Table Of ContentRingtheorie
Prof.Dr.Burkhard Külshammer
Semester: SS 2011
Vorwort
Dieses Dokument wurde als Skript für die auf der Titelseite genannte Vorlesung erstellt und
wird jetzt im Rahmen des Projekts „Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und
Informatik“ weiter betreut. Das Dokument wurde nach bestem Wissen und Gewissen ange-
fertigt. Dennoch garantiert weder der auf der Titelseite genannte Dozent, die Personen, die
andemDokumentmitgewirkthaben,nochdieMitgliederdesProjektsfürdessenFehlerfrei-
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Jeder ist dazu aufgerufen, Verbesserungen, Erweiterungen und Fehlerkorrekturen für das
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der oben genannten Internetadresse verfügbar.
Hiermit möchten wir allen Personen, die an diesem Skript mitgewirkt haben, vielmals dan-
ken:
• Jens Kubieziel <[email protected]> (2011)
3
Inhaltsverzeichnis
1. KategorienundFunktoren 10
2. NatürlicheTransformationenundÄquivalenzen 15
3. Ringe,TeilringeundIdeale 19
4. Ringhomomorphismen 26
5. Moduln 28
6. Einfache,halbeinfacheRingeundModuln 35
7. DasJacobson-Radikal 38
8. LokaleRingeundunzerlegbareModuln 43
9. FreieundprojektiveModuln 50
10.InjektiveModuln 59
11.InjektiveHüllenundprojektiveDecken 65
12.SemiperfekteRingeundIdempotente 71
13.DasTensorprodukt 77
14.Bimoduln 84
15.Moritatheorie 90
A. Übungsaufgaben 97
A.1. Übungsblatt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A.2. Übungsblatt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.3. Übungsblatt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.4. Übungsblatt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.5. Übungsblatt 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.6. Übungsblatt 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A.7. Übungsblatt 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4
Inhaltsverzeichnis
A.8. Übungsblatt 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.9. Übungsblatt 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A.10.Übungsblatt 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
A.11.Übungsblatt 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A.12.Übungsblatt 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.13.Übungsblatt 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5
Auflistung der Theoreme
Sätze
Satz 4.1. Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Satz 4.2. 1.Isomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Satz 4.3. 2.Isomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Satz 4.4. Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Satz 5.1. Dedekind-Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Satz 5.2. 3.Isomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Satz 5.3. Verfeinerungssatz von Schreier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Satz 5.4. Satz von Jordan-Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Satz 6.1. Schurs Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Satz 6.7. Satz von Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Satz 7.3. Nakayamas Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Satz 7.8. Hopkins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Satz 8.6. Azumaya-Krull-Remak-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Satz 8.7. Satz von Schröder-Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Satz 8.8. Fittings Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Satz 13.2.Universelle Eigenschaft des Tensorprodukts. . . . . . . . . . . . . . . . 78
Satz 14.3.Frobenius-Nakayama-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6
Inhaltsverzeichnis
Definitionen und Festlegungen
Definition 1.1. Kategorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Definition 1.2. Teilkategorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Definition 1.3. Funktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Definition 1.4. Isomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Definition 1.5. Isomorphe Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Definition 1.6. mono, epi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Definition 1.7. Sektion, Retraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Definition 1.8. Initial-, Finalobjekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Definition 2.1. Natürliche Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Definition 2.2. Natürliche Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Definition 2.3. Natürlich äquivalente Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Definition 2.4. Äquivalente Kategorien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Definition 2.5. Rechts- und linksadjungierte Funktoren . . . . . . . . . . . . . . 18
Definition 3.1. Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Definition 3.2. Invertierbar, Invers, Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Definition 3.3. Nullteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Definition 3.4. Idempotentes und nilpotentes Element . . . . . . . . . . . . . . . 21
Definition 3.5. Teilring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Definition 3.6. Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Definition 3.7. Maximales Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Definition 3.8. Primideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Definition 3.9. Semiprimideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Definition 3.10.Semiprimer Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Definition 4.1. Ringhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Definition 5.1. Linksmoduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Definition 5.2. Untermodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Definition 5.3. Lineare Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Definition 5.4. Untermodulreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7
Inhaltsverzeichnis
Definition 5.5. Kompositionsreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Definition 5.6. noethersch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Definition 5.7. artinsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Definition 5.9. Links-, rechtsnoethersch, -artinsch bzw. linksartinsch . . . . . . . 34
Definition 6.1. Maximales und minimales Linksideal . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Definition 6.2. Direkte Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Definition 6.3. Halbeinfacher, vollständig reduzibler Modul . . . . . . . . . . . . 36
Definition 6.4. Halbeinfacher Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Definition 7.1. Radikal, Sockel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Definition 7.2. Jacobson-Radikal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Definition 8.1. Lokaler Ring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Definition 8.2. Unzerlegbarer Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Definition 9.1. Linear unabhängige Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Definition 9.2. Freier Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Definition 9.3. Kurze exakte Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Definition 9.4. Projektiver Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Definition 9.5. Linksexakter, exakter Funktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Definition 10.1.Injektiver Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Definition 10.2.Wesentlicher Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Definition 11.1.Injektive Hülle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Definition 11.2.Kleiner, überflüssiger Untermodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Definition 11.3.Projektive Decke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Definition 12.1.Idempotent heben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Definition 12.2.Orthogonale Idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Definition 13.1.Ausgeglichene Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Definition 13.2.Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Definition 13.3.Kanonischer Isomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Definition 13.4.Flacher Modul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Definition 14.1.Bimodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8
Inhaltsverzeichnis
Definition 14.2.Additiver Funktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Definition 14.3.Morita-äquivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Definition 14.4.(Pro)Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Definition 15.1.Morita-Kontext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9
1. Kategorien und Funktoren
Definition 1.1 (Kategorie)
Eine Kategorie besteht aus
(i) einer Klasse C und die Elemente einer Klasse heißen Objekte,
(ii) einer Menge C(A,B) und die Elemente der Menge heißen Morphismen von A
f
nach B.1 Wirschreiben A −→ B oder f: A → B zujedemPaar (A,B) vonObjekten
in C,
(iii) einerAbbildungC(B,C)×C(A,B) → C(A,C)mit(g, f) (cid:55)→ g◦ f.DieseAbbildung
heißt Komposition. Dabei verlangt man:
a) C(A,B)∩C(C,D) = ∅, falls (A,B) (cid:54)= (C,D) für alle A,B,C,D ∈ C gilt.
f g h
b) h◦(g◦ f) = (h◦g)◦ f für alle A −→ B −→ C −→ D in C.
c) Für alle A ∈ C existiert ein id ∈ C(A,A) mit f ◦id = f und id ◦g = g
A A A
für alle A (cid:29)f B in C.
g
Bemerkung 1.1
(i) SindMorphismenundKompositionenklar,sosagtmanauch, C isteineKategorie.
(ii) Bekanntlichistdie„Gesamtheit“allerMengenkeineMenge.UmsolcheWidersprü-
che zu vermeiden, spricht man von „Klassen“. Wir werden Klassen nicht genau
definieren. Aber z.B. ist die Gesamtheit aller Mengen eine Klasse.
(iii) Für A ∈ C ist die Identität id eindeutig bestimmt.
A
Beispiel 1.1
(a) MengenundAbbildungenbildeneineKategorieSet.Für A,B ∈ SetistSet(A,B) =
Abb(A,B) die Menge aller Abbildungen von A nach B.
(b) Gruppen und Gruppenhomomorphismen bilden eine Kategorie Gr.
(c) Für jeden Körper K bilden die K-Vektorräume und K-linearen Abbildungen eine
Kategorie Vec.
K
Definition 1.2 (Teilkategorie)
Eine Kategorie D heißt Teilkategorie einer Kategorie C, falls gilt:
1Nach[12]sindObjekteimmerMengen.
10
