Table Of ContentRepertorium und Ubungsbuch
der Technischen Mechanik
Repertorium und Dbungsbuch
der Technischen Mechanik
Von
Dr.-Ing. Istvan Szab6
o. Professor der Mechanik
an der Technischen Universităt Berlin
Mit 254 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
ISBN 978-3-662-01439-4 ISBN 978-3-662-01438-7 (eBook)
DOI 10.1007(978-3-662-01438-7
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® by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1960
Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag ORG., BerlinjGiittingenjReidelberg 1960
Softcover reprint ofthe hardcover lst edition 1960
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Buche bereehtigt aueh ohne besondere Kennzeielmnng nlcht zu der Annahme, dal.l solehe
Namen inl Sinne der "\Varenzeichcn- und l\Iarkenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten
wliren \Ind daher yon jedermann ben\ltzt werden diirften
Vorwort
Zur Entstehung dieses Buches trugen mehrere Umstande bei: An
den Verlag und an mich herangetragene Vorschlage von Kollegen fUr
eine Aufgabensammlung, Bitten meiner Harer fur eine kurze Dar
stellung des mit Beispielen illustrierten Lehrstoffes zur Examensvor
bereitung und schlieBlich der eigene Plan, 1nteresscnten eine Sammlung
der wichtigsten Siitze und Formeln der Mechanik nebst Dbungsbeispielen
zu geben. 1ch glaube, allen diesen Gesichtspunkten mit diesem "Reper
torium und Ubungsbuch" zu entsprechen, und in diesem Sinne ist auch
der Aufbau des Buches erfolgt: An die Satze und Formeln eines nicht
zu groBen und abgeschlossenen Teilgebietes schlieBen sich eine Anzahl
von Aufgaben mit ihren knapp gehaltenen Losungen an. 1ch war be
strebt, den allgemeinen Teil so zu gestalten, daB der Leser den Weg
ersehen kann, auf dem aus axiomatischen Satzen und Hypothesen die
Formeln hervorgehen. Hinsichtlich der Aufgaben war ich nicht krampf
haft bemiiht, nur "Beispiele aus der Praxis" zu geben; auf ein N ahC'
bringen des Stoffes und auf ein "Sich-Einuben" in die wesentlichen
Gedankengange der Mechanik kam es mir in erster Linie an! 1ch machte
aber doch hoffen, daB ich einen guten Mittelweg gefunden und in den
Aufgaben nicht nur "Probleme akademischen Charakters" behandeIt
habe.
Der groBte Teil der Aufgaben entstammt dem Dbungsarehiv meines
Lehrstuhles; sie wurden von meinen Assistenten, den Herren Diplom-
1ngenieuren H. SANDER, H. D. SONDERSHAUSEN und W. ZANDER naeh
meiner Auswahl in druckfertige Form gebracht. Neben dieser wirksamen
Hilfe habe ich diesen Herren auch fur die Beisteuerung einer Anzahl
eigener Aufgaben und fUr ihre wertvolle Mitarbeit bei der Gesta1tung
des allgemeinen Teiles herzlichst zu danken.
Die Zusammenarbeit mit dem Springer-Verlag war auch bei Druck
legung dieses Buches sehr erfreulich; dafiir und fUr die gute Ausstattung
des Buches machte ich auch an dieser Stelle meinen besten Dank aus
sprechen.
Berlin-Charlottenburg, im Januar 1960
Istvan SzabO
Inhaltsverzeichnis*
Scit<·
AlIgemeine Bemerkungen . 1
1. Zur Mechanik
Statik starrer Korper . 3
1. Kriifte, Spannungen uud Gleichgewiehttlbedingungen 3
1. Kraft und Spannung .' . . . . . . . . . . . . 3
2. Linienfliichtigkeit der' Kraft und G1eichwertigkeit zweier Kraft-
systeme am starren Karper 5
3. Die Krăftereduktion . . 5
4. G1eichgewicht der Krăfte . Il
;3. Krăftezerlegung . . . . . 18
6. Der Schwerpunkt. . . . . . . . . .. 20
7. Das Gleichgewieht an einem aUR starren Karpern zusammengesetz-
ten System . . . . . . . . . . . . . 25
8. Ebene Fachwerke . . . . . . . . . . 29
9. Statik der 8eile (Ketten) in der Ebene 34
10. Das Prinzip der virtuellen Arbeiten . . 42
.Festigkeitslehre und Deformationstheorie elastischer Tragwerk(' 45
II. Elementare Spannungs- und Deformationstheorie des Balkens . 45
1. Die Schnittlasten des BaJkens. . . . . . . . 45
2. Die HOoKEschen Gesetze . . . . . . . . . . 5.'i
3. Deformation und Beanspruehung des Balkens (lO
4. Flăchenmomente zweiten Grades. . . . . . . iG
5. Năherungsweise Bestimmung der 8chubspanllungen 81
6. Der Balken auf nachgiebiger Unterlage. . . . . . 84
7. Torsion eines kreiszylindrischen Stabes. . . . . . 8i
8. Torsion diinnwandiger Hohlquerschnitte. Die BREDTschen Formcln 90
9. Die Torsion schmaler R.echteckquerschnitte. . . . . . . .. 9:3
10. Formănderungsarbeit des Balkens. Die Sătze von CASTJGLIANO . 95
Il. Die Kniekung eines Balkens. . . . . . . . . . . . 105
III. Ausgewăhlte Probleme der haheren Elastizitătstheorie. . 113
1. .Allgemeine Spannungs. und Deformationsgleichungen 113
2. Der ebene Spannungszustand . . . . . . . . . . . 118
3. Die Theorie der diinnen Platten. . . . . . . . . . 126
4. Der achsensymmetrisohe Spannungszustand. . . . . 131
5. Biegung und Knickung kreisfarmiger Ringe und Rohre . 139
6. Allgemeine Torsionstheorie des Balkens. 142
Kinematik nud Kiuetik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
IV. Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
1. Bahn, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines bewegten PunktPR 146
2. Bewegung eines starren KarperR . 150
3. Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
*
Den durch arabische Ziffern gekennzeichneten Teilgebieten schlieBen sich
die dazugeharigen Aufgaben an.
Inhaltsverzeichnis VII
V. Kinetik der starren und deformierbaren Systeme. . . . . . . . . 162
1. Das N EWTONsche Grundgesetz und seine Folgerungen. Schwerpunkt-
und Ddomentensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
2. Folgerungen aus dem DdOlnentensatz. EULERSche (Kreisel-) Glei-
chungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 172
3. Die Prinzipien von D'ÂLEMBERT und HAMILTON. LAGRANGESche
Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 176
4. Schwingungen mit endlich vielen Freiheitsgraden . . . . . . . 182
5. Schwingungen des Kontinuums (Saiten, Ddembranen, Stăbe und
Platten) . . . . . . . . . . 191
6. Der StoB . . . . . . . . . 212
Dynamik der Fliissigkeiten und Gase 220
VI. Ideale und ziihe Fliissigkeiten. . 220
1. Die Grundgleichungen idealer Fliissigkeiten (und reibungsfreier
Gase) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
2. Theorie von DANIEL BERNOULLI fiir den Stromfaden 223
3. Potentialstromung idealer Fliissigkeiten 235
4. Zăhe Fliissigkeiten 243
VII. Dynamik idealer Gase . . . . . 249
1. Grundgleichungen . . . . . 249
2. Stationăre Stromfadentheorie 255
VIII. Grundgesetze der Ăhnlichkeitsmechanik 261
1. Allgemeine Bemerkungen . . . . . . . . '. . . . . . . ., 261
2. Ddechanische ĂhnIichkeit. Das NEWToNsche ĂhnIichkeitsgesetz. 262
3. tJbertragungsgesetze fUr spezielle Krăfteklassen . . . . 264
4. Gleichzeitige Wirkung von Krăften verschiedener Natur 265
Literaturverzeichnis . . . . 267
Namen- und Sachverzeichnis 268
AlIgemeine Bemerkungen
1. Zur Meehanik. Aufgabe der Mechanik ist es, die in der Natur
vorkommenden Bewegungen zu untersuchen. Sie ist eine Lehre von den
Bewegungen und Krăften und schafft ihre Grundlagen (Axiome und
Prinzipien) aus der Erfahrung. Zur exakten Formulierung der so ge
wonnenen Erkenntnisse benutzt sie "die Sprache der Mathematik".
"Man kann die Mechanik einteilen in die reine Bewegungslehre, die sog.
Kinematik, und in die Dynamik mit den Teilgebieten Statik (Lehre vom
Gleichgewicht der Krăfte) und Kinetik (Bewegung der Korper unter
Krafteeinwirkung). Da die Beschreibung der Bewegung der Materie in
aUen Einzelheiten und Feinheiten eine kaum losbare Aufgabe ist, wird
auch in der Mechanik, insbesondere hinsichtlich der Stoffeigenschaft.en,
idealisiert. In diesem Sinne spricht man z. B. von starren K6rpern,
idealen Fliissigkeiten, reibungsfreien Bewegungen usw.
2. Zor Vektoralgebra. Viele Begriffe der Mechanik, wie Kraft,
Spannung, Geschwindigkeit, Beschleunigung, sind nur durch Vektoren
darzust.ellen. Rin Vektor ist eine
in einem rechtwinkligen Koordi
natensystem durch ein Zahlentripel
~--=---'-----'lI
Abb. 0.1 AhI>. 0.2
Ax, Ay, Az festlegbare Gr<iBe. Mit den Einheitsvektoren ex, ey, ez
(Abb. 0.1) hat man
m: = Ax ex + Ay ey + Az ez = {Ax; Ay; Az}. (0.1)
Addition und Subtraktion von Vektoren erfolgt also im erweiterten Sinne
von (0.1) nach dem bekannten Parallelogrammgesetz. Es gilt
m: ± 5B = {(Ax -+- Bx); (Ay ± By); (Az ± Bz)}. (0.2)
Das Skalarprodukt zweier Vektoren (Abb. 0.2):
m: 5B = l~lll5B! coscp = AxBx + Ay By + Az B ... }
\Il Q3 (0.3)
cosrp =I\lq I ~I '
Szabo, RepertoriuJIl 1
2 Allgemeine Bemerkungen
Insbesondere ist
2l CztI.( = 212 = I1 2l 12 = A 2x ...1L A 2V + A z2 ' }
12li = VA; + A; + A;. (0.4)
Fiir rp = 90° (Orthogonalităt von 2l und 5B) ist 2l )8 = O.
Anwendung: Die Arbeit (Abb. 0.3). Die
Kraft Si' = {X; Y; Z} leistet bei einer Ver
schiebung dr = {dx; dy; dz} die Arbeit
dA = Sfdr = Xdx + Ydy + Zdz. (0.5)
Das Vektorprodukt zweier Vektoren:
o ex ey ez
2l
X )8 = Ax Ay Az
Abb. 0.3 Bx By Bz
= {(Ay Bz - Az By); (Az Bx - Ax Bz); (Ax By - Ay Bx)}. (0.6)
Das ist ein zu 2l und 5B senkrechter Vektor, so, daB die Vektoren 2f, \B,
2l
X 5B in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden und
!2l X 5B 1 = j2l 115B j sin rp
derFIăcheninhalt des aus 21 und )8 aufgespannten Parallelogramms ist.
~ Fiir parallele Vektoren (rp = Oo
oder 180°) ist 2{ x)8 = O.
I
I
I m Momenlenveklcr
CD
I
Dre/Jsinn
Ahlo. 004 Ah!>. 0.5
Anwendung: Das Moment einer Kraft Sl' in bezug auf elen Punkt O
ist (Abb. 0.4)
(O.';')
Wegen
Imi = M = IS fllr! sinrp = K· h = Drehmoment
wird also dem Drehmoment einer Kraft ein zur Drehungsebenc senk
rechter Vektor zugeordnet (Abb.0.5).
Das skalare Produkt (Spatprodukt) dreier Vektoren:
Ax Ay Az
2{ )8 ~ = 2l (5B X ~) = Bx By Bz (O.R)
Cx Cy Cz
1. Krăfte, Spannungen und Gleichgewichtsbedingungen 3
Damit wird (bis auf das Vorzeichen) das Volumen des aus W, ~ und Q:
gebildeten Parallelepipeds festgelegt. Liegen diese Vektoren in einer
Ebene (d.h. sind sie komplanar), so ist 2{~a:: = o.
Das dreifache Vektorprodukt:
W X (~ X Q:) = (Wa::) ~ - (W~) a::. (0.9)
Statik starrer Korper
1. Krăfte, Spannungen und Gleichgewichtsbedingungen
1. Kraft und Spannung. Der Kraftbegriff entspringt unserer Er
fahrung mit der Schwerkraft, deren mannigfaltige Wirkungen, wie
"Druck" des Gewichtes auf eine Unterlage, "Zug" in einem Faden,
"Dejormation" einer Feder und "Bewegung" eines freien oder teilweise ge
fiihrten (z.B. auf der schiefen Ebene bewegten) Korpers, wir empfinden
oder beobachten konnen. Dementsprechend vermuten wir in allen iihn
lichen Erscheinungen eine mit der
Schwerkraft vergleich bare bzw.durch
dR
AblJ. 1.2
sie direkt oder indirekt meJ3bare vektorische GroJ3e, nămlich eine
"Krajt". Die Veranschaulichung der Kraft als sog. "Einzelkraft" durch
einen Vektor ist wiederum eine Idealisierung, indem man z. B. die riiurn
lich 'lJerteilte (Schwer-) K raft (Gewicht) eines Korpers in einen dunnen
Faden leitet und die in Wirklichkeit uber dem Fadenquerschnitt fliichen
hajt 'lJerteilte K raft durch einen in der Fadenachse liegenden Vektor ersetzt.
Die eben erwăhnte flăchenhaft verteilte Kraft, die sog. Spannung
(Kraft je FIăcheneinheit), wird durch den ihr zugeordneten Vektor s
dargestellt. Im Sinne der Mathematik wird dieser Vektor einem Punkt P
bzw. ein{,lll durch diesen Punkt gelegLen (ebenen) unendlich kleinen
FIăchenelement· dF zugeordnet, auf dem die Spannung (annăhernd)
konstante GroJ3e besitze (Abb. 1.1). Dementsprechend ist die in diesem
FIăchenelement wirkende Kraft (Abb. LI)
dSf:=5dF. (l.l)
Solche Spannungen treten einerseits zwischen zwei sich beruhrenden
Korpern unter Gultigkeit des Gegenwirkungsprinzips (Abb. 1.2)
5 = -5 (1.2)
1 2
auf; andererseits erscheinen sie auch nach dem Eulerschen Schnittprinzip
als innere Spannungen Iăngs ei nes beliebig gefiihrten Schnittes innerhalb
1*
1. Krăfte, Spannungen und Gleichgewichtsbedingungen
eines Karpers. Der einem bestimmten Punkt bzw. dem durch ihn geleg
ten FIăchenelement zugeordnete Spannungsvektor 5 kann nach dem
Parallelogrammaxiom in eine zu dF senkrechte Normalspannung 5N
und eine in dF liegende Schubspannung 5s zerlegt werden (Abb.1.3).
Da die fUr die innere Beanspruchung maBgebende Schnittfiihrung be
liebig ist, erhebt sich die Frage, wie viele Angaben (ZahlengraBen) not
wendig sind, um fiir jede der unendlich vielen Lagen des FIăchen
elementes durch einen Punkt den Spannungsvektor angeben zu kannen.
Die Betrachtung eines um einen Punkt gelegten Karperelementes wird
uns lehren (Abb.3.1), daB hierzu neun skalare GraBen erforderlich
sind, die den sog. Spannungstensor bestimmen.
Die gemăB dem Schnittprinzip in einem
Karper "freigelegten Krăfte" werden innere, dic
auf den Karper in Form von Oberflăchen- und
Massenkrăften (z. B. Gravitationskrăften) ein
wirkenqen ăuf3ere Krăfte genannt. Diese beiden
Krăfteklassen kannen wiederum in physikali
sche oder eingeprăgte Krăfte (Gewicht, Wind
druck, magnetlsche Kraft usw.) und in Reak-
AbI>. 1.3 tionskrăfte unterteilt werden. Letztere wer-
den - als Folge der Einschrănkung von
Bewegungsmaglichkeiten - auch geometrische Krăfte oder Zwangskrăfte
genannt. So treten z. B. in einem starren Karper innere Reaktions
krăfte, in einem deformierbaren Karper innere eingepragte Krafte auf.
Zu den eingeprăgten Krăften ist ferner die beim Gleiten zwischen zwei
festen Karpern auftretende und der (Relativ-) Geschwindigkeit ent
gegengesetzt gerichtete Gleitreibungskraft RGl zu rechnen, wăhrend dic
im Ruhefall feststellbare Haftreibungskraft RHa ZU d('n Reaktions
kraften zu rechnen ist; man erfaBt sie in der Form
RGl = ,uN, RHa < ţloN, (1.3)
worin N der Normaldruck sowie ţl und ţlo (ţl <ţlo) die entsprechenden
Reibungskoeffizienten sind. Auch die beim (reinen) Rollen zwischen einem
Rad und seiner Unterlage auftretende Tangentialkraft entspricht einer
Haftreibung!
Ebenso wie die bisher aufgefiihrten Krăfte werden auch die weiteren
unter dem N amen Bewegungswiderstănde zusammenfaBbaren Kraftc
durch gewisse Hypothesen erfaBt. Die in diesen Hypothesen auftretenden
Beiwerte werden im allgemeinen durch Versuche ermittelt. So legt man
z. B. fiir den Bewegungswiderstand eines in einer Fliissigkeit oder einem
Gas mit der Relativgeschwindigkeit v bewegten (starren) Korpers Gc
setze von der Form
W = rv bzw.
zugrunde. Hierbei sind r und cw, die sogenannten Widerstandsziffern, im
wesentlichen von Karperform, Geschwindigkeitsbereich und Medium
e
abhăngige experimentell ermittelbare GraBen, die Dichte des Mediums
und Fs die sog. Schattenflăche des bewegten Karpers. Anwendungen
