Repetitorium Theoretische Physik

552 Pages·2004·2.947 MB·German

by  Armin Wachter, Henning Hoeber, K. Schilling

Springer-Lehrbuch
·
Armin Wachter Henning Hoeber
Repetitorium
Theoretische Physik
Geleitwort von Klaus Schilling
Zweite,u¨berarbeiteteAuflage
Mit80Abbildungen,
67Anwendungenundvollsta¨ndigenLo¨sungswegen
sowieeinemkommentiertenLiteraturverzeichnis
123
Dr.ArminWachter Dr.HenningHoeber
Internet:www.wachter-hoeber.com Internet:www.wachter-hoeber.com
E-mail:[email protected] E-mail:[email protected]
ISBN3-540-21457-7 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN3-540-62989-0 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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Geleitwort
Das Physikstudium orientiert sich – auch bei der Betrachtung der Ein-
zelph¨anomene – an strukturellen Zusammenh¨angen in Begriffsentwicklung
und Theoriebildung. Wer als Physikstudent w¨ahrend seines Studiums die
Abstraktionen innerhalb der vier kanonischen Teilgebiete der Theoretischen
Physik(KlassischeMechanik,KlassischeElektrodynamik,Quantenmechanik
und Thermodynamik/Statistische Physik) im Hinblick auf deren experimen-
telle Beobachtung sowie in ihrer operationalen Bedeutung erfaßt hat, der ist
fu¨r sein Abschlußexamen in Theoretischer Physik wohl vorbereitet.
Genau dies wollen die beiden jungen Autoren dieses Repetitoriums er-
reichen. Dank ihrer wissenschaftlichen Jugend k¨onnen sie sich noch gut in
die Situation der Studierenden w¨ahrend der Pru¨fungsvorbereitung hinein-
versetzen, wenn diese den Stoff der theoretischen Kursvorlesungen in der
Gesamtschau noch einmal Revue passieren lassen.
Aus ihrer Erfahrung als Lernende und Pru¨flinge, aber auch als U¨bungs-
leiter haben sie den Versuch unternommen, das Material der theoretisch-
physikalischen Kursvorlesungen zur Pru¨fungsvorbereitung auf des Pudels
”
Kern“ zu konzentrieren, nicht formelhaft-verku¨rzt aber auch nicht als Ersatz
fu¨rbew¨ahrteLehrbu¨cher.W¨ahrendletztereausder Vogelperspektive“erfah-
”
rener Professoren verfaßt sein m¨ogen, wollen die Autoren mit dem vorliegen-
den Werk einen erg¨anzenden Stoffzugang aus der eigenen Studienerfahrung
anbieten.
PhysikistseitjeherundinbesonderemMaßeeineinternationaleWissen-
schaft. Dem entsprechend k¨onnen die Autoren europ¨aische Erfahrungshori-
zonteausdemLehrbetriebderUniversit¨atenHamburg,WuppertalundEdin-
burgh aus eigener Anschauung einbringen. Inwieweit ihnen dies tats¨achlich
gelungen ist, mu¨ssen die Leser, also wiederum die Studierenden entscheiden.
M¨oge also das Repetitorium vielen Examenskandidaten bei ihrer Pru¨-
fungsvorbereitung von Nutzen sein!
Wuppertal, Prof. Dr. K. Schilling
Juli 1998
Danksagung
Wir bedanken uns fu¨r die freundliche Unterstu¨tzung der Robert Gor-
don University, Aberdeen, wo ein Großteil des Kapitels Elektrodynamik ent-
stand (und wo besser u¨ber Elektrodynamik schreiben als in Aberdeen?); bei
KlausK¨ampffu¨rdiegroßzu¨gigeBu¨cherspende;beidenKollegenundStuden-
tenderBergischenUniversit¨atWuppertalunddesH¨ochstleistungsrechenzen-
trumsJu¨lichfu¨rdiezahlreichenDiskussionenundAnregungen;beiderPallas
GmbH und der Compagnie G´en´erale de G´eophysique fu¨r die freundliche Un-
terstu¨tzung in der hektischen Schlußphase.
Schließlich bedanken wir uns bei unseren Freunden und Familien, ohne
die dieses Projekt schlichtweg undenkbar gewesen w¨are.
Vorwort zur 2. Auflage
Esistsehrerfreulich,daßdasRepetitoriumTheoretischePhysikindenletzten
sechsJahrenimmermehrAnh¨angergefundenhat.OffenbartrifftdiesesBuch
mit seinem axiomatisch-deduktiven Ansatz den Nerv“ vieler Studierenden,
”
dieaneinerkompaktenundu¨bersichtlichenDarstellungderkanonischenGe-
biete der Theoretischen Physik interessiert sind. Genau dies jedenfalls wird
uns durch die zahlreichen Zuschriften unserer Leser best¨atigt.
Unter anderem aufgrund der Fehlerhinweise, die uns von aufmerksamen
Lesernerreichthabenundfu¨rdiewirunsandieserStellebedankenm¨ochten,
haben wir die 2. Auflage des Repetitorium Theoretische Physik zum Anlaß
genommen,dasBucheinergru¨ndlichenPru¨fungzuunterziehen.Dabeistellte
sich heraus – und wir sind uns nicht zu schade, dies zuzugeben –, daß die
1. Auflage neben textuellen und argumentativen Schwachstellen auch For-
melfehler enth¨alt, von denen allerdings die meisten marginaler Natur sind.
Gleichwohl ist uns bewußt, daß es auch kleine Zeichenfehler in mathemati-
schen Formeln sind, die dem Leser unter Umst¨anden viel Zeit kosten, weil er
verst¨andlicherweise dazu neigt, die Ursache von Nachvollziehbarkeitsproble-
men zun¨achst bei sich zu suchen.
Obwohl wir natu¨rlich auch fu¨r die vorliegende 2. Auflage keine Garan-
tie fu¨r Fehlerfreiheit geben k¨onnen, so sind wir aufgrund unserer kritischen
U¨berarbeitung doch sehr sicher, die Lesbarkeit und Nachvollziehbarkeit von
Text, Argumentation und Formeln erheblich verbessert zu haben. M¨oge al-
so die 2. Auflage des Repetitorium Theoretische Physik einen ¨ahnlich großen
oder gar gr¨oßeren Zuspruch bei Studierenden der Theoretischen Physik fin-
den; fu¨r Anregungen, Kommentare und Hinweise sind wir selbstverst¨andlich
auch weiterhin sehr dankbar.
K¨oln und Newcastle, Armin Wachter
Juli 2004 Henning Hoeber
P.S.:ZurVermeidungvonMißverst¨andnissenseidaraufhingewiesen,daßwir
in dieser 2. Auflage dazu u¨bergegangen sind, die Elektronladung mit +e zu
bezeichnen, anstelle von −e wie in der 1. Auflage.
Vorwort zur 1. Auflage
Unser Buch Repetitorium Theoretische Physik enth¨alt die Gebiete
• Mechanik,
• Elektrodynamik,
• Quantenmechanik sowie
• Statistische Physik und Thermodynamik,
also den kanonischen Lehrstoff“ der Theoretischen Physik der ersten sechs
”
Semester an deutschen Universit¨aten. Es wendet sich haupts¨achlich an Stu-
dierende der Physik h¨oherer Semester, die an einer u¨bersichtlichen und zu-
sammenh¨angenden Darstellung des Lehrstoffes interessiert sind oder sich in
Pru¨fungsvorbereitungen zum Diplom oder Magister befinden. Daru¨ber hin-
ausistdiesesBuchauchalsbegleitendesunderg¨anzendesLehrbuchfu¨rPhy-
sikstudenten in den ersten Semestern geeignet. Fu¨r sie gibt das Buch einen
nu¨tzlichenLeitfadenzurKlassifizierungundEinordnungdesindenverschie-
denentheoretischenPhysikvorlesungenvermitteltenWissens.Schließlichsoll-
ten auch Physiker im Beruf oder in der Forschung aus diesem U¨berblick der
Theoretischen Physik Nutzen ziehen k¨onnen.
Selbstverst¨andlich gibt es zu jedem der o.g. Gebiete ausgesprochen gute
Lehrbu¨cher (einige Anregungen sind in unserem kommentierten Literatur-
verzeichnis zu finden). Dieses Buch ist deshalb keinesfalls als Ersatz zum
Durcharbeiten solcher Bu¨cher gedacht; kein Student wird auf eine ausfu¨hr-
liche Erarbeitung des Lehrstoffes mittels anderer, didaktisch und historisch
gutaufbereiteterDarstellungenderTheoretischenPhysikverzichtenk¨onnen.
Dennoch erschien uns das Schreiben eines Buches in der vorliegenden Form
notwendig, um den Lernenden einen zu vielen anderen Lehrbu¨chern komple-
ment¨aren Zugang zur Theoretischen Physik zu bieten, in welchem der Auf-
bau,dieStrukturundnichtzuletztauchdieEleganzphysikalischerTheorien
– u.a. durch den Verzicht auf historisch-ph¨anomenologische Begru¨ndungen –
hervorgehoben und leichter erkennbar wird.
Wir verfolgen durchweg den axiomatisch-deduktiven Ansatz, indem wir
dieGrundgleichungenderverschiedenenTheorienvoranstellenundausihnen
konsequent die einzelnen physikalischen Zusammenh¨ange und Gesetzm¨aßig-
keiten in logischer (und nicht chronologischer) Reihenfolgeentwickeln. Unser
XII Vorwort zur 1. Auflage
Ziel ist, durch den konsequenten Gebrauch einer einheitlichen Darstellung
und Notation die Verbindungen zwischen den verschiedenen Theorien deut-
lichherauszuarbeiten.MandenkehierbeietwaandenHamilton-Formalismus,
der nicht nur in der Mechanik, sondern auch in der Quantenmechanik und
der Statistischen Physik ein grundlegendes Konzept darstellt.
Im ersten Kapitel Mechanik stellen wir den oftmals u¨berbetonten New-
tonschen Zugang zur Mechanik mit den Lagrangeschen und Hamiltonschen
Formulierungen Seite an Seite. Denn jeder dieser ¨aquivalenten Darstellun-
gen zeichnet sich durch spezielle Vorteile aus. W¨ahrend der Newtonsche An-
satz durch das Aufstellen von Bewegungsgleichungen u¨ber die Kraft intuitiv
am leichtesten zug¨anglich ist, wird erst mit dem Lagrange- und Hamilton-
Formalismus ein tieferes Verst¨andnis der Mechanik sowie anderer theoreti-
scher Konzepte erm¨oglicht. Zum Beispiel eignet sich gerade der Lagrange-
Formalismus besonders zum Verst¨andnis der Verknu¨pfung von Symmetri-
en und Erhaltungss¨atzen. Dementsprechend besch¨aftigen sich die ersten drei
Abschnitte in gleichberechtigter Weise mit diesen drei Zug¨angen und ihrer
inneren Verbindung. Daru¨ber hinaus fu¨hren wir in Abschnitt Relativistische
MechanikbereitsdiekorrekteLorentz-Tensorschreibweiseeinunderleichtern
demLesersomitdenU¨bergangzurrelativistischenTheoriederElektrodyna-
mik,indersichdiedisziplinierteEinhaltungdieserNotationalssehrbequem
und u¨bersichtlich erweist.
Der Vorteil der deduktiven Methode wird vielleicht besonders in unse-
rem zweiten Kapitel Elektrodynamik deutlich. Im Gegensatz zu fast allen
Lehrbu¨chern der Elektrodynamik stellen wir die Maxwell-Gleichungen in ih-
rer allgemeinsten Form oben an. Dies erm¨oglicht es, sofort die Struktur der
Theorie zu erkennen und die allgemeine L¨osung der Maxwell-Gleichungen
mittels des u¨beraus wichtigen Konzeptes der Eichinvarianz zu erarbeiten.
Aus ihr ergeben sich dann auf recht u¨bersichtliche Weise die verschiedenen
Gesetzm¨aßigkeiten wie etwa die L¨osungen im freien Raum oder die Spezi-
alf¨alle der Elektro- und Magnetostatik. Aufbauend auf der relativistischen
MechanikwendenwirauchhierangeeignetenStellendiekovarianteSchreib-
weiseanunddiskutierendenLagrange-undHamilton-FormalismusinBezug
auf den feldtheoretischen Charakter der Elektrodynamik.
Abweichend von allen anderen Kapiteln beginnen wir das Kapitel Quan-
tenmechanik mit einem mathematischen Einfu¨hrungsteil, in dem einige Ge-
biete der linearen Algebra in der Diracschen Schreibweise rekapituliert wer-
den. Insbesondere wird dort das fu¨r die Quantenmechanik unentbehrliche
Konzept des Operators und das mit ihm verbundene Eigenwertproblem dis-
kutiert. Hieran schließt sich der allgemeine Aufbau der Quantentheorie an,
wo die fundamentalen quantenmechanischen Konzepte darstellungsfrei eta-
bliert und diskutiert werden.U¨berhaupt versuchen wir in diesem Kapitel die
U¨berbetonung einer bestimmten Darstellung zu vermeiden.
A¨hnlich wie in der Mechanik gibt es auch in der Statistischen Phy-
sik/Thermodynamik verschiedene Zug¨ange zur Beschreibung von Viel-Teil-
Vorwort zur 1. Auflage XIII
chensystemen. Zum einen hat man den statistischen Ansatz, welcher quan-
tenmechanische bzw. mechanische Gesetzm¨aßigkeiten mit einem statisti-
schen Prinzip zu einer mikroskopischen Beschreibungsweise in Form von
Ensemble-Theorien verknu¨pft. Demgegenu¨ber steht die Thermodynamik, als
eine rein ph¨anomenologische Theorie, die lediglich von makroskopischen Er-
fahrungss¨atzen ausgeht. Ein dritter Zugang ist der informationstheoretische
Ansatz,beidemeinSystemvomStandpunktderUnvollst¨andigkeitvonInfor-
mation aus betrachtet wird. Um die innere Verbindung dieser drei Zugangs-
weisendeutlichzumachen,diskutierenwirinKapitelStatistischePhysikund
Thermodynamik alle drei Konzepte und zeigen die A¨quivalenz der Zug¨ange
auf.
Wichtige Gleichungen und Zusammenh¨ange werden in Form von Defini-
tions- und Satzk¨asten zusammengefaßt, um so dem Leser ein strukturiertes
Lernen und schnelles Nachschlagen zu erm¨oglichen. Zudem geben wir uns
Mu¨he, zusammenh¨angende Argumentationen auch optisch deutlich zu glie-
dern; im Prinzip sollte es dem Leser jederzeit m¨oglich sein, das Ende eines
Argumentationsstranges, etwa eine Herleitung oder ein Beweis, zu erkennen.
Desweiteren befinden sich nach jedem Abschnitt eine Kurzzusammenfassung
sowie einige Anwendungen samt L¨osungen, mit deren Hilfe das Verst¨and-
nis des behandelten Stoffes u¨berpru¨ft werden kann und die zum Teil wei-
terfu¨hrende Themen behandeln. Im Anhang geben wir schließlich eine kurze
Zusammenstellung einiger wichtiger und h¨aufig benutzter mathematischer
Formeln.
Natu¨rlicherhebenwirkeinesfallsdenAnspruchaufVollst¨andigkeit.Statt-
dessen wurden die Themen der vier behandelten Gebiete so ausgew¨ahlt, daß
sie einerseits die jeweils grundlegenden Ideen und Konzepte enthalten, ande-
rerseitsaberauchdiewichtigstenpru¨fungsrelevantenundmehranwendungs-
orientierten Gebiete abdecken. Aufbauend auf dem hier pr¨asentierten Stoff
sollte der Leser in der Lage sein, andere Gebiete der Physik selbst zu erar-
beiten. Zu diesem Zweck haben wir im Anhang einige Literaturvorschl¨age
gemacht.
Insgesamt hoffen wir, mit diesem Buch einen Vermittler zwischen Lehr-
bu¨chern, Vorlesungen und Kurzrepetitorien geschaffen zu haben, mit dem es
m¨oglich ist, die Konzepte der Theoretischen Physik besser zu verstehen.
K¨oln und London, Armin Wachter
Juli 1998 Henning Hoeber
Inhaltsverzeichnis
Anwendungsverzeichnis.......................................XXI
1. Mechanik................................................. 1
1.1 Newtonsche Mechanik................................... 2
1.1.1 Koordinatensysteme und Vektoren.................. 3
1.1.2 Newtonsche Axiome .............................. 5
1.1.3 Physikalische Folgerungen, Erhaltungss¨atze .......... 8
1.1.4 Beschleunigte Koordinatensysteme
und Inertialsysteme, Galilei-Invarianz ............... 13
1.1.5 N-Teilchensysteme ............................... 20
Anwendungen.......................................... 23
1.2 Lagrange-Formalismus .................................. 28
1.2.1 Zwangskr¨afte, d’Alembertsches Prinzip
und Lagrange-Gleichungen......................... 29
1.2.2 Erhaltungss¨atze .................................. 35
1.2.3 Hamilton-Prinzip und Wirkungsfunktional........... 37
Anwendungen.......................................... 42
1.3 Hamilton-Formalismus .................................. 49
1.3.1 Hamiltonsche Gleichungen......................... 49
1.3.2 Erhaltungss¨atze .................................. 51
1.3.3 Poisson-Klammer................................. 53
1.3.4 Kanonische Transformationen...................... 55
1.3.5 Hamilton-Jacobi-Gleichung ........................ 59
Anwendungen.......................................... 62
1.4 Bewegung starrer K¨orper................................ 65
1.4.1 Allgemeine Bewegung starrer K¨orper ............... 66
1.4.2 Rotation des starren K¨orpers um einen Punkt........ 68
1.4.3 Eulersche Winkel und Lagrange-Gleichungen......... 70
Anwendungen.......................................... 73
1.5 Zentralkraftprobleme ................................... 76
1.5.1 Zwei-Teilchensysteme ............................. 76
1.5.2 Konservative Zentralkr¨afte, 1/r-Potentiale ........... 78
1.5.3 Keplersche Gesetze und Gravitationspotential........ 82