PERUSK˜SITTEIT˜ 4
njairsinyk==rsinpkp=ieeeiirll1atao,uusssO;2me=koseinms1ik,keuusrkkrlmsisekins=oian,rkks−uuy1nlmm. mLainest(cid:228)2rkiπas/i-ankkuvsveealriurnakn(cid:96)sesvtuarhsittsaejpen(cid:228)(,0iv(cid:228)≤(cid:228)ni,≤ .......••........................................................................................................................................................................................................................................................••...........................................O........................................................................................................(cid:96)................................••.................................................................................................................................................................•......................
n−1, 0≤j ≤1) ovat kaikki erisuuria. Seuraa, ett(cid:228) ko. symmeriaryhm(cid:228) on (cid:104)r,s(cid:105)(cid:39)Dn.
1.2 Sivuluokat, tekij(cid:228)ryhm(cid:228), isomor(cid:28)atuloksia
Jatkossa G tarkoittaa aina ryhm(cid:228)(cid:228). Toistaiseksi G saa olla (cid:228)(cid:228)ret(cid:246)nkin.
OlkoonH ≤G.Alkiona∈Gvasen sivuluokka onaH ={ah|h∈H}.Kuna,b∈G,niin
aH =bH ⇔a∈bH ⇔b−1a∈H. Lis(cid:228)ksi aina joko aH =bH tai aH∩bH =∅. Valitsemalla
vasempien sivuluokkien edustajisto D (otetaan yksi alkio kustakin eri sivuluokasta) saadaan
(cid:83)
G:n partitio G= d∈DdH. Vastaava on voimassa oikeille sivuluokille. Aliryhm(cid:228)n H indeksi
G:ss(cid:228)[G:H]onvasempiensivuluokkienlukum(cid:228)(cid:228)r(cid:228),jokaonsamakuinoikeidensivuluokkien
lukum(cid:228)(cid:228)r(cid:228). Kun #G<∞, niin [G:H]=#G/#H (Lagrangen lause). Siis #H jakaa #G:n.
Esimerkki 1.2.1 Jos #G on alkuluku p, niin G (cid:39) Cp. Nimitt(cid:228)in, kun a ∈ G, a (cid:54)= 1, niin
#(cid:104)a(cid:105) jakaa p:n; siis #(cid:104)a(cid:105)=p, joten (cid:104)a(cid:105)=G.
Esimerkki 1.2.2 Ryhm(cid:228)n Dn =(cid:104)a,b(cid:105) (merkinn(cid:228)t kuten aikaisemmin) vasen sivuluokkaha-
jotelma aliryhm(cid:228)n (cid:104)a(cid:105) suhteen on Dn =(cid:104)a(cid:105)∪b(cid:104)a(cid:105).
Aliryhm(cid:228)H ≤Gonnormaali,merkit(cid:228)(cid:228)nH(cid:163)G,jos aN =Na ∀a∈G.Tunnetustit(cid:228)m(cid:228)
on ekvivalentti sen kanssa, ett(cid:228) aNa−1 ⊆N ∀a∈G (aliryhm(cid:228)n normaalisuuskriteeri).
Esimerkki 1.2.3 Jos [G : H] = 2, niin sivuluokkahajotelmat ovat G = H ∪aH ja G =
H ∪Ha, miss(cid:228) a∈G\H. T(cid:228)ll(cid:246)in aH =G\H =Ha, ja siis H on normaali aliryhm(cid:228).
Esimerkki 1.2.4 Ryhm(cid:228)n Dn = (cid:104)a,b(cid:105) aliryhm(cid:228) (cid:104)a(cid:105) on normaali. Sen sijaan (cid:104)b(cid:105) = {1,b} ei
ole normaali, koska esimerkiksi aba−1 =ba−2 (cid:54)∈(cid:104)b(cid:105) (n≥3).
Esimerkki 1.2.5 An(cid:163)Sn.
Esimerkki 1.2.6 Symmetrisess(cid:228) ryhm(cid:228)ss(cid:228) S4 on syklirakenteeltaan (eli tyypilt(cid:228)(cid:228)n) viiden-
laisia alkioita:
1, (ij), (ij)(kl), (ijk), (ijkl)
miss(cid:228) i,j,k,l ∈ {1,2,3,4} ovat erisuuria; merkit ovat vastaavasti +1,−1,+1,+1,−1. N(cid:228)in
ollen A4:n muodostavat muotoa 1,(ij)(kl),(ijk) olevat alkiot. Merkit(cid:228)(cid:228)n
K = {1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)},
4
T = {1,(123),(132)}.
Osoitetaan, ett(cid:228) n(cid:228)m(cid:228) ovat A4:n aliryhmi(cid:228) ja ett(cid:228) K4(cid:163)S4 mutta T (cid:53)A4.