Resampling-Verfahren und ihre Anwendungen in der nichtparametrischen Testtheorie

178 Pages·2003·0.68 MB·German

by  Thorsten Pauls

Resampling-Verfahren und ihre
Anwendungen in der
nichtparametrischen Testtheorie
Inaugural-Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult¨at der
Heinrich-Heine-Universit¨at Du¨sseldorf
vorgelegt von
Thorsten Pauls
aus Monheim am Rhein
Du¨sseldorf
2003
Gedruckt mit der Genehmigung der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen
Fakult¨at der Heinrich-Heine-Universit¨at Du¨sseldorf
Referent: Prof. Dr. A. Janssen, Du¨sseldorf
Koreferenten: Prof. Dr. K. Janßen, Du¨sseldorf
Prof. Dr. E. Mammen, Heidelberg
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 5. Dezember 2002
Meiner Familie
Tanja und Joshua P.V.

Vorwort
”The Baron had fallen to the bottom of a deep lake. Just
when it looked like all was lost, he thought to pick himself up
by his own bootstrap.”
R. E. Raspe; The Adventures of Baron Munchausen
In der mathematischen Statistik besitzen nichtparametrische Verfahren zur
Bestimmung unbekannter Parameter einen großen Stellenwert. Beim Testen
von nichtparametrischen Hypothesen geht es darum, geeignete kritische Werte
zu bestimmen. In dieser Arbeit sollen dazu sog. Resampling-Verfahren verwen-
det werden. Diese fallen unter die Klasse der computergestu¨tzten Methoden,
mit deren Hilfe ad hoc datenabh¨angige Sch¨atzer bestimmt werden k¨onnen. Ei-
neVerwendungsolcherVerfahrenberuhtinsbesonderedarauf,dasszunehmend
in allen Bereichen, in denen statistische Verfahren zur Entscheidungsfindung
herangezogen werden, immer leistungsf¨ahigere Computer zur Verfu¨gung ste-
hen.
Resampling-Verfahren und ihre Anwendungen in der nichtparametrischen
”
Testtheorie“ entstand w¨ahrend meiner T¨atigkeit als wissenschaftlicher Ange-
stellter am Lehrstuhl fu¨r Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeits-
theorie der Heinrich-Heine-Universit¨at Du¨sseldorf.
An dieser Stelle m¨ochte ich Herrn Prof. Dr. A. Janssen danken, der mir die
M¨oglichkeit gab, diese Arbeit zu erstellen. Seine wertvollen Hinweise und die
stete Diskussionsbereitschaft haben zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen.
Ein herzlicher Dank gebu¨hrt Herrn Prof. Dr. K. Janßen und Herrn Prof. Dr.
E. Mammen fu¨r die U¨bernahme und Erstellung der weiteren Gutachten.
Meinen Eltern, die mir durch ihre tatkr¨aftige Unterstu¨tzung das Studium
erm¨oglichten, gilt mein aufrichtiger Dank.
Ein ganz besonderer Dank gilt meiner Frau Tanja Kraski. Sie hat mich
I
w¨ahrend meines Vorhabens stets dazu ermutigt, nicht aufzugeben und durch
ihrest¨andigeMotivationdieseArbeitinihrervorliegendenFormersterm¨oglicht.
Auch m¨ochte ich all denjenigen danken, die die Zeit gefunden haben meine Ar-
beit auf Fehler zu durchsuchen.
DieseArbeitwurdeimRahmendesDFG-Forschungsprojekts Permutati-
”
onstests und Randomisationstests in heteroskedastischen Modellen”
(DFG JA 472/5-2) erstellt.
Du¨sseldorf, den 17. Januar 2003 Thorsten Pauls
II
Inhaltsverzeichnis
Vorwort I
Symbol- und Abku¨rzungsverzeichnis VII
1 Einleitung 1
I Resampling-Tests und bedingte Grenzwerts¨atze in
der nichtparametrischen Statistik 7
2 Resampling-Verfahren 9
2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Die Bootstrap-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Allgemeine Resampling-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Resampling-Tests 19
3.1 Motivation und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Asymptotischer Vergleich bedingter und unbedingter Tests . . . 22
4 Bedingte Grenzwerts¨atze fu¨r lineare Statistiken 25
4.1 Allgemeine Grenzwerts¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Grenzwerts¨atze fu¨r Summen unabh¨angiger Zufallsvariablen . . . 36
4.3 Einfache lineare Permutationsstatistiken . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Beweise der zentralen S¨atze (Satz 4.5 und Satz 4.8) . . . . . . . 57
5 Konsistenz des Bootstrap-Stichprobenmittels 61
6 Spezielle Bootstrap-Verfahren 73
6.1 i.i.d.-weighted-Bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
III
6.2 Wild-Bootstrap mit zuf¨alligem Stichprobenumfang . . . . . . . . 76
6.3 Prepivotisieren und der double-Bootstrap . . . . . . . . . . . . . 79
7 Grenzwerts¨atze fu¨r studentisierte Resampling-Statistiken 89
8 Ein multivariater zentraler Grenzwertsatz 95
II Simulationsstudien 101
9 Monte-Carlo-Simulation 103
9.1 Monte-Carlo-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.2 Bootstrap-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2.1 Sampling-Prozeduren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2.2 Bootstrap-Wiederholungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.2.3 prepivoted Bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.3 Permutations-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10 Testprobleme vom Behrens-Fisher-Typ 113
10.1 Bootstrap- und Permutationstest fu¨r das erweiterte Behrens-
Fisher-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10.2 Tests vom Wilcoxon-Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11 Zusammenfassung und Ausblick 131
III Appendix 133
A Verteilungskonvergenz und der Satz von Skorohod 135
A.1 Definition und Eigenschaften auf metrischen R¨aumen . . . . . . 135
A.2 Metrisierung der schwachen Konvergenz . . . . . . . . . . . . . 136
A.3 Der Satz von Skorohod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
B Unendlich teilbare Verteilungen 139
B.1 L´evy-Khintchine Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
B.2 Konvergenz gegen unendlich teilbare Verteilungen . . . . . . . . 141
B.3 Notwendige und hinreichende Bedingungen fu¨r die Konvergenz
gegen unendlich teilbare Verteilungsklassen . . . . . . . . . . . . 142
B.4 Konvergenz gegen eine Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . 144
IV
Inhaltsverzeichnis
B.5 Quantildarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Tabellenverzeichnis 149
Abbildungsverzeichnis 151
Algorithmenverzeichnis 153
Literaturverzeichnis 155
V
Inhaltsverzeichnis
VI