Représentation intégrale appliquée à la synthèse sonore

209 Pages·2004·6.09 MB·French

by  Joel Bensoam

AcademiedeNantes
UniversitéduMaine
THÈSE DE DOCTORAT
Spécialité
ACOUSTIQUE
Présentée
par
Joël BENSOAM
pourobtenirlegradede
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DU MAINE
REPRÉSENTATION INTÉGRALE
APPLIQUÉE À LA SYNTHÈSE SONORE
PAR MODÉLISATION PHYSIQUE
MÉTHODESDESÉLÉMENTSFINIS
Soutenuele20juin2003
Rapporteursetmembresdujury
B.DUBUS Chargéderecherche(hab.)CNRSIEMN-ISEN(Rapporteur)
M.RAOUS DirecteurderechercheCNRSLMA(Rapporteur)
M.BRUNEAU Professeuràl’UniversitéduMaine
M.BONNET DirecteurderechercheCNRSLMS(Polytechnique)
N.JOLY Maîtredeconférencesàl’UniversitéduMaine
R.CAUSSÉ Chargéderecherche(hab.)IRCAM
P.JOLY DirecteurderechercheINRIA

THÈSE
REPRÉSENTATION INTÉGRALE
APPLIQUÉE À LA SYNTHÈSE SONORE
PAR MODÉLISATION PHYSIQUE
MÉTHODESDESÉLÉMENTSFINIS
Joël BENSOAM
Soutenuele20juin2003

à Julie
vi Remerciements
Remerciements
Mesremerciementssonttoutnaturellementadressésàtousceuxquiontpermisderendrecetra-
vailpossible,etdoncenpremierlieuàRenéCausséetNicolasJolyquiontacceptésd’encadrercette
thèse. L’accueil et la gentillesse du premier ne sont pas sans rapport avec la concentration et l’in-
vestissementquej’aipuconsacréàmonsujet.Jevoudraisremercierlesecondpoursadisponibilité
attentionné lors de mes visites au Mans au cours desquelles j’ai pu bénéficier de son expérience et
de"sonsensphysique"liésauxproblèmesdemécaniqueetauxméthodesnumériquesquileurssont
appliqués.
MichelRaousm’afaitl’honneurdebienvouloirtrouverdutempsdanssonagendatrèschargé
pour me faire part de ces remarques fort judicieuses sur les problèmes de contact. Celles-ci ont
permisderendreledocumentplusprécisetplusrigoureux.JesuisreconnaissantàBertrandDubus
de m’avoir reçu à Lille pour évoquer avec lui les questions que je me posais à mi-parcours, pour
l’attentionqu’ilaportéàcemémoireetpouravoirenvisagéauseindesonlaboratoireuneapplication
desméthodesproposées.Qu’ilssoienttouslesdeuxremerciésd’avoiracceptéd’êtrelesrapporteurs
decetravail.
La rencontre avec Michel Bruneau, qui remonte au siècle dernier, lors de mon DEA au Mans
en1989-90,estpourmoidecelledontl’importanceestdenatureàinfléchirlesdestinées.Ilatou-
jours,discrètement,respectueusementetefficacement,sumecommuniquerl’enviedecomprendreet
d’avanceretfinalementpumeguideravantageusementdansmacourteviedescientifique.J’espère
avoirétéàlahauteurdelaconfiancequ’ilaconsentiàm’accorder.
J’aiététrèshonoréquePatrickJolyetMarcBonnetaientmontréunintérêtpourmestravauxen
participantauJurydecettethèse.Etc’estavecgrandplaisirquej’airencontréMarcBonnetavantla
soutenance.JeleremerciepourcesconseilsavisésetpoursonrôleefficientdeprésidentdeJury.
J’aimerais profiter de l’occasion pour remercier aussi Hugues Vinet (directeur scientifique de
l’Ircam)pouravoirvalorisécetravailauseinl’institutionetparlamêmeNicholasEllispouravoir
développéinformatiquementcertainsrésultats.
Mais, qu’aurais-je pu faire sans les échanges riches et quoditiens entretenus avec Christophe
Vergez et Nicolas Misdariis (entre autres à l’origine du sujet de cette thèse)? A les cotoyer, j’ai
apprisconcrêtementmonmétierdechercheur.J’espèrenepasavoirabusédeleurpatience.
Ce travail a aussi pu aboutir grâce à l’expertise de chercheur que j’ai rencontré au cours de
mon travail. Je pense à Philippe Souplet qui a eu la gentillesse de bien vouloir me recevoir pour
envisager des réponses aux questions mathématiques liées aux représentatios intégrales utilisant le
noyaudePoisson.Cetravailneseraitpaslemêmesansl’intérêtamicalettrèsprécieuxqu’aporté
généreusement Jonathan Ferreira. Mes pensées vont aussi à tous les acteurs du projet "Sounding
object" pour avoir organisé un "workshop" très fructueux et en particulier à Davide Rocchesso qui
a,deplus,reluavecprécisionundemesarticles.OlivierThomasm’aaussibeaucoupaidédansla
rédactiondecetarticle,etjemeremémoreavecdélicelesdiscussionsscientifiquespassionnéesque
nousavionsaucongrèsdemécaniquedeNancy.
Dansceregistre,j’aimeraissaluertousceuxàquij’aipuparlerdemonsujetdansl’effervecense
viii Remerciements
de la découverte ou du doute : bien sûr encore une fois Christophe Vergez, mais aussi Thomas
Hélie(souventprisdanssapropretourmentecréatrice),AlexisBaskind,VincentRioux,Guillaume
Vandernoot,DiemoSchwarz,OlivierHouix,GeraldKergoulay....
J’aipuappréciéaussilagrandedisponibilitédeSylvieBenoit,FlorenceQuilliard,AlainTerrier,
GérardBertrand,PatriceTisserand,EmmanuelRioetj’aimeraisleurmontrermareconnaisance.
Table des matières
Remerciements vi
Tabledesmatières ix
Introduction 1
I Propagationdesondesdansunsolide 7
I Mécaniquedesmilieuxcontinus 11
1 Loisdeconservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Equationsdumouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 Théorèmesfondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Équationsdumouvementnonlinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 LoidecomportementdesMilieuxvisco-élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Conséquencesdusecondprincipedelathermodynamique . . . . . . . . . . 18
3.3 Linéarisationdelaloidecomportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II Problèmesauxlimitesenélastodynamiquelinéaire 25
1 ProblèmeP :conditiondeDirichlethomogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
0
1.1 Équationsdumouvement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2 Formulationvariationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 OptimisationdelafonctionnelledeHamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 ProblèmeP :conditiondeDirichletnonhomogène . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
u¯
2.1 OptimisationsouscontraintedeDirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 MuliplicateurdeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 PropriétésdelasolutionduproblèmeP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
u¯
III ReprésentationintégraleetformalismedeGreen 35
1 Représentationsintégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.1 Formulationintégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2 Équationintégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 FormalismedeGreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1 NoyaudePoisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 RelationdesymétriedunoyaudePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 CalculdunoyaudePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1 NoyaudePoissonpourlesdemi-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
x Tabledesmatières
3.2 Transformationsconformesendimensiondeux . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Formalismemodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
IV Méthodesnumériques 55
1 DiscrétisationduproblèmeP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
u¯
1.1 Méthodedesélémentsfinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2 Equationsdumouvementdansledomainediscret . . . . . . . . . . . . . . . 57
2 CalculdunoyaudePoissonparreprésentationmodale . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1 Calculnumériquedesmodespropresdevibration . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2 VersionnumériquedunoyaudePoissonparreprésentationmodale. . . . . . 60
3 ExpressiondelasolutionnumériqueduproblèmeP . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
u¯
3.1 Solutionnumérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Priseencomptedeseffetsvisqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
V Vibrationsd’unestructureprécontrainte 65
1 Systèmesdecoordonnéesetéquationsfondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.1 Descriptionduproblème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.2 EquationsdanslaconfigurationactuelleΩ(cid:48) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.3 EquationsdanslaconfigurationprécontrainteΩ . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2 Linéarisationdupseudotenseurdecontrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.1 Miseenévidencedutenseurdecontraintestatique . . . . . . . . . . . . . . 68
3 Equationvariationnellelinéariséedanslaconfigurationinitialeprécontrainte . . . . . 69
4 Matricederaideurgéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
II Interactionentresolides 73
VI Contactenélasticité 77
1 Couplagepermanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.1 Conditionsdecouplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.2 MéthodeparconditiondeNeumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.3 MéthodeparconditiondeDirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.4 Résolutiondeséquationsintégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2 Couplageunilatéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.1 Notationsetconventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2 Linéarisationdelaconditiondecontact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3 Conditiondecontactunilatéralsansfrottement . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4 Approximationparélémentsfinisdelaconditiondecontact . . . . . . . . . 82
3 Contactsstatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1 Formulationvariationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Méthodederésolutionduproblèmedecontactstatique . . . . . . . . . . . . 87
VIIContactendynamique
(articledejournalàcomitédelecture) 95
1 Formalstatementoftheproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.1 Geometryandconventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.2 Contactcondition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.3 Hamilton’sprincipleinelastodynamicsandvariationalformulation . . . . . 99
1.4 MethodofLagrangemultipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.5 Equationofmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101