Table Of Content_Constance-Kamii
__ conlacolaboradón
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Implicacionesde la teoría de Piaget.
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Traducción:
Genís Sánchez Barberán
Indice
Introducción ........................................................................................... 7
Agradecimientos........................................................................'............... 11
PARTE I
Fundamentosteóricos
1.Lanaturaleza delconocimientológico—matemático............................... 15
2.Lahistoriadelastécnicasdecálculo ..................................................... 35
3.Losefectosperjudicialesdelosalgoritmos........................................... 49
4.La importanciadelainteracciónsocial................................................. 67
PARTE II
Metasy objetivos
5.Autonomía:elobjetivodelaeducaciónpara Piaget .............................. 79
6.Metasdelaaritméticadetercercurso ................................................... 87
PARTE 111
Actividades declase
7.Resolución deproblemas...................................................................... 105
8.Juegoscolectivos................................................................................... 125
9.OtrasActividades ................................................................................. 161
PARTE III
Preguntastípicas
10.¿Cómoabordarlamultiplicación denúmerosdevarias cifras?............ 175
11.¿Quésedicealosniñoscuandosetrabajaindividualmentecon ellos?. 191
12. ¿Cómoevaluarelpensamiento delos niñosen la resolución
deproblemas?..................................................................................... 205
13. ¿Habéishecho algunaevaluacióndevuesrro programa? ...................... 221
Apéndice:Recursos................................................................................... 243
Referencias............................................................................................... 245
Índicedematerias..................................................................................... 251
Acerca dela autora................................................................................... 261
Introducción
ConstanceKamii
Aunque el término construcción se escuchaba rara vez cuando se escribió
Young Children Continueto ReinventArit/7metir, 2nd Grade (Kamii, 1989a),ha
llegadoasermuy popular en años recientes.Esta rápidaaceptación tienesulado
bueno y su lado malo. El lado bueno es que evidencia una nueva apertura al
cambio.Porcontra,lavertiente mala esquemucha gentedice (<construcción»sin
comprenderqueelconstructivismoesuna teoríasobrelaelaboración de]conoci—
miento por parte de laespeciehumana alolargodemuchos siglosyporparte de
cadaniño alolargodesuvida.
Creemos que el construcrivismo deJean Piaget explica lanaturaleza del co—
nocimiento lógico-matemáticomejor quecualquierotra teoría.Describecientífi-
camenteelorigen delconocimientológico—matemáticoen lainfancia,comopue-
deverse enLosorígenesdelainteligenciaenelniño (Piaget,1936),La construcción
de la realidaden elniño (Piaget,1937),yfuego,sueñose imitación en la infancia
(Piaget,1945).Aunque estoslibros fueron el verdadero principio de lavertiente
psicológica de lateoríadePiaget,Piaget nunca sedesviódesuprincipal objetivo
epistemológico,explicar la construcción del conocimiento en general por parte
delahumanidad,quelocondujoaunavisión particular delahistoria delacien-
cia. Sus inve5tigaciones,realizadas durante un período de 60 años,están docu—
mentadas en incontableslibrosy han sido reproducidasentodo elmundo.Aun-
que sehan puesto en duda algunos detalles sobre las edadesy las secuencias de
etapas expuestaspor Piaget, el constructivismo sigue siendo la explicación más
coherente del desarrollo en losniños del conocimiento y, especialmente,del co-
nocimiento lógico—matemático.
El constructivismo dePiaget recalcaque el razonamientológico-matemático
esnecesario enmuchos ámbitosdel conocimiento,ademásde la lógicay lasma-
temáticas. Más importante aún, niega que el conocimiento lógico—matemático
pueda transmitirsesimplementealniñocomounpaquetebien envuelto;sostiene
que esre conocimiento tiene que ser construido por los niños mismos aunque,
evidentemente,con laayudadeloseducadoresydeorraspersonas desuentorno,
y en interaccióncon ellos.En estesentido,elconstructivismo se0p0nealaprác—
ticaeducativatradicional.
Pasardeuna teoría episremológicay psicológica a una teoríade laenseñan-
za de las matemáticas exigevarios pasos arduos,ya que no esposible <<aplicar»
la teoría de Piaget directamente a la educación.Con los años,yo misma (CK)
heprogresado hacia una teoríasobrelaenseñanza deeste tipo,y este libroes el
resultadodemuchas ideasy muchas discusionescon enseñantes,especialmente
con SallyLivingston,de laHall-Kent Elementary School cercade Birmingham,
Alabama.Este libro es también el resultadode laexperimentacióny laobserva—
ción deloque realmentehacen losniñoscuandoabordanproblemas matemáti-
cos.Al interpretarelpensamiento de losniños en términosdeprincipios cons—
tructivistas profundos, Sally y yo combinamos las perspectivas de una
enseñantey de una investigadora en la conceptualización demetas y activida—
despara niños.
Espero que el lector encuentre en este libro lo que he intentado transmitir:
un enfoquecientífico auna teoríaemergentedelaenseñanzadelasmatemáticas,
quecombina laobservaciónminuciosa deloquelosniños realmentehacen al re—
solver problemas de matemáticas con una interpretación teórica de su pensa—
miento. Como afirmaba Piaget sobre supropio trabajo,una observación minu—
ciosacombinadacon una búsqueda deprincipios generalesy profundos esloque
condujo a suteoríasobreelconocimiento.Piaget considerabaqueestacombina—
ción eralabase detodaempresaverdaderamente científica.
Este librocontinúatresvolumenes anterioressobreeljardíndeinfanciay los
primeros doscursos titulados,respectivamente,NumherinPreschoolandKinder—
garten (Kamii, 1982), Young Children ReinventArithmetic (Kamii, 1985),y
Young Children ContinuetoReinventArithmetic,2ndGrade (Kamii,1989a).Una
cinta de vídeo titulada Double-Column Addition:A 72aeher Uses Piaget Theory
(Kamii,1989b)acompaña al libro sobre segundo curso.Multzlnlication ofTwo-
DigitNumbers (Kamii, 199091)y Multidigit Division (Kamii, 1990b) son otras
doscintasdevídeo sobrelaaritméticadesegundoy tercercurso.
El presente volumen es el resultado de la colaboración con Sally Livingston
desde 1987y sedivideencuatropartes.Laprimeraparte presenta losfundamen-
tos teóricos de la naturaleza del conocimiento lógico-matemático,el proceso de
construcción quepuede observarse en lahistoria de las técnicas de cálculo, evi—
denciasde losefectosnocivos delosalgoritmosconvencionales,y laimportancia
delainteracciónsocialen lateoríadePiaget.
La Parte II,que secentra en lasmetas y losobjetivos de laaritméticade ter—
cercurso,esimportanteporque una teoría que revolucionanuestra comprensión
de cómo adquieren conocimiento los seres humanos cambia drásticamente lo
que creemos que las escuelas deben tratar dehacer. Durante mucho tiempo,los
educadoreshan tratado detransmitirconocimientosa losniñosdesdeelexterior.
Lo quenecesita lareforma esun punto deapoyodentro delniño para aumentar
almáximo elproceso deconstrucción.desdeelinterior.
La Parte III describe actividades de clasey consta de capítulos sobre resolu—
cióndeproblemas,juegoscolectivosy otrasactividades.En laParte IVseofrecen
principios deenseñanzaen respuestaapreguntas planteadas con mucha frecuen-
cia como,por ejemplo:¿Cómosedebeabordar lamultiplicación de números de
varias cifras?¿Quésedice a losniños cuando setrabajacon ellos individualmen—
te? ¿Cómoevaluarelpensamiento delosniños en laresolucióndeproblemas.>
El último capítulo secentra en la evaluación de laenseñanzaconstructivista
y esperamosque sea leídopor administradores,padres y público en general.Las
pruebas derendimientonormalizadas <<miden»únicamente lamedida en que los
niños han dominado objetivos superficiales, estrechos y conductistas. La única
cosa quecuenta en esta tradición psicométrica es lacorrección de lasrespuestas.
El capítulo 13documenta loquehemos averiguado al sondearbajo la superficie
de lasrespuestascorrectas.Mediante elplanteo de diversaspreguntas,documen-
tamosqueunosniñosquehabían tenido tres añosdematemática constructivista
podían razonarmucho mejor queotros niños sometidosa laenseñanza tradicio-
nal. _
En este libro se mencionan nombres específicos de niños, pero todos son
seudónimos usados para proteger la intimidad de los estudiantes.Aunque en
muchas secciones semenciona <<yo (CK)»Q <<yo (SL)»para facilitarla compren-
sión del lecror, las opiniones expresadas son compartidas con igual convicción
por nosotrasdos.
En una épocaen laquemuchos directoresy enseñantessesienten atrapados
entre el deseo de reforma y la <<responsabilidad» definida por puntuaciones en
pruebas derendimiento,nos corresponde tomar nota del papel de laautonomía
en otros movimientos de reforma.Martin Luther King no hubiera conseguido
nada si sehubiera limitadoaobedecer lasantiguasleyesquediscriminaban a los
afroamericanos.Asimismo, la Revolución Estadounidense no fue realizada por
personas obedientes a las leyes británicas. Esperamos que la idea de autonomía,
queeraelfinde laeducaciónpara Piaget (comosediscuteen el Capítulo 5),ins—
pirará amás enseñantesy directoresaconduciralpúblico haciaunaverdadera re-
formade laeducación.Ha llegado elmomento de que loseducadores dirijamos
la educación en base a una teoría científica nueva, en vez de dejarnos arrasrrar
hacia laaplicacióndemu paño caliente»trasotro.
Parte I
Fundamentos teóricos
CAPÍTULO 1
La naturaleza del conocimiento lógico-matemático
¿Por
qué queremos que los niños reinventen la aritmética cuando simple—
mente podemos explicarles o mostrarles cómo sumar,restar,multiplicar y divi-
dir? Nuestra respuesta a estapregunta sepresenta en losprimeros tres capítulos
de este libro.En estecapítulo,discutimoslanaturaleza delconocimiento lógico—
matemático para mostrar que losniños lo adquieren construyéndolo (haciéndolo)
desde dentro en interacción con el entorno,no interioriza'ndolodesde fuerame-
diante latransmisión social.
Empezamospor aclararcómoadquieren losniños losconceptosdenúmeros
pequeños.Luegodescribimosquéhacen losniñosen tareasdeinclusióndeclases
dePiaget,para explicar elpensamiento jerárquicoque intervieneen laconstruc-
ción de los conceptosde número y del sistemadebase diez.El capítulo finaliza
con una tarea que requiereun pensamiento multiplicativo y que demuestra que
los niños también construyen la multiplicación mediante sus propias acciones
mentales.
Elorigendelosconceptosdenúmero
Lamejor manera deexplicarcómoadquieren losniños losconceptosdenú—
mero esmediante una tareaideadapor Inheldery Piaget (1963).En unaversión
simplificadade estatarea seutilizan dosvasos idénticosy de30a 50cuentas de
madera (obien fichas,habasu otrosobjetosparecidos).Sedaal niño uno delos
vasos y el investigador toma el otro vaso. Entonces el adulto pide al niño que
suelte una cuenta en suvaso cada vez que él suelte una en el suyo.Después de
que se han soltado unas cinco cuentas en cada vaso con una correspondencia
biunívoca, el adulto dice,<<Ahoravamos aparar y tú miras lo quevoy a hacer».
Entonces el investigador suelta una cuenta en suvaso y dice al niño, <<Sigamos
orravez».Cadapersona sueltaunascincocuentasmás ensuvaso conuna corres-
pondencia biunívoca,hastaqueeladultodice,<<Vamosaparar».
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Lo quehasucedidohasta ahoraeslosiguiente:
Adulto: 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
Niño: 1+1+1+1+1 +1+1+1+1+1
<<¿Tenemos
A continuación,el adultopregunta, elmismo número (olamis—
ma cantidad),otienesmás tú,otengomásyo?».
Los niños de cuatro añosde edad normalmente contestan que losdosvasos
tienen lamisma cantidad.Cuando el entrevistadorprosigue preguntando, <<¿Có—
mo sabes que tenemos lamisma cantidad?», los niños explican, <<Porque puedo
ver que los dos tenemos lo mismo (lamisma cantidad)». Sin embargo,algunos
niños de cuatro años de edad contestan que ellostienen más,y cuando les pre-
guntamoscómo saben que tienen más, suexplicación consiste solo en dospala—
bras:<<Porque sí».
El adulto continúa y pregunta, <<¿Recuerdas cómo soltamos las cuentas?»,y
los niños de cuatro años de edad normalmente relatan correctamente todos los
hechos empíricos u observables: <<Entonces dijiste que paráramos y pusiste una
en tuvaso. Solotú pusiste una en tuvaso y yo miraba porque me dijisteque es—
perara. Después seguimosotra vez». En otras palabras, los niños de cuatro años
deedad recuerdan correcramentetodos loshechosempíricosybasan sujuiciode
igualdadenelaspectoempíricodelasdoscantidades.
Hacia loscincoo seisañosdeedad,sinembargo,lamayoría delosniños de—
ducen lógicamente que el experimentador tiene una cuenta más. Cuando pre-
guntamosaestosniños cómosabenqueeladulto tieneuna cuentamás,invocan
exactamentelosmismos hechosempíricosquelosniñosdecuatroañosdeedad.
Siun niño dice que elvaso del adulto tiene una cuenta más, el investigador
plantea la siguiente pregunta: <<Si continuamos soltando cuentas todo el día (o
toda lanoche) de lamisma manera (conuna correspondencia biunívoca), ¿crees
que al final tendremos el mismo número, o que tendrás más tú, o que tendrá
más yo?». En este punto, los niños de cinco y seis años de edad se reparten en
dosgrupos.Algunos contestan como loharían losadultos,diciendoquesiempre
habrá una cuentamás en elvaso del investigador.Los ºtrosofrecen afirmaciones
empíricas como,<<No lo sé porque todavía no lo hemos hecho» o <<No tienes
cuentassuficientespara seguirasítodo eldía».
La tarea anterioresuno de losincontablesexperimentospiagetianos quede-
muestran ladiferencia entreelconocimientoempíricoy elconocimiento lógico—
matemático.
Esta diferenciapuede aclararsemejor revisando la distinción hecha
entre
"O .…1_25waL)…50c,1967/1971) tres..UPQSdeconoc1mrento,
Fer TiposdeConocimiento
El conocimientofísicoeselconocimientodelosobjetosdela realidadexterna.
El colory elpeso deunacuentason ejemplosdepropiedades físicasqueestán en
objetosde la realidad externay que sepueden conocerempíricamentemediante
la observación. El conocimiento de que una cuenta caerá en el vaso cuando la
soltemostambién esun ejemplodeconocimiento físico.
Porotraparte,el conocimientológico-matemáticoconsisteen relacionescreadas
por cada individuo.Por ejemplo,sivemos una cuenta rojay una cuenta azul y
pensamos que son <<diferentes», esta diferencia es un ejemplo de conocimiento
lógico—matemático.Ciertamente, las cuentas son observables,pero la dierencia
entreellasno loes.Ladiferenciaesuna relacióncreadamentalmente por cada in—
dividuo que estableceesta relación entre losdos objetos.La diferencia no seen-
cuentrani enlacuentaroja ni en lacuenta azul,y si una persona no estableciera
estarelación entrelosobjetos,ladiferenciano existiríapara ella.
Otros ejemplosderelacionesqueel individuopuede'establecerentre lasmis—
mas cuentasson <<similares»,delmismo peso» y ados».Es tan correctodecirque
lascuentasazulesy rojassonsimilarescomo decirquesondiferentes.La relación
que estableceun individuo entre losobjetos depende del individuoen sí.Desde
un punto devista lasdoscuentasson diferentesy desde otro punto devista son
similares.Si el individuoquierecomparar elpeso de lasdoscuentas,esprobable
quediga queambosobjetosson <<iguales» (encuanto alpeso). Si,por otraparte,
elindividuoquierepensaren losobjetosnuméricamente,diráquehay dos».Las
dos cuentas son observables,pero la <<dos-idad» no lo es.El número esuna rela-
cióncreadamentalmenteporcadaindividuo*.
Por tanto,elconocimiento físicoesun conocimientoempíricoque,enparte,
tiene su origen en objetos. (Nuestrarazón para decir <<en parte» se aclara en el
próximo párrafo). El conocimiento lógico—matemático,por otra parte, no es un
conocimiento empíricoya quesuorigen estáen lamente decada individuo.Las
relacionesdeben sercreadaspor cada individuoporque relacionestalescomo <<di—
ferentes»,<<iguales»y ados»no existenen elmundo externoobservable.Losniños
*Nosapresuramosadecirquedos»no esunbuen númeropara ilusrrarlanaturaleza lógico-
matemáticadelnúmero,porqueesunnúmeroperceptivo.Piagetsereferíaalosnúmerospequeños
hasracuatroocincocomo<<númerosperceptivos»porque lascoleccionespequeñasdeobjetos,tales
comomo»y <<ooo»,pueden distinguirsefácilmentedeun vistazo,perceptivamente. Sinembargo,
cuandosepresentan siete0másobjetos (0000000y00000000,porejemplo),esimposibledisrin—
guirlossóloporlapercepción.
El número <<dos» también puede serun número lógico—matemáticopara un adultoquehaya
construidoelsistemadenúmeroslógico-matemáticos.Elegimoselnúmero dos»en esteejemplo,
apesar delproblema delosnúmerosperceptivos,porque con doscuentaspodiamos ilustrarorras
relacionessimplescomo<<diferentes»,asimilare5»ydelmismopeso».
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