Représentations irréductibles du groupe symétrique et dualité de Schur-Weyl

13 Pages·2017·0.328 MB·French

by  Maxime Cave

Représentations irréductibles du groupe symétrique et
dualité de Schur-Weyl
Cave Maxime
6 juillet 2017
Introduction
L’objectifdecemémoireestd’établirlacorrespondanceentrecertainsS -modulesetcertains
n
GL(V)-modules, aussi appelé dualité de Schur-Weyl, dans la décomposition en représentations
irréductibles du produit tensoriel V⊗n := V ⊗···⊗V, qui sera défini dans la partie 1.1, où
| {z }
n fois
V sera un C-espace vectoriel de dimension finie. Tous les espaces vectoriels seront supposés de
dimension finie.
Nous allons tout d’abord à déterminer explicitement les représentations irréductibles du groupe
symétrique pour ensuite exhiber certaines représentations irréductibles du groupe linéaire.
1 Préliminaires
Dans cette partie nous allons énoncer certains résultats sur le produit tensoriel et de théorie
des représentations des groupes ou algèbres unitaires connus ou non et essentiels à la suite du
mémoire.
1.1 Produit tensoriel
On énonce tout d’abord la propriété universelle que vérifie le produit tensoriel.
Lemme 1.1. Soient U, V des espaces vectoriels sur C. Il existe un espace vectoriel W et une
unique application bilinéaire τ :U×V →U⊗CV tel que pour tout C-espace vectoriel E et toute
appliation bilinéaire b de U ×V dans E il existe une unique application linéaire φ:W →E tel
que b(u,v)=φ◦τ(u,v).
Définition 1.2. L’espace vectoriel défini dans le lemme s’appelle produit tensoriel de U et V
et se note U ⊗CV. Cet espace est unique à isomorphisme près.
On a les propriétés suivantes du produit tensoriel.
Proposition 1.3. Soient U, V et W trois C-espaces vectoriels.
(1) U ⊗C(V ⊕W)’(U ⊗CV)⊕(U ⊗CW).
(2) U ⊗C(V ⊗CW)’(U ⊗CV)⊗CW.
(3) U ⊗CV ’V ⊗CU.
(4) HomC(U,V)’U∗⊗CV, où U∗ désigne le dual de U.
Enitérantlaconstructionprécédente,onpeutconstruireleproduittensorielV1⊗C···⊗CVn
ou les V sont des C-espaces vectoriels. On construit le produit tensoriel V⊗n de n copies de
i
V. Si (e ,...,e ) est une base de V alors les e ⊗···⊗e où (i ,...,i ) ∈ {1,...,d}n est
1 d i1 in k n
une base de V⊗n. Cet espace vectoriel est engendré par les éléments de la forme v ⊗···⊗v
1 n
1
où v ∈ V pour tout i. Le groupe symétrique S agit naturellement à droite sur les tenseurs
i n
décomposables v ⊗···⊗v de V⊗n
1 n
∀σ ∈S , (v ⊗···⊗v )·σ =v ⊗···⊗v .
n 1 n σ(1) σ(n)
Cette action s’étend par linéarité à des combinaisons linéaires de tenseurs décomposables et
donc à V⊗n.
On définit les tenseurs symétriques et alternés
Symn(V)=(cid:8)v ∈V⊗n; ∀σ ∈S , σ·v =v(cid:9).
n
et
Altn(V)=(cid:8)v ∈V⊗n; ∀σ ∈S , σ·v =ε(σ)v(cid:9).
n
Ainsi que les projections
X
v ⊗···⊗v 7→v ·····v = v ⊗···⊗v ∈Symn(V)
1 n 1 n σ(1) σ(n)
σ∈Sn
et
X
v ⊗···⊗v 7→v ∧···∧v = ε(σ)v ⊗···⊗v ∈Altn(V)
1 n 1 n σ(1) σ(n)
σ∈Sn
1.2 Représentations des groupes
1.2.1 Premiers résultats
Nous allons tout d’abord énoncer des résultats connus concernant les représentations des
groupes finis sans démonstration.
Soit G un groupe fini. On appellera G-module un espace vectoriel sur lequel G agit linéai-
rement, c’est à dire une représentation de G, et on notera gv l’action de g ∈ G sur v ∈ V.
De manière équivalente, on dira aussi qu’une représentation de G est un morphisme de groupe
ρ:G→GL(V).
On définit ensuite la notion de morphisme de G-modules ou morphisme G-linéaire.
Définition 1.4. Si V et W sont deux G-modules on définit l’ensemble des application G-
linéaires
HomG(V,W)={φ∈HomC(V,W) ; ∀v ∈V,∀g ∈G, φ(gv)=gφ(v)}.
Étant données deux représentations V et W de G, on peut naturellement faire de V ⊗CW
et HomC(V,W) des représentations de G et les isomorphisme de la proposition 1.3 sont des
isomorphismes de représentations.
Lemme 1.5 (Schur). Soit V et W deux G-modules irréductibles et φ∈Hom (V,W) alors
G
(1) Soit φ est un isomorphisme, soit φ=0.
(2) Si V =W alors φ=λId pour un λ∈C.
Proposition 1.6 (Réciproque du lemme de Schur). Soit V un G-module. Si Hom (V,V)∼=C
G
alors V est un G-module irréductible.
Théorème 1.7 (Maschke). Soit V un G-module et W un sous-espace vectoriel de V stable par
G. Il existe un sous-espace W0 stable par G tel que V =W ⊕W0.
Corollaire. Tout G-module est somme directe de G-modules irréductibles.
Si les {W } sont les sous-représentations irréductibles de V et n = dimHom (W ,V) la
i i i G i
multiplicité de W , i.e, V = L W⊕ni, on dira que W⊕ni est la composante W -isotypique de
i i i i i
V.
Proposition 1.8. Le nombre de G-module(s) irréductible(s) est égale au nombre de classe(s)
d’équivalence(s) de G.
2
1.2.2 Représentation régulière
Danscettepartienousdéfinissonslareprésentationrégulièrepourensuiteintroduitel’algèbre
d’un groupe.
Définition 1.9. La représentation régulière de G, notée R, correspond à l’action de G sur
lui-même par translation à gauche.
Proposition 1.10. Si les {W } sont les différents G-modules irréductibles alors on a la décom-
i
position en G-modules
M
R= W⊕mi.
i
i
Avec m =dimW =dimHom (W ,R).
i i G i
Proposition 1.11. Le nombre de G-modules irréductibles est égale au nombre de classes de
conjugaison de G.
1.2.3 Algèbre du groupe
Définition 1.12. Soit A une algèbre. On appelle structure de A-module sur un espace vectoriel
V la donnée d’un morphisme d’algèbre ρ:A→EndC(V).
LorsqueGestungroupefiniondéfinitl’algèbredugroupeCGcommeétantl’espacevectoriel
sur C de base (e ) muni de la structure d’algèbre suivante : e · e = e . On a donc
g g∈G g h gh
dim(CG)=|G| et ses éléments sont de la forme P a e avec a ∈C.
g∈G g g g
Si V est un G-module, on peut étendre l’action à CG ce qui fait de V un CG-module. En effet
la représentation ρ : G → GL(V) s’étend par linéarité en ρ : CG → End(V). Inversement si V
e
est un CG-module, en ne regardant que l’action des éléments e (g ∈ G), on a une action de
g
G sur V et donc V a une structure de G-module. Ainsi, tout G-module est un CG-module et
inversement.DeplustoutG-moduleirréductibleestunCG-moduleirréductible,etinversement.
Ainsi, en faisant agir CG par translation à gauche sur CG, on a également la décomposition en
CG-modules irréductibles suivante
M
CG= W⊕mi.
i
i
2 Représentations irréductibles du groupe symétrique
Dans toute la suite, A désignera CS , l’algèbre du groupe symétrique. On s’intéressera
n
tout d’abord aux tableaux de Young ainsi que l’action de S sur ces derniers. En général,
n
les représentations irréductibles d’un groupe fini G sont de la forme CGu où u ∈ CG est un
idempotent , c’est à dire vérifiant u2 =u. Nous allons calculer explicitement des idempotents c
i
de sorte à ce que les Ac soient les S -modules irréductibles.
i n
2.1 Symétriseurs et tableaux de Young
Soitλ=(λ ,...,λ )unepartitionden,c’estàdire,n=λ +···+λ etλ (cid:62)...(cid:62)λ (cid:62)0.On
1 k 1 k 1 k
note λ‘n. Onmunit l’ensemble des partitionsde n de l’ordre lexicographique,c’est àdire, si λ
et µ sont deux partitions de n on écrit λ<µ si pour i =min{i; λ 6=µ } on a λ <µ . On
0 i i i0 i0
appelle diagramme de Young associé à la partition λ un tableau tel que la i-ème ligne possède
λ cases, pour 1 (cid:54) i (cid:54) k. Par exemple, le diagramme de Young suivant représente la partition
i
(3,2,1) de 6. :
3
On appelle ensuite tableau de Young associé à λ, noté T le diagramme précédent obtenu en
λ
remplissant chaque case avec un nombre différent entre 1 et n. Par exemple, en reprenant le
diagramme précédent :
4 1 3
2 6
5
On définit alors l’action de S sur un tableau de Young T comme suit : à σ ∈ S et T
n λ n λ
on associe le tableau de Young σT obtenu en appliquant σ aux coefficients de T . Prenons par
λ λ
exemple σ =(1 2 5)∈S et appliquons le au tableau précédent :
6
4 1 3 4 2 3
σ· 2 6 = 5 6
5 1
Ainsi, si k est en position (i,j) dans T alors σ(k) est en position (i,j) de σT .
λ λ
On définit ensuite
P(T )={σ ∈S ; σpréserve chaque ligne deT }
λ n λ
Q(T )={σ ∈S ; σpréserve chaque colonne deT }
λ n λ
En exemple nous prendrons T = 1 2. On trouve que P(T )={id,(12)} et Q(T )={id,(13)}.
λ 3 λ λ
On remarque que P(T )∩Q(T ) = {id} et que P(T ) et Q(T ) sont des sous-groupes de S .
λ λ λ λ n
En effet, soit σ ∈P ∩Q et k ∈T . L’entrée k est dans une ligne et une colonne donc σ(k)=k.
λ
Cela étant vrai pour tout k dans T on a bien σ =id.
λ
On définit
X X
a(T ):= e ∈A et b(T ):= ε(q)e ∈A
λ p λ q
p∈P(Tλ) q∈Q(Tλ)
Enfin on pose c(T )=a(T )b(T )∈A qu’on appelle symmétriseur de Young.
λ λ λ
Proposition 2.1. Pour tout tableau de Young T , c(T )6=0.
λ λ
Preuve. MontronsquelorsquepparcourtP etq parcourtQ,lesproduitspq sonttousdistincts.
Supposons p ,p ∈ P, q ,q ∈ Q et p q = p q . Comme P(T )∩Q(T ) = {id} on a p−1p =
1 2 1 2 1 1 2 2 λ λ 2 1
q q−1 =id. Et donc p =p et q =q .
2 1 1 2 1 2
Nous allons dans un premier temps montrer que deux tableaux de Young associées à une
même partition donnent des images isomorphes.
Lemme 2.2. Soit g ∈ S . Alors P(gT ) = gP(T )g−1 et Q(gT ) = gQ(T )g−1. Et donc
n λ λ λ λ
c(gT )=gc(T )g−1.
λ λ
Preuve du lemme. Posons T0 = gT . Montrons tout d’abord que si α est en position (i,j) de
λ
T et (i,j0) de pT alors g(α) est en position (i,j) de T0 et en position (i,j0) de gpg−1T0. En
λ λ
effet, supposons que α est en position (i,j) de T et en position (i,j0) de pT . L’entier β en
λ λ
position (i,j0) de T vérifie donc p(β)=α. Ensuite, par définition de l’action de S sur T , les
λ n λ
éléments en position (i,j) et (i,j0) de T0 sont réspectivement g(α) et g(β). Donc l’élement en
position (i,j0) de gpg−1T0 est gpg−1·g(β)=gp(β)=g(α). Ainsi, l’élément en position (i,j) de
T0 est en position (i,j0) de gpg−1T0. Donc p ∈ P(T ) conserve toutes les lignes de T et donc
λ λ
par le résultat précédent, gpg−1 conserve les lignes de gT et réciproquement et on a le même
λ
résultat avec les colonnes. Donc p∈P(T ) si et seulement si gpg−1 ∈P(gT ) et q ∈Q(T ) si et
λ λ λ
seulement si gqg−1 ∈Q(gT ).
λ
Ainsi, soit p ∈ P(gT ). Alors g(g−1pg)g−1 ∈ P(gT ) d’où g−1pg ∈ P(T ) c’est à dire p ∈
λ λ λ
gP(T )g−1. Réciproquement, si gpg−1 ∈ gP(T )g−1 avec p ∈ P(T ) alors gpg−1 ∈ P(gT ). Et
λ λ λ λ
donc P(gT )=gP(T )g−1.
λ λ
On résonne de même avec Q(T ) et donc Q(gT )=gQ(T )g−1.
λ λ λ
P
Enfin, comme c(gT ) = ε(q)e , avec les égalités ci-dessus, on a c(gT ) =
P ε(gqλg−1)e pq∈P=(gTgλc)(QT(gT)λg)−1. pq λ
pq∈P(Tλ)Q(Tλ) gpqg−1 λ
4
En particulier, on a également a(gT )=ga(T )g−1 et b(gT )=gb(T )g−1.
λ λ λ λ
Ce lemme nous permet d’établir le résultat suivant.
Proposition 2.3. Soit T et T0 deux tableaux de Young associés à la même partition λ. Alors
λ λ
Ac(T )’Ac(T0).
λ λ
Preuve. Tout d’abord, il existe σ ∈ S tel que T0 = σT . Posons alors ϕ : Ac(T ) −→
n λ λ λ
Ac(T0), x 7−→ xσ−1. ϕ est un morphisme de A-modules et est bien défini. En effet, soit
λ
x ∈ Ac(T ), il existe x˜ ∈ A tel que x = x˜c(T ). On a alors ϕ(x) = xσ−1 = x˜c(T )σ−1 =
λ λ λ
x˜σ−1(σc(T )σ−1)=x˜σ−1c(T0)∈Ac(T0) par le lemme 2.2.
λ λ λ
Montrons que ϕ est surjective. Soit ac(T0) ∈ Ac(T0). Posons x = aσc(T ). Alors ϕ(x) =
λ λ λ
aσc(T )σ−1 =ac(T0).
λ λ
ϕ est également injective. En effet, soit x, y ∈Ac(T ) tel que ϕ(x)=ϕ(y). Alors xσ−1 =yσ−1
λ
et donc x=y. ϕ est donc bien un isomorphisme.
Ainsi nous pouvons fixer le choix d’un tableau de Young : nous appellerons standard un
tableau dont les coefficients augmentent en ligne et en colonne, comme dans l’exemple ci-après
pour la partition (3,2,1) de 6.
1 2 3
4 5
6
Nous noterons donc simplement, sauf s’il y a ambiguïté, c dans la suite au lieu de c(T ) et de
λ λ
même pour a , b , P et Q .
λ λ λ λ
2.2 Promenade dans les tableaux de Young
Nous allons maintenant mettre en évidence le fait que c est multiple d’un élément idem-
λ
potent de A. Montrons tout d’abord le résultat suivant.
Proposition 2.4. Un élément g ∈ S peut s’écrire sous la forme pq avec p ∈ P et q ∈ Q
n λ λ
si et seulement si deux éléments qui sont sur une même ligne de T ne sont dans une même
λ
colonne de gT .
λ
Preuve. Supposons tout d’abord que g = pq avec p ∈ P et q ∈ Q . Prenons α et β dans une
λ λ
même ligne de T . Ils sont donc encore dans une même ligne de pT . On a gT = (pqp−1)pT .
λ λ λ λ
Mais comme dans la preuve du lemme 1.2, la transformation (pqp−1) appliqué à pT change les
λ
termesdelamêmemanièrequeqappliquéàT ,c’estdoncunepermutationdescolonnesdepT .
λ λ
OrcommeαetβsontdansunemêmelignedepT ilsnesontpasdansunemêmecolonnedegT .
λ λ
Réciproquement, supposons que deux éléments sur une même ligne de T ne sont pas sur
λ
unemêmecolonnedegT .Ainsi,lesélémentssurlapremièrecolonnedegT seretrouventtous
λ λ
sur différents lignes de T . Prenons la permutation p ∈ P de tel sorte que p T et gT aient
λ 1 λ 1 λ λ
la même première colonne à permutation près. On répète cette construction pour les colonnes
suivante et on obtient une permutation p=p ···p tel que pT et gT aient les même colonne
1 λ1 λ λ
à permutation près. Ainsi, gT = qpT pour q ∈ Q (pT ) = pQ p−1 et donc q = pq0p−1 avec
λ λ λ λ λ
q0 ∈Q . On a donc gT =(pq0p−1)pT =pq0T et ainsi on a bien g =pq0.
λ λ λ λ
Nous pouvons maintenant établir le lemme suivant.
Lemme 2.5. Soit λ‘n et x∈A tel que pxq =ε(q)x pour tout p∈P ,q ∈Q . Alors il existe
λ λ
γ ∈C tel que x=γc . En particulier, il existe n ∈C tel que c2 =n c .
λ λ λ λ λ
Preuve. Soit p ∈ P et q ∈ Q . On a tout d’abord p · c = c et c q = ε(q)c . En effet,
λ λ λ λ λ λ
P P P P
pc = ε(q)e = ε(q)e = c et c q = ε(g)e = ε(q) ε(h)e = ε(q)c .
λ g,q pgq h,q hq λ λ p,g pgq p,h ph λ
D’où pc q =ε(q)c
λ λ
5
P P
Supposons maintenant que x = α e ∈ A satisfait l’égalité du lemme i.e α e =
g g g g g pgq
P
ε(q) α e . Pour tout g ∈ S , p ∈ P et q ∈ Q on a α = ε(q)α et donc pour g = id,
g g g n λ λ pgq g
α =ε(q)α .Montronsquelorsquegnepeutpass’écriresouslaformepqavecp∈P etq ∈Q ,
pq id λ λ
α =0 et donc x=α c . Par la proposition 2.4, il existe α et β dans une même ligne de T et
g id λ λ
unemêmecolonnedegT .Posonsdoncτ =(αβ).Ainsiτ ∈P(T )etτ ∈Q(gT )=gQ(T )g−1,
λ λ λ λ
ce qui nous donne g−1τg ∈ Q(T ). Et donc α = ε(τ)α ce qui nous donne α = −α
λ τg(g−1τg) g g g
d’où α =0 si g ne s’écrit pas sous la forme pq.
g
Enfin, soit p∈P et q ∈Q . On a pc2q =(pc )(c q)=c2. Donc par le résultat ci-dessus c2 est
λ λ λ λ λ λ λ
un multiple de c .
λ
Nous noterons p l’idempotent n−1c .
λ λ λ
Lemme 2.6. Soit λ et µ deux partitions de n et supposons λ >µ. Alors il existe deux entiers
dans une même ligne de T qui sont également dans une même colonne de T .
λ µ
Preuve. Supposons que l’assertion est fausse. Alors, les λ chiffres de la première ligne de T se
1 λ
retrouvent tous dans différentes colonnes de T . On a donc λ (cid:54)µ et donc λ =µ et ainsi T
µ 1 1 1 1 λ
et T ont la même première ligne puisque la numérotation est fixée. On répète ensuite le même
µ
argument pour la deuxième ligne de T et de T et donc λ = µ . On fait de même pour les
λ µ 2 2
lignes suivantes et donc λ=µ ce qui est absurde.
Lemme 2.7. Soient λ et µ deux partitions de n telles que λ>µ. Alors a Ab =0.
λ µ
Preuve. Soit g ∈S . On va montrer que pour x=e ∈A on a a xb =0.
n g λ µ
On a b = b(T ) et gb(T ) = (gb(T )g−1)g = b(gT )g. Posons T = T et T0 = gT . On doit
µ µ µ µ µ λ µ
montrer que a(T)b(T0) = 0. Par le lemme 2.6, comme λ > µ, il existe deux entiers i et j qui
sont sur une même ligne de T et sur une même colonne de T0. On pose τ = (i j). Comme
τ ∈ P(T) et τ ∈ Q(T0) on a a(T)b(T0) = (a(T)τ)(τb(T0)) = a(T)ε(τ)b(T0) = −a(T)b(T0), d’où
a(T)b(T0)=0 et donc a xb =a(T)b(T0)g =0.
λ µ
Comme les e avec g ∈S engendrent A on a bien a Ab =0.
g n λ µ
Lemme 2.8. Soit λ et µ deux partitions de n tel que λ6=µ. Alors c Ac =0.
λ µ
Preuve. On distingue deux cas.
Supposons tout d’abord λ>µ. On a p Ap =a b Aa b ⊂a Ab =0 par le lemme 2.7.
λ µ λ λ µ µ λ µ
Supposons maintenant µ > λ et posons ι : S −→ S , σ 7−→ σ−1 que l’on prolonge en ι :
n n
P P P
A−→A, a e 7−→ a e . On a alors ι(a b )= ε(q)e =b a . En notant
σ σ σ σ σ σ−1 λ λ (p,q) q−1p−1 λ λ
que pour x ∈ A, si ι(x) = 0 alors x = 0 on a ι(c xc ) = ι(c )ι(x)ι(c ) = b (a ι(x)b )a = 0
λ µ µ λ µ µ λ λ
par le lemme 2.7 et donc c xc =0. On a donc bien pour λ6=µ, c Ac =0.
λ µ λ µ
Lemme 2.9. SoitM unA-moduleetu∈Aidempotent.Onaalorsl’isomorphismedeC-espace
vectoriel uM ’Hom (Au,M).
A
Preuve. Posons ϕ : Hom (Au,M) → uM,f 7→ f(u). Alors f(u) = f(u2) = uf(u) donc ϕ est
A
bien définie puisque uf(u)∈uM.
Montrons que ϕ est surjective. Soit um ∈ uM. Posons pour a ∈ A, f(au) = aum. On a alors
pour tout a0 ∈ A et au ∈ Au, f(a0au) = a0aum = a0f(au) et donc f ∈ Hom (Au,M). De
A
plus um = f(u) = ϕ(f) et ϕ est donc surjective. Montrons que ϕ est injective. Soit f tel que
ϕ(f) = 0. On a donc uf(u) = 0, et donc f(u) = 0. Soit a ∈ A, on a f(au) = af(u) = 0 d’où
f =0.
Donc ϕ est bien un isomorphisme.
Lemme 2.10. Soit λ‘n. On a l’égalité c Ac =Cc .
λ λ λ
Preuve. Soient x=c ac ∈c Ac , p∈P et q ∈Q . On a pxp=(pc )a(c q)=x et donc par
λ λ λ λ λ λ λ λ
le lemme 2.5, il existe γ ∈ C tel que x = γc ∈ Cc . Réciproquement, Cc = Cn−1(n c ) =
λ λ λ λ λ λ
Cc2 =c Ce c ⊂c Ac . On a donc bien c Ac =Cc .
λ λ id λ λ λ λ λ λ
Nous pouvons maintenant décrire toutes les représentations irréductibles du groupe S .
n
6
Théorème 2.11. Soit λ ‘ n. Posons V = A·p . Alors V est un A-module irréductible. De
λ λ λ
plus si µ‘n tel que λ6=µ alors V n’est pas isomorphe à V .
λ µ
Preuve. Soit λ et µ deux partitions de n. Remarquons que p Ap = c Ac . On a donc, par
λ λ λ λ
le lemme 2.9 Hom (V ,V ) = Hom (Ac ,Ac ) ’ c Ac . Si λ = µ, par le lemme 2.10 on a
A λ µ A λ µ λ µ
Hom (V ,V ) ’ Cc et par la réciproque du lemme de Schur V est irréductible. Ensuite, si
A λ λ λ λ
λ6=µ,parlelemme2.8onaHom (V ,V )=0etdoncparlelemmedeSchurcommecesdeux
A λ µ
modules sont irréductibles, V n’est pas isomorphe à V .
λ µ
Comme le nombre de représentations irréductibles est égale au nombre de classes de conju-
gaisondeS quiestégalaunombredepartitionden,ona,grâceauthéorèmeci-dessus,décrit
n
toutes les représentations irréductibles du groupe S .
n
Pour finir nous allons donner quelques exemples. Pour les partitions de n, λ = (n) et µ =
(1,...,1) on a CS ·c = CP e qui est donc la représentation triviale et CS ·c =
CP ε(σ)e quinestλlarepréseσn∈tSantioσnsignature.Enfin,pourn=3onalespartitionsλn =µ(3)
σ∈Sn σ
etµ=(1,1,1)quel’onvientdedécrireetégalementν =(2,1)quinousdonnelareprésentation
standard de S .
3
3 Dualité de Schur-Weyl
Lebutdecettepartieestdemontrerqu’ilexisteunecorréspondanceentrelesreprésentations
irréductibles V de S et certaines représentations irréductibles du groupe linéaire en utilisant
λ n
le théorème du double commutant.
3.1 Cadre général
Dans cette partie nous allons définir la notion de commutant d’une algèbre puis étudier la
correspondance qu’il existe entre ce dernier et l’algèbre. Dans ce paragraphe A désignera une
algèbre sur C et on supposera même, c’est le cas qui nous intéresse ici, que A est l’algèbre d’un
groupe fini.
3.1.1 Commutant d’une algèbre
Définition 3.1. On dit qu’une algèbre est semi-simple si en tant que module module sur elle
même elle est semi-simple.
Comme ici A est l’algèbre d’un goupe fini sur le corps des complexes, elle est semi-simple
par le théorème de Maschke.
Soit U un A-module à droite.
Définition 3.2. On note Aop l’algèbre opposée à A : le produit ab dans Aop est le produit ba
calculé dans A. De plus A et Aop coïncident en tant qu’espace vectoriel.
Définition 3.3. Étant donnéesdeux C-algèbres A et B on formel’algèbre B⊗CA dont la struc-
ture d’espace vectoriel coïncide avec le produit tensoriel d’espaces vectoriels et de multiplication
(b⊗a)(b0⊗a0)=bb0⊗aa0.
Définition 3.4. On dit que U est un B-A-bimodule si c’est un B ⊗C Aop-module à gauche.
C’est à dire que U est un A-module à droite et un B-module à gauche et pour tout a∈A, pour
tout b∈B et tout u∈U on a b(ua)=(bu)a.
Définition 3.5. On définit le commutant de A comme l’ensemble des endomorphismes A-
linéaires :
n o
EndA(U)= φ∈EndC(U); ∀a∈A, ∀u∈U,φ(ua)=φ(u)a .
Théorème 3.6 (Jacobson-Chevalley). Soit A une algèbre semi-simple sur C, soit U un A-
module à droite et posons B = End (U). Soit f ∈ End (U). Alors pour toute famille finie
A B
(x ,...,x ) d’éléments de U il existe a∈A tel que pour tout i, f(x )=x a.
1 n i i
7
Preuve. Soit (x ,...,x ) une famille d’éléments de U. On prolonge f en une application fn :
1 n
Un →Un définit par fn(y ,...,y )=(f(y ),...,f(y )). L’application fn commute avec toute
1 n 1 n
application g ∈EndA(Un). En effet, soit matriciellement, g est de la forme (gij)1(cid:54)i,j(cid:54)n où pour
tout i,j g ∈End (U). Soit u=(u ,...,u )∈U. On a
ij A 1 n
     
X X
fn◦g(u)=fn gijuj = gijf(uj) =(g◦fn)(u)
1(cid:54)j(cid:54)n 1(cid:54)i(cid:54)n 1(cid:54)j(cid:54)n 1(cid:54)i(cid:54)n
Posons ensuite v =(x ,...,x ). L’espace vectoriel vA est un sous-module de Un et comme
1 n
ce dernier est semi-simple, il existe U0 tel que Un = vA ⊕ U0. On note p la projection de
U sur vA parallèlement à U0. Ainsi, p ∈ End (Un). En effet, soit a ∈ A et w ∈ Un alors
A
p(wa)=p(va0a+u0a)=va0a=p(w)a. Donc fn commute avec p et
(f(x ),...,f(x ))=fn◦p(x ,...,x )=p◦fn(v)∈vA.
1 n 1 n
Ainsi, il existe a∈A tel que (f(x ),...,f(x ))=(x a,...,x a).
1 n 1 n
3.1.2 Correspondance entre une algèbre et son commutant
Théorème3.7(Doublecommutant). SoitAunealgèbresemisimpleetU unA-moduleàdroite.
On pose B =End (U), le commutant de A. Alors A=End (U).
A B
Preuve. On a déjà A ⊂ End (U). Montrons donc l’inclusion inverse. On note d = dimU et
B
prenons une base {e ,...,e } de U. Soit f ∈ End (U). Par le théorème 3.6 il existe a ∈ A tel
1 d A
P
que pour tout i, f(e )=e a. Ainsi, pour tout u= α e ∈U,
i i i i i
!
X X
f(u)= α f(e )= α e a=ua.
i i i i
i i
On a donc bien A=End (U).
B
Danslasuite,U seraunA-moduleàdroiteetB seralecommutantdeA.LesU désigneront
i
tous les A-modules et on note la décomposition isotypique de U en tant que A-module
r
M
U = Uci
i=1
Avec Uci =Ui,1⊕···⊕Ui,nj où pour tout j, Ui,j ’Ui. On pose pour tout i, Vi =HomA(Ui,U).
C’est un B-module pour la composition : bf = b◦f pour f ∈ V et b ∈ B. Nous allons étudier
i
la décomposition de U en tant que B-A-bimodule et montrer que les modules irréductibles sont
de la forme Vi ⊗C Ui. Remarquons tout d’abord que si Ue est un A-module à droite et Ve un
B-module à gauche on forme un B-A-bimodule Ve ⊗CUe isomorphe à dimVe copies de Ue comme
A-module ou à dimUe copies de Ve comme B-module. En effet, Prenons {fk}k∈J une base de Ve.
Alors
!
Ve ⊗CUe = MCfk ⊗CUe =M(cid:0)Cfk⊗CUe(cid:1).
k∈J k∈J
Mais pour tout k, le terme Cfk⊗CUe est un A-module isomorphe à C⊗CUe et donc à Ue. Ainsi
comme A-module, Ve ⊗CUe ’Ue⊕en avec ne =dimVe. De la même façon, on voit que, en prenant
{ek}k∈I une base de Ue et en écrivant
Ve ⊗CUe =M(cid:0)Ve ⊗CCek(cid:1).
k∈I
8
Avec Ve ⊗C Cek un B-module isomorphe à Ve. Donc comme B-module, Ve ⊗C Ue ’ Ve⊕me avec
me =dimUe.
Dans notre cas nous avons des B-modules V et des A-module U . Nous allons tout d’abord
i i
étudierlasimplicitédesmodulesVietVi⊗CUipuisdonnerunedécompositionenB-A-bimodules
simples de U.
Lemme 3.8. Le B-module V est soit nul, soit simple.
i
Preuve. Soit W un sous-module de V non nul et f ∈W non nul. L’action de A sur U commute
i
avec f donc kerf et Imf sont des sous-A-module de U et de U respectivement. Mais U est
i i
simple et f est non nul donc kerf = {0} et f est injective. Ainsi f induit un isomorphisme
fe:Ui →Imf.Deplus,commeImf estunsous-A-moduledeU,parlethéorèmedeMaschke,il
existeunA-moduleU0 telqueU =Imf⊕U0.Soitg ∈V .Onvamontrerqueg ∈W.Ondéfinit
i
φ l’endomorphisme de U tel que φ(x)=g◦fe−1(x) si x∈Imf et 0 si x∈U0. Ainsi, φ commute
avec l’action de A donc φ∈B et φf ∈W. Mais φf(x)=φ◦f(x)=g◦fe−1(f(x))=g(x). Par
conséquent g ∈W et donc W =V .
i
Lemme 3.9. Le B-A-bimodule Vi⊗CUi est simple.
Preuve. Soit W un sous-B-A-bimodule de Vi ⊗C Ui. On va montrer que tout élément de la
P
forme e ⊗v est dans W. Soit w ∈W non nul. On peut écrire w = λ f ⊗e =
i (α,β)∈I0×J0 α,β β α
P v ⊗e avec v ∈ V , I0 ⊂ I et J0 ⊂ J. Soit k ∈ I, v ∈ V et fixons j ∈ I0. Comme V
α∈I0 α α α i i i
est simple, il existe b ∈ B tel que vj = bv. Définissons ensuite f ∈ EndC(U) par f(ej) = ek
et f(e ) = 0 si i 6= j. Comme End (U) ∼= C puisque U est simple, le théorème 3.6 nous dit
i A
qu’il existe a ∈ A tel que pour tout α ∈ I, f(e ) = e a et donc pour tout u ∈ W, f(u) = ua.
α α
Ainsi, bwa=v⊗e et comme W est un B-A-bimodule, bwa∈W. Donc v⊗e ∈W et comme
k k
Vi⊗CUi =Ll∈I(cid:0)Vi⊗CCel(cid:1), il est engendré par les éléments de cette forme, et donc on a bien
W =Vi⊗CUi.
Proposition 3.10. L’application ϕ:(v,u)7→v(u) de V ×U dans U induit un isomorphisme
i i
de Vi⊗CUi dans la composante isotypique Uci =Ui,1⊕···⊕Ui,ni de U.
Preuve. L’application ϕ:V ×U →U est bilinéaire donc se factorise en une aplication linéaire
i i
ϕe:Vi⊗CUi →U telqueϕe(v⊗u)=ϕ(v,u).Montronsquec’estunmorphismedeB-A-bimodules.
Soit b⊗a∈B⊗CAop.
ϕ((b⊗a)(v⊗u)) = ϕ(bv⊗ua)
e e
= ϕ(bv,ua)
= b◦v(u)a
= vb(u)a
= bϕ(v,u)a
= (b⊗a)ϕ(v⊗u)
e
De plus, on sait déjà que Vi ⊗C Ui est un module simple et ϕe est non nul d’où kerϕe = {0}
et donc ϕe est injectif. On sait aussi qu’en tant que A-module, Vi ⊗C Ui est isomorphe à un
sous-module de Uci d’où ϕe(Vi ⊗C Ui) ⊂ Uci. Montrons l’inclusion inverse. Soit y ∈ Uci. On peut
écrire y =Pr y avec y ∈U et on note φ un isomorphsime entre U et U . On peut alors
j=1 j j i,j j i i,j
écrire U =Imφ et donc y =φ (x ). Ainsi
i,j j j j j
X X X
y = φ (x )= ϕ(φ ⊗x )=ϕ( φ ⊗x ).
j j e j j e j j
j j j
Comme φ ∈Hom (U ,U) on a bien montrer que ϕ est surjectif.
j A i e
Proposition 3.11. En tant que B-module et B-A-bimodule, U est complètement réductible.
9
L
Preuve. Onsaitdéjàparlaproposition3.10qu’entantqueB-A-bimodule,U ’ iVi⊗CUi et
que pour tout i, Vi⊗CUi est un B-A-bimodule simple tel que Vi⊗CUi n’est pas isomorphe à
Vj ⊗CUj si j 6=i. Donc U est complètement réductible comme B-A-bimodule. Ensuite, on sait
queentantqueB-module,Vi⊗CUi ’Vi⊕mi avecmi =dimUi doncU ’LiVi⊕mi oùpourtout
i, V est un B-module simple. Donc U est complètement réductible en tant que B-module.
i
Nous pouvons alors résumer tout ce que nous venons de montrer dans le théorème suivant.
Théorème 3.12. On a la décomposition de U en tant que B-module
r
M
U ’ V⊕mi
i
i=1
avec m =dimU . On a également la décomposition en tant que A-module
i i
r
M
U = U⊕ni
i
i=1
avec n =dimV .
i i
Enfin, en tant que B-A-module
r
M
U ’ Vi⊗CUi.
i=1
3.2 Représentations irréductibles du groupe linéaire
Nous allons utiliser les résultats généraux dans le cas A = S et U = V⊗n. B désigne
n
toujours le commutant de A. Le groupe GL(V) agit à gauche sur les tenseurs décomposables de
V⊗n comme suit :
∀ g ∈GL(V), ∀v ⊗···⊗v ∈V⊗n, g·(v ⊗···⊗v )=g(v )⊗···⊗g(v )
1 n 1 n 1 n
Cette action fait de V⊗n un GL(V)-module et l’action commute avec l’action de S .
n
Reprenons les même notations que précédemment. Comme l’action de S s’étend à une
n
action de A sur V⊗n, le sous-espace S V =V⊗nc est stable par GL(V).
λ λ
Nous allons tout d’abord à démontrer le théorème suivant.
Théorème 3.13. ChaqueS V estunereprésentationirréductibledeGL(V).Deplus,ennotant
λ
m la dimension de V on a la décomposition en GL(V)-modules suivante :
λ λ
M
V⊗n ’ (SλV)⊕mλ
λ‘n
AvantdemontrercethéorèmenousallonsdonnerladécompositiondeV⊗2etV⊗3enGL(V)-
modules irréductibles. Nous avons deux partitions de 2, λ = (2) et µ = (1,1) et donc deux
symétriseurs c =e +e et c =e −e . Ainsi, en utilisant les projecteurs énoncés dans
λ id (12) µ id (12)
la partie 1.1 on a S V =Sym2(V) et S V =Alt2(V). Donc nous avons, d’après le théorème, la
λ µ
décomposition en GL(V)-modules irréductibles
V⊗2 =Sym2(V)⊕Alt2(V).
Ensuite, nous avons trois partitions de 3, λ = (3), µ = (1,1,1) et ν = (2,1). Pour λ et µ on
retrouve S V = Sym3(V) et S V = Alt3(V). Pour la troisième partition, on remarque que V
λ µ ν
est la représentation standard de S et donc de dimension deux. Ainsi, d’après le théorème,
3
nous avons
V⊗3 =Sym3(V)⊕(cid:0)S V(cid:1)⊕2⊕Alt3(V).
(2,1)
10