Représentation unitaire dans les algèbres de Clifford

15 Pages·2017·0.33 MB·French

by  Jean Louis Jonot

Représentation unitaire dans les algèbres de Clifford
Jean Louis Jonot
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Jean Louis Jonot. Représentation unitaire dans les algèbres de Clifford. 2016. ￿hal-01371415v4￿
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Repr´esentation unitaire dans les alg`ebres de Clifford
Jonot Jean Louis
Abstract. Danscetarticle,ondonneunerepr´esentationunitairedel’´equation
relativiste de Dirac et l’´equation relativiste d’Einstein `a partir d’une section
deDiracsurleschampsr´eels. Encomplexifiantlessectionsd’endomorphismes
deDiracetenfaisantl’hypoth`esequecesendomorphismessontdansl’alg`ebre
de Clifford Cl1,3(R)⊗C, on en d´eduit des conditions suffisantes pour que
l’op´erateurdeDiracderang2soitunop´erateurdeRiccicequipermetd’´ecrire
l’´equationrelativisted’Einsteinentermed’op´erateurs
1
H2= R−Λ G+κT.
(cid:18)2 (cid:19)
L’´equation relativiste de Dirac est d´ecrite par le complexifi´e, non stan-
dard,del’op´erateurdeDiracr´eelderang1souslaforme
H1(Z)=ηZ.
1. Introduction au principe d’unification
On se fixe une section de Dirac r´eelle sur le fibr´e tangent ξW, c’est-`a-dire, un
morphisme de fibr´e de ξW∗ ⊗ξW dans ξW. A chaque´ev´enementw de l’univers W,
on d´efinit une application bilin´eaire
γ(w):T∗(W)⊗T (W)→T (W).
w w w
Soit(W,φ) une cartedetrivialisation,onnote {∂ }le localframed´efinisurW
ν
et {dµ} le local frame dual. Les sections d’endomorphismes de Dirac γµ s’´ecrivent
γµ(w):T (W)→T (W), γµ(w)(u)=γ(w)(dµ(w)⊗u), ∀u∈T (W)
w w w
et si X est un champ local sur W, on a
γµ(X)=γ(dµ⊗X).
Ond´efinitletenseurγµν =Trace(γµγν),cetenseurestuntenseursym´etrique.
Si ce tenseur est un tenseur m´etrique, on d´efinit la m´etrique sur W par
1
g(∂ ,∂ )=g , ou` gµν = γµν, (1.1)
µ ν µν
4
par la suite on fait l’hypoth`ese que la m´etrique g est Lorentzienne de signature
(−,+,+,+). Soit ∇ la connexion de Levi-Civita associ´ee `a la m´etrique g, Q est la
1991 Mathematics Subject Classification. 81T10,81T45,83C45,83C05,83C05,83C45,55R10.
Key words and phrases. Alg`ebre de Clifford, connexion de Levi-Civita, fibr´e de Clifford,
matricedeDirac,op´erateur deDiracderang1et2.
1
2 JONOTJEANLOUIS
section des formes quadratiques associ´ees. L’op´erateur de Dirac de rang 2 s’´ecrit
H =γ ⊗R∇,
2 2
qui est une section d’op´erateurs sur chaque fibre, on peut consulter [4]. Cet
op´erateur a pour matrice dans le local frame
1
hτ = [γν,γµ]τRj ,
ρ 2 j µνρ
ou` Rj est le tenseur de courbure, on lui associe le tenseur
µνρ
1
h = [γν,γµ] Rj
τρ 2 τj µνρ
parabaissementde l’indice τ. Si h s’identifie autenseur de Ricci R , ondit que
τρ τρ
H estunop´erateurdeRicci. Souscettehypoth`ese,l’´equationrelativisted’Einstein
2
s’´ecrit
h =λg +κT
τρ τρ τρ
ou` T est le tenseur ´energie-impulsion, λ = 1R−Λ, κ = 8πG, R est la courbure
τρ 2 c4
scalaire et Λ est la constante cosmologique. Sous l’hypoth`ese
[γν,γµ]=Hνµ, (Hνµ)σ =gσµδν −gσνδµ,
j j j
l’op´erateurH est un op´erateur de Ricci. Si le tenseur de Ricci est inversible alors
2
le tenseur h s’identifie au tenseur d’Einstein R +λg lorsque
τρ σρ σρ
[γν,γµ]=Gνµ(λ)
ou`
(Gνµ(λ))σ =(gσµ+λεσµ)δν −(gσν +λεσν)δµ,
j j j
l’´equation d’Einstein s’´ecrit
1
h =κT , λ=− R+Λ avec εσνR =δσ.
τρ τρ 2 ντ τ
Commentd´ecrirel’´equationrelativistedeDirac`apartird’une sectiondeDirac
r´eelle m´etrisable? L’id´ee est de complexifier la section de Dirac et la connexion ∇.
On complexifie ∇ en posant
∇=∇⊕i∇,
la d´eriv´ee covariante s’´ecrit
∇ (S+iT)=∇ S−∇ T +i(∇ S+∇ T),
X+iY X Y Y X
pour complexifier la section de Dirac r´eelle, on prend une base locale de champs
Q-orthogonaler´eduite sur W, not´ee {e },
ν
g(e ,e )=±δ avec δ =−1,δ =+1, µ=1,2,3
ν µ νµ 00 µµ
et {eµ} sa base duale telle que
eµ⊗e =δµ, (eµ⊗e )(w)=eµ(w)(e (w))=1, ∀w ∈W. (1.2)
ν ν ν ν
Si e = pν∂ , on pose P = pν et µγ = γeµ, γeµ est la section des endomor-
ρ ρ ν ρ
phismes de Dirac associ´ee `a eµ v(cid:0)´erifi(cid:1)e
Trace(µγνγ)=±4δ ,
νµ
en effet si eµ =qµdτ alors la condition 1.2 implique
τ
qµpν =δµ
ν ρ ρ
REPRE´SENTATION UNITAIRE 3
donc Q=(qµ)=P−1 et
ν
µγ =qµγτ
τ
on en d´eduit le calcul de la Trace(µγνγ),
µνγ =Trace(µγνγ)=qµqνTrace(γτγσ)
τ σ
=qµqνγτσ =4qµqνgστ =±4δ ,
τ σ τ σ νµ
sous forme matricielle
(µνγ)=4Q(gτσ)TrQ=4 TrP(g )P −1 =(±4δ ),
µν νµ
(cid:0) (cid:1)
les calculs sont faits sur des matrices `a coefficients r´eels. Pour complexifier γ, on
pose
µγ =i(µγ) si Trace (µγ)2 =−4 et µγ =µ γ si Trace (µγ)2 =4,
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
les µγ sont des sections d’op´erateurs de End(ξW⊗C) en posant
0γ(Z)=− 0γ (Y)+i 0γ (X) et
µγ(Z)=(µγ(cid:0))((cid:1)X)+i(µ(cid:0)γ)((cid:1)Y) si Z =X +iY et µ=1, 2 et 3
la section de Dirac complexifi´ee est d´efinie par
γ(d⊗Z)=d (νγ(Z)), d=d eν
ν ν
on peut d´efinir l’op´erateur de Dirac de rang 1 par
H =γ⊗∇,
1
c’est une section d’op´erateurs d´efinie sur les champs complexes sur W, l’´equation
relativiste de Dirac s’´ecrit
H (Z)=ηZ
1
ou` η est une fonction propre locale de l’op´erateur H d´efinie sur W. Pour donner
1
une repr´esentation unifi´ee locale des ´equations relativistes d’Einstein et de Dirac,
on se fixe une section de Dirac r´eelle γ m´etrisable, d’endomorphismes de Dirac γν
associ´ees au local frame de la carte. Sous l’hypoth`ese
Mνµ =Hνµ (1.3)
ou` Mνµ est la matrice de [γν,γµ] dans le local frame, l’op´erateur de Dirac H est
2
un op´erateur de Ricci et si
Mνµ =Gνµ(λ), (1.4)
H est un op´erateur d’Einstein. Pour construire l’op´erateur complexifi´e H , not´e
2 1
H , on d´etermine quatre endomorphismes νγ dans l’alg`ebre de Clifford
1
{νγ,µγ}=2δνµId, (1.5)
et on reconstruit les sections d’endomorphismes de Dirac en posant
γµ =pµ(τγ),
τ
on choisit τγ pour que les ´equations 1.3 ou 1.4 soient v´erifi´ees.
Remark 1. On a complexifi´e les sections d’endomorphismes de Dirac de cette
fac¸on, pour que les matrices des sections d’endomorphismes complexifi´es soient sur
chaque fibre, dans l’alg`ebre de Clifford engendr´ee par les matrices de Dirac.
4 JONOTJEANLOUIS
2. Les relations m´etriques associ´ees aux endomorphismes de Dirac
La construction de la m´etrique peut varier suivant le choix de la section de
Dirac. On se fixe une section de Dirac γ sur un fibr´e vectoriel r´eel ou complexe ζ
de base W. Avec les notations pr´ec´edentes,on pose
gµν =Trace(γµγν).
On peut d´efinir d’autres tenseurs, par exemple, si ζ est fibr´e r´eel
hµν =Trace Trγµγν ,
(cid:0) (cid:1)
dans le cas d’un fibr´e complexe
kµν =Trace(γµγν) et lµν =Trace Trγµγν
(cid:0) (cid:1)
sile tenseur kµν ou lµν est un tenseur hermitien, γ est une section de Dirac hermi-
tienne complexe. Dans le cas r´eel, si gµν ou le tenseur hµν sont m´etriques, on dit
quelasectiondeDiracesthermitienner´eelle. Ondirasimplementqueγ esthermi-
tienne. On peut donc d´efinir localement sur la carte W, une m´etrique qui est une
m´etriquepseudo-riemannienne dans le cas des fibr´esr´eelset une m´etrique hermiti-
enne dans le cas des fibr´es complexes. La m´etrique pseudo-riemannienne, not´ee g,
induit sur chaque fibre T W, un ”produit scalaire” g(w) pour tout w ∈W. Dans
w
le cas complexe, la m´etrique hermitienne, not´ee h, induit sur chaque T W⊗C,
w
un ”produit scalaire hermitien” h(w) pour tout w ∈ W. Si le fibr´e ζ est le fibr´e
tangent
ξW = TW,π,W,R4 ou ξW⊗C
soncomplexifi´e,toutesectiond(cid:0)eDirachermit(cid:1)ienne γ sur ξW ouξW⊗Cpermetde
d´efinir les op´erateursde Dirac de rang un et deux, not´es respectivement,
H =γ⊗∇ et H =γ ⊗R∇
1 2 2
ou`∇estlaconnexiondeLevi-Civitaassoci´ee`alam´etriqueinduiteparγ. Lecalcul
de ces op´erateursest d´evelopp´e dans [3], [4], [5].
Definition 1. La complexification du tenseur ´energie-impulsion est h avec
µν
h =g hτ, (hτ) est la matrice de l’endomorphisme H dans le local frame.
µν µτ ν ν 2
On peut d´ecrire l’´equation relativiste d’Einstein dans le cas complexe sous la
forme
R −λg =h ,
µν µν µν
R est le tenseur de Ricci et
µν
1
λ= R−Λ, R est la courbure et Λ est la constante cosmologique,
2
l’´equation relativiste de Dirac s’´ecrit
H Z =ηZ
1
ou` Z estunchampcomplexelocaletη estune fonctionde densit´ede massepropre
del’op´erateurH . Ondiscr´etiseainsi,lesdensit´esdemassedeschampscomplexes.
1
Claim 1. Quepeut-ondiresur ladensit´e demassedes champs encorde d´efinis
dans [6]?
REPRE´SENTATION UNITAIRE 5
3. Le fibr´e de Clifford d’un fibr´e avec groupe de structure
On se fixe un fibr´e vectoriel r´eel ou complexe de dimension n
ζ =(E,π,W,V),
defibrel’espacevectorielV munid’uneformequadratiqueQdeformepolaireg. On
note Q(w) la forme quadratique induite sur chaque fibre et g(w) sa forme polaire
telle que pour toutes sections locales s et t de ζ, l’application
w →g(w)(s(w),t(w))=hs(w),t(w)i est C∞. (3.1)
w
Si W et W sont deux cartes de trivialisation en w ∈W ∩W et
1 2 1 2
φ :E (ζ)→W ×V
j Wj j
les isomorphismes de trivalisation, alors
g (w)(u,v)=g(φ (w)(u),φ (w)(v))
2 2 2
=g φ (w)◦φ−1(w)(φ (w)(u)),φ (w)◦φ−1(w)(φ (w)(v))
2 1 1 2 1 1
=g((cid:0)φ (w)(u),φ (w)(v))=g (w)(u,v), (cid:1)
1 1 1
siφ (w)◦φ−1(w):V →V estuneisom´etrie,c’est-`a-dire,sionsupposequele fibr´e
2 1
ζ est un fibr´e avec groupe de structure
G ⊂O(V,Q).
Sous cette hypoth`ese la pseudo-m´etrique induite sur chaque fibre E (ζ) est
w
ind´ependante du choix de l’isomorphisme de trivialisation choisi. A partir d’un
fibr´e ζ de base W, de fibre V muni d’une forme quadratique Q et de groupe de
structure G ⊂O(V,Q), on construit un fibr´e ς ou` l’espace total est
E(ς)=⊔w∈WCl(Ew(ζ),Q(w))
si les fibres Cl(E (ζ),Q(w)) et Cl(V,Q) sont les alg`ebres de Clifford des espaces
w
(E (ζ),Q(w)) et (V,Q) [7] [8], de projection π ou` π | (u)=w.
w Cl(Ew(ζ),Q(w))
Theorem 1. Si ζ est fibr´e avec groupe de structure G ⊂O(V,Q) alors
ς =(E(ς),π,W,Cl(V,Q))
est un fibr´e.
Notation 1. ς est le fibr´e de Clifford de ζ, on le note ς =Cl(ζ,Q).
Proof. Prenons une carte W de trivialisation du fibr´e ζ et φ l’isomorphisme
de trivialisation de la forme
φ:W ×V →EW (ζ)=⊔w∈WEw(ζ)
si les applications de transition du fibr´e ζ sont dans G alors pour chaque w ∈ W,
la forme quadratique Q(w) induite de Q par
φ(w):{w}×V →E (ζ)
w
est ind´ependante du choix de φ. On d´efinit l’inclusion naturelle
in:EW (ζ)→⊔w∈W Cl(Ew(ζ),Q(w)),
etsoitin(w)larestrictiondein`aE (ζ)`avaleursdansCl(E (ζ),Q(w)),ilexiste
w w
une application bijective
ϕ:W ×Cl(V,Q)→⊔w∈W Cl(Ew(ζ),Q(w))
6 JONOTJEANLOUIS
telle que l’application
ϕ(w):{w}×Cl(V,Q)→Cl(E (ζ),Q(w)),
w
pour tout w ∈ W soit une extension de in(w) ◦ φ(w). Pour construire cette
extension, on prend une base de sections locales {e } de ζ sur W, la famille
i
1Cl(V,Q),ei1ei2···eik avec 1 < i1 < ··· < ik 6 n est une base de Cl(V,Q)
(cid:8)[1] et ϕ(w) est d´efinie(cid:9)par
ϕ(w) 1Cl(V,Q) =1Cl(Ew(ζ),Q(w)) et
ϕ(w)((w,e e(cid:0) ···e )(cid:1))=φ(w)(e )φ(w)(e )···φ(w)(e ),
i1 i2 ik i1 i1 ik
on a identifi´e E (ζ) `a son image dans Cl(E (ζ),Q(w)). Le morphisme ϕ(w)
w w
est un isomorphisme d’alg`ebres de Clifford. L’espace E(ς) peut ˆetre muni d’une
structuredevari´et´ediff´erentiellequirendelesapplicationsϕdeclasseC∞pourtous
les morphismes de trivialisation φ de ζ. Ainsi E(ς) est une vari´et´e de dimension
dimE(ς)=dimW+2dimE(ζ)
et
ς =(E(ς),π,W,Cl(V,Q))
est un fibr´e de fibre Cl(V,Q). (cid:3)
4. Repr´esentation modulaire d’un fibr´e
Tous les fibr´esconsid´er´essontvectorielsde dimension finie et de base l’univers
W. Une action de ς sur un fibr´e ζ est un morphisme de fibr´e vectoriel τ
τ :ς →End(ζ), τ(w):E (ζ)→E (ζ).
w w
Le morphisme τ est une repr´esentation modulaire du fibr´e ς dans ζ. L’action
est fid`ele si pour tout w ∈ W, τ(w) est injective, sous cette hypoth`ese le fibr´e ς
s’identifie `a un sous-fibr´e de End(ζ). Par exemple une section de Dirac γ sur ζ,
est une action de ξ∗ sur ζ ou` ζ est un fibr´e r´eelou complexe de dimension finie et
W
ξW∗ est le fibr´e dual du fibr´e tangent ξW de W. On dit que la section de Dirac est
fid`ele si cette action est fid`ele. On peut munir le fibr´e ξ∗ d’un produit hermitien,
W
de la fac¸on suivante. Le fibr´e End(ζ) a une structure naturelle de fibr´e hermitien,
on d´efinit la section hermitienne par
(e|f) =Trace(e∗◦f) si e,f ∈End(E (ζ)) (4.1)
w w
avece∗ =Tr esiζ estunfibr´er´eelete∗ =Tr esilefibr´eestcomplexe. End(ζ)muni
de cette section hermitienne est un fibr´ehermitien. Si ς a une repr´esentationfid`ele
dans ζ, on peut d´efinir une structure de fibr´e hermitien en posant
(u|v) =(τ(w)(u)|τ(w)(v))
w w
ou` τ est une repr´esentationmodulaire fid`ele de ς dans ζ.
Remark 2. Pour toutes sections locales s et t de End(ζ), l’application
w →(s(w)|t(w)) est C∞. (4.2)
w
On rappelle que le fibr´e End(ζ) est le fibr´e des endomorphismes de ζ, de fibre
End(V). Si W est une carte de trivialisation de ζ, l’isomorphisme de trivialisation
φ:E (ζ)→W ×V, φ(u)=(w,φ(w)(u)), u∈E (ζ)
W w
REPRE´SENTATION UNITAIRE 7
s’´etend en un isomorphisme de trivialisation
φ:E (End(ζ))→W ×End(V), φ(l)= w,φ(w)(l) ,
W
(cid:16) (cid:17)
el∈E (End(ζ))=End(E (ζ)) e e
w w
ou`
φ(w)(l)=φ(w)◦l◦φ(w)−1.
Remark 3. Les appliceations de transition sont d´efinies par
h :W ∩W →GL(End(V)),
α,β α β
h (w)(l)=k (w)◦l◦k (w)−1, l∈End(V) (4.3)
α,β α,β α,β
ou` k (w) sont les applications de transition du fibr´e ζ. On a
α,β
h (w)(l ◦l )=h (w)(l )◦h (w)(l ).
α,β 1 2 α,β 1 α,β 2
Definition 2. On note Q la forme quadratique sur V, de forme polaire
End
g (l ,l )=Trace(l∗◦l )
End 1 2 1 2
avec l∗ est l’endomorphisme adjoint l pour la forme quadratique Q.
1 1
Lemma 1. Si ζ est un fibr´e avec goupe de structureG ⊂O(V,Q) alors End(ζ)
est un fibr´e avec groupe de structure H⊂O(End(V),Q ).
End
Remark 4. On rappelle que l’adjoint de l ∈ End(V) est l’unique op´erateur
l∗ ∈End(V) v´erifiant
g(l(u),v)=g(u,l∗(v)) pour tout u,v ∈V,
ou` g est la forme polaire de Q.
Proof. Il suffit de v´erifier que les applications de transition h (w) d´efinie
α,β
en 4.3 sont dans O(End(V),Q ). On a par 4.3
End
∗
h (w)(l )∗◦h (w)(l )= k (w)◦l ◦k (w)−1 ◦k (w)◦l ◦k (w)−1
α,β 1 α,β 2 α,β 1 α,β α,β 2 α,β
(cid:16) (cid:17)
∗
= k (w)−1 ◦l∗◦k (w)∗◦k (w)◦l ◦k (w)−1
α,β 1 α,β α,β 2 α,β
(cid:16) (cid:17)
=k (w)◦l∗◦k (w)−1◦k (w)◦l ◦k (w)−1
α,β 1 α,β α,β 2 α,β
=k (w)◦l∗◦l ◦k (w)−1
α,β 1 2 α,β
car k (w)∈O(V,Q). On en d´eduit que
α,β
Trace h (w)(l )∗◦h (w)(l ) =Trace k (w)◦l∗◦l ◦k (w)−1
α,β 1 α,β 2 α,β 1 2 α,β
(cid:0) (cid:1)=Trace(cid:16)(l∗◦l ), (cid:17)
1 2
ainsi h (w)∈O(End(V),Q ). (cid:3)
α,β End
Le fibr´e End(ζ) est isomorphe au fibr´e ζ∗⊗ζ, si {tµ} est une base de sections
locales de ζ∗ et {s } une base de sections locales de ζ alors tµ s d´efinie par
ν ν
O
tµ s :W →E (ζ∗⊗ζ),
ν W
O
tµ s (w)=tµ(w)⊗s (w)∈E (ζ∗⊗ζ)=E (ζ)∗⊗E (ζ)
ν ν W W W
(cid:16) O (cid:17)
tµ(w)⊗s (w):E (ζ)→E (ζ), (tµ(w)⊗s (w))(u)=tµ(w)(u)s (w),
ν w w ν ν
8 JONOTJEANLOUIS
forme une base de sections locales de ζ∗ ⊗ζ | . Si le fibr´e ζ est un fibr´e avec
W
groupe de structure G ⊂O(V,Q), on d´efinit la forme quadratique
Q(w)(tµ(w)⊗s (w))=Q(w)(t (w))Q(w)(s (w)).
ν µ ν
Proposition 1. Les fibr´es ζ∗ ⊗ζ et End(ζ) munis des formes quadratiques
Q et Q , ou` Q est la forme quadratique induite par Q , sont des fibr´es
End End End
isom´etriques.
Proof. Onsefixeunebaselocalesdesections{s }surW quiestQ-orthogonale
ν
et r´eduite, relativement `a la forme quadratique Q, et sa base Q-duale {sµ}. Sur
chaque fibre E (w), g(w) est la forme polaire de Q(w), on a
w
sµ(w)(s(w))=g(w)(s(w),s (w)), ∀w ∈W
µ
en terme de section on´ecrit simplement
sµ(s)=g(s,s ).
µ
La famille sµ s est une base de sections locales de End(ζ) d´efinie sur
ν
W. Par d´efinitinon O o
∗
g sµ s (s),t =g s, sµ s (t) =sµ(t)g(s,s )=g(t,s )g(s,s ),
ν ν ν µ ν
(cid:16)(cid:16) O (cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:16) O (cid:17) (cid:17)
en particulier,
∗
g sµ s (s ),s =g(s ,s )g(s ,s )
ν τ ρ ρ µ τ ν
(cid:16)(cid:16) O (cid:17) (cid:17)
g g si (ρ,τ)=(µ,ν)
g g = µµ νν (4.4)
ρµ τν (cid:26) 0 sinon
ou` (g ) est la matrice de la forme polaire dans la base {s }, la base de sections
ρµ ν
{s } est Q-orthogonale et r´eduite, donc, les relations 4.4 sont vraies. Si on pose
ν
∗
sµ s (s )=λis ,
ν τ τ i
(cid:16) O (cid:17)
on a
∗
g sµ s (s ),s =λig =g g
ν τ ρ τ iρ ρµ τν
(cid:16)(cid:16) O (cid:17) (cid:17)
on en d´eduit que λρ =0 si (ρ,τ)6=(µ,ν) et λµ =g . La matrice de sµ⊗s dans
τ ν νν ν
la base {s } est
ν
g δj
µi ν
et la matrice de (sµ⊗s )∗ est (cid:0) (cid:1)
ν
g δνj ,
νν iµ
(cid:16) (cid:17)
la matrice de (sµ⊗s )∗(sν ⊗s ) s’´ecrit
ν µ
g δνj g δi = g g δνjδi = g g δj ,
νν iµ µk ν νν µk iµ ν νν µk µ
(cid:16) (cid:17)(cid:0) (cid:1) (cid:16) (cid:17) (cid:0) (cid:1)
calculons
∗
Q sµ s =Trace sµ s sν s ,
End ν ν µ
(cid:16) O (cid:17) (cid:16)(cid:16) O (cid:17) (cid:16) O (cid:17)(cid:17)
on a pour la trace
g g δj =g g
νν µj µ νν µµ
donc
Q sµ s =g g
End ν νν µµ
(cid:16) O (cid:17)
REPRE´SENTATION UNITAIRE 9
et
Q sµ s =Q(s )Q(s )=g g ,
ν µ ν νν νν
(cid:16) O (cid:17)
donc ζ∗⊗ζ et End(ζ) sont des fibr´es isom´etriques pour les formes quadratique Q
et Q . (cid:3)
End
Remark 5. Si γ est une section de Dirac m´etrisable sur le fibr´e tangent ξW
de l’univers W et (W,φ) une carte de trivialisation de ξW de local frame {∂µ} et
de local frame dual {dν}. Pour les sections d’endomorphismes de Dirac
γν =γdν,
le tenseur
γµν =Trace(γµγν)
est un tenseur m´etrique de signature (p,q) avec p+q = 4. La m´etrique induite g
d´efinie par 1.1, de forme quadratique Q permet de construire sur End(ξW)|W, une
structure de fibr´e hermitien par
g (γ,τ)=Trace(γ∗τ)
End
ou` γ∗ est la section adjointe locale de la section γ de End(ξW)|W. Si on identifie
End(ξW) `a ξW∗ ⊗ξW on peut dire, par abus de langage, que QEnd est le carr´e
tensoriel de Q, la section locale des endomorphismes
eµν(X)=dµ(X)∂ν, X ∈ΓW (ξW)
v´erifie
Q (eµ)=Q(∂ )Q(∂ ).
End ν ν µ
5. Alg`ebre de Clifford sur les sections d’un fibr´e
On note Γ(End(ζ)), le C∞(W)-module des sections de End(ζ). L’espace
Γ(End(ζ))estmunid’unproduitscalaire`avaleursdansl’anneauunitaireC∞(W),
si s et t sont deux sections de End(ζ), la section produit s.t est d´efinie par
s.t(w)=s(w)◦t(w), ∀w ∈W
et on pose
(s|t):W→K, (s|t)(w)=(s(w)|t(w)) 4.1
w
alors (s|t)∈C∞(W) et K=R ou C. On d´efinit l’id´eal bilat`ere J de Γ(End(ζ))
engendr´e par les sections
s.s−(s|t)1
ou` 1 est la section identique d´efinie par
1(w)=1 , ∀w ∈W
Ew(ζ)
et l’alg`ebre associ´ee `a ζ, not´ee A(ζ), comme le quotient
Γ(End(ζ))
A(ζ)= .
J
Definition 3. L’alg`ebre A(ζ) est l’alg`ebre de Clifford du fibr´e ζ.
Proposition 2. Si l’univers W est compact, l’alg`ebre A(ζ) est de type fini et
projectif comme C∞(W)-module.
Remark 6. Si l’univers W n’est pas compact, A(ζ) n’est pas de type fini. On
peut consulter [9] et [8] pour l’´etude de ces alg`ebres.