Risiko Aggregation und Schranken des Value at Risk

114 Pages·2015·1.26 MB·German

Risiko Aggregation und
Schranken des Value at Risk
Masterarbeit
zur Erlangung des akademischen Grades
Master of Science
Westf¨alische Wilhelms-Universit¨at Mu¨nster
Fachbereich Mathematik und Informatik
Institut fu¨r Mathematische Statistik
Betreuung:
PD Dr. Volkert Paulsen
Eingereicht von:
¨
Josef Ure
Mu¨nster, den 14. Dezember 2015

i
Zusammenfassung
In dieser Arbeit werden Methoden der Risikoaggregation unter Beachtung verschiedener
Szenarien der Abh¨angigkeitsstrukturen behandelt. Einige Methoden unterliegen zum
Beispiel der Pr¨amisse, dass nur teilweise oder auch vollst¨andig u¨ber die Art der Wech-
selwirkungen zwischen den Risiken Informationen existieren. Insbesondere werden wir
zwischen partiellen bzw. vollst¨andigen Abh¨angigkeitsstrukturen unterscheiden. Letzteres
Szenario l¨asst eine nahezu exakte Aggregation der Risiken zu.
Andere Methoden werden fu¨r den Fall erarbeitet, dass keine Informationen u¨ber die
Abh¨angigkeitsstrukturen des Portfolios verfu¨gbar sind. Unter einem derartigem Szenario
wird das aggregierte Risiko durch eine obere und untere Schranke eines Risikomaßes
eingegrenzt. Dann kann das aus dem Finanzsektor bekannte Risikomaß Value at Risk
herangezogen werden, um Risiko zu quantifizieren.
Wir werden in dieser Arbeit beide F¨alle beschreiben. Im Zusammenhang der Er-
mittlung der Schranken des Value at Risk wird ein Algorithmus hergeleitet, um diese
auch numerisch zu l¨osen. Im Anschluss wird dieser auf ein fiktives Risikoportfolio
angewendet und vergleichen die Resultate mit denen eines Portfolios mit bekannter
Abh¨angigkeitsstruktur.
ii
Eidesstattliche Erkl¨arung
Hiermit versichere ich, Josef U¨re, dass ich die vorliegende Arbeit selbstst¨andig verfasst
und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet habe. Ge-
danklich, inhaltlich oder w¨ortlich u¨bernommenes habe ich durch Angabe von Herkunft
und Text oder Anmerkung belegt bzw. kenntlich gemacht. Dies gilt in gleicher Weise
fu¨r Bilder, Tabellen, Zeichnungen und Skizzen, die nicht von mir selbst erstellt wurden.
Alle auf der CD beigefu¨gten Programme sind von mir selbst programmiert worden.
Mu¨nster, 14. Dezember 2015
Vorname Nachname
iii
Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
1 Grundlagen 3
1.1 Das allgemeine Fr´echet-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Beschreibung von Abh¨angigkeitsstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Methoden der Risikoaggregation 16
2.1 Methoden mit unbekannter Abh¨angigkeitsstruktur . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Methode der Standard-Schranken . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Methode der bedingten ersten Momente . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.3 Methode der Dual-Schranken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Methoden mit partieller und vollst¨andiger Abh¨angigkeitsstruktur . . . . 36
2.2.1 vollst¨andige Informationen der Abh¨angigkeiten . . . . . . . . . . 36
2.2.2 partielle Informationen der Abh¨angigkeiten . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Allgemeine Systeme von Randverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1 Reduktionsmethode: Star-like System . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.2 Allgemeine Reduktionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Der Rearrangement-Algorithmus 59
4 Numerische Anwendung des RA 68
4.1 Quantifizierung von Value at Risk-Schranken mittels RA . . . . . . . . 69
4.2 Quantifizierung mittels einer Gumbel-Struktur . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Fazit und Ausblick 80
A Appendix 82
A.1 Archimedische Copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
A.2 Pearsons Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A.3 Heavy-tail Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A.4 Tail-Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Inhaltsverzeichnis iv
B Programmcodes der berechneten Einzel Risiken und des Rearrangement-
Algorithmus 85
B.1 MATLAB-Code fu¨r Werte der Tabelle 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 85
B.2 MATLAB-Code fu¨r Werte der Tabelle 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Literaturverzeichnis 102
v
Abku¨rzungsverzeichnis
(Ω,A,P) Wahrscheinlichkeitsraum mit Filtration A und W-maß P
X Risiko der Position i
i
L0 Menge aller Zufallsvariablen
M beschr¨ankte Menge von Risikopositionen
VaR Value at Risk zum Signifikanzniveau α
α
F Fr´echet-Klasse
n
VaRmax maximale Value at Risk zum Siginfikanzniveau α
α
VaRmin minimale Value at Risk zum Siginfikanzniveau α
α
C Copula Abbildung
Cd duale Abbildung von C
C u¨berlebenden Copula
F Randverteilung der Risikoposition i
i
F gemeinsame Verteilung des Portfolios
X
M obere Fr´echet-Hoeffding-Schranke
n
W untere Fr´echet-Hoeffding-Schranke
n
Π Unabh¨angigkeitscopula
CCl Clayton-Copula mit Parameter θ
θ
CPa Pareto-Copula mit Parameter γ
γ
CF Frank-Copula mit Parameter δ
δ
Inhaltsverzeichnis vi
CG Gumbel-Copula mit Parameter θ
θ
(cid:22) positiv orthant upper dependence Ordnung
PUOD
(cid:22) positiv orthant lower dependence Ordnung
PLOD
M(s) maximale aggregierte Tail-Verteilung
m(s) minimale aggregierte Tail-Verteilung
Sb(s) obere Standard-Schranke des Fr´echet-Problems
sb(s) untere Standard-Schranke des Fr´echet-Problems
VM vollst¨andig mischbar
D(s) obere Dual-Schranke des Fr´echet-Problems
F allgemeine Fr´echet-Klasse
E
E
VaR obere Value at Risk-Schranke bzgl. der allgemeinen Fr´echet-Klasse
α
VaRE untere Value at Risk-Schranke bzgl. der allgemeinen Fr´echet-Klasse
α
M obere aggregierte Tail-Verteilung bzgl. allgemeine Fr´echet-Klasse
E
m untere aggregierte Tail-Verteilung bzgl. allgemeine Fr´echet-Klasse
E
F u¨berlappende Fr´echet-Klasse
Enon
F reduzierte Fr´echet-Klasse
H
S obere Standard-Schranke bzgl. der reduzierten Fr´echet-Klasse
H
s untere Standard-Schranke bzgl. der reduzierten Fr´echet-Klasse
H
D obere Dual-Schranke bzgl. der reduzierten Fr´echet-Klasse
H
d untere Dual-Schranke bzgl. der reduzierten Fr´echet-Klasse
H
d
= gleich in Verteilung
RA Rearrangement-Algorithmus
LN(m,v) Log-Normal-Verteilung mit Parameter m und v
GP(k,σ,θ) allgemeine Pareto-Verteilung mit Parameter k, σ und θ
EKU Eigenkapitalunterlegung
Inhaltsverzeichnis vii
bzw. beziehungsweise