Roba di Analisi 2

68 Pages·2018·1.061 MB·Italian

by  Ananas Maldestro

Roba di Analisi 2
Ananas Maldestro
[email protected]
6 ottobre 2018
1
Indice
1 Serie Numeriche 4
2 Integrali Impropri 16
3 Successioni e Serie di Funzioni 22
4 Topologia in Rn e Spazi Metrici 30
5 Curve 40
6 Funzioni di n variabili a valori scalari 44
7 Campi di Vettori e Forme Differenziali 56
A Appendice 63
A.1 Limiti Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.2 Sviluppi in Serie utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A.3 Disuguaglianze fighe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A.4 Cose che facendo il limite tirano piu` di altre . . . . . . . . . . . . . 66
A.5 Relazioni utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
B Ringraziamenti 68
2
Prefazione
Queste ”dispense” hanno come unico scopo il riassumere il programma del corso
di Analisi Matematica 2 (A.A. 2017/2018) per il primo anno del corso di laurea
in fisica a Padova con il prof. Fabio Paronetto, riportando tutte le definizioni
e teoremi, e osservazioni importanti per il ripasso per gli esami scritto e orale.
Sono inoltre stati aggiunte cose (definizioni, teoremi e osservazioni) non facenti
parte del nostro corso, ma di interesse dell’autore, per approfondire alcuni argo-
menti (soprattutto nella sezione di topologia). Non essendo io n´e matematico n´e
studiatissimo(1), potrebbero esserci delle sviste che prego i gentili lettori e milioni
di fans di riferire all’indirizzo mail in Front Page.
Vi invito ora a spegnere i telefoni cellulari e godervi lo spettacolo, buona visione.
Notazioni
(2)
Simbolo Significato
D Fatto e dimostrato con Paronetto
N Fatto e non dimostrato con Paronetto
1Ma molto volenteroso e appassionato Lol
2I teoremi non contrassegnati con questi due simboli non sono stati svolti a lezione
3
1 Serie Numeriche
Why so Series?
Definizioni
(cid:63) Serie
∞ n
(cid:88) (cid:88)
a := lim a
k k
n→+∞
k=0 k=0
∞
(cid:80)
(cid:63) Carattere di una serie a :
n
n=0
- converge se il limite esiste ed `e finito.
- diverge se il limite esiste ed `e ±∞.
- `e indeterminata/indefinita/irregolare se il limite non esiste.
∞
(cid:63) Convergenza assoluta La serie (cid:80) |a | converge.(3)
n
n=0
(cid:80) (cid:80)
(cid:63) Prodotto di Cauchy. ”Prodotto” tra a e b :
n n
n
(cid:88) (cid:88)
c , c := a b
n n k n−k
k=0
Teoremi/Criteri
• D Criterio di Cauchy(4)(5):
∞
(cid:88)
a converge ⇐⇒ lim supS −S = 0
n N+p N
N→∞p∈N
n=0
3vs convergenza semplice
4Per serie reali
k
5S = (cid:80)a
k i
i=0
4
DIM
Successione di Cauchy⇒ convergente (cid:3)
• D
∞
(cid:88)
a converge ⇒ lim a = 0
n n
n→∞
n=0
DIM
∞
a = s −s (6), (cid:80) a = L:
n n n−1 n
n=0
lim a = lim (s −s ) = L−L = 0 (cid:3)
n n n−1
n→+∞ x→+∞
• D Confronto a ≥ 0, b ≥ 0 ∀j ∈ N, a ≤ b definitivamente:
j j n n
∞ ∞
(cid:88) (cid:88)
b converge ⇒ a converge
n n
n=0 n=0
∞ ∞
(cid:88) (cid:88)
a diverge ⇒ b converge
n n
n=0 n=0
DIM
s (a) ≤ s (b). Monotonia ⇒ limite esiste ⇒ carabinieri, tesi, easy
n n
(teasy(7)). (cid:3)
• D Confronto asintotico a ≥ 0, b ≥ 0 ∀j ∈ N,
j j
a
lim n = l, l ∈ R+
n→∞ bn
∞ ∞
(cid:88) (cid:88)
I)l ∈ (0,+∞) ⇒ a e b hanno lo stesso carattere
n n
n=0 n=0
∞ ∞
(cid:88) (cid:88)
II)l = 0: b converge ⇒ a converge
n n
n=0 n=0
n
6s = (cid:80) a
n n
k=0
7lol
5
∞ ∞
(cid:88) (cid:88)
a diverge ⇒ b diverge
n n
n=0 n=0
∞ ∞
(cid:88) (cid:88)
III)l = +∞: a converge ⇒ b converge
n n
n=0 n=0
∞ ∞
(cid:88) (cid:88)
b diverge ⇒ a diverge
n n
n=0 n=0
DIM
(cid:12) (cid:12)
I) ∃ν ∈ N t.c. (cid:12)an −l(cid:12) < l, ∀n > ν. 1lb < a < 3lb . Per confronto ⇒
(cid:12)bn (cid:12) 2 2 n n 2 n
stesso carattere.
II) ∃ν ∈ N t.c. an < 1 definitivamente ⇒ confronto ⇒ vittoria.
bn III) uguale a II). (cid:3)
• D Radice a ≥ 0, ∀n ∈ N:
n
∞
√ (cid:88)
n a ≤ h, h ∈ (0,1) definitivamente ⇒ a converge
n n
n=0
(8)
∞
√ (cid:88)
n a ≥ h, h ≥ 1 frequentemente ⇒ a diverge
n n
n=0
DIM
√
h ∈ (0,1) ∃ν ∈ N t.c. n a ≤ h, ∀n > ν ⇒ a ≤ hn (n > ν), (cid:80)hn
n n
converge, confronto, bella.
h ≥ 1 : frequentemente a ≥ hn > 1 infinite volte ⇒ La non puo` convergere
n
(a deve tendere a 0). (cid:3)
n
• D Rapporto a ≥ 0, ∀n ∈ N:
n
∞
a (cid:88)
n+1
≤ h,h ∈ (0,1), definitivamente ⇒ a converge
n
a
n
n=0
∞
a (cid:88)
n+1
≥ h,h ≥ 1, definitivamente ⇒ a diverge
n
a
n
n=0
DIM
√
8No, non basta dire nan <1 definitivamente
6
I)Definitivamente (da un certo ν ∈ N in poi) an+1 ≤ h < 1 ⇒ a ≤ ha ,
an n+1 n
induttivamente a ≤ hka ⇒ a ≤ a hnh−ν ∀n > ν, la roba a destra
ν+k ν n ν
converge (costante×serie geometrica pulita), confronto ⇒ win
II) (dal solito ν in poi) an+1 ≥ 1 ⇒ palesentente schifosa, definitivamente
an
cresce, non le resta altro che andarsene verso l’infinito e oltre.(9) (cid:3)
 
In realt`a i veri teoremi della radice e rapporto sarebbero:
√
 Rad)α := limsupn→+∞ n an : 
 ∞ 
 (cid:80) 
(α < 1) a converge
 n 
 n=0 
 ∞ 
 (α > 1) (cid:80) a diverge 
 n 
 n=0 
 (α = 1) mistero 
 
 ∞ 
 Rap)limsup an+1 < 1 (cid:80) a converge 
 n→+∞ an n 
 n=0 
 an+1 ≥ 1 definitivamente ⇒ (cid:80)∞ a diverge 
 an n 
 n=0 
 Le dimostrazioni sono praticamente identiche, questa formulazione 
`e un po’ piu` forte ed `e tipo quella dei prossimi corollari
• D Corollario. a ≥ 0, ∀n ∈ N:
n
√
limsup n a = l ∈ R+
n
n→+∞
∞
(cid:88)
l ∈ [0,1) ⇒ a converge
n
n=0
∞
(cid:88)
l > 1 ⇒ a diverge
n
n=0
DIM
√
I) Da definizione di limsup definitivamente n a < l+(cid:15), (cid:15) furbo t.c.
n
l+(cid:15) < 1 ⇒ Criterio della radice servito su un piatto d’argento.
II) l > 1 sempre per la definizione di limsup definitivamente (quindi
√
frequentemente) n a ≥ 1, ciaone. (cid:3)
n
• D Corollario. a ≥ 0, ∀n ∈ N:
n
a
limsup n+1 = l ∈ R+
a
n→+∞ n
9Nel secondo caso, dev’essere def e non freq senn`o cose che decrescono bene tipo oscillando
un pochino verrebbero sminchiate
7
∞
(cid:88)
l ∈ [0,1) ⇒ a converge
n
n=0
a
n+1
lim = L
n→+∞ an
∞
(cid:88)
L > 1 ⇒ a diverge
n
n=0
DIM
Vedi considerazioni sopra. (cid:3)
• Thm a ≥ 0, ∀n ∈ N:
n
c √ √ c
n+1 n+1
liminf ≤ liminf n c ≤ limsup n c ≤ limsup
n n
n→+∞ cn n→+∞ n→+∞ n→+∞ cn
DIM
Prima disuguaglianza `e molto simile alla terza, la seconda `e banale.
Dimostro la terza.
c
n+1
α := limsup
c
n→+∞ n
Per α = +∞ non c’`e nulla da dimostrare. Per α finito: definitivamente
(n > ν) cn+1 ≤ α. Induttivamente (tipo vedi passaggi del crit del rapporto
cn
mi pare) c ≤ αkc , riscritto in modo furbo, c ≤ c αnα−ν.
ν+k ν √ n ν
limsup n c ≤ α. (cid:3)
n
n→+∞
• D Condensazione di Cauchy a ≥ 0, ∀n ∈ N, {a } decrescente(10)(11):
n n n∈N
∞ ∞
(cid:88) (cid:88)
a ∼ 2na
n 2n
n=0 n=0
DIM
Per n ≤ 2k, k ∈ N:
N
(cid:80)
s = a ≤ a +(a +a )+···+(a +···+a ) ≤
N n 1 2 3 2k 2k+1−1
n=1
k
a +2a +···+2ka = (cid:80) 2na .
1 2 2k n
n=0
10∼ stesso carattere
11E` straimportante che sia decrescente
8
Per n > 2k:
s ≥ a +a +(a +a )+···+(a +···+a ) ≥
N 1 2 3 4 2k−1+1 2k
k
1a +a +2a +···+2k−1a = 1 (cid:80) 2na
2 1 2 4 2k 2 n
n=0
k
Per carabinieri (o confronto) s `e schiacciata dalla somma (cid:80) 2na (a
N n
n=0
meno di costante moltiplicativa 1), quindi ha lo stesso carattere (`e
2
monoto`na quindi deve avere limite). (cid:3)
• D Leibniz (segno alterno) a ≥ 0, a ≤ a ∀n ∈ N,
n n+1 n
lim a = 0 :
n
n→+∞
∞
(cid:88)
(−1)na converge
n
n=0
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:88)∞ (cid:12)
(cid:12) (−1)na (cid:12) ≤ a
(cid:12) n(cid:12) k+1
(cid:12) (cid:12)
n=k+1
DIM
Volendo `e una conseguenza del criterio di Dirichlet (che si vedr`a fra poco).
Senno`: 1)s = s −a +a ≤ s
2(n+1) 2n 2n+1 2n+2 2n
2)s = s −a +a ≥ s
2(n+1)+1 2n+1 2n+3 2n+2 2n+1
3)s −s = a ≥ 0 (facile)
2n 2n+1 2n+1
Dalle prime due si trova che {s } `e decrescente e {s } `e
2n n∈N 2n+1 n∈N
crescente, quindi ammettono limite. Dalla terza si trova che
s ≥ s ≥ s ≥ s , quindi {s } `e inferiormente limitata e analogamente
0 2n 2n+1 1 2n
{s } `e superiormente limitata. Quindi ammettono limiti finiti:
2n+1
l := lim s ∈ R e l := lim s ∈ R. Per la relazione 3) e per l’ipotesi
p 2n d 2n+1
n→+∞ n→+∞
che lim a = 0, lim (l −l ) = a = 0 ⇒ l = l .
n p d 2n+1 p d
n→+∞ n→+∞
Inoltre |s−s | ≤ |s −s | = a e |s−s | ≤ |s −s | = a
2n 2n+1 2n 2n+1 2n−1 2n 2n−1 2n
⇒ ∀k ∈ N |s−s | ≤ a . (cid:3) (12)
k k+1
• D Serie di Potenze (cid:80)c zn:(13)
n
(cid:112) 1
α = limsup n |c |, R :=
n
α
n→+∞
12sta cosa si pu`o fare perch´e {s }(cid:83){s }=s
2n 2n+1 n
13Opportune convenzioni su R
9
(cid:88)
|z| < R ⇒ c zn converge, |z| > R ⇒ diverge
n
DIM
criterio della radice: limsup|z|(cid:112)n |c | = |z|. (cid:3)
n R
n→+∞
n
• D Sommazione per Parti {a },{b }, A = (cid:80)a (14). 0 ≤ p ≤ q:
n n n i
i=0
q q−1
(cid:88) (cid:88)
a b = A (b −b )+A b −A b
n n n n n+1 q q p−1 p
n=p n=p
In particolare:
N N−1
(cid:88) (cid:88)
a b = (A −A )b +A b
n n n n−1 n N N
n=0 n=0
DIM
q q q q−1
(cid:80) (cid:80) (cid:80) (cid:80)
a b = (A −A )b = A b − A b che `e palesemente
n n n n−1 n n n n n+1
n=p n=p n=p n=p−1
uguale alla tesi. (cid:3)
• D Convergenza Assoluta(15):
∞ ∞
(cid:88) (cid:88)
|a | converge ⇒ a converge
n n
n=0 n=0
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)(cid:88)∞ (cid:12) (cid:88)∞
(cid:12) a (cid:12) ≤ |a |
(cid:12) n(cid:12) n
(cid:12) (cid:12)
n=0 n=0
DIM
Disuguaglianza ”triangolare”+criterio di Cauchy. (cid:3)
• D Dirichlet {a } ⊂ R,{a } . Se ∃M > 0 t.c.:
n n∈N n n∈N
I)a > 0 definitivamente
n
II)a ≤ a definitivamente
n+1 n
III) lim a = 0
n
n→+∞
14In caso A =0
−1
15Anche per serie a termini complessi
10