Representations de dimension finie de l'algebre de Cherednik rationnelle

13 Pages·0.25 MB·

by  C. Dezelee

REPRÉSENTATIONS DE DIMENSION FINIE DE L'ALGÈBRE
2 DE CHEREDNIK RATIONNELLE
0
0
2 CHARLOTTE DEZÉLÉE

n
a Résumé. Ondonne une
ondition né
essaire et su(cid:30)sante pour l'existen
ede
J
modules de dimension (cid:28)nie sur l'algèbre de Cherednik rationnelle asso
iée à

1 unsystèmedera
ines.
2

]
T
R 1. Introdu
tion et notations
h. Soit aR un R-espa
eve
toriel de dimension ℓ≥1,R⊂a∗R un système de ra
ines
t W a=C RaR rα
a réduit, legroupedeWeyl
orrespondantet ⊗ .Onnotera laré(cid:29)exion
α α∨ a α
m
asso
iéeàlara
ine et ∈ la
ora
inede .On(cid:28)xeunefon
tiondemultipli
ité
k :R C k =k α R w W
[ → sur l'ensemble des ra
ines, don
w(α) α pour tous ∈ , ∈ .
= S(a∗) = ⊕ = Sn(a∗) a∗
2 Soit P n≥0Pn, où Pn , l'algèbre symétrique de . On
=⊕ f f
v poseP+ n≥1Pn. Un élément ∈P peut être identi(cid:28)é àlamultipli
ation par
0 EndC( ) W ∂y
dans P et l'on faitopérer de façonnaturelle surP. Si estle
hampde
1 y a Ty =Ty(k) EndC( )
2 ve
teursasso
iéà ∈ ondé(cid:28)nitalorsl'opérateurdeDunkl ∈ P
1 par
1 1 α,y α,y
T (k)=∂ + k h i(1 r )=∂ + k h i(1 r )
1 y y 2 X α α − α y X α α − α
0 α∈R α∈R+
h/ R+ R T : y Ty
où ⊂ est un système de ra
ines positives. On sait que 7→ s'étend
t S(a) = (k) = C[T : y a]
a en un isomorphisme d'algèbres de sur S S y ∈ (
f., par
m n =T(Sn(a)) = C⊕ +
exemple, [5, Theorem 2.12℄). On posera S , de sorte que S S
=⊕
: + n≥1 n
v ave
S S .
(k)
i L'algèbrede Cherednikrationnelle(
f.[6℄), notée H ouH,estlasous-algèbre
X EndC( ) w W x a∗ Ty y a
de P engendréeparles ∈ , ∈ et les , ∈ . Cesgénérateurssont
r
a liés par les relations suivantes :
[T ,x]= y,x + 1 k y,α α∨,x r
1. y h i 2Pα∈R αh ih i α;
wxw−1 =w(x)
2. ;
wT w−1 =T
y w(y)
3. .
Rappelons [6, Corollary 4.4℄ que H véri(cid:28)e un théorème de Poin
aré-Birkho(cid:27)-Witt
n Z
(PBW). En e(cid:27)et, si l'on pose pour tout ∈
= C w = C w ,
Hn Lj−i=n,w∈W Si Pj Lj−i=n,w∈W Pj Si
on a alors
= = CW = CW .
H Ln∈ZHn P ⊗ ⊗S S⊗ ⊗P
Date:16janvier2002.
1
2 C. DEZÉLÉE
Il résulte de [1, Theorem 2.2℄ que pour des valeurs génériques de la fon
tion
k (k)
, l'algèbre H ne possède pas de représentation de dimension (cid:28)nie. L'objet de

e travail est de
her
her des
onditions né
essaires et su(cid:30)santes pour qu'il existe
des H-modules de dimension (cid:28)nie et de déterminer
ertaines de leurs propriétés.
Les prin
ipaux résultats obtenus sont les suivants. Dans la se
tion 4 on montre
(k)
(Théorème4.1)quetoutH -moduleirrédu
tiblededimension(cid:28)nieestisomorphe
àl'uniquequotientsimpled'unmoduledeVermagénéralisé(
f.[5℄);onendéduità
k (k)
lase
tion5une
ara
térisationdesmultipli
ités pourlesquellesdesH -modules
dedimension(cid:28)nieexistentetunedes
riptionde
esderniers(Théorème5.4,Remar-
que 5.5 et Proposition 5.6). La se
tion 6 est
onsa
rée à des exemples, notamment
2
le
as d'un groupe de Weyl en rang y est (presque)
omplètement traité.
2. Propriétés de H
W
On dé(cid:28)nit [2, p. 144℄ une forme bilinéaire symétrique dé(cid:28)nie positive -inva-
a∗ a∗ B∗(x,z) = α∨,x α∨,z
riante sur R (que l'on étend à ) en posant Pα∈Rh ih i. On
a∗ a x B(x) B(x) B∗(x,z) =
pBeu(xt)a,lzors identiB(cid:28)er à via 7→ W, où est
ara
téBris(éα)pa=r B∗(α,α)α∨
h i. Ainsi est un isomorphisme -linéaire et l'on a : 2 ,
B(x),B−1(y) = y,x α R (x,y) a∗ a
h i h i, pour tous ∈ et ∈ × . On en déduit que :
k y,α α∨,x r = k B(x),α α∨,B−1(y) r .
X αh ih i α X αh ih i α
α∈R α∈R
En utilisant
ette relation on montre que l'on peut dé(cid:28)nir un anti-automorphisme
σ
involutif de H par :
σ(x)=T , σ(T )=B−1(y), σ(w)=w−1,
B(x) y
x a∗,y a,w W φ
pour tous ∈ ∈ ∈ . On peut aussi dé(cid:28)nir un automorphisme de H
4
(d'ordre ) en posant :
φ(x)= T , φ(T )=B−1(y), φ(w)=w.
B(x) y
−
φ σ n Z
n −n
On remarqueraque et é
hangent H et H pour tout ∈ .
=CW ⊕( +
+
Une appli
ation bilinéaire sur H. Grâ
eà PBW il vient: H P H
) π : CW +
+ + +
HS .Onpeutdon
dé(cid:28)nirlaproje
tion H→ parallèlementàP H HS .
W π W
+ +
Comme laissestablesP etS , estunmorphismede -modulespourl'a
tion
W π(wh) = wπ(h) π(hw) =
par multipli
ation à gau
he, ou à droite de , i.e. et
π(h)w h w W π(σ(h)) = σ(π(h))
, ∈ H, ∈ ; observons également que . Dé(cid:28)nissons
β : CW
une appli
ation bilinéaire H×H→ par :
a,b , β(a,b)=π(σ(a)b).
∀ ∈H
Les assertions du lemme suivant résultent de
al
uls immédiats.
a,b,h w,s W
Lemme 2.1. On a, pour tous ∈H et ∈ :
β(a,b):=σ(β(b,a))
1. ;
R(β)= a : b , β(a,b)=0 = a : b , β(b,a)=0
2. { ∈H ∀ ∈H } { ∈H ∀ ∈H };
β(aw,bs)=w−1β(a,b)s β σ
3. (on dira que est -linéaire);
β(ah,b)=β(a,σ(h)b) β σ
4. (on dira que est -symétrique);
R(β) σ( )=
+ + +
5.
ontient HS et HS P H.
3
+ p=0
p + +
Il dé
oule de PBW que H ⊂P H HS lorsque 6 ; on en déduit
β( , )=π(σ( ) )=π( ) π( )=0
m n m n −m n n−m
H H H H H H ⊂ H
m=n
pour tous 6 .
= ( CW)⊕ β
+
Comme H P ⊗ HS , on peut
onsidérer
omme une appli
ation
σ / CW
+
bilinéaire -symétrique sur H HS ≃P ⊗ en posant :
p,q , w,s CW, β(p w,q s)=σ(w)β(p,q)s.
∀ ∈P ∀ ∈ ⊗ ⊗
β( CW, CW)= 0 n =m β
n m
On remarquera que P ⊗ P ⊗ si 6 . Don
est déterminée
CW
n
par ses restri
tions aux espa
es ve
toriels de dimension (cid:28)nie P ⊗ .
τ : W 1
Équivalen
e de
atégories. Soit → {± } une représentation de dimen-
1 kτ :R C kτ(α)=τ(r )k
α α
sion . Dé(cid:28)nissonsune fon
tion de multipli
ité → par . Il
(k)
résulte des relations 1,2,3 entre les générateurs de H rappelées au Ÿ 1 que l'on
ǫ : (k) (kτ)
τ
peut dé(cid:28)nir un morphisme d'algèbre H →H en posant
ǫ (x)=x, ǫ (T (k))=T (kτ), ǫ (w)=τ(w)w
τ τ y y τ
x a∗ y a w W ǫ
τ
pour tous ∈ , ∈ , ∈ . Il est
lair que est un isomorphisme dont
ǫ M (kτ)
τ
on notera en
ore l'inverse. Si est un H -module, on peut alors dé(cid:28)nir un
(k) Mǫτ C h.v =ǫ (h)v
τ
H -module en munissantle -espa
eve
torielde l'a
tion pour
h (k) v M M Mǫτ
tous ∈H , ∈ .Onendéduitainsiuneéquivalen
ede
atégories, 7→ ,
(kτ) mod (k) mod Hom(Mǫτ,Nǫτ)=Hom(M,N)
entre H - et H - (on a ).
V W Vǫτ W
Remarque 2.2. Si estun -moduleonnoteraégalement le -moduleobtenu
C V w.v = ǫ (w)v W Vǫτ
τ
en munissant le -espa
e ve
toriel de l'a
tion . Le -module
V CW Vτ Vτ W
est alors isomorphe à ⊗ , où désigne un -module irrédu
tible de type
τ V W χ Vǫτ
χ χ
; en parti
ulier si est un -module irrédu
tible de type , alors est un
W χ τ
-module irrédu
tible de type ⊗ .
sgn w det(w) W GL(a)
Onnote le
ara
tère 7→ de ⊂ .La
onstru
tionpré
édente
τ =sgn ε=ǫ M Mε
sgn
s'applique à et (pour simpli(cid:28)er) on posera . Le fon
teur 7→
( k) mod (k) mod
établit don
une équivalen
e de
atégories entre H − - et H - .
3. Modules de Verma sur H
W W M
On note l'ensemble des
ara
tères irrédu
tibles de . Tout H-module
W b M = ⊕M[χ] M[χ]
étant un -module, il se dé
ompose en où est la
omposante
χ M χ W V W χ
χ
isotypiquedetype de .Soit ∈ et un -moduleirrédu
tibledetype .
b χ
Rappelonsla dé(cid:28)nition d'un module de Vermade plus baspoids introduite dans
V CW .V =0
χ + χ
[5, (25)℄. On munit d'une stru
ture de S⊗ -module en posant S .
χ M(χ) =
Dé(cid:28)nition 3.1. On appelle module de Verma de plus bas poids , noté
M(χ,k) V CW
χ
, le module induit par de S⊗ à H :
M(χ)=indHS⊗CW(Vχ)=H⊗S⊗CW Vχ.
= CW ⊕ M(χ) V
+ χ
Il résulte de H P ⊗ HS que s'identi(cid:28)e à P ⊗
omme P-
module. Les propriétés énon
ées dans la proposition qui suit dé
oulent de [5, 2.5℄.
Rappelons que P possède une stru
ture naturelle de H-module.
4 C. DEZÉLÉE
χ = triv M(triv)
Proposition 3.2. (a) Si est le
ara
tère trivial, s'identi(cid:28)e au
H-module P.
v V r 0 I v CW M(χ) .v
χ χ χ χ χ
(b) Si ∈ { } et est l'annulateur de dans , on a ≃H ≃
/( ++ I )
χ
H HS H .
M M(χ) M =⊕ M M =( V )
n≥0 n n n χ
(
) Toutsous-module de estgradué : où P ⊗ ∩
M
.
M M(χ) M V =0
χ
(d) Un sous-module de est propre si et seulement si ∩ .
M(χ)
(e) admetununiquesous-modulemaximal,etdon
ununiquequotientsimple
L(χ)=L(χ,k)
que l'on note .
V v CW.v V .v = 0
χ +
(f) Soit un H-module engendré par tel que ≃ et S . Il existe
M(χ) V V
alors un morphisme surje
tif de H-modules → ; si est irrédu
tible on a
V L(χ)
≃ .
Signalons le
orollaire:
τ 1 W
Corollaire 3.3. Soit une représentation de dimension de . Il existe un iso-
(k)
morphisme naturel de H -modules
M(χ,k) M(χ τ,kτ)ǫτ.
≃ ⊗
Démonstration. On applique le (b) la proposition pré
édente, dont on adopte les
J (kτ) M = (kτ)/J
notations. Remarquons que si est un idéal à gau
he de H et H ,
Mǫτ (k) (k)/ǫ (J)
τ
alors estisomorpheauH -moduleH .Le
orollairedé
oulede
ette
J = (kτ) (kτ)+ (kτ)I
+ χ⊗τ
remarqueappliquée à H S H . En e(cid:27)et, (cid:28)xonsl'annulateur
I V I = ǫ (I )
χ⊗τ χ⊗τ χ τ χ⊗τ
d'un élément non nul de ; alors, est l'annulateur de
e
V =Vǫτ ǫ (J)= (k) (k)+ (k)I
mêmeélémentdans χ χ⊗τ.Don
τ H S+ H χ,d'oùlerésultat
voulu.
L(χ) M(χ)
Propriétésde . Commeilestremarquéen[5,2.6℄onpeutmunir d'une
formeanalogueàla formede Shapovalov.Nous donnons
i-dessousune manièrede

onstruire une telle forme,
e qui nous servira au Ÿ 5.
Dé(cid:28)nissonstoutd'aborduneformebilinéairesurHdelafaçonsuivante.On(cid:28)xe
0 = v V W ( )
χ χ
6 ∈ et une forme bilinéaire symétrique non dégénérée -invariante |
V V V∗ W
sur χ (on peut la prendre symétrique puisque χ ≃ χ
omme -module). On
u,v V w CW (w.u v) = (u σ(w).v)
χ
a don
, pour tous ∈ et ∈ , | | . On peut alors
dé(cid:28)nir une forme bilinéaire sur H en posant :
(a b) =(v β(a,b).v ).
| χ χ | χ
( ) (v V ) = 0
Remarquons que | χ est non nulle (sinon χ | χ ). On déduit fa
ilement
β ( ) S++ I
despropriétésde que | χestsymétriqueetquesonradi
al
ontientH H χ.
M(χ) = .v /( S+ + I ) ( )
Comme H χ ≃ H H H χ , la forme | χ induit une forme
M(χ)
bilinéaire symétrique non nulle sur par la formule :
(a.v ,b.v )=(a b) =(v β(a,b).v )
χ χ | χ χ | χ
a,b ( ) v
χ
pour tous ∈ H. Cette forme dépend des
hoix de | et , nous allons voir
R(χ)
que son radi
al n'en dépend pas.
5
σ β (, )
Remarques 3.4. (1)Enutilisantla -symétriede ,onmontre
ellede ,quiest
W R(χ)
en parti
ulier -invariante;ilen résultequeleradi
al estunsous-H-module
M(χ) M(χ)
de , di(cid:27)érent de .
M(χ) = ⊕ M(χ)[τ]
(2) Soit τ∈Wˆ la dé
omposition en
omposantes isotypiques du
W M(χ) (M(χ)[τ],M(χ)[ψ])=0 τ =ψ
-module . On montre fa
ilement que si 6 .
M(χ) V β( V ,
χ n χ m
(3) En identi(cid:28)ant et P ⊗ , on déduit fa
ilement de P ⊗ P ⊗
V ) = 0 n = m (M (χ),M (χ)) = 0 n = m
χ n m
pour 6 que si 6 . Ou en
ore, du fait que
β( , )=0 n=m ( .v , .v )=0 n=m
n m n χ m χ
H H si 6 ,ildé
ouleque H H si 6 .Enobservant
M (χ) W (M (χ)[τ],M (χ)[ψ])=
n n m
que
haque estun -module,le(2)impliquealors
0 n=m τ =ψ
si 6 ou 6 .
R(χ) M(χ)
Proposition 3.5. 1. Le radi
al est l'unique sous-module maximal de .
M(χ)/R(χ) L(χ) M(χ)
Par
onséquent est l'unique quotient simple de .
L(χ,k) L(χ τ,kτ)ǫτ
2. Il existe un isomorphisme naturel ≃ ⊗ .
M M(χ) M
Démonstration. 1. Soit un sous-H-module propre de . Alors étant
M V = 0 M = ⊕ M
χ n>0 n
gradué et tel que ∩ , on a . Par la Remarque 3.4(3) et
v M (χ) (v ,M) = 0 σ ( .v ,M) =
χ 0 χ χ
le fait que ∈ il vient . D'où, par -symétrie, H
(v ,M)=0 M R(χ)
χ
. Don
est in
lus dans .
(k) mod (kτ) mod (k)
2.Parl'équivalen
ede
atégoriesentreH - etH - ,leH -module
M(χ τ,kτ)ǫτ L(χ τ,kτ)ǫτ M(χ,k)
⊗ admet un unique quotient simple ⊗ . Mais ≃
M(χ τ,kτ)ǫτ (k) L(χ τ,kτ)ǫτ L(χ,k)
⊗ , par
onséquent les H -modules ⊗ et sont
isomorphes.
χ R(χ) R(k)
Remarque 3.6. Lorsque estle
ara
tèretrivial
oïn
ideave
leradi
al
(, )
k
de la forme dé(cid:28)nie dans [4℄. Ce
i résulte des Propositions 3.5 et 3.2(e), et du
/R(k) L(triv,k) τ 1
faitqueP ≃ (
f.[5,2.6℄).Si estunereprésentationdedimension
W L(τ,k) L(triv,kτ)ǫτ L(sgn,k)
de on a un isomorphisme ≃ ; en parti
ulier, ≃
L(triv, k)ε
−
4. H-modules irrédu
tibles de dimension finie
Le but de
e paragraphe est de montrer que tout H-module irrédu
tible de
L(χ) χ W
dimension (cid:28)nie est isomorphe à un pour un ∈ . Pour
e faire on va
sl(2,C) W b W
utiliser une
opie de
ontenue dans l'algèbre H des -invariants. Soit
z ,...,z a∗ e =B(z ) 1 j ℓ
1 ℓ R j j
{ } une base orthonormée de et , ≤ ≤ . Posons
ℓ ℓ ℓ
1 1
E = z 2, F = T2, H =[E,F], E(k)= z T .
2X i −2X ei X i ei
i=1 i=1 i=1
(E,F,H)
Par un
al
ul analogue à
elui de [7, Theorem 3.3℄ on montre que est un
sl(2) W H = E(k)+g g = ℓ + k r
-triplet d'éléments de H et que k ave
k 2 Pα∈R+ α α
CW
(qui est un élément
entral de ).
V
Théorème 4.1. Soit un H-module irrédu
tible de dimension (cid:28)nie. Il existe un
χ W V L(χ)
∈ tel que ≃ .
b
W V
Démonstration. Dé
omposons le -module en somme de
omposantes isotyp-
V = V[χ] P W P.V[χ] V[χ]
iques : Pχ∈Wˆ . Remarquons que si ∈ H on a ⊂ ; en
6 C. DEZÉLÉE
V[χ] sl(2) u
parti
ulier,
haque estunsous- -modulededimension(cid:28)nie.Soit depoids
m N sl(2) V u = u u V[χ]
minimal ∈ − dans le -module . É
rivons Pχ χ ave
χ ∈ .
H V[χ] χ u
χ
Comme laisse stable pour tout ,
haque non nul est aussi un ve
teur
m V u V[χ] χ W
depoidsminimal dans .Onpeutdon
supposerque ∈ pourun ∈ .
De plus, pour tout i∈{1,..,ℓ} on a [H,Tei]=−Tei, don
HTei.u=(m−1)Tei.ub.
m T .u=0 .u=0
Par minimalité de il vient ei , don
S+ .
CW.u = ⊕ V V V a = a w CW v = a.u
Posons j j, j ≃ χ. Soit Pw w ∈ tel que ∈
Vj r{0}. Puisque Tyw =wTw−1(y) pour tout y ∈a, il vient
Ty.v =PwawwTw−1(y).u=0.
V = .v CW.v V .v =0
χ +
Par
onséquent H ave
≃ et S ; le (f) de la Proposition3.2
V L(χ)
donne ≃ .
M(χ)= V M (χ)= V =
χ n n χ
Rappelonsquelemodule P⊗ estgraduéparles P ⊗
.v n 0 R (χ) = R(χ) M (χ)
n χ n n
H , ≥ . En posant ∩ on en déduit la graduation
R(χ) = ⊕ R (χ) (, )
n≥0 n
du radi
al de la forme introduite au Ÿ 3. Le quotient
L(χ)=M(χ)/R(χ)
est ainsi naturellement gradué :
L(χ)=⊕ L (χ) L (χ)=M (χ)/R (χ)
n≥0 n n n n
ave
.
L(χ) n N
0
Don
est de dimension (cid:28)nie si, et seulement si, il existe ∈ tel que
L (χ)=0 n n M (χ)=R (χ)
n 0 n n
pour ≥ . Cette
ondition équivaut à , ou en
ore à :
(, ) M (χ)
n
est identiquement nulle sur .
L(χ)
5. Étude des de dimension finie
k χ
Nous allons donner une
ondition né
essaire et su(cid:30)sante, portant sur et ,
L(χ)

f.Remarque5.5,pourque soitdedimension(cid:28)nieetétudierpluspré
isément
L(χ)
la stru
ture d'un tel . On
onserve les notations des se
tions 3 et 4.
χ W L (χ)=0 L (χ)=0
n n+1
Proposition 5.1. Soit ∈ . Si , alors .
b R (χ) = M (χ) R (χ) =
n n n+1
Démonstration. Il s'agit de montrer que si , alors
M (χ) a,b f,g CW (a (f.v ),b
n+1 n+1 χ
. Soient ∈ P et ∈ , on doit montrer que ⊗ ⊗
(g.v )) = 0 b x x ...x
χ 1 2 n+1
. Il su(cid:30)t de le faire lorsque est un monme de la forme ,
x a∗ a= xa a
j ∈ ; on é
rit Px∈a∗ x ave
x ∈Pn.
Soient y ∈ a et w ∈ W. De [Ty,w] = w(Tw−1(y) −Ty) = wTw−1(y)−y on tire
[T ,w] W [T ,b]= x [T ,x ] x
que y ∈ S+.Ené
rivant y Pj 1··· y j ··· n+1 etenutilisantla
[T ,b] CW T bw=bwT +[T ,bw]=
y n y y y
relation 1 du Ÿ 1, on montre que ∈P . Alors,
bwT +[T ,b]w+b[T ,w] .v =0 T bw.v =[T ,b]w.v M (χ)=
y y y + χ y χ y χ n
etS impliquent ∈
V
n χ
P ⊗ .
(a (f.v ),b (g.v )) σ (, )
χ χ
Cal
ulons maintenant ⊗ ⊗ . En utilisant la -symétrie de
σ
et la dé(cid:28)nition de il vient
(a (f.v ),b (g.v ))= (a (f.v ),σ(x)b (g.v ))
⊗ χ ⊗ χ Px∈a∗ x⊗ χ ⊗ χ
= (a (f.v ),T b (g.v )).
Px∈a∗ x⊗ χ B(x) ⊗ χ
x a
Il résulte du paragraphe pré
édent que pour tout ∈ :
(a (f.v ),T b (g.v )) (M (χ),M (χ))=0 .
x χ B(x) χ n n
⊗ ⊗ ∈ (par hypothèse)
(a (f.v ),b (g.v ))=0
χ χ
Don
⊗ ⊗ .
7
On en déduit :
L(χ)
Corollaire 5.2. Le module estdedimension (cid:28)niesi, etseulementsi, il existe
n N L (χ)=0
n
∈ tel que .
dimL(χ)
Pour obtenir un
ritère plus pré
is assurant la (cid:28)nitude de nous allons
sl(2) (E,F,H)
utiliser le -triplet dé(cid:28)ni à la se
tion pré
édente. On fera appel au
résultat suivant [7, Proposition 3.4℄ :
p
n
Lemme 5.3. Pour tout ∈P , on a
σ(p)=( 1)nad(F)n(p)= n ( 1)jc FjpFn−j
− Pj=0 − j
c n
j
où les sont des entiers ne dépendant que de .
0 = v V L(χ)
χ χ
Théorème 5.4. Soit 6 ∈ . Le module est de dimension (cid:28)nie si, et
m 0 Em.v R (χ)
χ 2m
seulement si, il existe ≥ tel que ∈ .
Démonstration. Il est
lair que la
ondition est né
essaire, montrons qu'elle est
n N .v ps.v p s CW
n χ χ n
su(cid:30)sante.Soit ∈ . Toutélément de H s'é
rit ave
∈P et ∈ .
r (ps.v ,r.v )=(p.v ,σ(s)r.v ) t=σ(s)r
n χ χ χ χ n
Soit ∈H et
al
ulons .Posons ∈H .On
(p.v ,t.v )=(v β(p,t).v ) β(p,t)=π(σ(p)t)=
χ χ χ χ
a n ( 1)jc π(FjpF| n−jt) eFtnd−'ajtprès le lemme pré=
édent +
Pj=0 − j . Or ∈ H−2(n−j)+n H−(n−2j) ⊂ HS pour
n 2j > 0 π(FjpFn−jt) π( ) = 0 n > 2j
+
− . Don
∈ HS pour . Compte tenu de
σ(E)= F
− on obtient
β(p,t)=Pnj=[n2]cjπ(σ(Ej)pFn−jt)=Pnj=[n2]cjβ(Ej,pFn−jt).
[]
(Où désigne la partie entière.) Par
onséquent :
(5.1) (ps.vχ,r.vχ)=Pnj=[n2]cj(Ej.vχ,pFn−jσ(s)r.vχ).
Em.v R (χ) j m
χ 2m
Supposons ∈ . Pour ≥ on a don
(Ej.v ,M (χ))=(Em.v ,σ(Ej−m)M (χ))=0.
χ 2j+2 χ 2j+2
(ps.v ,r.v ) = 0 n 2m
χ χ
L'équation (5.1) fournit alors pour tout ≥ ,
'est à dire
M (χ)=R (χ) n 2m L(χ)
n n
pour ≥ ,
e qui montre que est de dimension (cid:28)nie.
E W Em.v M(χ)[χ]
χ
Remarque 5.5. Puisque ∈H ,ona ∈ .LaRemarque3.4(3)per-
L(χ)
met de pré
iser en
orela
onditionobtenue dans leThéorème5.4: lemodule
m 0 (Em.v ,M (χ)[χ])=
χ 2m
estdedimension(cid:28)niesi,etseulementsi,ilexiste ≥ telque
0 dimM (χ)[χ]< P M (χ)[χ] (Em.v ,P)
2m 2m χ
.Observonsdeplusque ∞etquesi ∈ ,
k α R+ k
α i
est un polynme en les , ∈ (
'est en fait un polynme en les dé(cid:28)-
P ,...,P M (χ)[χ]
1 s 2m
nis
i-dessous). Don
, si { } est une base de , la
ondition
Em.v R (χ) s (Em.v ,P ) 1 j s
χ 2m χ j
∈ équivaut à l'annulation des polynmes , ≤ ≤ .
χ=triv M(triv,k)= R(triv)=
Le
as . Onarappelé,
f. Remarque3.6,que P et
R(k)
. Grâ
e à la Remarque 5.5, la
ondition du Théorème 5.4 se traduit par
(Em, W ) = 0 Fm( W ) = 0 m N W =
P2m k , soit P2m pour un ∈ . Rappelons que P
C[Q ,...,Q ] Q d d d
1 ℓ j 1 2 ℓ
oùles sontdespolynmeshomogènesdedegrés ≤ ≤···≤
W Fm( W )
(appelés degrés primitifs de ). La nullité de P2m est alors équivalente à
Fm(Qa1 Qaℓ)=0 (a ,...,a ) Nℓ a d =2m
1 ··· ℓ pour tout 1 ℓ ∈ tel que Pj j j .
8 C. DEZÉLÉE
L(χ)
Stru
ture des de dimension (cid:28)nie. Nous allons maintenant donner quel-
L(χ)
ques résultats sur la forme du module quand il est de dimension (cid:28)nie. La
sl(2) L(χ)
stru
ture de -module de lui donne une
ertaine symétrie, du même type
1 R ,...,R W
1 s
que
Relle observée en rang R,
+f. [3, Theorem 9.2℄. Soient s R+ les -korb=itkes
dans ;onpeutalorsé
rire
ommeréuniondisjointeFi=1 i .Onpose α i
α R+ R s=2 R+ R+
pour ∈ i .Lorsque estirrédu
tibleona etl'onprendpour 1,resp. 2,
R+
l'ensemble des ra
ines
ourtes, resp. longues (éventuellement vide), dans .
k r CW
L'élément Pα∈R+ α α étant
entral dans , il opère par multipli
ation par
W V V τ
un s
alaire sur tout -module irrédu
tible . Si est de type ,
e s
alaireest
s
τ(r )
a (k)= k R+ i ,
τ X i| i |τ(1)
i=1
τ(r ) τ(r ) α R+
où i désigne la valeur
ommune des α pour dans i .
b (k)= ℓ+a (k) H M (χ)
Proposition 5.6. 1. Posons χ 2 χ . L'élément opère sur p par
p+b (k)
χ
le s
alaire .
L(χ) m N
2. Si est de dimension (cid:28)nie il existe un ∈ tel que :
a (k)= (m+ ℓ)<0
(i) χ − 2 ;
L(χ) = ⊕2mL (χ) x Em.x W
(ii) i=0 i et l'appli
ation 7→ est un isomorphisme de -
L (χ) V L (χ) x V r 0
0 χ 2m χ
modules de ≃ sur ; si ∈ { } on a
m=min p N:Ep+1.x R (χ) .
2p+2
{ ∈ ∈ }
H =E(k)+g g = k r +
Démonstration. 1.Onrappelle,
f.Ÿ4,que k ave
k Pα∈R+ α α
ℓ E(k) M (χ)[τ]
2. Alors, par [5, Proposition 2.26℄, opère sur p par multipli
ation par
p + a (k) a (k) H ⊕ M (χ)[τ] = M (χ)
le s
alaire χ − τ . Don
opère sur τ∈Wˆ p p par
p+ ℓ +a (k)=p+b (k)
multipli
ation par 2 χ χ .
R (χ) p 0
p
2. En passant au quotient modulo , on obtient que pour tous ≥ et
x L (χ) H.x = (p+b (k))x H
p χ
∈ , . Les éléments de poids minimal pour sont don
L (χ) = V [H,E] = 2E [H,F] = 2F H.(E.x) =
0 χ
dans . De plus,
omme et − , on a
(p+2+b (k))E.x H.(F.x)=(p 2+b (k))F.x
χ χ
et L(χ) − . L(χ) = ⊕p L (χ)
Supposons maintenant de dimension (cid:28)nie. On a don
i=0 i ,
L (χ)=0 1 j p 0=x L (χ) x
j 0
ave
6 , ≤ ≤ ,
f.Proposition5.1.Alorssi 6 ∈ , estve
teur
b (k) sl(2) U(sl(2)).x sl(2)
χ
propre de plus bas poids pour l'a
tion de et est un -
m N b (k) = m
χ
module irrédu
tible de dimension (cid:28)nie. Il existe don
∈ tel que − .
D'où (i).
U(sl(2)).x = ⊕m CEi.x 0 = Em.x L (χ)
(ii) De i=0 ave
6 ∈ 2m ve
teur de plus haut
m 2m p z L (χ) E.z =0 H.z =(p m)z
p
poids(égalà )ontire ≤ .Soit ∈ .Comme et − ,
sl(2) U(sl(2)).z p m
le -module est simple de plus haut poids − . Il en dé
oule que
0=Fp−m.z L (χ) 2(p m)+p=2m p 0 p=2m
−2(p−m)+m
6 ∈ , don
− − − ≥ et .
Em W x Em.x L (χ) V
0 χ
Comme ∈ H , l'appli
ation (non nulle) 7→ de ≃ vers
L (χ) L (χ) y L (χ)
2m 2m 2m
estinje
tive.Ilresteàmontrerquesonimageest .Soit ∈ ;
sl(2) Em.(Fm.y)=y

'estunve
teurdeplushautpoidspour .Par
onséquent ,àune
Fm.y L (χ)
0

onstante près, ave
∈ . La dernière assertion dé
oule immédiatement
de la pré
édente.
9
L(χ,k) m
Remarques 5.7. (1) Supposons de dimension (cid:28)nie et soit
omme dans la
Proposition 5.6. En raisonnant
omme dans la preuve du 2(ii) de la
ette propo-
v En−1v W
sition, on peut montrer que l'appli
ation 7→ est un isomorphisme de -
L (χ)=M (χ)/R (χ) L (χ)
1 1 1 2n−1
modules de sur .
χ(r ) = 0 i L(χ,k)
i
(2) Si pour tout , il résulte de la Proposition 5.6(i) que est de
χ=χ sgn
dimension in(cid:28)nie. Cette
ondition est par exemple véri(cid:28)ée lorsque ⊗ .
6. Exemples
R W =
On suppose, dans toute
ette se
tion, que irrédu
tible. On a alors P
C[Q ,...,Q ] d =2<d d Q =E
1 ℓ 1 3 ℓ 1
ave
≤···≤ et l'on peut prendre .
k R(k)=0
Onrappellequelamultipli
ité estditesingulièresi 6 .D'après[4℄,pour
k k = j p 1 i ℓ 1 j d 1 p N∗

onstante,
elaéquivautà di − ave
≤ ≤ , ≤ ≤ i− et ∈ . On
k L(triv,k)
diraque esttrèssingulièresi estdedimension(cid:28)nie.(Rappelonsque
'est
p Fp( W) = 0
équivalent à l'existen
e d'un entier tel que P2p .) Une multipli
ité très
τ
singulièreestévidemment singulièreet l'onavu que,si estune représentationde
1 dimL(τ,kτ)<
dimension ,
ela équivaut à ∞ (
f. Remarque 3.6). Le but de
ette
se
tion est de donner des exemples de multipli
ités très singulières pour
ertains
systèmes de ra
ines.
~=b (k)=H(1)
triv
On pose , don
ℓ 1 ℓ
~= F(E)=k R+ +k R+ + = R+ (k +k )+ .
− 1| 1| 2| 2| 2 2| | 1 2 2
~=k R+ + ℓ
Observonsque | | 2 lorsque toutes les ra
ines ont la même longueur.
p N Fp+1(Ep+1)=( 1)p+1(p+1)! p (~+i).
Lemme 6.1. Pour tout ∈ , − Qi=0
H(P) = (~ + d)P P W
Démonstration. En utilisant le fait que pour ∈ Pd et la
relation
[F,Es]= HEs−1+E[F,Es−1]
(6.1) −
F(Es)= s(~+s 1)Es−1
on montre par ré
urren
e que − − , d'où le lemme.
On posera, si
es entiers existent,
n=min p N:Fp+1(Ep+1)=0 , m=min s N:Fs+1( W )=0 .
{ ∈ } { ∈ P2s+2 }
m dimL(triv,k) < L(triv,k) =
Don
l'existen
e de équivaut à ∞ et l'on a alors
⊕2mL (triv,k) L (triv,k)=0
i=0 i ,
f. Ÿ 5. (On pourra remarquer que si 1 6 , il est égal au
W a∗ n ~ = n k = 2n+ℓ k
-module .) L'existen
e de signi(cid:28)e que − , i.e. − |R| lorsque est

onstante.
m = n m = n
Cas où . Lorsque ,
ela détermine les multipli
ités très singulières.
~= n =CEn+1
2n+2
Ce
i se produit lorsque − et P . Donnons des exemples :
W =CE
(cid:21) Comme P2 on a :
~=0 L(triv,k)=C R(k)= .
+
⇐⇒ ⇐⇒ P
k =k =k k = ℓ
Si 1 2, on obtient alors −|R|.
10 C. DEZÉLÉE
4
(cid:21) Si au
un degréprimitif n'est égal à (
'est par exemple le
as pour les types
A F E E E G W =CE2
2, 4, 6, 7, 8 et 2) on a P4 . Don
~= 1 L(triv,k)=⊕2 L (triv,k).
− ⇐⇒ i=0 i
d =6 j E
j 8
(cid:21) De même, quand 6 pour tout (e.g. pour le type ) on obtient :
~= 2 L(triv,k)= 4 L (triv,k).
− ⇐⇒ ⊕i=0 i
R A =C[z] =CEn+1 =Cz2n+2
1 2n+2
(cid:21) Supposons detype etnotonsP .OnaP ,
don
il dé
oule des résultats de la se
tion 5 que :
~= n L(triv,k)=C[z]/(z2n+1).
− ⇐⇒
On retrouve ainsi
e qui a été obtenu dans [3℄ : les multipli
ités singulières
k = 1 n
et très singulières
oïn
ident et
orrespondent aux multipli
ités −2 − ,
n N
∈ .
A W =C[E,Q ] Q W
2 2 2
Type . OnaP où estun polynme homogène -invariantde
k k
degré trois. Rappelons que l'ensemble des valeurs singulières de est formé des
p/3 p/2 p N
non entiers de la forme − ou − , ∈ .
F(Q ) W = 0 F(Q2) = λE2
On a 2 ∈ P1 et un
al
ul dire
t montre que 2 pour
λ C∗ k Q √λQ
2 2
un ∈ indépendant de . En remplaçant par on peut don
é
rire
W =C[E,Q] F(Q)=0 F(Q2)=E2
P ave
, . On pose
P =P (k)=Fn(En−3rQ2r).
n,r n,r
P k ~ Fn( W)= [n3] CP
Les n,r sont des polynmes en , ou , et l'on a P2n Pi=0 n,i. Ainsi la
k
multipli
ité est très singulière si, et seulement si, il existe un entierpositif ou nul
m P =0 r =0,...,[m+1]
tel que m+1,r pour tout 3 .
[F,Q](Qp)=F(Qp+1) QF(Qp)
Onpeutmontrerlerésultatquisuitenutilisant −
et la formule (6.1).
~ P
n,r
Assertion 6.2. Les polynmes (en ) véri(cid:28)ent la formule de ré
urren
e suiv-
ante :
n,r N, P =r(2r 1)P (n+1 3r)(~+n+3r)P .
n+1,r n,r−1 n,r
∀ ∈ − − −
P =0 n<3r
n,r
En outre, si .
n N 0 r [n] ~
Pour tous ∈ et ≤ ≤ 3 on dé(cid:28)nit alors un polynme (en ) de degré
n r
− par :
f (~)= n−1(~+j) r−1(~+3i+2).
n,r Qj=0 .Qi=0
f (~) ~= j j 0,1,3,...,n 1 j 2
n,r
Remarquonsque s'annulepour − ave
∈{ − } et 6≡
(mod 3).Don
,sin6≡2 (mod 3)lepolynmefn+1,[n+31](~)=fn+1,[n3](~)possède
n f (~) f (~)
n+1,r+1 n+1,r
− pour ra
ine. Observonségalement que divise .
Grâ
e à la formule de ré
urren
e obtenue dans l'Assertion 6.2 on peut alors
démontrer :