Représentations linéaires des groupes finis: Une introduction [lecture notes]

34 Pages·2011·0.306 MB·French

by  Daniel Ferrand

Repre´sentations line´aires des
groupes finis
Une introduction
Daniel FERRAND
(Aouˆt 2004. R´evision en octobre 2005)
Cefasciculer´esume12heuresd’uncours,donn´e`al’automne2004,etdestin´e
`ades´etudiantsdequatri`emeann´ee,dontlebagagealg´ebriqueestl´eger(enpar-
ticulier,ilsnesontpassuppos´esconnaˆıtreleproduittensoriel).Cescontraintes,
et le souhait que les auditeurs puissent quand mˆeme acqu´erir une certaine in-
tuition de ce qu’est une repr´esentation lin´eaire, m’ont conduit `a m’´ecarter de la
pr´esentationhabituelle:lescaract`eressontrel´egu´es`alafincarilsnesontindis-
pensables que pour des d´eveloppements d´epassant le cadre modeste de ce cours
d’introduction.Lesr´esultatsfondamentauxsurlad´ecompositionenirr´eductibles
et sur les repr´esentations induites sont ainsi d´emontr´es directement, de fa¸con
peut-ˆetre plus effective. Il m’a sembl´e qu’utiliser d’embl´ee la puissante th´eorie
des caract`eres risquait de rendre les d´emonstrations un peu magiques aux yeux
de d´ebutants qui doivent plutˆot ˆetre d’abord confront´es `a des repr´esentations
en chair et en os, chair et os que le caract`ere ne peut ´evoquer qu’apr`es une
longue pratique de la chose. Pour «l’induction `a G d’une repr´esentation d’un
sous-groupe H » j’ai repris la d´efinition initiale de Frobenius (1898) plutˆot que
celle pr´ef´er´ee aujourd’hui, c’est-`a-dire l’adjoint `a droite (plutˆot qu’`a gauche) de
la restriction au sous-groupe H, parce que cette construction utilise juste un
espace d’applications, objet familier mˆeme `a des´etudiants d´ebutants, alors que
l’adjoint `a gauche repose sur le produit tensoriel. Par ailleurs, dans le cas de
groupes finis, ces deux inductions sont des foncteurs isomorphes.
Le livre de r´ef´erence est´evidemment celui de J.-P. SERRE, Repr´esentations
lin´eaires des groupes finis, 3`eme ´ed., Hermann, Paris 1978, cit´e [S].
Ces notes exposent les principaux r´esultats des §§1 `a 8 de ce livre, mais,
comme d´ej`a dit, par une d´emarche diff´erente; sorte d’introduction, donc, mais
en contrepoint.
0. Rappels sur les espaces d’applications line´aires.
Ceparagraphenecomportepasded´emonstrationbienqueles´enonc´essoient
tr`es utilis´es dans la suite; un lecteur qui ne devinerait pas les d´emonstrations
1
par simple inspection devrait consid´erer tout cela comme des exercices indis-
pensables.
Dans ce paragraphe le corps de base K est quelconque, mais d`es le pa-
ragraphe suivant, il s’agira du corps des complexes. On ne consid`ere que des
K-espaces vectoriels de dimension finie. On notera Hom(V,W), `a la place de
Hom (V,W), l’espace des applications K-lin´eaires de V vers W. Idem pour
K
End.
0.1. Soient x et y deux ´el´ements non nuls d’un espace vectoriel V. Il existe
unautomorphismev :V →V telquev(x)=y;autrementdit,legroupeGL(V)
f
op`ere transitivement sur l’ensemble des ´el´ements non nuls de V.
SoitW ⊂V unsous-espacetelquepourtoutv ∈GL(V),onaitv(W)⊂W.
Alors W =0 ou W =V.
0.2. L’application K → End(V), a 7−→ (x 7→ ax) est un homomorphisme
d’anneaux; il est injectif si l’espace V est non nul, bijectif si dim(V)=1. Pour
dim(V)≥1, cet homomorphisme permet d’identifier K au centre de End(V).
(Pour voir qu’un ´el´ement u du centre est une homoth´etie, montrer d’abord, en
utilisant 0.1, que s’il existe un x6=0 tel que u(x)=ax, avec a∈K, alors u est
l’homoth´etie de rapport a. Montrer ensuite que pour un sous-espace W ⊂V, de
dimension 1, on a u(W)⊂W, en utilisant un projecteur d’image W.).
0.3. Une application lin´eaire surjective α:U →U00, de noyau U0 =Ker(α),
induit un isomorphisme
U/U0 −→U00.
g
Pour qu’une application lin´eaire γ : U → V passe par U00, i.e pour qu’il existe
β :U00 →V, avec γ =βα,
α //
U U00 ,
γ
(cid:15)(cid:15) ~~ β
V
il faut et il suffit que γ(U0)=0.
0.4. Soientv :V →U etw :W →U deuxapplicationslin´eaires.Pourqu’il
existe une application lin´eaire u:W →V telle que vu=w
v //
V ‘‘ UOO
w
u
W
il faut et il suffit que l’on ait Im(w) ⊂ Im(v). En particulier toute application
surjective v :V →U admet une section, c’est-`a-dire une application u telle que
vu=1 .
U
2
0.5. Soient v :U →V et w :U →W deux applications lin´eaires. Pour qu’il
existe une application lin´eaire u:V →W telle que uv =w,
v //
U V
w
(cid:15)(cid:15) ~~ u
W
il faut et il suffit que l’on ait Ker(v) ⊂ Ker(w). En particulier, toute injection
v :U →V admetuner´etraction c’est-`a-direuneapplicationutellequeuv =1 .
U
0.6. Une suite d’applications lin´eaires (ou mˆeme d’homomorphismes de
groupes)
u v
U −→ V −→ W
v
est dite exacte si Ker(v) = Im(u). Ainsi l’exactitude de 0 −→ V −→ W
u
´equivaut `a l’injectivit´e de v, tandis que celle de U −→ V −→ 0 ´equivaut `a la
surjectivit´e de u.
L’exactitude de 0 −→ U −→ V −→ W −→ 0 implique la relation
dim(V)=dim(U)+dim(W).
Soit V un espace non nul. Pour que la suite
0 −→ U0 −→ U −→ U00 −→0
soit exacte, il faut et il suffit que la suite
0 −→ Hom(U00,V) −→ Hom(U,V) −→ Hom(U0,V) −→0
soit exacte (Attention : Hom(−,V) est contravariant, i.e cela renverse le sens
des fl`eches).
0.7. On consid`ere le diagramme commutatif suivant dont les lignes sont
exactes.
0 −−−−→ U0 −−−−→ U −−−−→ U00 −−−−→ 0
  
u0y yu yu00
0 −−−−→ V0 −−−−→ V −−−−→ V00 −−−−→ 0
Si u0 et u00 sont injectives, alors u est injective.
Si u0 et u00 sont surjectives, alors u est surjective.
1. Repre´sentations line´aires.
Dans toute la suite G d´esignera un groupe fini.
Tous les espaces consid´er´es seront des C-espaces vectoriels de dimension finie.
1.1. D´efinitions
3
On appelle repr´esentation lin´eaire de G un homomorphisme de groupes
ρ:G −→ GL(V).
Ainsi,ρassocie`atoutg ∈Gunautomorphismeg :V →V duC-espacevecto-
V
rielV,detellesorteque1 =Id etque,pourg,g0 ∈G,onait(gg0) =g ◦g0
V V V V V
(leproduitdansGcorresponddonc`alacompositiondesautomorphismes).Dans
cette d´efinition on ne suppose pas que l’homomorphisme ρ est injectif, si bien
qu’il ne permet en g´en´eral pas de « repr´esenter » G comme un sous-groupe
du groupe lin´eaire contrairement `a ce que le terme (ancien) laisserait suppo-
ser. Cependant, dans bien des cas, le groupe G est d´efini comme sous-groupe
d’un groupe lin´eaire ou d’un groupe sym´etrique particuliers, c’est-`a-dire qu’il
est donn´e a-priori avec une de ses repr´esentations. Par exemple, partant d’un
sous-ensemblefiniX d’unvectorielV,quil’engendre(penserauxsommetsd’un
poly`edre!), on peut consid´erer le sous-groupe G⊂GL(V) form´e des g tels que
gX =X; il est fini puisque c’est aussi un sous-groupe du groupe des permuta-
tions de X.
Lorsque g =Id pour tout g ∈G, on parle de repr´esentation triviale.
V
La tradition impose d’appeler degr´e d’une repr´esentation lin´eaire V de G la
dimension de V.
LetermeG-module(quifaitallusion`alastructuredeC[G]-module`agauche),
est exactement synonyme de repr´esentation lin´eaire; il est plus court.
Soit V une repr´esentation lin´eaire de G. On note VG le sous-espace form´e
des ´el´ements invariants :
VG ={x∈V,∀g ∈G, g (x)=x}.
V
Ond´esigneparV →V leplusgrandquotientdeV surlequelGagittrivia-
G
lement; c’estdonc le quotient parle sous-espace engendr´e par tous les´el´ements
de la forme x−g (x), avec x∈V et g ∈G.
V
Lemme 1.1.1. Soit V une repr´esentation de G. Consid´erons l’endomor-
phisme e de V d´efini par
1 X
e = g .
|G| V
g∈G
Alors :
i) Pour tout g ∈ G, on a g ◦ e = e ◦ g = e; en particulier, e est un
V V
idempotent.
ii) Im(e)=VG.
iii) Ker(e) est en gendr´e par les ´el´ements de la forme x−g (x), avec x∈V
V
et g ∈G; par passage au quotient, e donne un isomorphisme e¯:V −→VG.
G g
iv) L’application compos´ee VG ,→ V (cid:16) V est bijective.
G
D´emonstration : i) Pour g fix´e, les applications g0 7→ gg0 et g0 7→ g0g sont des
bijections de G.
ii) Les´egalit´es g e=e montrent l’inclusion Im(e)⊂VG; l’autre est claire.
V
4
iii) D’apr`es ii), e¯est surjective; soit x∈V un´el´ement dont l’image x¯ dans
V soit dans le noyau de e¯; on a donc 0=e¯(x¯)=e(x); par suite,
G
1 X
x = x−e(x) = (x−g (x)) ∈Ker(V →V ).
|G| V G
g∈G
iv) Constater que l’application ´evoqu´ee est la r´eciproque de e¯.(cid:3)
Soient U et V deux repr´esentations lin´eaires de G (donc deux G-modules).
Onmunitl’espacedesapplicationslin´eairesdeU versV,not´eHom(U,V),d’une
op´eration de G en posant
gu = g ◦u◦g−1.
V U
Ainsi, pour tout g ∈G, le diagramme suivant est commutatif :
u
U −−−−→ V
 
gUy ygV
U −−−−→ V
gu
Onappelleapplication G-lin´eaireuneapplicationlin´eaireu:U →V quiest,de
plus, compatible aux op´erations de G, c’est-`a-dire telle que pour tout g ∈G, on
aitu◦g =g ◦u,ouencore:gu=u;onnoteleplussouventHom (U,V)l’es-
U V G
pacedesapplicationsG-lin´eaires;cetespaceestparfoisjolimentnomm´el’espace
d’entrelacement de U et V. C’est le sous-espace des invariants pour l’op´eration
de G sur Hom(U,V) d´ecrite ci-dessus, ainsi Hom (U,V) = Hom(U,V)G ⊂
G
Hom(U,V).
Exercice 1.1.2. Si l’op´eration de G sur U est triviale, d´efinir un
isomorphisme
Hom(U,VG)−→Hom (U,V).
g G
Si l’op´eration de G sur V est triviale, d´efinir un isomorphisme
Hom(U ,V)−→Hom (U,V).
G g G
Pour x∈V, on notera d´esormais le plus souvent gx pour g (x).
V
1.2. Repr´esentations irr´eductibles
Un sous-espace W ⊂ V d’une repr´esentation V est dit stable ou (globale-
ment) invariant, si pour tout g ∈G, on a gW ⊂W ; cela implique que g induit
un automorphisme de W, puisque W est de dimension finie. On parlera donc
aussi de sous-repr´esentation de V.
Unerepr´esentationV estditeirr´eductible,ousimple, siV 6=0etsilesseules
sous-repr´esentations de V sont 0 et V.
5
Si V est une repr´esentation, et si x est un ´el´ement de V, le sous-espace
engendr´eparlesgxpourg ∈Gestunesous-repr´esentationdeV ;ellen’estpas,
P
eng´en´eral,irr´eductiblepuisqu’ellecontientl’´el´ement gx,quiestinvariant,
g∈G
etquipeutfortbienˆetrenonnul.Ainsi,ilnefautpascroirequechaque´el´ement
deV soitcontenudansunerepr´esentationirr´eductible;parcontre,onverraplus
basquetouterepr´esentationestsommedirectederepr´esentationsirr´eductibles.
Un sous-espace de V, non nul G-stable et de dimension minimum (pour ces
deux propri´et´es) est irr´eductible.
Exercice1.2.1. SoitV unerepr´esentationirr´eductible.Larepr´esentation
Hom(V,V) est-elle irr´eductible?
Exercice 1.2.2. Soit V une repr´esentation 6= 0 telle que tout en-
domorphisme v : V → V puisse s’´ecrire comme une combinaison
lin´eaire des g . Montrer que V est irr´eductible.
V
Exercice 1.2.3. Soit V une repr´esentation lin´eaire de G, et H un
sous-groupedistingu´edeG.MontrerqueVH estunesous-repr´esentation
de G, qu’on peut voir comme une repr´esentation du quotient G/H.
SiV estirr´eductible,alorsVH =V ouVH =0.Sil’homomorphisme
G→GL(V) est injectif et H 6=1, alors VH =0.
1.3. Repr´esentations de degr´e 1
Si V est un espace de dimension 1, l’homomorphisme d’anneaux C →
End(V)estunisomorphisme;ilinduitunisomorphisme C× →GL(V)surles
groupes des ´el´ements inversibles. Par suite, une repr´esentation de degr´e 1 de G
est simplement un homomorphisme de groupes
ρ:G −→ C×,
et, pour x∈V, on a gx=ρ(g)x. Une telle repr´esentation est irr´eductible.
Si ρ0 : G → C× = GL(V0) est une autre repr´esentation de degr´e 1, et s’il
existe un G-isomorphisme V ’V0, alors ρ=ρ0.
Comme un´el´ement g ∈G est d’ordre fini, ρ(g) est une racine de l’unit´e. En
particulier, ρ(g−1) = ρ(g)−1 = ρ(g). Mieux, l’image ρ(G) ⊂ C× est un groupe
cyclique, comme tout sous-groupe fini de C×.
L’alg`ebre lin´eaire de Licence permet, `a elle seule, de comprendre le cas d’un
groupe ab´elien :
Proposition 1.3.1. Toute repr´esentation lin´eaire V d’un groupe ab´elien G
est somme directe de repr´esentations de degr´e 1.
En effet, chaque automorphisme g , ´etant d’ordre fini, est diagonalisable;
V
comme deux d’entre eux commutent (G est ab´elien), on peut trouver une base
de diagonalisation (e ) de V qui soit commune `a tous les g ; notons θ (g) la
i V i
valeur propre telle que g (e )=θ (g)e . On constate que les θ sont des homo-
V i i i i
morphismes G → C×; V est donc somme directe des repr´esentations Ce , de
i
6
degr´e 1, d´etermin´ees par les θ .(cid:3)
i
Exercice1.3.2. SoitG⊂GL(2,C)legroupeform´edespuissances
(cid:16) (cid:17)
delamatriceg = 0 1 .Quelestl’ordredeG?D´ecomposerexpli-
−1 1
citementcetterepr´esentationensommederepr´esentationsirr´eductibles.
Exercice 1.3.3. Pour un groupe G, on note D(G) le sous-groupe
engendr´e par les commutateurs [x,y] = x−1y−1xy des ´el´ements de
G. V´erifier que G/D(G) est le plus grand quotient ab´elien de G.
Montrer que VD(G) est somme directe de repr´esentations de degr´e
1.
Exemples 1)Pourtouterepr´esentationV deG,onnotedet(V)larepr´esentation
de degr´e 1 d´efinie par l’homomorphisme compos´e
G −→ GL(V) −d→et C×.
2)Lasignatured’unepermutationε:S →{±1}⊂C×fournitunerepr´esentation
n
de degr´e 1 C(ε) de S .
n
3) Si G est un groupe cyclique d’ordre n, il existe n homomorphismes distincts
de G dans C× : apr`es le choix d’un g´en´erateur g de G, et le choix d’une ra-
cine primitive n-`eme de l’unit´e ζ ∈ C, ces homomorphismes θ : G → C× sont
i
d´efinis, pour i=0,1,...,n−1, par θ (g)=ζi.
i
Soient V une repr´esentation de G et ρ : G → C× un homomorphisme;
on note V(ρ) la repr´esentation tordue par ρ, c’est-`a-dire l’espace V sur lequel
l’action de g ∈G est d´efinie par
g (x)=ρ(g)g (x).
V(ρ) V
Si V est irr´eductible, il en est de mˆeme de V(ρ).
Exercice1.3.4. Soit C(ρ) la repr´esentation de degr´e 1 associ´ee
`a ρ. D´eterminer la repr´esentation Hom(C(ρ),V) et ses invariants
Hom (C(ρ),V).
G
Exercice1.3.5. SoitGungroupefininoncommutatifetneposs´edant
aucunsous-groupedistingu´eautreque{1}etG.Onadmettraqu’alors
G contient un ´el´ement c d’ordre 2.
Soit ρ : G −→ GL(V) une repr´esentation de G dans un C-espace
vectoriel de dimension finie. Il s’agit de montrer que ou bien ρ est
trivial (homomorphisme constant de valeur 1 ), ou bien dimV ≥3.
V
On suppose que ρ n’est pas trivial, ce qui implique que V est non
nul.
1) Montrer que ρ est injectif, et que dimV ≥2.
2) Montrer que ρ(G) ⊂ SL(V) (on rappelle que SL(V) d´esigne le
groupe form´e des automorphismes de V de d´eterminant 1).
3)Pourconclure,raisonnerparl’absurde,ensupposantquedim(V)=
2 et en utilisant les valeurs propres de c .
V
7
1.4. Repr´esentations de permutation
Une repr´esentation U de G est dite de permutation s’il existe une base de
U qui est stable sous G; si on consid`ere cette base comme une famille (e ) ,
x x∈X
cela veut dire que G op`ere (`a gauche) sur l’ensemble X des indices, et que l’on
a ge =e .
x gx
Pour deux ensembles X et Y, on note M(X,Y) l’ensemble de toutes les ap-
plicationsdeX versY (Mestl’initialedumotanglaismap);onn’´ecrirajamais
ici cet ensemble sous la forme YX, car cela prˆete vraiment trop `a confusion
(lorsque X est un groupe qui op`ere sur Y) avec l’ensemble des ´el´ements de Y
invariants sous X.
SoitX unG-ensemblefini,c’est-`a-direunensemblefinimunid’uneop´eration
deG.Onappellerepr´esentationdepermutationasssoci´ee`a X l’espaceM(X,C)
de toutes les applications de X vers C, muni de l’action g.v =(x7→v(g−1x))
(Comme l’op´eration • 7→ M(•,Y) renverse le sens des fl`eches, et que l’on veut
que G op`ere `a gauche sur M(X,C), on est conduit `a le faire op´erer `a droite
sur X; d’ou` le g−1). Sur la base canonique (de Kronecker) (e ) , on a bien
x x∈X
g.e =e .
x gx
Exercice 1.4.1. On consid`ere la repr´esentation de S par permu-
3
tationdestroisvecteursdelabasecanoniquedeC3;cegroupeop`ere
aussi sur le sous-espace V ⊂ C3 form´e des vecteurs dont la somme
des coordonn´ees est nulle.
1) Montrer que VA3 = 0 (A3 d´esigne le sous-groupe des permuta-
tions paires).
2) Montrer que V est une repr´esentation irr´eductible de S .
3
(Voiciunedesnombreusesd´emonstrationspossibles:unsous-espace
de V stable sous S et distinct de 0 et de V serait de dimension 1,
3
engendr´e, disons, par v; pour chaque σ ∈ S il existerait donc un
3
scalaire θ(σ) ∈ C tel que σv = θ(σ)v. Il n’y a que deux homomor-
phismes de groupes de S vers C×, l’homomorphisme constant (de
3
valeurs=1)etlasignature;doncv seraitinvariantparpermutation
circulaire des 3 coordonn´ees.)
3) D´ecomposer V en somme de deux repr´esentations de A .
3
Consid´eronsdenouveauunensemblefiniX surlequelop`ereungroupefiniG,
etl’ensemblequotientp:X →X/G;onpeutvoirlequotientcommeunefa¸con
de param´etrer les orbites de G dans X : pour ξ ∈ X/G, l’ensemble p−1(ξ) ⊂
X est une orbite, et on les obtient toutes ainsi. Une application X/G → Y
peut donc ˆetre vue comme une application d´efinie sur X mais constante sur
chaque orbite; bref, comme une application invariante sous G. On a donc un
isomorphisme
1.4.2 M(X/G,C) −→ M(X,C)G u7→u◦p.
g
Onaurabesoindeconnaˆıtrel’anneauEnd (V)desendomorphismesG-lin´eaires
G
de la repr´esentation de permutation V = M(X,C). Consid´erons la base cano-
8
nique (e ) de V ; un endomorphisme u de V est d´etermin´e par sa matrice
x x∈X
(u ) relativement `a cette base, pr´ecisement :
xy
X
u(e )= u e .
y xy x
x∈X
Ilestutiledevoir(u )commeun´el´ementdeM(X×X,C).Commel’op´eration
xy
de G consiste `a permuter les ´el´ements de la base consid´er´ee, on constate que
u est G-lin´eaire si et seulement si pour tout x,y ∈ X et tout g ∈ G, on a
u =u ,autrementdit,sil’applicationassoci´eeX×X →Cestinvariante
gx,gy x,y
sous l’action de G. On a ainsi un isomorphisme d’espaces vectoriels
1.4.3 End (M(X,C)) ’ M(X×X/G,C).
G
Onutiliseracelaplustard(2.3.6.)pourmontrerquelesous-espaceV ⊂M(X,C)
P
form´e des v tels que v(x)=0 est une repr´esentation irr´eductible de G si
x∈X
et seulement si G est 2-fois transitif sur X, c’est-`a-dire si G est transitif sur le
compl´ementaire de la diagonale dans X×X.
1.5. Quaternions
Voici une d´efinition du groupe quaternionien Q qui conduit rapidement `a
8
ses repr´esentations irr´eductibles :
Q =SU(2,Z[i])
8
C’est donc le groupe form´e des matrices M de format 2×2, a` coefficients des
entiers de Gauss, de d´eterminant 1, et telles que M−1 = tM. Explicitons ces
conditions : soit M = (cid:0)uw(cid:1) une telle matrice; comme det(M) = 1, la seconde
v z
condition s’´ecrit (cid:16) z −w(cid:17) = (cid:0)u¯ v¯(cid:1), c’est-`a-dire z = u¯ et w = −v¯, soit M =
−v u w¯z¯
(cid:0)u−v¯(cid:1); comme, de plus, 1 = detM = uu¯+vv¯ et que u et v sont des nombres
v u¯
complexes `a composantes r´eelles enti`eres, on voit que ou bien u = 0 et alors
v =±1 ou ±i, ou bien v =0 et alors u=±1 ou ±i. Cela montre que ce groupe
est form´e des 8 ´el´ements suivants :
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 0 i 0 0 i 0−1
± , ± , ± , ± .
0 1 0−i i 0 1 0
Il est engendr´e par les deux ´el´ements
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
0 i 0−1
a= b=
i 0 1 0
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
puisque a2 = b2 = −1 0 , et que ab = i 0 = −ba. Cela montre que tout
0 −1 0−i
´el´ement du groupe s’´ecrit sous la forme apbq; comme a(apbq)a−1 = (−1)qapbq,
et que b(apbq)b−1 = (−1)papbq, on voit que le centre est form´e des apbq avec
p et q pairs; c’est donc le sous-groupe {Id,−Id}. Le quotient de Q par son
8
centreestd’ordre4,doncestab´elien;d’ailleurs,commelesg´en´erateursv´erifient
a2 =b2 =−Id,on voitque tous les´el´ements de ce quotient ont uncarr´e trivial,
donc qu’il est un produit de deux groupes cycliques d’ordre 2; on a d´esign´e le
«groupe de Klein» V :
Q /(±1) ’ V.
8
9
On peut aussi d´efinir Q comme le groupe engendr´e par deux´el´ements a et
8
b soumis aux relations
1.5.1 a4 =1, bab−1 =a−1, a2 =b2.
Pour voir que ces relations d´efinissent bien Q , on consid`ere d’abord deux
8
groupes cycliques d’ordre 4, A et B, avec g´en´erateurs a et b, et le produit semi-
direct AoB ou` b op`ere sur a par ba=a−1. Dans ce groupe, on a bab−1 =a−1,
donc b2ab−2 = a, donc a et b2 commutent, donc l’´el´ement a2b2 = a−2b2 est
d’ordre 2, et il est central; passant au quotient par le groupe qu’il engendre, on
trouve donc un groupe d’ordre 8; plus de doute c’est lui!
(Si on avait quotient´e AoB par <b2 >, on aurait obtenu le dih´edral D .)
4
Soit V = C2 l’espace de la repr´esentation de Q donn´ee par l’inclusion
8
SU(2,Z[i])⊂GL(2,C).Cetterepr´esentationdedegr´e2estirr´eductible:enef-
fetunsous-espacestablessousQ ,dedimension1,seraitunsous-espacepropre
8
`a la fois pour les matrices a et b ci-dessus; or, les deux sous-espaces propres
de la matrice a sont engendr´es respectivement par (cid:0)1(cid:1) et (cid:16) 1 (cid:17), tandis que les
1 −1
sous-espaces propres de la matrice b sont respectivement engendr´es par (cid:0)1(cid:1) et
i
(cid:16) (cid:17)
1 ; il n’y a pas de sous-espace propre commun.
−i
Par ailleurs, il est clair que Q poss`ede 4 repr´esentations de degr´e 1, c’est-`a-
8
dire 4 homomorphismes distincts dans C×, puisque c’est le cas de V et que l’on
a une surjection Q →V.
8
Onverraplusbasquetouterepr´esentationirr´eductibledeQ estisomorphe
8
`a l’une des cinq qui pr´ec`edent.
1.6. Quelques repr´esentations des groupes sym´etriques.
Des m´ethodes combinatoires tr`es´elabor´ees permettent de trouver toutes les
repr´esentations irr´eductibles des groupes sym´etriques S . Il n’est pas question
n
delesaborderici,maisseulementd’indiquerlestouspremiersr´esultatsquisont
accessibles avec ce qui pr´ec`ede.
1.6.1. On notera (faute de mieux) par P ⊂ Cn le sous-espace form´e des
n
vecteurs dont la somme des coordonn´ees est nulle, vu comme repr´esentation de
S , de degr´e n−1; elle est souvent nomm´e la «repr´esentation standard» de
n
S . On verra plus bas que c’est une repr´esentation irr´eductible. Cela peut se
n
v´erifier directement :
Exercice 1.6.2. 1) Montrer que P ⊂Cn est engendr´e par le vec-
n
teur (1,−1,0,...,0)∈Cn, et ses images par permutations.
2) Montrer qu’un sous-espace stable non nul V ⊂ P contient un
n
´el´ement (x,y,z,...) tel que x 6= y; donc aussi (y,x,z,...). Par
diff´erence ...
On d´esignera par ε : S −→ {±1} ⊂ C× l’homomorphisme signature (si
n
n´ecessaire, on pr´ecisera ε ).
n
10