RIEMANN MANİFOLDLARI ÜZERİNDEKİ BAZI ÖZEL YAPILAR VE

106 Pages·2016·1.29 MB·Turkish

RIEMANN MANİFOLDLARI ÜZERİNDEKİ
BAZI ÖZEL YAPILAR VE -KONNEKSİYONLAR

Çağrı KAR𝑭AMAN

Doktora Tezi
Matematik Anabilim Dalı
Geometri Bilim Dalı
Doç. Dr. Aydın GEZER
2016
Her hakkı saklıdır
ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

RIEMANN MANİFOLDLARI ÜZERİNDEKİ BAZI ÖZEL
YAPILAR VE -KONNEKSİYONLAR

𝑭

Çağrı KARAMAN

MATEMATİK ANABİLİM DALI
Geometri Bilim Dalı

ERZURUM
2016

Her hakkı saklıdır

ÖZET
Doktora Tezi
RIEMANN MANİFOLDLARI ÜZERİNDEKİ BAZI ÖZEL YAPILAR VE -
KONNEKSİYONLAR
𝑭
Çağrı KARAMAN
Atatürk Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Geometri Bilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Aydın GEZER
Bu tezde ilk olarak, bölgesel ayrıştırılabilir altın Riemann manifoldu üzerinde yarı-
simetrik burulmaya sahip, altın yarı-simetrik metrik -konneksiyon oluşturulmuştur.
Oluşturulan bu konneksiyonun burulma ve eğrilik tensörleri hesaplanıp, bu tensörlerle
𝐹𝐹
ilgili özelliklere bakılmıştır ve bu konneksiyonla ilgili örnek verilmiştir. İkinci olarak
altın yarı-simetrik metrik -konneksiyon ile aynı burulmaya sahip, altın yarı-simetrik
metrik olmayan -konneksiyonlar oluşturulmuştur. Eğrilik tensörlerinin özelliklerine
𝐹𝐹
bakılan bu konneksiyonun, dual konneksiyonu hesaplanarak, çalışmalar yapılmıştır. Son
𝐹𝐹
olarak, metalik Riemann manifoldları üzerinde metalik yapısının başka bir
integrallenebilme şartı Tachibana operatörü yardımıyla verilerek, bu yapıyla ilgili
𝐽
örnekler sunulmuştur.
2016, 95 sayfa
Anahtar Kelimeler: Yarı simetrik metrik ve metrik olmayan -konneksiyonlar, Altın
Riemann manifold, Metalik Riemann manifold, Pür tensör, Tachibana operatör.
𝐹𝐹
i
ABSTRACT
Ph. D. Thesis
THE SOME STRUCTURES AND -CONNECTIONS ON RIEMANN
MANIFOLDS
𝑭
Çağrı KARAMAN

Atatürk University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Discipline of Geometry
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Aydın GEZER
In this thesis, firstly, a golden semi-symmetric metric -connection is constructed on
locally decomposable golden Riemann manifolds with semi-symetric torsion. Torsion
𝐹𝐹
and curvature tensor of the connection are calculated and their properties are examined.
Also example is given regarding the connection. Secondly, golden semi-symmetric
non-metric -connections having the semi-symmetric tensor are constructed. Their
curvature proporties are studied. Then, dual connections of the golden semi-symmetric
𝐹𝐹
non-metric -connections are introduced and studied. Finally, another integrability
condition for the metallic structure on the metallic Riemann manifolds is given by
𝐹𝐹
using Tachibana operator and examples are presented for this structure.
𝐽
2016, 95 pages
Keywords: Semi-symmetric metric and non-metric -connections, Golden Riemann
manifold, Metallic Riemann manifold, Pure tensor, Tachibana operator.
𝐹𝐹
ii
TEŞEKKÜR
Doktora tezi olarak sunduğum bu çalışma Atatürk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik
Bölümünde yapılmıştır.
Bu tez konusunu çalışmamı sağlayan, her adımda bilgilerini esirgemeyen, çok değerli
danışmanım Sayın Doç. Dr. Aydın GEZER’e ve her türlü yardımlarından dolayı Doç.
Dr. Murat İŞCAN’a en içten dileklerimle saygılarımı sunarım.
Ayrıca, çalışmalarım esnasında kendilerinden görmüş olduğum destek ve sonsuz
güvenden dolayı aileme ve arkadaşlarıma teşekkür ederim.
Çağrı KARAMAN
Ocak - 2016

iii
İÇİNDEKİLER

ÖZET.................................................................................................................................. i
ABSTRACT ....................................................................................................................... i
TEŞEKKÜR ...................................................................................................................... ii
SİMGELER DİZİNİ......................................................................................................... vi
ŞEKİLLER DİZİNİ ......................................................................................................... vii
1. GİRİŞ ....................................................................................................................... 1
2. KURAMSAL TEMELLER ................................................................................. 10
2.1. Tensörler .............................................................................................................. 10
2.2. Diferensiyellenebilir Manifoldlar ........................................................................ 12
2.3. Tanjant Vektörler ve Vektör Alanları ................................................................. 14
2.4. Kotanjant Vektörler ve 1-Formlar ....................................................................... 17
2.5. Tensör Diferensiyellemesi ................................................................................... 18
2.6. Lie Operatörü ve Lie Türevi ................................................................................ 19
2.7. Lineer Konneksiyon ve Kovaryant Türev ........................................................... 21
2.8. Eğrilik ve Burulma Tensörleri ............................................................................. 22
2.9. Riemann Manifoldu ............................................................................................. 24
2.10. Afinor ................................................................................................................ 27
2.11. Dış Cebir ve Dış Türev ...................................................................................... 28
3. MATERYAL ve YÖNTEM ................................................................................. 30
3.1. Tachibana Operatörü ........................................................................................... 31
3.1.1 Tipli Tensör Alanına Uygulanan Tachibana Operatörü .......................... 32
3.2. Altın Reimann Manifoldlar ................................................................................. 33
(p,q)
3.3. Altın Riemann Manifoldların İntegrallenebilirliği .............................................. 33
3.4. Metalik Riemann Manifoldlar ............................................................................. 36
3.5. Yarı-Simetrik Metrik -Konneksiyonlu Manifoldlar .......................................... 38
3.6. Tipli Tensör demet .................................................................................... 38
F
4. ARAŞTIRMA BULGULARI ve TARTIŞMA ................................................... 42
(p,q)
4.1. Altın Yarı-Simetrik Metrik -Konneksiyonlar .................................................... 42
F
iv
4.1.1. Altın Yarı-Simetrik Metrik -Konneksiyonların Burulma Özellikleri ............ 43
4.1.2. Altın Yarı-Simetrik Metrik -Konneksiyonların Eğrilik Özellikleri .............. 49
F
4.1.3. Altın Yarı-Simetrik Metrik -Konneksiyonların Transpozu ............................ 62
F
4.2. Altın Yarı-Simetrik Metrik Olmayan -Konneksiyonlar .................................... 66
F
4.2.1. Dual Altın Yarı-Simetrik Metrik Olmayan -Konneksiyonlar ........................ 77
F
4.2.2. Genelleştirilmiş Altın Yarı-Simetrik Metrik olmayan -Konneksiyonlar ....... 79
F
4.3. Bölgsel Ayrıştırılabilir Metalik Riemann Manifoldlar ........................................ 81
F
4.3.1. Konformal Metriklere Sahip Metalik Riemann Manifoldlar ........................... 84
4.3.2 Metalik Riemann Manifoldlar ile İlgili Örnekler .............................................. 85
5. SONUÇ .................................................................................................................. 91
KAYNAKLAR ............................................................................................................... 93
ÖZGEÇMİŞ .................................................................................................................... 96

v
SİMGELER DİZİNİ
Altın Yapı
Birim Afinor Alanı
𝐹𝐹
Çarpım Yapı
𝐼
Dual Yarı-simetrik Metrik Olmayan -Konneksiyon
𝜑𝜑
𝐷
∇� Dual Yarı-simetrik Metrik Olmayan 𝐹𝐹-Konneksiyonun Eğrilik Tensörü
𝐷 𝑙
𝑅�𝑖𝑗 𝑘 Dual Yarı-simetrik Metrik Olmayan 𝐹𝐹-Konneksiyonun Katsayıları
𝐷 𝑘
Γ�𝑖𝑗 Metalik Riemann Eğrilik Tensörü 𝐹𝐹
𝑀 𝑙
𝑅 𝑖 𝑗 𝑘 Metalik Yapı
Kontraksiyon Operatörü
𝐽
𝐶𝐶 Riemann Eğrilik Tensörü
𝑙
𝑅 𝑖 𝑗 𝑘 Riemann Konneksiyonu
Riemann Konneksiyonunun Katsayıları
∇
𝑘
Γ𝑖 𝑗 Riemann Metriği
𝑔 Pür Çarpım
𝐶
Tachibana Operatörü
⨂
𝜙𝐹 Tensör Çarpımı
Vektör Alanına Göre Lie Türevi
⨂
𝐿𝑋 𝑋 Vektör Alanına Göre Kovaryant Türev
∇ X 𝑋Yarı-simetrik metrik -Konneksiyon
∇� Yarı-simetrik Metrik 𝐹𝐹-Konneksiyonun Eğrilik Tensörü
𝑙
𝑅�𝑖𝑗 𝑘 Yarı-simetrik Metrik 𝐹𝐹-Konneksiyonun Katsayıları
𝑘
Γ�𝑖 𝑗 Yarı-simetrik Metrik 𝐹𝐹Olmayan -Konneksiyon
∇� Yarı-simetrik Metrik Olmayan 𝐹𝐹-Konneksiyonun Eğrilik Tensörü
𝑙
𝑅�𝑖𝑗 𝑘 Yarı-simetrik Metrik Olmayan 𝐹𝐹-Konneksiyonun Katsayıları
𝑘
Γ�𝑖𝑗 Yarı-simetrik Konneksiyonun B𝐹𝐹urulma Tensörü
𝑘
𝑆𝑖𝑗
vi
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 1.1. Altın Yapının Elde Edilişi (Altın Dikdörtgen).................................................. 4
Şekil 2.1. Diferensiyellenebilir Atlas .............................................................................. 14
vii