Revêtements galoisiens et groupe fondamental d'algèbres de dimension finie

173 Pages·2017·1.91 MB·French

by  Patrick Le Meur

Revêtements galoisiens et groupe fondamental
d’algèbres de dimension finie
Patrick Le Meur
To cite this version:
Patrick Le Meur. Revêtements galoisiens et groupe fondamental d’algèbres de dimension finie. Math-
ématiques [math]. Université Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc, 2006. Français.
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HAL Id: tel-00011753
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abroad, or from public or private research centers. publics ou privés.
UNIVERSITÉ MONTPELLIER II
SCIENCES ET TECHNIQUES DU LANGUEDOC
THÈSE
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ MONTPELLIER II
Discipline : Mathématiques (section CNU : 25)
Formation Doctorale : Mathématiques
École Doctorale : Information, Structures, Systèmes
présentée et soutenue publiquement
par
Patrick LE MEUR
le 10 février 2006
Revêtements galoisiens et groupe fondamental
d’algèbres de dimension finie
JURY
M. Alain BRUGUIÈRES Examinateur
M. Claude CIBILS Directeur de thèse
M. Philippe CALDERO Examinateur
M. Bernhard KELLER Rapporteur, Président du Jury
Mme María Julia REDONDO Rapporteuse

UNIVERSITÉ MONTPELLIER II
SCIENCES ET TECHNIQUES DU LANGUEDOC
THÈSE
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ MONTPELLIER II
Discipline : Mathématiques (section CNU : 25)
Formation Doctorale : Mathématiques
École Doctorale : Information, Structures, Systèmes
présentée et soutenue publiquement
par
Patrick LE MEUR
le 10 février 2006
Revêtements galoisiens et groupe fondamental
d’algèbres de dimension finie
JURY
M. Alain BRUGUIÈRES Examinateur
M. Claude CIBILS Directeur de thèse
M. Philippe CALDERO Examinateur
M. Bernhard KELLER Rapporteur, Président du Jury
Mme María Julia REDONDO Rapporteuse

Très cher lecteur,
Avant de te plonger avidement dans la lecture de ce texte, je tiens à remercier quelques personnes qui ont
eu un rôle significatif dans l’aboutissement de ma thèse.
Mes premiers remerciements s’adressent à Claude Cibils, pour avoir accepté d’encadrer cette thèse. Ses
conseils,sadisponibilitéetsesencouragementsontlargementcontribuéàlaréussitedecelle-ci.Jeneleremer-
cieraisansdoutejamaisassezdem’avoirfaitdécouvrirdenouveauxdomainesdesmathématiques,notamment
au travers de colloques auxquels il m’a proposé d’assister.
J’exprime toute ma gratitude à Bernhard Keller pour avoir accepté de rédiger un rapport sur cette thèse,
mais aussi pour ses conseils pendant mon DEA, en particulier ceux qui m’ont amené à faire ma thèse à Mont-
pellier avec Claude Cibils. Lors de divers colloques, j’ai eu l’occasion de suivre quelques exposés de Bernhard
Keller, tous sans exception portaient sa griffe : celle d’un enseignant d’une qualité rare. Pour cela également
je le remercie.
En mars 2005, Claude Cibils m’a introduit auprès de Maria Julia Redondo qui était invitée à Montpellier.
Elle a alors eu la gentillesse de me consacrer une partie importante de son temps pour que je lui expose mes
résultats.Lesdiscussionsquiontsuiviavecelle-mêmeetClaudeCibilsontgrandementcontribuéàrendreplus
lisibles certaines démonstrations. Plus tard, elle a accepté de rédiger un rapport sur ma thèse. Je lui exprime
ma profonde reconnaissance.
Alain Bruguières et Philippe Caldero m’ont fait l’honneur d’être examinateurs dans mon jury de thèse. Je
les en remercie chaleureusement. A cette occasion, je voudrais remercier Alain Bruguières pour ses questions
stimulantes et qui ont fait apparaître certains de mes résultats sous un angle bien différent.
Lors de divers exposés de mes travaux, j’ai pu discuter avec plusieurs chercheurs dont les commentaires
m’ontbeaucoupapporté.JepenseenparticulieràIbrahimAssem,BelkacemBendiffalah,DanielGuin,JoseAn-
tonio de la Peña mais aussi à Andrea Solotar qui, tout comme Maria Julia Redondo, m’a consacré de son
temps lors d’un passage à Montpellier.
Jen’auraispueffectuermathèsedansdebonnesconditionssanssupportfinancier.Cedernierm’aétéap-
porté par Bijan Mohammadi et Marc Herzlich qui dirigeaient la formation doctorale de Mathématiques à mon
arrivéeàMontpellier.Jelesremercievivementpourlaconfiancequ’ilsm’ontaccordéeenm’attribuantuneal-
locationderecherche.JeremercieégalementlessecrétairesduDépartementdeMathématiquespourleuraide.
ClaudinePicaronnyainsiqueKarineBeauchard etGrégoryGinotm’ontpermisderédigercette thèsedans
de bonnes conditions. Je leur exprime ici ma reconnaissance.
Une thèse représente un parcours long et difficile, mais dans mon cas il fut agrémenté d’une atmosphère
détendueetjetiensàremercierlesdoctorantsquiyontcontribué:NathaëlAlibaud,FlorentBalacheff,Michele
Bolognesi, Robin Perrot, Jérôme Petit ainsi que toute l’équipe organisatrice des DOCTISSTM 2004.
Je remercie enfin mes parents sans qui je ne serais jamais arrivé jusqu’ici. Merci également à Isabelle pour
m’avoir soutenu et m’avoir apporté un équilibre indispensable à l’accomplissement de cette thèse.

Table des matières
Introduction 3
1 Des k-algèbres aux k-catégories 11
1.1 Notions sur la théorie de la représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Rappels basiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Algèbres graduées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Des algèbres aux k-catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 k-catégories et idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Propriétés locales et globales d’une k-catégorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Catégories G-graduées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Présentations admissibles 16
2.1 Carquois et catégorie des chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 La catégorie des carquois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Chemins et promenades dans un carquois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Automorphismes de kQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Raccourcis et double raccourcis dans un carquois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Transvections et dilatations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3 Tout automorphisme est produit de dilatations et de transvections . . . . . . . . . . . 27
2.3 Carquois liés et présentations admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Combinatoire sur les chemins d’un carquois 34
3.1 Dérivation des chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.2 Application : description du support de l’image d’un chemin par un automorphisme . . 36
3.2 Ordre sur les chemins, ordre sur les raccourcis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Ordre sur l’ensemble des chemins d’un carquois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.2 Ordre sur l’ensemble des raccourcis d’un carquois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.3 Application à l’écriture des produits de transvections . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Application aux algèbres monomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Etude des groupes fondamentaux d’une algèbre triangulaire 52
4.1 Relations d’équivalence dans un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.1 Relation d’équivalence associée à un sous-espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.2 Comparaison des relations d’équivalence associées à deux sous-espaces liés par un au-
tomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Relation d’homotopie et groupe fondamental d’un carquois lié . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.2 Espaces classifiants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.3 Comparaison des groupes fondamentaux des présentations d’une algèbre triangulaire,
groupe fondamental d’une algèbre sans double raccourci . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5 Application à l’étude de HH1(A) 93
5.1 Rappels sur l’algèbre de Lie HH1(A). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Lemorphismeθ : Hom(π (Q,I),k+)→HH1(A)induitparuneprésentationdeν: kQ։A
ν 1
de noyau I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3 Caractérisation des éléments dans l’image de l’un des θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
ν
1
2
6 Revêtements de catégories et d’algèbres, revêtement universel 105
6.1 Revêtements de k-catégories et propriétés basiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1.2 Propriétés locales et globales liées aux foncteurs couvrants . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.1.3 Propriétés des morphismes de revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.1.4 Revêtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2 Présentation des revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2.1 Revêtements de carquois liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2.2 Présentation de revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.3 Revêtement universel d’une algèbre sans double raccourci ou monomiale sans flèches multiples 132
6.3.1 Comparaison des revêtements galoisiens de A induits par les revêtements universels de
carquois lié des présentations admissibles de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.3.2 Condition suffisante sur A pour que A admette un revêtement universel . . . . . . . . 136
6.3.3 Limites de la définition du revêtement universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7 Revêtements galoisiens d’extensions de catégories 145
7.1 Rappels sur les algèbres de matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.1.1 Algèbres de matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.1.2 k-catégories de matrices triangulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.2 Revêtements galoisiens d’une catégorie de matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.2.1 Graduation sur (B,M,A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.2.2 Revêtement galoisien associé à une graduation sur (B,M,A) . . . . . . . . . . . . . . 148
7.3 Application au revêtement galoisien induit par le revêtement universel universel associé à une
présentation admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.3.1 Graduation sur (B,M,A) à l’aide des groupes fondamentaux de présentations admis-
sibles de B et de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.3.2 Calcul du revêtement galoisien associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.4 Conoyau du morphisme G ⋆G →G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
b A
Introduction
L’utilisation des revêtements d’algèbres a été initiée par K. Bongartz et P. Gabriel dans [9] et C. Riedt-
mann dans [36]. Les revêtements d’algèbres nécessitent de considérer les k-algèbres comme des k-catégories
(ou encore des algèbres avec plusieurs objets, voir [31]). Lorsque A′ →A est un revêtement de k-catégories,
la théorie de la représentation de A′ est plus simple à étudier que celle de A (en particulier, si A est de repré-
sentation finie alors A′ l’est, si A est domestique alors A′ l’est) et les A-modules peuvent être vus comme des
A′-modules:ensuivantlesidéesexposéesparE.L.Greendans[19],siA′ →Aestunrevêtementgaloisiende
groupe G alors la catégorie des A′-modules est équivalente à la catégorie des A-modules G-gradués. De cette
façon une algèbre n’admettant aucun revêtement galoisien non trivial serait relativement simple à étudier du
pointdevuedesathéoriedelareprésentation.Cesalgèbresseraientdoncdesalgèbres«simplementconnexes».
La définition de la notion de revêtement établit un lien fort avec la notion correspondante en topologie.
En particulier, un revêtement de carquois définit un revêtement entre les algèbres (ou catégories) de chemins
associées.
Dans [9], les revêtements d’une algèbre sont mis en parallèle avec ceux de la catégorie des modules
indécomposables qui lui est associée. Plus précisément, si A est une k-algèbre de type de représentation fini
et si Ind(A) est la catégorie des A-modules indécomposables, alors :
· tout revêtement A′ →A de k-catégories définit un revêtement Ind(A′)→Ind(A) entre les catégories
de modules indécomposables associées,
· si C →Ind(A) est un revêtement, alors C est la catégorie des modules sur une k-catégorie convenable,
cette dernière étant un revêtement de A.
L’un des intérêts d’une telle mise en parallèle est qu’il est plus facile de manipuler les revêtements de Ind(A)
que ceux de A, l’une des raisons à cela étant que le carquois de Ind(A) (i.e. le carquois d’Auslander Reiten
de A) est localement plus simple que le carquois ordinaire de A. De cette façon K. Bongartz et P. Gabriel
ont mis en évidence un groupe fondamental et un revêtement universel associé à toute k-algèbre de type de
représentation fini (voir [9] et [17]). Ces considérations ont en particulier permis de définir la notion d’algèbre
simplement connexe : une algèbre de type de représentation fini et connexe A est simplement connexe lorsque
le carquois d’Auslander-Reiten de A muni des relations de mèches est simplement connexe. Notons que dans
[8], R. Bautista, F. Larríon et L. Salmeron ont établi une caractérisation de cette propriété en termes de
séparation de l’algèbre A lorsque cette dernière est triangulaire.
Il est donc naturel de se demander s’il est possible d’obtenir un résultat similaire pour d’autres algèbres
(de type de représentation infini). Une réponse à cette question a été apportée par R. Martinez-Villa et
J. A. de la Peña dans [29]. En effet, étant donnée une k-algèbre de dimension finie, connexe et basique A,
un groupe fondamental lui est associé : si kQ/I ≃ A est une présentation par carquois et relations admis-
sibles,legroupefondamentalπ (Q,I)obtenuestunquotientdugroupefondamentaldel’espacetopologique
1
sous-jacent à Q par des relations dépendant de l’idéal I. Du point de vue des carquois liés (i.e. des couples
formés d’un carquois Q et d’un idéal admissible I) nous disposons donc d’un groupe fondamental et d’un
revêtement universel, et la catégorie des revêtements d’un carquois lié et connexe (Q,I) est équivalente à
celle des ensembles discrets muni d’une action du groupe π (Q,I). Néanmoins, le groupe π (Q,I) a le désa-
1 1
vantage de dépendre du choix de la présentation kQ/I ≃A puisqu’il peut exister des présentations distinctes
kQ/I ≃A et kQ/J ≃A telles que les groupes π (Q,I) et π (Q,J) ne sont pas isomorphes. Notons qu’avec
1 1
ladéfinitiondugroupefondamentald’uncarquoislié,I.AssemetA.Skowrońskiontétendulanotiond’algèbre
simplement connexe (voir [2]) : une algèbre de dimension finie, connexe et basique A est simplement connexe
si et seulement si le groupe fondamental du carquois lié de toute présentation de A est trivial.
3