rUSO DE ALGORITMOS PARA SOLUCIONAR SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

146 Pages·2014·10.45 MB·Spanish

(cid:147)USO DE ALGORITMOS PARA SOLUCIONAR
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: UNA
PROPUESTA DID`CTICA PARA ESTUDIANTES DE
INGENIER˝A(cid:148)
Nelson Barrantes PÆez
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
BogotÆ
Junio de 2013
(cid:147)USO DE ALGORITMOS PARA SOLUCIONAR
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: UNA
PROPUESTA DID`CTICA PARA ESTUDIANTES DE
INGENIER˝A(cid:148)
Nelson Barrantes PÆez
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para
optar al t(cid:237)tulo de:
Magister en Enseæanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director
Phd Humberto Sarria Zapata
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
BogotÆ
Junio de 2013
Dedicatoria
A mi madre, por su fortaleza y fuerza que siempre demostr(cid:243) hasta el œltimo de sus
d(cid:237)as.
Amipadre,quiensiemprehasidounmodeloaseguirporsuresponsabilidad,trabajo
y fuerza de voluntad.
A mi esposa y a mis hijos, por el apoyo que siempre me han brindado, sobre todo
la paciencia que han tenido durante la elaboraci(cid:243)n de este trabajo y la comprensi(cid:243)n
por los momentos que no he podido compartir con ellos durante todo este tiempo.
Agradecimiento
Al profesor Humberto Sarria, por su tiempo, sus consejos y sobre todo, por su gran
calidad humana y la valiosa ayuda que me brind(cid:243).
˝ndice general
DEDICATORIA
IV
AGRADECIMIENTO
V
RESUMEN
VI
ABSTRACT
VII
INTRODUCCI(cid:211)N 6
1. Historia y Epistemolog(cid:237)a de los Algoritmos y los Sistemas de Ecua-
ciones Lineales 9
1.1. Historia de los Algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Algoritmos y la Resoluci(cid:243)n de Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . 20
1.2.1. MØtodo de la Falsa Posici(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.2. MØtodo de la Doble Falsa Posici(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.3. MØtodo FangCheng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.4. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.5. El mØtodo de los m(cid:237)nimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.6. MØtodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.7. MØtodo iterativo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2.8. MØtodo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.2.9. MØtodo de Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.2.10. Nekrasov y la tasa de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.2.11. MØtodo de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2
2. Soluci(cid:243)n de Sistemas de Ecuaciones 41
2.1. Sistema de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.1. Sistemas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2. MØtodos Matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1. Eliminaci(cid:243)n Gausiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2. Algoritmo del MØtodo de Reducci(cid:243)n de Gauss. . . . . . . . . . 47
2.2.3. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3. Matriz Inversa Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.1. Historia de la Matriz Inversa Generalizada . . . . . . . . . . . 49
2.3.2. Operador vec( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
(cid:1)
2.3.3. El producto de Kronecker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.4. Propiedades y reglas del producto de Kronecker . . . . . . . . 51
2.3.5. La suma de Kronecker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.6. Aplicaciones:soluci(cid:243)ndesistemasdeecuacionesusandoelpro-
ducto de Kronecker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.7. Matrices Inversas Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.8. Las Ecuaciones de Moore-Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.9. Usos de las inversas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3.10. Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.11. Sistemas lineales no homogØneos . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.12. Sistemas Lineales HomogØneos, Nœmero de soluciones . . . . . 66
2.3.13. Sistemas Lineales No HomogØneos: Nœmero de soluciones . . . 67
2.3.14. Sistemas lineales de la forma AXC = B. . . . . . . . . . . . . 69
3. Propuesta DidÆctica 73
3.1. Marco Te(cid:243)rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2. Propuesta DidÆctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.1. Algoritmo para generar una tabla de valores . . . . . . . . . . 85
3.2.2. Algoritmo para Generar la grÆ(cid:133)ca de una funci(cid:243)n lineal ax+
by = c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.3. Algoritmo para generar la ecuaci(cid:243)n a partir de los valores de
a, b y c que se digiten: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3
3.2.4. Algoritmo para hacer la representaci(cid:243)n grÆ(cid:133)ca de un sistema
de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4. ANEXOS 95
4.1. Taller 1: Representaci(cid:243)n GrÆ(cid:133)ca de un Sistema de Ecuaciones 2 2
(cid:2)
con Winplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2. TALLER 2: Gu(cid:237)a Propiedades de las Ecuaciones . . . . . . . . . . . . 106
4.3. TALLER3:PropiedadesdelosSistemasdeEcuacionesLineales(S.E.L.)111
4.4. TALLER 4: MØtodo GrÆ(cid:133)co con Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.5. TALLER5: GenerarunaEcuaci(cid:243)nenExcel aPartirdeDatosDigitados128
CONCLUSIONES 135
BIBLIOGRAFIA 135
4
˝ndice de (cid:133)guras
1.1. El Esp(cid:237)ritu de la AritmØtica tomada de [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2. Papiro de Rhin. Tomado [30] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3. Tomado de Jiu Zhang Suan Shu and the Gauss Algorithm for Linear
Equations[41] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5
Resumen
EsteproyectopresentaunapropuestadidÆcticaparalaenseæanzademØtodosderes-
oluci(cid:243)n de sistema de ecuaciones lineales, apoyado en el uso de software matemÆtico
tal como Winplot y Excel 2013. Winplot permite veri(cid:133)car las propiedades de los
sistemas de ecuaciones lineales, facilita la comprensi(cid:243)n del concepto de sistemas
equivalentes y permite determinar de forma aproximada la soluci(cid:243)n de un sistema
de ecuaciones lineales, todo esto desde el punto de vista grÆ(cid:133)co. Excel por su parte
puede tambiØn apoyar los mismos procesos que Winplot, pero para ello hace fal-
ta implementar algoritmos que realicen este tipo de trabajo, dicha implementaci(cid:243)n
permite al estudiante reforzar los procesos algebraicos que se necesitan para la res-
oluci(cid:243)n de sistemas de ecuaciones lineales.
PalabrasClave:sistemadeecuacioneslineales,algoritmos,Winplot,Excel,mØtodo
desoluci(cid:243)n,hojadecÆlculo,historia,inversageneralizada,mØtodosgrÆ(cid:133)cos,mØtodos
directos, mØtodo matricial, mØtodo algebraico, mØtodos numØricos..
vi
Abstract
This Project shows a didactic proposal for the teaching of solving systems meth-
ods of linear equations, supported in the usage of mathematical software such as
Winplot and Excel 2013. Winplot allows to verify the properties of the systems of
linear equations, facilitating the comprehension of the concept of equivalent systems
and allows to determine in an approximate way the solution of a system of linear
equations, all this from the graphical standpoint. Excel for its part can also support
the same processes that Winplot, but for it it is necessary to implement algorithms
that perform this work, This implementation allows the student to strengthen the
algebraic processes that are needed for solving systems of linear equations.
Keywords: System of linear equations, algorithms, Winplot, Excel, method of so-
lution, spreadsheet, history, generalized inverse, graphical methods, direct methods,
matrix method, algebraic method, numerical methods.
vii